2.2.3向量数乘运算及其几何意义（教学设计）
一、知识与能力：
1、理解掌握向量数乘运算及其几何意义，数乘运算的运算律，并能熟练运用定义、运算律进行有关计算。
2、理解掌握向量共线定理及其证明过程，会根据向量共线定理判断两个向量是否共线。
3、通过向量数乘运算的学习和探究，培养学生的观察、分析、归纳、抽象思维能力，以及运算能力和逻辑推理能力。
二、过程与方法：
1． 经历向量加法三角形法则和平行四边形法则的归纳过程；
2．体会数形结合的数学思想方法.
三、情感、态度与价值观：
培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题．
教学重点:实数与向量的积的定义、运算律，向量共线的充要条件．
教学难点:向量共线的充要条件．
一、复习回顾，新课导入
探究：已知非零向量a ，作出a+a+a 和(-a)+(-a)+(-a)，并说明
它们的几何意义. 类似数的乘法，把a+a+a 记作3a ，显然3a 的方向与a 的方向
相同，3a 的长度是a 的3倍，即|3a|=3|a|.
同样，(-a )+(-a )+(-a )=3(-a )，显然3(-a )的方向与a 的方向相反，3(-a )的长度是a 的3倍，这样3(-a )=-3a . 由学生作图，归纳几何意义，教师补充完善，引出本节课所学的内容。
二、师生互动，新课讲解
1．定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，称为向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下：
（1）|λa |=|λ||a |；
（2）当λ>0时，λa 的方向与向量a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反.
2． 特别地，当λ=0或a=0时，λa=0；当λ=-1时，(-1)?a=-a ，就是a 的相反向量.
3． 实数与向量的积的运算律
设λ、μ为实数，那么
（1）λ(μa )=( λμ)a ；（结合律）
（2）(λ+μ)a=λa+μa ；（第一分配律）
（3）λ(a+b )= λa+λb .（第二分配律）
结合律证明：
如果λ=0，μ=0，a =0至少有一个成立，则①式成立
如果λ≠0，μ≠0，a ≠0有：|λ(μa )|=|λ||μa |=|λ||μ||a
| |(λμ)a |=|λμ|| a |=|λ||μ||a |
∴|λ(μa )|=|(λμ)a | 如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与a
同向；
如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与a 反向。 从而λ(μa )=(λμ)a 第一分配律证明：
如果λ=0，μ=0，a =至少有一个成立，则②式显然成立
如果λ≠0，μ≠0，a ≠ 当λ、μ同号时，则λa 和μa 同向， ∴|(λ+μ)a |=|λ+μ||a |=(|λ|+|μ|)|a
|
|λa +μa |=|λa |+|μa |=|λ||a |+|μ||a |=(|λ|+|μ|)|a | ∵λ、μ同号 ∴②两边向量方向都与a 同向 即：|(λ+μ)a |=|λa +μa | 当λ、μ异号，当λ>μ时 ②两边向量的方向都与λa 同向 当λ<μ时 ②两边向量的方向都与μa 同向 还可证：|(λ+μ)a |=|λa +μa | ∴②式成立
第二分配律证明： 如果a =，b =中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立 当a ≠，b ≠且λ≠0，λ≠1时 1?当λ>0且λ≠1时在平面内任取一点O ， 作=OA a =b =1OA λa =11B A λb 则=a +b =1OB λa +λb 由作法知：∥11B A 有∠OAB=∠OA 1B 1 ||=λ|11B A | ==||||111AB OA λ ∴△OAB ∽△OA 1B 1
=||1OB λ ∠AOB=∠ A 1OB 1
因此，O ，B ，B 1在同一直线上，|1OB |=|λ| 1OB 与λ方向也相同
λ(a +b )=λa +λb 当λ<0时 可类似证明：λ(a +b )=λa +λb
∴ ③式成立
特别地，有 (-λ)a=-(λa )= λ(-a )，λ(a -b ）=λa -λb .
例1（课本P88例5） 计算：
（1）(-3)?4a ;
（2）3(a+b )-2(a-b )-a ;
（3）(2a +3b -c )-(3a -2b +c ).
O A B
B 1 A
1
1
解：（1）原式=(-3?4)a =-12a ; （2）原式=3a +3b -2a +2b -a =5b ;
（3）原式=2a +3b -c -3a +2b -c =-a +5b -2c .
