高中立体几何专题（精编版）
1. （天津文）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为
平行四边形，045ADC ∠=，1AD AC ==，O 为AC 中点，PO ⊥平面ABCD ，
2PO =，M 为PD 中点．
（Ⅰ）证明：PB //平面ACM ； （Ⅱ）证明：AD ⊥平面PAC ；
（Ⅲ）求直线AM
ABCD 【解析】直线与平面所成的
角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。满分13分。 （Ⅰ）证明：连接BD ，MO ，在平行四边形ABCD 中，因为O 为AC 的中点，所
以O 为BD 的中点，又M 为PD 的中点，所以PB//MO 。因为PB ?平面ACM ，
MO ?平面ACM ，所以PB//平面ACM 。
（Ⅱ）证明：因为45ADC ∠=?，且AD=AC=1，所以90DAC ∠=?，即A
D A C ⊥，又PO ⊥平面ABCD ，AD ?平面ABCD ，所以,PO AD AC PO O ⊥?=而，所以AD ⊥平面PAC 。
（Ⅲ）解：取DO 中点N ，连接MN ，AN ，因为M 为PD 的中点，所以MN//PO ，
且1
1,2
MN PO PO ==⊥由平面ABCD ，得MN ⊥平面ABCD ，所以MAN ∠是直
线AM 与平面ABCD 所成的角，在Rt DAO ?中，11,2AD AO ==，所以DO =，
从而124
AN DO ==，
在,tan 4
MN Rt ANM MAN AN ?∠===
中，即直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值为
5
2. （北京文）如图，在四面体PABC 中，PC ⊥AB ，PA ⊥BC,点D,E,F,G 分别是棱
AP,AC,BC,PB 的中点.
（Ⅰ）求证：DE ∥平面BCP ； （Ⅱ）求证：四边形DEFG 为矩形；
（Ⅲ）是否存在点Q ，到四面体PABC 六条棱的中点的距离相等？说明理由.
【解析】（17）（共14分） 证明：（Ⅰ）因为D ，E 分别为AP ，AC 的中点，
所以DE//PC 。
又因为DE ?平面BCP ， 所以DE//平面BCP 。
（Ⅱ）因为D ，E ，F ，G 分别为 AP ，AC ，BC ，PB 的中点，
所以DE//PC//FG ，DG//AB//EF 。 所以四边形DEFG 为平行四边形， 又因为PC ⊥AB ， 所以DE ⊥DG ，
所以四边形DEFG 为矩形。
（Ⅲ）存在点Q 满足条件，理由如下： 连接DF ，EG ，设Q 为EG 的中点
由（Ⅱ）知，DF∩EG=Q，且QD=QE=QF=QG=2
1
EG.
分别取PC ，AB 的中点M ，N ，连接ME ，EN ，NG ，MG ，MN 。
与（Ⅱ）同理，可证四边形MENG 为矩形，其对角线点为EG 的中点Q ，
且QM=QN=2
1
EG ，
所以Q 为满足条件的点. 3. (全国大纲文)
如图，四棱锥S ABCD -中， AB CD ,BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形， 2,1AB BC CD SD ====． （I ）证明：SD ⊥平面SAB ；
（II ）求AB 与平面SBC 所成的角的大小。
【解析】20．解法一：
（I ）取AB 中点E ，连结DE ，则四边形BCDE 为矩形，DE=CB=2，
连结SE ，则,SE AB SE ⊥= 又SD=1，故222ED SE SD =+， 所以DSE ∠为直角。 由,,AB DE AB SE DE SE E ⊥⊥=，
得AB ⊥平面SDE ，所以AB SD ⊥。 SD 与两条相交直线AB 、SE 都垂直。 所以SD ⊥平面SAB 。 …………6分
（II ）由AB ⊥平面SDE 知， 平面ABCD ⊥平面SED 。
作,SF DE ⊥垂足为F ，则SF ⊥平面ABCD ，
SD SE SF DE ?=
= 作FG BC ⊥，垂足为G ，则FG=DC=1。 连结SG ，则SG BC ⊥， 又,BC FG SG FG G ⊥=，
故BC ⊥平面SFG ，平面SBC ⊥平面SFG 。 …………9分
作FH SG ⊥，H 为垂足，则FH ⊥平面SBC 。
SF FG FH SG ?=
=
，即F 到平面SBC
由于ED//BC ，所以ED//平面SBC ，E 到平面SBC 的距离d 也有
7
设AB 与平面SBC 所成的角为α，
则sin arcsin 77
d EB αα===
…………12分 解法二：
以C 为坐标原点，射线CD 为x 轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系
C —xyz 。
设D （1，0，0），则A （2，2，0）、B （0，2，0）。 又设(,,),0,0,0.S x y z x y z >>>则 （I ）(2,2,),(,2,)AS x y z BS x y z =--=-，(1,,)DS x y z =-，
由||||AS BS =得
=
故x=1。
由22||11,DS y z =+=得
又由222||2(2)4,BS x y z =+-+=得
即221410,,2y z y y z +-+===故
…………3分
于是1333(1,(1,,),(1,222S AS BS =--=-，
13
(0,,),0,0.2DS DS AS DS BS =?=?=
故,,,DS AD DS BS AS BS S ⊥⊥=又 所以SD ⊥平面SAB 。
（II ）设平面SBC 的法向量(,,)a m n p =，
则,,0,0.a BS a CB a BS a CB ⊥⊥?=?=
又33
(1,,),(0,2,0),2BS
CB =-=
故30,2220.m n p n ?-+
=???=?
…………9分
取p=2得(
3,0,2),(2,0,0)a AB =-=-又。
cos ,7||||
AB a AB a AB a ?=
=? 故AB 与平面SBC 所成的角为arcsin
7
4. （全国新文）18．（本小题满分12分）
如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=?，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD
． （I ）证明：PA BD ⊥；
（II ）设PD=AD=1，求棱锥D-PBC 的高．
【解析】(18)解：
（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=?=， 由余弦定理
得BD =
从而BD 2+AD 2= AB 2，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故 PA ⊥BD （Ⅱ）如图，作DE ⊥PB ，垂足为E 。已知PD ⊥底面ABCD ，则PD ⊥BC 。由（Ⅰ）知BD ⊥AD ，又BC//AD ，所以BC ⊥BD 。 故BC ⊥平面PBD ，BC ⊥DE 。 则DE ⊥平面PBC 。
由题设知，PD=1，则BD=3，PB=2，
根据BE·PB=PD·BD，得DE=2
3， 即棱锥D —PBC 的高为
.2
3 5. （辽宁文）18．（本小题满分12分）
如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA =AB =
1
2
PD ． （I ）证明：PQ ⊥平面DCQ ；
（II ）求棱锥Q
—ABCD 的的体积与棱锥P —DCQ 的体积的比值．
【解析】18．解：（I ）由条件知PDAQ 为直角梯形
因为QA ⊥平面ABCD ，所以平面PDAQ ⊥平面ABCD ，交线为AD.
又四边形ABCD 为正方形，DC ⊥AD ，所以DC ⊥平面PDAQ ，可得PQ ⊥DC.
在直角梯形PDAQ 中可得DQ=PQ=
2
PD ，则PQ ⊥QD 所以PQ ⊥平面DCQ. ………………6分 （II ）设AB=a .