变式训练1：设a 、b 是两个不平行的向量，且x (2a+b)+y (3a-2b)=7a , x,y ∈R ，则x =____，y =_____. (x=2,y=1)
4. 向量共线定理（等价条件或充要条件）
思考：引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗？
对于向量a (a ≠0)、b ，如果有一个实数λ，使b =λa ，那么由向量数乘的定义知：a 与b 共线；
反过来，已知向量a 与b 共线，a ≠0，且向量b 的长度是向量a 的长度的μ倍，即|b|=μ|a|，那么当a 与b 同向时，有b=μa ，当a 与b 反向时，有b =-μa .
向量共线定理（向量共线的充要条件）：向量a(a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使
b=λa .
例2（课本P89例6） 已知任意两个非零向量a 、b ，且OA =a+b ，
=a+2b , =a+3b ，判断A 、B 、C 三点之间的
位置关系.
解：因为
=a+2b-(a+b)=b ，
=a+3b-(a+b)=2b ， 于是，所以A 、B 、C 三点共线. 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a 、b ，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有 λ(μ1a ±μ2b )= λμ1a ±λμ2b .
变式训练2：设a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与2a －b 共线，则λ＝________.
解析 由题意知：a ＋λb ＝k (2a －b )，则有：????? 1＝2k ，λ＝－k ，∴k ＝12，λ＝－12.答案 －12
例3 平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点M ，且
=a ，
=b ，试用a 、b 表示、、、.
解：=a+b ，=a-b , =(a+b )=a - b
12(a-b )= 12a -12
b ;
12MC AC ==12a +12
b ; 12MD MB DB =-=-=-12a +12
b . 变式训练3：设AM 是ABC ?中线，求证：()
12AM AB AC =
+. 证明：因为,AM AB BM AM AC CM =+=+， 所以()()()()2AM AB BM AC CM AB AC BM CM =+++=+++
因为AM 是ABC ?中线，所以BM CM BM MB +=+=0，
因而2AB M A A C =+，所以()
12AB A AC M =+. 课堂练习：（课本P90练习 NO ：1；2；3；4；5；6）
三、课堂小结，巩固反思
1． 理解实数与向量的积的意义，能说出实数与一个向量的积的模及方向与这个向量的模及方向间的关系；
2． 能说出实数与向量的积的三条运算律，并会运用它们进行计算；
3． 能表述一个向量与非零向量共线的充要条件；
4． 会表示与非零向量共线的向量，会判断两个向量是否共线.
四、课时必记
1、实数与向量的积的运算律
设λ、μ为实数，那么
（1）λ(μa )=( λμ)a ；（结合律）
（2）(λ+μ)a=λa+μa ；（第一分配律）
（3）λ(a+b )= λa+λb .（第二分配律）
2、向量共线定理（向量共线的充要条件）：
向量a(a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使 b=λa .
五、分层作业：
A 组：
1、（课本P91习题2.2 A 组 NO ：9）
2、（课本P91习题2.2 A 组 NO ：10）
3、（课本P91习题2.2 A 组 NO ：11）
4、（课本P91习题2.2 A 组 NO ：12）
5、（课本P91习题2.2 A 组 NO ：13）
B 组：
1、（课本P91习题2.2 B 组 NO ：3）
2、（课本P91习题2.2 B 组 NO ：4）
3、（课本P91习题2.2 B 组 NO ：5）
C 组：
1、设两个非零向量a 与b 不共线．
(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．
求证：A ，B ，D 三点共线；
(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．
分析： (1)先证明AB →，BD →共线，再说明它们有一个公共点；(2)利用共线向量定理列出方程组求k . (1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．
∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴AB →，BD →共线，又它们有公共点，∴A ，B ，D 三点共线．
(2)解 ∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，
∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，
即(k －λ)a ＝(λk －1)b .
又a ，b 是两不共线的非零向量，
∴k －λ＝λk －1＝0.∴k 2－1＝0.∴k ＝±1.