由题设知AQ 为棱锥Q —ABCD 的高，所以棱锥Q —ABCD 的体积311
.3V a =
由（I ）知PQ 为棱锥P —DCQ 的高，而，△DCQ 2
，
所以棱锥P —DCQ 的体积为321
.3
V a =
故棱锥Q —ABCD 的体积与棱锥P —DCQ 的体积的比值为1.…………12分 6. （江西文）18．（本小题满分12分）
如图，在ABC ?中，,2,2
B AB B
C π
∠===P 为AB 边上的一动点，PD//BC 交
AC 于点D ，现将?PDA 沿PD 翻折至?PDA '，使平面?PDA '⊥平面PBCD 。 （1）当棱锥'A PBCD -的体积最大时，求PA 的长；
（2）若点P 为AB 的中点，E 为'A C 的中点，求证：'A B DE ⊥。
【解析】18．（本小题满分12分）
解：（1）令(02),',2,PA x x A P PD x BP x =<<===-则 因为'A P PD ⊥，
且平面'A PD ⊥平面PBCD ， 故'A P ⊥平面PBCD 。
所以3'111
(2)(2)(4)366A PBCD V Sh x x x x x -==-+=-，
令31
()(4),6f x x x =-
由21'()(43)0,6f x x =-=得
当,'()0,()x f x f x ∈>时单调递增
当2),'()0,()x f x f x ∈<时单调递减，
所以，当x =()f x 取得最大值，
即：当'A PBCD V -最大时，PA =
（2）设F 为'A B 的中点，连接PF ，FE ，
则有1//,//22
EF BC PD BC ====1
所以DE//PF ，又'A P PB = 所以'PF A B ⊥， 故'.DE A B ⊥ 7. （山东文）19．（本小题满分12分）
如图，在四棱台1111ABCD A BC D -中，1D D ⊥平面
ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，AB=2AD ，11AD=A B ，BAD=∠60° （Ⅰ）证明：1AA BD ⊥；
（Ⅱ）证明：11CC A BD ∥平面．
【解析】19．（I ）证法一：
因为1D D ⊥平面ABCD ，且BD ?平面ABCD ，
所以1D D BD ⊥，
又因为AB=2AD ，60BAD ∠=?， 在ABD ?中，由余弦定理得
22222cos603BD AD AB AD AB AD =+-??=， 所以222AD BD AB +=， 因此AD BD ⊥， 又1,AD D D D = 所以11.BD ADD A ⊥平面 又1AA ?平面ADD 1A 1， 故1.AA BD ⊥
证法二：
因为1D D ⊥平面ABCD ，且BD ?平面ABCD ， 所以1.BD D D ⊥
取AB 的中点G ，连接DG ，
在ABD ?中，由AB=2AD 得AG=AD ，
又60BAD ∠=?，所以ADG ?为等边三角形。 因此GD=GB ，
故DBG GDB ∠=∠， 又60AGD ∠=? 1,
D D ∠?∠∠∠???⊥=所以GDB=30,
故ADB=ADG+GDB=60+30=90,
所以BD AD.又AD D
所以BD ⊥平面ADD 1A 1， 又1AA ?平面ADD 1A 1， 故1.AA BD ⊥
（II ）连接AC ，A 1C 1，
设AC BD E =，连接EA 1
因为四边形ABCD 为平行四边形，
所以1
.2
EC AC =
由棱台定义及AB=2AD=2A 1B 1知 A 1C 1//EC 且A 1C 1=EC ，
所以边四形A 1ECC 1为平行四边形， 因此CC 1//EA 1，
又因为EA 1?平面A 1BD ，1CC ?平面A 1BD ，
所以CC 1//平面A 1BD 。 8. （陕西文）16．（本小题满分12分）
如图，在△ABC 中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD 是BC 上的高，沿AD 把△ABD 折起，使∠BDC=90°。
（Ⅰ）证明：平面ＡＤＢ ⊥平面ＢＤＣ； （Ⅱ）设BD=1，求三棱锥D —ＡＢＣ的表面积。
【解析】16．解（Ⅰ）∵折起前ＡＤ是ＢＣ边上的高，
∴ 当Δ ＡＢＤ折起后，AD ⊥ＤＣ，AD ⊥ＤＢ， 又DB ?ＤＣ＝Ｄ， ∴ＡＤ⊥平面ＢＤＣ， ∵AD 平面平面ABD ． BDC.ABD ∴⊥平面平面
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，DA DB ⊥,DB DC ⊥,DC DA ⊥, DB=DA=DC=1， ∴
从而11
11,22
DAM DBC DCA S S S ===??=
1sin 602
ABC S =?=表面积：132S =?+= 9. （上海文）20．（14分）已知1111ABCD A BC D -是底面边长为1的正四棱柱，高12AA =。求：
（1）异面直线BD 与1AB 所成的角的大小（结果用反三角函数表示）；
（2）四面体11AB D C 的体积。
【解析】20．解：⑴ 连1111,,,BD AB B D AD ，∵
1111//,BD B D AB AD =，
∴ 异面直线BD
与1AB 所成角为11AB D ∠，记11AB D θ∠=，
2221111111cos 2AB B D AD AB B D θ+-==
?
D
B
D 1
B
D
∴ 异面直线BD 与1AB
所成角为。 ⑵ 连11,,AC CB CD ，则所求四面体的体积
111111112
42433
ABCD A B C D C B C D V V V --=-?=-?=。
10. （四川文）19．（本小题共l2分）
如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，AB =AC =AA 1=1，延长A 1C 1至点P ，使C 1P ＝A 1C 1，连接AP 交棱CC 1于D ．
（Ⅰ）求证：PB 1∥平面BDA 1；
（Ⅱ）求二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值；
本小题主要考查直三棱柱的性质、线面关系、二面角等基本知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决问题的能力． 解法一：
（Ⅰ）连结AB 1与BA 1交于点O ，连结OD ，
∵C 1D ∥平面AA 1，A 1C 1∥AP ，∴AD =PD ，又AO =B 1O ， ∴OD ∥PB 1，又OD ?面BDA 1，PB 1?面BDA 1， ∴PB 1∥平面BDA 1．
（Ⅱ）过A 作AE ⊥DA 1于点E ，连结BE ．∵BA ⊥CA ，BA ⊥AA 1，且AA 1∩AC =A ， ∴BA ⊥平面AA 1C 1C ．由三垂线定理可知BE ⊥DA 1． ∴∠BEA 为二面角A －A 1D －B 的平面角．
在Rt △A 1C 1D
中，12
A D =，
又1
111122AA D S AE ?=??=
，∴AE =． 在Rt △BAE
中
，BE ，∴
2
c o s 3
AH AHB BH ∠=
=． 故二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值为23
．
解法二：
如图，以A 1为原点，A 1B 1，A 1C 1，A 1A 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A 1－B 1C 1A ，则1(0,0,0)A ，1(1,0,0)B ，1(0,1,0)C ，(1,0,1)B ，(0,2,0)P ．
（Ⅰ）在△PAA 1中有1112C D AA =，即1
(0,1,)2
D ． ∴1(1,0,1)A B =，1(0,1,)A D x =，1(1,2,0)B P =-．
设平面BA 1D 的一个法向量为1(,,)a b c =n ，
则1111
0,10.2
A B a c A D b c ??=+=???=+=??n n 令1c =-，则1
1
(1,,1)2=-n ． ∵111
1(1)2(1)002
B P ?=?-+?+-?=n ，
∴PB 1∥平面BA 1D ，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面BA 1D 的一个法向量11(1,,1)2
=-n ． 又2(1,0,0)=n 为平面AA 1D 的一个法向量．∴12121212
cos ,3||||3
12
?<>===??n n n n n n ．
故二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值为23
．
11. （浙江文）（20）（本题满分14分）如图，在三棱锥P ABC -中，AB AC =，
D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上．
（Ⅰ）证明：AP ⊥BC ；
（Ⅱ）已知8BC =，4PO =，3AO =，2OD =．求二面角B AP C --的大小． 【解析】（20）本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系，
二面角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力。满分14分。
（Ⅰ）证明：由AB=AC ，D 是BC 中点，得AD BC ⊥， 又PO ⊥平面ABC ，，得PO BC ⊥
因为PO AD O ?=，所以BC ⊥平面PAD ，故.BC PA ⊥ （Ⅱ）解：如图，在平面PAB 内作BM PA ⊥于M ，连CM 。 因为,BC PA PA ⊥⊥得平面BMC ，所以AP ⊥CM 。 故BMC ∠为二面角B —AP —C 的平面角。
在222,41,Rt ADB AB AD BD AB ?=+==中得 在222Rt POD PO OD ?=+中,PD ， 在Rt PDB ?中，222PB PD BD =+，
所以222236, 6.PB PO OD BD PB =++==得
在222,25, 5.Rt POA PA AO OP PA ?=+==中得
又2221cos ,sin 23PA PB AB BPA BPA PA
+-∠==∠=
?从而
故sin BM PB BPA =∠= 同理GM =
因为222BM MC BC += 所以90BMC ∠=?
即二面角B —AP —C 的大小为90.? 12. （重庆文）20．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分） 如题（20）图，在四面体A B C D 中，平面ABC ⊥平面A C D ，
,2,1AB BC AC AD BC CD ⊥==== （Ⅰ）求四面体ABCD 的体积；
（Ⅱ）求二面角C-AB-D 的平面角的正切值。
【解析】20．（本题12分）
解法一：（I ）如答（20）图1，过D 作
DF
⊥AC 垂足为F ，
故由平面ABC ⊥平面ACD ，知DF ⊥平面ABC ，即DF
是四面体ABCD的面ABC上的高，设G为边CD的中点，则由AC=AD，知AG⊥CD，从而
11
22
AG
AG CD
AC DF CD AG DF
AC
===
?
?=?==
由得
由
13
,
2
ABC
Rt ABC AB S AB BC
?
?===?=
中
故四面体ABCD
的体积
1
3ABC
V S DF
?
=??=
（II）如答（20）图1，过F作FE⊥AB，垂足为E，连接DE。由（I）知DF ⊥平面ABC。由三垂线定理知DE⊥AB，故∠DEF为二面角C—AB—D的平面角。
在
7
,,
4
Rt AFD AF
?===
中
在Rt ABC
?中，EF//BC，从而EF：BC=AF：AC，所以
7
.
8
AF BC
EF
AC
?
==在Rt△DEF
中，tan
7
DF
DEF
EF
==
解法二：（I）如答（20）图2，设O是AC的中点，过O作OH⊥AC，交AB 于H，过O作OM⊥AC，交AD于M，由平面ABC⊥平面ACD，知OH⊥OM。因此以O为原点，以射线OH，OC，OM分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，可建立空间坐标系O—xyz.已知AC=2，故点A，C的坐标分别为A（0，—1，0），C （0，1，0）。
设点B的坐标为
11
(,,0),,||1
B x y AB B
C BC
⊥=
由，有
22
11
22
11
11
11
1,
(1)1,
().
11
,
22
x y
x y
x x
y y
?+=
?
?
+-=
??
??
==
??
??
??
??
==
??
??
解得舍去
即点B
的坐标为
1
,0).
2
B
又设点D的坐标为
22
(0,,),||1,||2,
D y z CD AD
==
由有
22
2222222222(1)1,(1)4,
33,,44).y z y z y y z z ?-+=??++=????==????
??
??==????解得舍去 即点D
的坐标为3(0,
4D 从而△ACD 边AC 上的高为2
||h z ==
又2231
||()(1)3,|| 1.AB BC =
++==
故四面体ABCD 的体积11||||32V AB BC h =???=
（II ）由（I
）知337(,,0),(0,24AB AD
==
设非零向量(,,)n l m n =是平面ABD 的法向量，则由n AB ⊥有
3
0.2
m += （1
） 由n
AD ⊥，有
70.4m += （2）
取1m =-，由（1），（
2）
，可得
1,1515
l n n ==
=-即 显然向量(0,0,1)k =是平面ABC 的法向量，从而
cos ,tan ,n k n k <>=
=
<>=
=故
即二面角C —AB —D 的平面角的正切值为
7
13. （安徽文）（19）（本小题满分13分）
如图，ABEDFC 为多面体，平面ABED 与平面ACFD 垂直，点O 在线段AD 上，1OA =，2OD =，△OAB ，△OAC ，△ODE ，△ODF 都是正三角形。
（Ⅰ）证明直线BC EF ∥；
（Ⅱ）求棱锥F OBED -的体积. 【解析】（19）（本小题满分13分）本题考查空间直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，空间
直线平行的证明，多面体体积的计算，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力.
（I ）证明：设G 是线段DA 与EB 延长线的交点. 由于△OAB 与△ODE 都是正三角形，所以
OB ∥DE 2
1
，OG=OD=2，
同理，设G '是线段DA 与FC 延长线的交点，有.2=='OD G O
又由于G 和G '都在线段DA 的延长线上，所以G 与G '重合.
在△GED 和△GFD 中，由OB ∥DE 21和OC ∥DF 2
1
，可知B 和C 分别是GE 和
GF 的中点，所以BC 是△GEF 的中位线，故BC ∥EF.
（II ）解：由OB=1，OE=2，2
3
,60=?=∠EOB S EOB 知，而△OED 是边长为2
的正三角形，故.3=O ED S
所以.2
3
3=
+=OED EOB OEFD S S S 过点F 作FQ ⊥DG ，交DG 于点Q ，由平面ABED ⊥平面ACFD 知，FQ 就是四棱
锥F —OBED 的高，且FQ=3，所以.2
3
31=?=-OBED OBED F S FQ V
14. （福建文）20．（本小题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，点E 在线段AD 上，且CE ∥AB 。
（I ）求证：CE ⊥平面PAD ；
（11）若PA=AB=1，AD=3，
CDA=45°，求四棱锥P-ABCD 的体积 【解析】20．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，几何体的体
积等基础知识；考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力；考查数形结合思想，化归与转化思想，满分12分
（I ）证明：因为PA ⊥平面ABCD ，CE ?平面ABCD ，
所以.PA CE ⊥
因为,//,.AB AD CE AB CE AD ⊥⊥所以 又,PA AD A =
所以CE ⊥平面PAD 。
（II ）由（I ）可知CE AD ⊥，
在Rt ECD ?中，DE=CD cos 451,sin 451,CE CD ??==??= 又因为1,//AB CE AB CE ==， 所以四边形ABCE 为矩形，
所以115
1211.222
ECD ADCE ABCD S S S AB AE CE DE ?=+=?+?=?+??=矩形四边形
又PA ⊥平面ABCD ，PA=1，
= = =
=
所以1155
1.3326
P ABCD ABCD V S PA -=?=??=四边形四边形
15. （湖北文）18．（本小题满分12分）
如图，已知正三棱柱A B C -111A B C 的底面边长为2
，侧棱长为3，点E 在
侧棱1A A 上，点F 在侧棱1B B
上，且A E =
,BF =． （I ） 求证：1C F C E ⊥；
（II ） 求二面角1E C F C --的大小。
【解析】18．本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角的求法，同时考查空间想象能力和推理论证能力。（满分12分） 解法1：（Ⅰ）由已知可得
11CC CE C F ====
2221(),EF AB AE BF EF C E =+-=== 于是有2222221111,EF C E C F CE C E CC +=+= 所以11,C E EF C E CE ⊥⊥
又1,.EF CE E C E CEF ?=⊥所以平面
由1,.CF CEF CF C E ?⊥平面故
（Ⅱ）在CEF ?