2.2.3向量数乘运算及其几何意义（教学设计） 一、知识与能力： 1、理解掌握向量数乘运算及其几何意义，数乘运算的运算律，并能熟练运用定义、运算律进行有关计算。 2、理解掌握向量共线定理及其证明过程，会根据向量共线定理判断两个向量是否共线。 3、通过向量数乘运算的学习和探究，培养学生的观察、分析、归纳、抽象思维能力，以及运算能力和逻辑推理能力。 二、过程与方法： 1． 经历向量加法三角形法则和平行四边形法则的归纳过程； 2．体会数形结合的数学思想方法. 三、情感、态度与价值观： 培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题． 教学重点:实数与向量的积的定义、运算律，向量共线的充要条件． 教学难点:向量共线的充要条件． 一、复习回顾，新课导入 探究：已知非零向量a ，作出a+a+a 和(-a)+(-a)+(-a)，并说明 它们的几何意义. 类似数的乘法，把a+a+a 记作3a ，显然3a 的方向与a 的方向 相同，3a 的长度是a 的3倍，即|3a|=3|a|. 同样，(-a )+(-a )+(-a )=3(-a )，显然3(-a )的方向与a 的方向相反，3(-a )的长度是a 的3倍，这样3(-a )=-3a . 由学生作图，归纳几何意义，教师补充完善，引出本节课所学的内容。 二、师生互动，新课讲解 1．定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，称为向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下： （1）|λa |=|λ||a |； （2）当λ>0时，λa 的方向与向量a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反. 2． 特别地，当λ=0或a=0时，λa=0；当λ=-1时，(-1)?a=-a ，就是a 的相反向量. 3． 实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，那么 （1）λ(μa )=( λμ)a ；（结合律） （2）(λ+μ)a=λa+μa ；（第一分配律） （3）λ(a+b )= λa+λb .（第二分配律） 结合律证明： 如果λ=0，μ=0，a =0至少有一个成立，则①式成立 如果λ≠0，μ≠0，a ≠0有：|λ(μa )|=|λ||μa |=|λ||μ||a | |(λμ)a |=|λμ|| a |=|λ||μ||a |
【课题】7.1.5平面向量的数乘运算 江夏职业技术学校吴婷 【教学目标】 （1）理解向量的数乘运算的定义 （2）掌握共线向量的基本定理 【教学重点】数乘运算的定义 【教学难点】对向量线性表示的理解和运用 【课时安排】2课时 【教学过程】 一、创设情境兴趣导入 观察图7－15可以看出，向量OC 与向量a 共线，并且 OC ＝3a ． 图7?15 二、新授知识 1.数乘运算的定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa 大小：||||||a a λ=λ（7．3） a a a a O A B C
方向：若||λ≠a 0，则 当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同， 当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反． 一般地，有0a =0,λ0=0． 2.共线向量的基本定理：对于非零向量a 、b ，当0λ≠时，有 λ?=a b a b ∥（7．4） 3.向量的数乘运算法则： ()()111a a a a ， ；=-=-()()()()2a a a ； λμλμμλ== ()()3a a a λμλμ+=+ ；()a b a b （4）．λλλ+=+ 4.向量的线性表示：一般地，λa ＋μb 叫做a ,b 的一个线性组合（其中λ,μ均为系数）．如 果l ＝λa ＋μb ，则称l 可以用a ，b 线性表示． 5.向量的线性运算：向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量的线性运算． 三、注意：向量加法及数乘运算在形式上与实数的有关运算规律相类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形，可直接应用于向量的运算中．但是，要注意向量的运算与数的运算的意义是不同的． 四、巩固知识典型例题 例6在平行四边形ABCD 中，O 为两对角线交点如图7－16，AB ＝a ，AD ＝b ，试用a ,b 表示向量AO 、OD ． 分析因为12AO AC =,12 OD BD =，所以需要首先分别求出向量AC 与BD .