中，由（Ⅰ）可得EF CF CE === 于是有EF 2+CF 2=CE 2，所以.CF EF ⊥
又由（Ⅰ）知CF ⊥C 1E ，且1EF C E E ?=，所以CF ⊥平面C 1EF ， 又1C F ?平面C 1EF ，故CF ⊥C 1F 。
于是1EFC ∠即为二面角E —CF —C 1的平面角。
由（Ⅰ）知1C EF ?是等腰直角三角形，所以145BFC ∠=?，即所求二面角E —CF —C 1的大小为45?。
解法2：建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得
1(0,0,0),(3,1,0),(0,2,0),A B C C E F
（Ⅰ）1(0,2,2),(3,1C E CF =--=-
10220C E CF ?=+-=
1.CF C E ∴⊥
（Ⅱ）(0,2,
CE =-，设平面CEF
的一个法向量为
(,,)
m x y z = 由0,
,,0,
m CE m CE m CF m CF ??=?⊥⊥??=??得
即20,
0y m y ?-+=?=-+=可取 设侧面BC 1的一个法向量为1,,,
(3,1,0)
n n B C n C C C B ⊥⊥-由及
)0,3,1(),23,0,0(1==n CC 可取
设二面角E —CF —C 1的大小为θ，于是由θ为锐角可得
||cos ||||2m n m n θ?=
==
?，所以45θ=? 即所求二面角E —CF —C 1的大小为45?。 16. （湖南文）19．（本小题满分12分）如图3，在圆锥PO 中，
已知PO O =的直径2,,AB C AB D AC =∠点在上,且CAB=30为
的中点．
（Ⅰ）证明：AC ⊥平面POD ;
（Ⅱ）求直线 OC 和平面PAC 所成角的正弦值. 【解析】19．（本题满分12分）
解法1：（I ）因为,OA OC D AC =⊥是的中点,所以AC OD.
又PO ⊥底面⊙O ，AC ?底面⊙O ，所以AC ⊥PO ，而OD ，PO 是平面POD 内的两条相交直线，所以;AC POD ⊥平面
（II ）由（I ）知，,AC POD ⊥平面又,AC PAC ?平面
所以平面,POD PAC ⊥平面在平面POD 中，
过O 作OH PD ⊥于H,则,OH PAC ⊥平面连结CH ， 则CH 是OC PAC 在平面上的射影，
所以OCH ∠是直线OC 和平面PAC 所成的角．
在1
,sin 30.2
Rt ODA OD OA ?=?=中
在1,Rt POD OH ?=
==中
在,sin 3
OH Rt OHC OCH OC ∠=
=
中 17. （广东文）18．（本小题满分13分） 图5所示的集合体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，
将其中一半沿切面向右水平平移后得到的．A ，A′，B ，B′分别为
CD ,''C D ,DE ,''D E 的中点，''
112,2
,,O O O O 分别为,'',,''CD C D DE D E 的中点．
（1）证明：''12,,,O A O B 四点共面；
（2）设G 为A A′中点，延长\''
1AO 到H′，使得''''11O H AO =．证明：''''
2BO H BG
⊥平面
【解析】18．（本小题满分13分） 证明：（1）,,A A CD C D '''分别为中
点，
11//O A O A ''∴
// 连接BO 2
直线BO 2是由直线AO 1平移得到 12//AO BO ∴
12//O A BO ''∴
12,,,O A O B ''∴共面。
（2）将AO 1延长至H 使得O 1H=O 1A ，连接1,,HO HB H H '' ∴由平移性质得12O O ''=HB 21//BO HO ''∴
11,,2
A G H O H H A H O H H GA H π
''''''''''==∠=∠=
1GA H O H H ''''∴???
12
H O H GH A π
'''∴∠+=
1O H H G ''∴⊥
2BO H G ''∴⊥
12212222222,,O O B O O O O O B O O O O '''''''''''⊥⊥?= 1222O O B BO O ''''∴⊥平面
122O O BO '''∴⊥
2BO H B '''∴⊥ H B H G H ''''?=
2.BO H B G '''∴⊥平面
18. （江苏）16．如图，在四棱锥ABCD P -中，
平面PAD ⊥平面ABCD ，AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点 求证：（1）直线EF ∥平面PCD ； （2）平面BEF ⊥平面PAD
【解析】本题主要考查直线与平面、平面与平面的
位置关系，考察空间想象能力和推理论证能力。满分14分。 证明：（1）在△PAD 中，因为E 、F 分别为 AP ，AD 的中点，所以EF//PD.
又因为EF ?平面PCD ，PD ?平面PCD ， 所以直线EF//平面PCD.
（2）连结DB ，因为AB=AD ，∠BAD=60°， 所以△ABD 为正三角形，因为F 是AD 的 中点，所以BF ⊥AD.因为平面PAD ⊥平面
A
ABCD，BF?平面ABCD，平面PAD 平面ABCD=AD，所以BF⊥平面PAD。又因为BF?平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.
https://www.doczj.com/doc/477946592.html,
俯视图侧视图 正视图高二学考必修二学案 第1课 空间几何体的结构、三视图和直观图 一、要点知识：1、棱（圆）柱、棱（圆）锥、棱（圆）台的结构特征： （1）___________________________________,_______________________________________, _______________________________________,由这些面所围成的多面体叫做棱柱。 （2）___________________________________,____________________________由这些面所围成的多面体叫做棱锥。 （3）______________________________________________________这样的多面体叫做棱台。 （4）______________________________________________________叫做圆柱，旋转轴叫做_______，垂直与轴的边旋转而成的圆面叫做_______，平行与轴的边旋转而成的曲面叫做______，无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做___________ (5) _____________________________________________________所围成的旋转体叫做圆锥。 (6) _____________________________________________________叫做圆台。 (7) _____________________________________________________叫做球体，简称球。 2、中心投影、平行投影及空间几何体的三视图、直观图 （1）光由一点向外散射形成的投影，叫做______________ （2）在一束平行光线照射下形成的投影，叫做__________，投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫斜投影。 3、正视图：光线从物体的_______投影所得的投影图，它能反映物体的_______和长度。 侧视图：光线从物体的________投影所得的投影图，它能反映物体的高度和宽度。 俯视图：光线从物体的________投影所得的投影图，它能反映物体的长度和宽度。 学业水平考试怎么考 1. 下列几何体中，正视图、侧视图和俯视图都相同的是（ ）. A .圆柱 B.圆锥 C.球 D.三菱柱 2、如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（ ） A 、球 B 、圆柱 C 、圆台 D 、圆锥 3．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（ ） A.球 B.圆锥 C.圆柱 D.圆台 二、课前小练： 1、有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( ) A 、棱台 B 、棱锥 C 、棱柱 D 、都不对 2、下列结论中 （1）．有两个面互相平行，其余各面都是平面四边形的几何体叫棱柱 ； （2）．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱； （3）．用一个平面去截棱锥，棱锥的底面和截面之间的部分叫棱台； （4）．以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴将直角三角形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫 圆锥。其中正确的结论是（ ） A.3 B.2 C.1 D.0 3、将图1所示的三角形绕直线l 旋转一周，可以得到如图2所示的几何体的是哪一个三角 形（ ） 4、下面多面体是五面体的是（ ） C ′ A ′ Y ′ D ′
空间图形的计算与证明 一、近几年高考试卷部分立几试题 1、（全国 8）正六棱柱 ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1 底面边长为 1， 侧棱长为 2 ，则这个棱柱的侧面对角线 E 1D 与 BC 1 所成的角是 （ ） A 、90° B 、60° C 、45° D 、30° [评注]主要考查正六棱柱的性质，以及异面直线所成角的求法。 2、（全国 18）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是 1，而且 平面 ABCD 、ABEF 互相垂直，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF C 上移动，若 CM=NB=a(0 的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD。 （1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°， 求这个四棱锥的体积； （2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面 PCD所成的二面角恒大于90°。 [评注]考查线面关系和二面角概念，以及空间想象力和逻辑推理能力。 4、（02全国文22）（一）给出两块面积相同的正三角形纸片，要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，使它们的全面积都与原三角形面积相等，请设计一种剪拼法，分别用虚线标示在图（1）（2）中，并作简要说明。 (3) (1)(2) （二）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。（三）如果给出的是一块任意三角形的纸片，如图（3）要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标出在图3中，并作简要说明。 练习1：如图：四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，E 为侧棱PD 的中点，证明：PB ∥平面EAC 练习2：如图：三棱柱ABC —111C B A 中，M 为AB 的中点，证明：1BC ∥平面CM A 1 练习3：如图：三棱柱ABC —111C B A 中，M 为BC 的中点，证明：C A 1∥平面M AB 1 练习4：如图：四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，E 、F 分别为PA 、BC 的中点，证明：EF ∥平面PCD 练习5：如图：三棱柱ABC —111C B A 中，M 、N 分别为AC 、11C B 的中点，证明：MN ∥平面 11A ABB 练习6：如图：四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，M 、N 分别为PC 、AD 的中点，证明：MN ∥平面PAB 练习7：如图：三棱柱ABC —111C B A 中，M 为1CC 的中点，N 为AB 的中点，证明：CN ∥平面M AB 1 练习8：如图：四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是梯形，AD ∥BC ， 090=∠BAD ，BC AB AD 22==，AB PA 2=，E 为PC 的中点，证明：AE ⊥DE 练习9：如图：直三棱柱ABC —111C B A 中，0 90=∠ACB ，1112C A AA =，E 、F 分别为1CC 、 1BB 的中点，Q 为E A 1的中点，证明：Q C 1⊥FQ 练习10：如图：四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥ AD ，BC AB PA ==， 060=∠ABC ，DC ⊥AC ，AF ⊥PD ，E 为PC 的中点，证明：EF ⊥PD 练习11：如图：四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，平面PAB ⊥平面ABCD ，证明：平面PBC ⊥平面PAB 专题09立体几何与空间向量选择填空题历年考题细目表 题型年份考点试题位置 单选题2019 表面积与体积2019年新课标1理科12 单选题2018 几何体的结构特征2018年新课标1理科07 单选题2018 表面积与体积2018年新课标1理科12 单选题2017 三视图与直观图2017年新课标1理科07 单选题2016 三视图与直观图2016年新课标1理科06 单选题2016 空间向量在立体几何中的应 用2016年新课标1理科11 单选题2015 表面积与体积2015年新课标1理科06 单选题2015 三视图与直观图2015年新课标1理科11 单选题2014 三视图与直观图2014年新课标1理科12 单选题2013 表面积与体积2013年新课标1理科06 单选题2013 三视图与直观图2013年新课标1理科08 单选题2012 三视图与直观图2012年新课标1理科07 单选题2012 表面积与体积2012年新课标1理科11 单选题2011 三视图与直观图2011年新课标1理科06 单选题2010 表面积与体积2010年新课标1理科10 填空题2017 表面积与体积2017年新课标1理科16 填空题2011 表面积与体积2011年新课标1理科15 填空题2010 三视图与直观图2010年新课标1理科14 历年高考真题汇编 1．【2019年新课标1理科12】已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，P A＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是P A，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为（） A．8πB．4πC．2πD．π 2．【2018年新课标1理科07】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（） … 数学立体几何练习题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1．如图，在正方体－A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为 A 1 B 和上 的点，A 1M ＝＝，则与平面1C 1C 的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．垂直 D ．不能确定 2．将正方形沿对角线折起，使平面⊥平面，E 是中点，则AED ∠的大小为（ ） A.45 B.30 C.60 D.90 ] 3．，，是从P 引出的三条射线，每两条的夹角都是60o，则直线 与平面所成的角的余弦值为（ ） A ．12 B 。 3 C 。 3 D 。 6 4．正方体—A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是1与1的中点，则直线与D 1F 所成角的余弦值是 A ．15 B 。13 C 。12 D 。 3 5． 在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，O 是底面的中心，E 、 F 分别是1CC 、的中点，那么异面直线和1FD 所成的角的余弦值等于（ ） A ． 5 10 B ．32 C ． 5 5 D ． 5 15 6．在正三棱柱1B 1C 1中，若2，A A 1=1，则点A 到平面A 1的距离为（ ） A ． 4 3 B ． 2 3 C ． 4 33 D ．3 ： 7．在正三棱柱1B 1C 1中，若1,则1与C 1B 所成的角的大小为 （ ） o B. 90o o D. 75o 8．设E ，F 是正方体1的棱和D 1C 1的中点，在正方体的12条面对 角线中，与截面A 1成60°角的对角线的数目是（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．6 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9.在正方体－A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱1和1的中点，则 〈CM ，1D N 〉的值为. 10．如图，正方体的棱长为1，C 、D 分别是两条棱的中点， A 、B 、M 是顶点， 那么点M 到截面的距离是 . 11．正四棱锥的所有棱长都相等，E 为中点，则直线与截面所成的角为 ． 12．已知正三棱柱1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则 直线与平面B 1所成角的正弦值为 . ： 13．已知边长为的正三角形中，E 、F 分别为和的中点，⊥面， 且2，设平面α过且与平行，则与平面α间的距离 A B | D C 立体几何习题 1. 如图，四棱锥P-ABCD 的底面是正方形， ,,//,PA ABCD AE PD EF CD AM EF ⊥⊥=底面 (1) 证明MF 是异面直线AB 与PC 的公垂线； (2) 若3PA AB =,求直线AC 与平面EAM 所成角的正弦值 2. 已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面边长和侧棱长均为a ，侧面A 1ACC 1⊥底面ABC ，A 1B ＝2 6a ， （Ⅰ）求异面直线AC 与BC 1所成角的余弦值； （Ⅱ）求证：A 1B ⊥面AB 1C . 3. 如图，四棱锥S ABCD -的底面是边长为1的正方形，SD 垂直于底面 ABCD ，SB = 3 1．求证BC SC ⊥； 2．求面ASD 与面BSC 所成二面角的大小； 3．设棱SA 的中点为M ，求异面直线DM 与SB 所成角的大小 B C D A P M F E 4. 在三棱锥S —ABC 中，△ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA=SC=23，M 、N 分别为AB 、SB 的中点. （Ⅰ）证明：AC ⊥SB ； （Ⅱ）求二面角N —CM —B 的大小； （Ⅲ）求点B 到平面CMN 的距离. 5. 如右下图,在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,已知AB= 4, AD =3, AA 1= 2. E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB= FB=1. (1) 求二面角C —DE —C 1的正切值; (2) 求直线EC 1与FD 1所成的余弦值. 6. 如图，在底面是菱形的四棱锥P —ABC Ｄ中，∠ABC=600，PA=AC=a ，PB=PD=a 2,点E 在PD 上，且PE:ED=2:1. （I ）证明PA ⊥平面ABCD ； （II ）求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角 的大小； （Ⅲ）在棱PC 上是否存在一点F ，使BF//平面AEC ？证明你的结论. 1 B 1D B A 1E F B C D A P E 专题一证明平行垂直问题题型一证明平行关系 (1)如图所示，在正方体ABCD－A 1B 1 C 1 D 1 中，M，N分别是C 1 C， B 1C 1 的中点．求证：MN∥平面A 1 BD. (2)在正方体AC 1 中，M，N，E，F分别是A 1 B 1 ，A 1 D 1 ，B 1 C 1 ，C 1 D 1 的中点， 求证：平面AMN∥平面EFDB. 思考题1 (1)如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD 是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点，求证：平面EFG∥平面PBC. (2)如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD ＝22，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC. 求证：PQ∥平面BCD. 题型二证明垂直关系(微专题) 微专题1：证明线线垂直 (1)已知空间四边形OABC中，M为BC中点，N为AC中 点，P为OA中点，Q为OB中点，若AB＝OC.