教学设计 3．1.2空间向量的数乘运算 整体设计 教材分析 本节课是在学习了空间向量的相关概念和空间向量加减法法则的基础上学习的，是空间向量加减法法则的进一步应用和补充．本节课在介绍实数与向量乘积的意义的基础上引入空间向量共线定理，类比平面向量基本定理得到空间向量共面定理，为后面将要学习的空间向量基本定理打下基础，具有承上启下的重要作用． 因为空间向量的数乘运算以及空间向量共线定理与平面向量数乘运算以及共线定理完全一样，空间向量共面定理其实就是平面向量基本定理的逆定理，所以在教学中仍应采用类比、比较的教学方法，通过问题驱动、启发式、自主探究式的教学方法引导学生自主地完成本节课的学习． 课时分配 1课时 教学目标 知识与技能 1．掌握空间向量的数乘运算及其运算律． 2．理解共线向量定理和向量共面定理． 过程与方法 1．运用类比方法，经历向量的数乘运算和向量共线定理由平面向空间推广的过程； 2．引导学生借助空间几何体理解空间向量数乘运算及其运算律的意义． 情感、态度与价值观 1．培养学生的类比思想、转化思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力； 2．培养学生的空间想象能力，能借助图形理解空间向量数乘运算及其运算律的意义； 3．培养学生空间向量的应用意识． 重点难点 教学重点： 1．空间向量的数乘运算及其运算律、几何意义；
2．空间向量的加减运算在空间几何体中的应用； 3．空间向量共线定理和共面定理． 教学难点： 1．空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用； 2．空间向量的数乘运算及其几何的应用和理解； 3．空间向量共线定理和共面定理的理解． 教学过程 引入新课 提出问题：请同学们回忆“平面向量的数乘运算”的意义是什么，有什么性质，满足什么运算律． 活动设计：首先同学之间相互交流，教师适时介入，并一一板书出来． 活动结果：(板书) 1．实数λ和向量a的乘积λa是一个向量． 2.||λa＝||λ||a. 3．λa的方向 ①当λ>0时，λa的方向和a方向相同； ②当λ<0时，λa的方向和a方向相反． 4．数乘运算的运算律： ①λ(μ a)＝(λμ)a； ②λ(a＋b)＝λa＋λb. 设计意图：这既复习了“平面向量的数乘运算”的意义、性质和运算律，又为类比得出“空间向量的数乘运算”的意义、性质和运算律作好了准备，而且在下面得出“空间向量的数乘运算”的意义、性质和运算律时，只需将“平面向量的数乘运算”中的“平面”换成“空间”即可．何乐而不为呢！ 探究新知 提出问题1：上节课我们已经学习了空间向量的加减法运算，请同学们类比“平面向量的数乘运算”的意义、性质和运算律，猜想(给出)“空间向量的数乘运算”的意义、性质和运算律．即实数λ和向量a的乘积(λa)的意义是什么？有什么性质？满足什么运算律？ 活动设计：教师从2a，－2a的意义中发现并类比平面中数乘的意义对学生进行引导，学生自己画出2a，－2a并总结λa的意义和运算律，然后自由发言，教师进行补充．师生发
《2.4.1平面向量数量积的 物理背景及其含义》 教学设计 2.4.1《平面向量数量积的物理背景及其含义》教学设计 一、教材分析 1.地位与作用 本节课是人教版普通高中课程标准实验教科书A版必修4第二章《平面向量》的第4节内容。本节内容教材共分为两课时，其中第一课时主要研究数量积的概念，第二课时主要研究数量积的坐标运算，本节课是第一课时。向量数量积运算是继向量的线性运算后的一种新的重要的运算，它有明显的物理意义、几何意义。向量数量积是代数、几何与三角的结合点，应用广泛，很好地体现了数形结合的数学思想。
2.学情分析 学生在学习本节内容之前，已经学习了平面向量的线性运算，理解并掌握了向量数乘运算及其几何意义。学生会产生这样的疑问——平面向量之间可以进行向量与向量的乘法运算吗？而学生此时已学习了功等物理知识，能够解决简单的物理问题，并熟知了实数的运算体系，这为学生学习数量积做了很好的铺垫。所以本节课我从学生所熟悉的“功”引入“数量积”，通过学生的自主探究，小组合作探究，教师点评等环节完成本节知识的学习。 二、教学目标 1.知识与技能 ⑴理解平面向量数量积和投影的概念及数量积的几何意义； ⑵掌握平面向量数量积的性质与运算律； ⑶会用平面向量数量积表示向量的模与向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系； ⑷以数学知识的教学为载体，为学生创造学习数学英语知识的环境，进而了解数学专业术语的英语表示，能用英语进行数学方面的交流，培养学生的跨文化意识与双思维，提高英语理解能力。 2.过程与方法 本节课以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念，让学生明白数量积的物理背景，学习“投影”后，通过设置例1让学生练习计算数量积与投影，并引导学生观察完成的表格发现数量积与投影的关系，从而得出数量积的几何意义，随后通过学生的自主学习与小组活动，探究数量积的性质与运算律。设置分层例题与分层练习，夯实基础，提升能力。采用双语教学，不仅达到学习数学知识的目的，同时还提高了学生的英语理解能力，激发了学生学习的兴趣。 3.情感态度与价值观 通过平面向量数量积的学习，加深学生对数学知识之间联系的认识，体会数形结合思想、类比思想，体会数学知识抽象性、概括性和应用性，促使学生形成学数学、用数学的思维和意识。课堂中不断培养学生自主学习、主动探索，勤于观察、思考，善于总结的态度，并提高参与意识和合作精神。 三、教学重难点 重点：平面向量数量积的概念，用平面向量数量积表示向量的模及向量的夹角,判断向量的