求证：PM⊥QN. (2)(2019·山西太原检测)如图，直三棱柱ABC－A 1B 1 C 1 中，AA 1 ＝AB ＝AC＝1，E，F分别是CC 1，BC的中点，AE⊥A 1 B 1 ，D为棱A 1 B 1 上的点，求 证：DF⊥AE. 微专题2：证明线面垂直 (3)在正方体ABCD－A 1B 1 C 1 D 1 中，求证：BD 1 ⊥平面ACB 1 . (4)(2019·河南六市一模)在如图所示的几何体中，ABC－A 1B 1 C 1 为三棱柱， 且AA 1 ⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD＝2CD，∠ADC＝60°. 若AA 1＝AC，求证：AC 1 ⊥平面A 1 B 1 CD. 微专题3：证明面面垂直 (5)已知正方体ABCD－A 1B 1 C 1 D 1 中，E，F分别是BB 1 ，CD的中点，求 证：平面DEA⊥平面A 1FD 1 . 专题一 立体几何 班级： _____ 姓名： _____ 学号： _____ 一、选择题(4分×10=40分) 1．直线12,l l 和α，12//l l ，a 与1l 平行，则a 与2l 的关系是 A ．平行 B ．相交 C ．垂直 D ．以上都可能 2．若线段AB 的长等于它在平面内射影长的3倍，则这条斜线与平面所成角的余弦值为 A ．1 3 B ． 3 C ．2 D ．23 3．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，B 1C 与平面DD 1B 1B 所成的角的大小为 A ．15o B ．30o C ．45o D ．60o 4．有下列命题：①空间四点共面，则其中必有三点共线；②空间四点不共面，则其中任何三点不共线；③空间四点中有三点共线，则此四点共面；④空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面．其中正确的命题是 A ．②③ B ．①②③ C ．①③ D ．②③④ 5．有一山坡，倾斜度为300，若在斜坡平面上沿着一条与斜坡底线成450角的直线前进1公里，则升高了 A ．米 B ． 米 C ．米 D ． 500米 6．已知三条直线,,a b l 及平面,αβ，则下列命题中正确的是 A ．,//,//b a b a αα?若则 B ．若,a b αα⊥⊥，则//a b C ． 若,a b ααβ?=I ，则//a b D ．若,,,,a b l a l b αα??⊥⊥则l α⊥ 7．已知P 是△EFG 所在平面外一点，且PE=PG ，则点P 在平面EFG 内的射影一定在△EFG 的 A ．∠FEG 的平分线上 B ．边EG 的垂直平分线上 C ．边EG 的中线上 D ．边EG 的高上 8 ．若一正四面体的体积是3，则该四面体的棱长是 A ． 6cm B ． C ．12cm D ．9．P 是△ABC 所在平面α外一点，PA ，PB ，PC 与α所成的角都相等，且PA ⊥BC ，则 △ABC 是 A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形 10．如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为3的正方形，EF//AB ，EF= 32 ，C D E F 立体几何 一、年考试大纲 二、新课标全国卷命题分析 三、典型高考试题讲评 2011—年新课标全国（1卷、2卷、3卷）理科数学分类汇编——11．立体几何 一、考试大纲 1．空间几何体 (1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. (2)能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二侧法画出它们的直观图. (3)会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式. (4)会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等不作严格要求). (5)了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式. 2．点、直线、平面之间的位置关系 (1)理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和定理. 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内. 公理2：过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补. (2)以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理. 理解以下判定定理. 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行. 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行,那么这两个平面平行. 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直. 如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面互相垂直. 理解以下性质定理,并能够证明. 如果一条直线与一个平面平行,那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行. 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线相互平行. 垂直于同一个平面的两条直线平行. 如果两个平面垂直,那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直. 3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题. 4．空间直角坐标系 (1)了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置. (2)会推导空间两点间的距离公式. 二、新课标全国卷命题分析 立体几何小题常考的题型包括：（1）球体；（2）多面体的三视图、体积、表面积或角度，包括线线角、 A B C D P Q 向量法求空间角 1．（本小题满分10分）在如图所示的多面体中，四边形ABCD 为正方形，四边形ADPQ 是直角梯形，DP AD ⊥，⊥CD 平面ADPQ ， DP AQ AB 2 1 ==． （1）求证：⊥PQ 平面DCQ ； （2）求平面BCQ 与平面ADPQ 所成的锐二面角的大小． 2．（满分13分）如图所示，正四棱锥P －ABCD 中，O 为底面正方形的中心，侧棱PA 与底面ABCD 所成的角的正切值为 2 6 ． （1）求侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角的大小； （2）若E 是PB 的中点，求异面直线PD 与AE 所成角的正切值； （3）问在棱AD 上是否存在一点F ，使EF ⊥侧面PBC ，若存在，试确定点F 的位置；若不存在，说明理由． B 3．（本小题只理科做，满分14分）如图,已知AB⊥平面ACD,DE//AB,△ACD是正三角形,AD=DE=2AB,且F是CD的中点. （1）求证:AF//平面BCE; （2）求证:平面BCE⊥平面CDE; （3）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小. P-中,PD⊥底面ABCD,且底面4．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD ABCD为正方形,G PD =分别为CB PC, ,的中点． = PD F ,2 E AD, , AP平面EFG; （1）求证:// （2）求平面GEF和平面DEF的夹角. H P G F E D C B 5．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面1A BC ⊥ 侧面11A ABB 且12AA AB ==. （Ⅰ）求证：AB BC ⊥； （Ⅱ）若直线AC 与平面1A BC 所成的角为 6 π ,求锐二面角1A A C B --的大小. 6．如图，四边形ABCD 是正方形，EA ⊥平面ABCD ，EA PD ，2AD PD EA ==， F ， G ， H 分别为PB ，EB ，PC 的中点． （1）求证：FG 平面PED ； （2）求平面FGH 与平面PBC 所成锐二面角的大小. 高三立体几何专题复习 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 高考立体几何专题复习 一．考试要求： （1）掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图，能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系。 （2）了解空两条直线的位置关系，掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理，掌握两条直线所成的角和距离的概念（对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离）。 （3）了解空间直线和平面的位置关系，掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理，理解直线和平面垂直的判定定理和性质定理，掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念，了解三垂线定理及其逆定理。 （4）了解平面与平面的位置关系，掌握两个平面平行的判定定理和性质定理。掌握二面角、二面角的平面角、两个平面间的距离的概念，掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理。 （5）会用反证法证明简单的问题。 （6）了解多面体的概念，了解凸多面体的概念。 （7）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图。 （8）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图。 （9）了解正多面体的概念，了解多面体的欧拉公式。 （10）了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式。 二．复习目标： 1．在掌握直线与平面的位置关系(包括直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系)的基础上，研究有关平行和垂直的的判定依据(定义、公理和定理)、判定方法及有关性质的应用；在有关问题的解决过程中，进一步了解和掌握相关公理、定理的内容和功能，并探索立体几何中论证问题的规律；在有关问题的分析与解决的过程中提高逻辑思维能力、空间想象能力及化归和转化的数学思想的应用． 2．在掌握空间角(两条异面直线所成的角，平面的斜线与平面所成的角及二面角)概念的基础上，掌握它们的求法(其基本方法是分别作出这些角，并将它们置于某个三角形内通过计算求出它们的大小)；在解决有关空间角的问题的过程中，进一步巩固关于直线和平面的平行垂直的性质与判定的应用，掌握作平行线(面)和垂直线(面)的技能；通过有关空间角的问题的解决，进一步提高学生的空间想象能力、逻辑推理能力及运算能力． 3．通过复习，使学生更好地掌握多面体与旋转体的有关概念、性质，并能够灵活运用到解题过程中．通过教学使学生掌握基本的立体几何解题方法和常用解题技巧，发掘不同问题之间的内在联系，提高解题能力． 4．在学生解答问题的过程中，注意培养他们的语言表述能力和“说话要有根据”的逻辑思维的习惯、提高思维品质．使学生掌握化归思想，特别是将立体几何问题转化为平面几何问题的思想意识和方法，并提高空间想象能力、推理能力和计算能力． 5．使学生更好地理解多面体与旋转体的体积及其计算方法，能够熟练地使用分割与补形求体积，提高空间想象能力、推理能力和计算能力． 三．教学过程： （Ⅰ）基础知识详析 重庆高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题1--2道, 解答题1道), 共计总分20分左右,考查的知识点在20个以内. 选择填空题考核立几中的计算型问题, 而解答题着重考查立 立体几何大题专练 1、如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别为AB 、PC 的中点； (1)求证：MN//平面PAD (2)若∠PDA=45°，求证：MN ⊥平面PCD 2（本小题满分12分） 如图，在三棱锥P ABC -中，,E F 分别为,AC BC 的中点． （1）求证：//EF 平面PAB ； （2）若平面PAC ⊥平面ABC ，且PA PC =，90ABC ∠=?， 求证：平面PEF ⊥平面PBC ． P A C E B F （1）证明：连结EF , E 、F 分别为AC 、BC 的中点， //EF AB ∴. ……………………2分 又?EF 平面PAB ，?AB 平面PAB ， ∴ EF ∥平面P AB . ……………………5分 （2）PA PC = ，E 为AC 的中点， PE AC ∴⊥ ……………………6分 又 平面PAC ⊥平面ABC PE ∴⊥面ABC ……………………8分 PE BC ∴⊥……………………9分 又因为F 为BC 的中点， //EF AB ∴ 090,BC EF ABC ⊥∠=∴ ……………………10分 EF PE E = BC ∴⊥面PEF ……………………11分 又BC ? 面PBC ∴面PBC ⊥面PEF ……………………12分 3. 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=BC ，点D 是AB 的中点。 （1）求证：BC 1//平面CA 1D ； （2）求证：平面CA 1D⊥平面AA 1B 1B 。 4．已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是 AB 、PC 的中点． (1) 求证：EF ∥平面PAD ； (2) 求证：EF ⊥CD ； (3) 若∠PDA ＝45°，求EF 与平面ABCD 所成的角的大小． 2010年高考立体几何专题复习 岱山中学 孙珊瑚 鲁纪伟 高考立体几何试题一般有选择、填空题, 解答题,考查的知识点在20个以内. 选择填空题考核立几中的计算型问题, 而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题, 当然, 二者均应以正确的空间想象为前提. 随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着“多一点思考,少一点计算”的发展.从历年的考题变化看, 以简单几何体为载体的线面位置关系的论证,角与距离的探求是常考常新的热门话题. 一、知识整合 1．有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺少的内容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律——充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想，以提高逻辑思维能力和空间想象能力． 2.判定两个平面平行的方法： （1）根据定义——证明两平面没有公共点； （2）判定定理——证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面； （3）证明两平面同垂直于一条直线。 3.两个平面平行的主要性质： ⑴由定义知：“两平行平面没有公共点”。 ⑵由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 ⑶两个平面平行的性质定理：“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那 么它们的交线平行”。 ⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。 ⑸夹在两个平行平面间的平行线段相等。 ⑹经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。 以上性质⑵、⑷、⑸、⑹在课文中虽未直接列为“性质定理”，但在解题过程中均可直接作为性质定理引用。 4.空间的角和距离是空间图形中最基本的数量关系，空间的角主要研究射影以及与射影有关的定理、空间两直线所成的角、直线和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等．解这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面问题去解决． 空间的角，是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系进行定量分析的一个重要概 念，由它们的定义，可得其取值范围，如两异面直线所成的角θ∈(0，2π]，直线与平面所成的角θ∈0,2π?? ???? ， 二面角的大小，可用它们的平面角来度量，其平面角θ∈[0，π]． 对于空间角的计算，总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角，并把它置于一个平面图形，而且是一个三角形的内角来解决，而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来实现的，因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应用．通过空间角的计算和应用进一步培养运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力． 如求异面直线所成的角常用平移法（转化为相交直线）与向量法；求直线与平面所成的角常利用射影转化为相交直线所成的角；而求二面角－l －的平面角（记作）通常有以下几种方法： (1) 根据定义； (2) 过棱l 上任一点O 作棱l 的垂面，设∩＝OA ，∩＝OB ，则∠AOB ＝ ； (3) 利用三垂线定理或逆定理，过一个半平面内一点A ，分别作另一个平面的垂线AB (垂足为B ),或棱l 的垂线AC (垂足为C )，连结AC ，则∠ACB ＝ 或∠ACB ＝－； (4) 设A 为平面外任一点，AB ⊥，垂足为B ，AC ⊥，垂足为C ，则∠BAC ＝或∠BAC ＝－； (5) 利用面积射影定理，设平面内的平面图形F 的面积为S ，F 在平面内的射影图形的面积为S ，则cos ＝S S ' . 5.空间的距离问题，主要是求空间两点之间、点到直线、点到平面、两条异面直线之间（限于给出公垂线 2 专题一 立体几何 班级： _____ 姓名： _____ 学号： _____ 一、选择题(4 分×10=40 分) 1．直线 l , l 和 α ， l // l ， a 与 l 平行，则 a 与 l 的关系是 1 2 1 2 1 2 A ．平行 B ．相交 C ．垂直 D ．以上都可能 2．若线段 AB 的长等于它在平面内射影长的 3 倍，则这条斜线与平面所成角的余弦值为 A ． 1 3 B ． 2 2 2 2 C ． D ． 3 3 3．在正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，B 1C 与平面 DD 1B 1B 所成的角的大小为 A ．15 B ． 30 C ． 45 D ． 60 4．有下列命题：①空间四点共面，则其中必有三点共线；②空间四点不共面，则其中 任何三点不共线；③空间四点中有三点共线，则此四点共面；④空间四点中任何三点 不共线，则此四点不共面．其中正确的命题是 A ．②③ B ．①②③ C ．①③ D ．②③④ 5．有一山坡，倾斜度为 300，若在斜坡平面上沿着一条与斜坡底线成 450 角的直线前进 1 公里，则升高了 A ． 250 2 米 B ． 250 3 米 C ． 250 6 米 D ． 500 米 6．已知三条直线 a , b , l 及平面 α , β ，则下列命题中正确的是 A ． 若b ? α , a // b , 则a // α B ．若 a ⊥ α , b ⊥ α ，则 a // b C ． 若 a ? α ,α β = b ，则 a // b D ．若 a ? α , b ? α , l ⊥ a , l ⊥ b , 则 l ⊥ α 7．已知 P 是△EFG 所在平面外一点，且 PE=PG ，则点 P 在平面 EFG 内的射影一定在△EFG 的 A ．∠FEG 的平分线上 B ．边 EG 的垂直平分线上 C ．边 EG 的中线上 D ．边 EG 的高上 8．若一正四面体的体积是18 2 cm 3，则该四面体的棱长是 A ． 6cm B ． 6 3 cm C ．12cm D ． 3 3 cm 9．P 是△ABC 所在平面α 外一点，PA ，PB ，PC 与α 所成的角都相等，且 PA ⊥BC ，则 △ABC 是 A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形 3 10．如图，在多面体 ABCDEF 中，已知 ABCD 是边长为 3 的正方形，EF//AB ，EF= ，EF 2 与面 AC 的距离为 2，则该多面体的体积为 E F A ．2 B ．4 C ． 2 2 D ． 4 2 D C 二、填空题(4 分×4=16 分) A B 11．空间四边形 ABCD 中，AB=6，CD=8，E 、F 、G 分别是 BD ，AC ，BC 的中点，若异面直 高二文科数学立体几何平行与垂直部分练习题 1．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点. （1）求证：1//A C 平面BDE ； (2)求证：平面1A AC ⊥平面BDE ； (3)求直线BE 与平面1A AC 所成角的正弦值. 2．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧面对角线AB 1，BC 1上分别有两点E ，F ，且B 1E ＝C 1F.求证：EF ∥平面ABCD. 3．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 是PD 的中点． （1）证明：PB //平面AEC ； （2）设1,3AP AD ==三棱锥P ABD -的体积34 V =求A 到平面PBC 的距离． A D B C P E 4．如图，已知四边形ABCD 是矩形，PA⊥平面ABCD，M, N分别是AB, PC的中点. (1)求证：MN∥平面PAD； (2)求证：MN⊥DC； 5．已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，// AB DC，⊥ = ∠PA DAB, 90ο底面ABCD，且1 PA AD DC ===，2 AB=，M是PB的中点． （1）求证：CM PAD P面； （2）证明：面PAD⊥面PCD； （3）求AC与PB所成的角的余弦值； （4）求棱锥M PAC -的体积。 6．已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥平面ABCD，其中BC=2AB=2PA=6，M、N为侧棱PC上的两个三等分点 A B C D P N （1）求证：AN∥平面MBD; （2）求异面直线AN与PD所成角的余弦值; （3）求二面角M-BD-C的余弦值. 7．如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点。 求证：（1）PA∥平面BDE （2）平面PAC⊥平面BDE 8．在四棱锥ABCD P-中，底面ABCD为矩形，ABCD PD底面 ⊥，1 = AB，2 = BC，3 = PD，F G、分别为CD AP、的中点． (1) 求证：// FG平面BCP； (2) 求证：PC AD⊥； F G P D C B A 9．如图，已知在侧棱垂直于底面的三棱柱111 ABC A B C -中，3 AC=，5 AB=，4 BC=，P M D C B A N 【最新整理，下载后即可编辑】 【模拟试题】 一. 选择题（每小题5分，共60分） 1. 给出四个命题： ①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱； ②各对角面是全等矩形的平行六面体一定是长方体； ③有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱； ④长方体一定是正四棱柱。 其中正确命题的个数是（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 下列四个命题： ①各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥； ②底面是正多边形的棱锥是正棱锥； ③棱锥的所有面可能都是直角三角形； ④四棱锥中侧面最多有四个直角三角形。 正确的命题有________个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 长方体的一个顶点处的三条棱长之比为1：2：3，它的表面积为88，则它的对角线长为（） A. 12 B. 24 C. 214 D. 414 4. 湖面上漂着一个球，湖结冰后将球取出，冰面上留下一个面直径为24cm，深为8cm的空穴，则该球的半径是（） A. 8cm B. 12cm C. 13cm D. 82cm 5. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积为侧面积的比是（） A. 12 2 +π π B. 14 4 +π π C. 12 +π π D. 14 2 +π π 6. 已知直线l m ⊥? 平面，直线平面 αβ，有下面四个命题： ①αβ//?⊥l m；②αβ⊥?l m //；③l m //?⊥ αβ；④l m⊥?αβ//。 其中正确的两个命题是（） A. ①② B. ③④ C. ②④ D. ①③ 7. 若干毫升水倒入底面半径为2cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm ，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（ ） A. 63cm B. 6cm C. 2182 D. 3123 8. 设正方体的全面积为242cm ，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是（ ） A. 63πcm B. 32 3 3 πcm C. 8 3 3 πcm D. 4 3 3 πcm 9. 对于直线m 、n 和平面αβ、能得出αβ⊥的一个条件是（ ） A. m n m n ⊥，，////αβ B. m n m n ⊥=?，，αβα C. m n n m //，，⊥?βα D. m n m n //，，⊥⊥αβ 10. 如果直线l 、m 与平面αβγ、、满足： l l m m =?⊥βγααγ ，，，//，那么必有（ ） A. αγ⊥⊥和l m B. αγβ////，和m C. m l m //β，且⊥ D. αγαβ⊥⊥且 11. 已知正方体的八个顶点中，有四个点恰好为正四面体的顶点，则该正四面体的体积与正方体的体积之比为（ ） A. 13： B. 12： C. 2：3 D. 1：3 12. 向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是（ ） 二. 填空题（每小题4分，共16分） 13. 正方体的全面积是a 2，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是__________。 14. 正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5：2：8，体积为143cm ，则棱台的高为____________。 15. 正三棱柱的底面边长为a ，过它的一条侧棱上相距为b 的 立体几何专题复习 编者注：本专题中的练习题都是从最近全国各地的模拟考试题中选出来的，具有很高的训练价值，请同学们认真完成。 1．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中， (1)在棱AD 上有一点P ，当 PD PA 为多少时，使二面角D 1-PC-D 的大小等于60°？ (2)在(1)的条件下，求直线A 1 B 1 与平面CD 1P 所成的角. 解：(1)设PD=x ，AB=1，作DE ⊥PC 于E ，可得2 2 x = ，比值为2-1. 6分 (2)30°. 12分 2．如图，将长AA′=33，宽AA 1=3的矩形沿长的三等分线处折叠成一个三棱柱，如图所示： (1)求平面APQ 与底面ABC 所成二面角的正切值； (2)求三棱锥A 1—APQ 的体积. 解：(1)依题意知三棱柱ABC —A 1B 1C 1是正三棱柱，且侧棱AA 1=3.底面边长为3，BP=1，CQ=2， 延长QP 交BC 的延长线于点E ，连结AE. 在△ACE 中，AC=3，CE=2BC=23，∠ACE=60°于是AE=3， 则AE ⊥AC 于A ，QA ⊥AE. 所以∠QAC 为平面APQ 与平面ABC 所成的锐二面角的平面角. 4分 又AC=3， 于是tanQAC= 33 2 32AC QC ==. 即面APQ 与面ABC 所成锐二面角的正切值为3 3 2. 6分 (2)连A 1P ，△A 1AP 的面积为33 2 ， 8分 点Q 到平面A 1AP 的距离为2 3， 34 33232 33 1 V V AP A Q APQ A 11=? ?==--. 12分 3. 如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面为直角梯形，AD ∥BC ，∠BCD=90°，PA=PB ，PC=PD. (1)证明：CD 与平面PAD 不重直； (2)证明：平面PAB ⊥平面ABCD ； (3)如果CD=AD ＋BC ，二面角P －BC －A 等于60°，求二面角P －CD －A 的大小. (1)证明：若CD ⊥平面PAD ， 1分 则CD ⊥PD ， 2分 由已知PC=PD ，得∠PCD=∠PDC ＜90°， 这与CD ⊥PD 矛盾，所以CD 与平面PAD 不垂直. 3分 (2)证明：取AB 、CD 的中点E 、F ，连接PE 、PF 、EF ， 由PA=PB ，PC=PD ，得PE ⊥AB ，PF ⊥CD. 5分 ∴EF 为直角梯形的中位线. ∴EF ⊥CD ，又PF∩EF=F. ∴CD ⊥平面PEF. 6分 由PE ?平面PEF ，得CD ⊥PE ， 又AB ⊥PE 且梯形两腰AB 、CD 必相交，∴PE ⊥平面ABCD. 7分 又PE ?平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面ABCD. 8分 (3)解：由(2)及二面角的定义知∠PFE 为二面角P —CD —A 的平面角， 9分 作EG ⊥BC 于G ，连PG ，由三垂线定理得BC ⊥PG ， 故∠PGE 为二面角P —BC —A 的平面角. 10分 即∠PGE=60°，由已知，得EF=21(AD+BC)=2 1 CD. 又EG=CF= 2 1 CD ， ∴EF=EG ，易证得Rt △PEF ≌Rt △PEG. 11分 ∴∠PEF=∠PGE=60°即为所求. 12分 4．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB=2，BB 1=BC=1，E 为D 1C 1的中点，连结ED 、EC 、EB 和DB. (1)求证：平面EDB ⊥平面EBC ； (2)求二面角E －DB －C 的正切值； (3)求异面直线EB 和DC 的距离. (1)证明：在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=2，BB 1=BC=1，E 为D 1C 1的中点. ∴△DD 1E 为等腰直角三角形，∠D 1ED=45°. 同理∠C 1EC=45°. ∴∠DEC=90°，即DE ⊥EC. 2分 在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，BC ⊥平面D 1DCC 1，又DE ?平面D 1DCC 1， ∴BC ⊥DE. 3分 又EC∩BC=C ， ∴DE ⊥平面EBC. ∵平面DEB 过DE ， ∴平面DEB ⊥平面EBC. 4分 (2)解：如图，过E 在平面D 1DCC 1中作EO ⊥DC 于O.立体几何大题专题(基础)
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