数乘运算及其几何意义 整体设计 教学分析 向量的数乘运算，其实是加法运算的推广及简化，与加法、减法统称为向量的三大线性运算．教学时从加法入手，引入数乘运算，充分展现了数学知识之间的内在联系．实数与向量的乘积，仍然是一个向量，既有大小，也有方向．特别是方向与已知向量是共线向量，进而引出共线向量定理．共线向量定理是本章节中重要的内容，应用相当广泛，且容易出错．尤其是定理的前提条件：向量a是非零向量．共线向量定理的应用主要用于证明点共线或平行等几何性质，且与后续的知识有着紧密的联系． 三维目标 1．通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程，掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义，掌握实数与向量的积的运算律． 2．理解两个向量共线的等价条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行．3．通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问题的思想和方法，培养创新能力和积极进取精神．通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用． 重点难点 教学重点：1.实数与向量积的意义.2.实数与向量积的运算律.3.两个向量共线的等价条件及其运用． 教学难点：对向量共线的等价条件的理解运用． 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路1.前面两节课，我们一起学习了向量加减法运算，这一节，我们将在加法运算基础上研究相同向量和的简便计算及推广．在代数运算中，a＋a＋a＝3a，故实数乘法可以看成是相同实数加法的简便计算方法，那么相同向量的求和运算是否也有类似的简便计算．思路2.一物体做匀速直线运动，一秒钟的位移对应的向量为a，那么在同一方向上3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？怎样用图形表示？由此展开新课． 推进新课 新知探究 提出问题 ①已知非零向量a，试一试作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a).
数乘向量 教学目标 一、知识与技能 1、掌握向量数乘运算概念及运算定律，理解向量共线定理。 2、会运用定义、运算律进行有关计算。 二、过程与方法 深入对定理的理解，会运用定理解决向量共线、三点共线、直线平行等问题。 三、情感态度与价值观 由情景引入，由抽象到具体，由难到易，激发学生的数学兴趣，培养学生独立自主，自我发现，自我概括的能力，使得学生在以后的数学学习上能够自由，自主去探索去发现。 教学重点与难点 1.重点：向量数乘运算概念及运算定律，向量共线定理的运用。 2.难点：向量共线、三点共线、直线平行，以及数乘计算的问题。教学准备 多媒体课件、电脑画板 教学过程 一、情景引入 活动一：体会实际，感受新知 在疾风骤雨，雷电交加的晚上，我们都是先看到闪电，后来听到雷声？（展示所找到的关于雷电的影像进行播放）这是因为在同一方
向上光速远远大于声速。经测量,光速大小约为声速的5107.8?倍。 活动二：自我实验，学会新知 教师让学生准备小皮筋，自己进行拽拉，固定一边，朝同一方向，两边同时，朝不同方向，看看会发生什么有趣的现象（可以选号码为1-5的同学拍小视频进行讨论）。 组织学生在电脑面板上展示自己所做实验的答案，进行互相讨论以上两个活动有什么异同点。（学生自由在电脑面板进行发言，老师进行总结。） 由以上两个案例分析说明实际中存在这样的向量，他们是共线，而且大小之间存在倍数关系。因此，有必要定义实数与向量积的运算。 二、讲述新知，感悟理解 例如，对于向量3a ，我们都知道3个a 相加（可进行画图讲解）， 即3a =a +a +a .由向量的加法的意义可知，3a 仍是一个向量，它的长度为a 的三倍，方向与a 相同； 向量-3a 是3a 的相反向量，他的长度与3a 相同，也是a 的3 倍，它的方向与a 的方向相反。 三、新知概括，深入探究 1、a 请大家画出非零向量a ，并且做出3a 与0a ,-2a ,. a 。 (按照学生的编号，让5-10号码的同学进行回答。） 一般的，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作a λ。它的长度为a a λλ=。 它的方向：当0>λ时，a λ与a 的方向相同； 21
2.1.4数乘向量 教学目标： 1.掌握实数与向量积地定义，理解实数与向量积地几何意义； 2.掌握实数与向量地积地运算律 教学重点：掌握实数与向量积地定义，理解实数与向量积地几何意义 教学过程 一、复习引入： 1.向量地概念 2.向量地表示方法 3.向量地加法，减法及运算律 二、讲解新课： 1．实例引入：已知非零向量a ，作出a +a +a 和( a )+( a )+( a ) OC =BC AB OA =a +a +a =3a PN =MN QM PQ =( a )+( a )+( a )= 3a （1）3a 与a 方向相同且|3a |=3|a |；（2） 3a 与a 方向相反且| 3a |=3|a | 2．实数与向量地积地定义：实数λ与向量a 地积是一个向量，记作：λa ，λa 地长定义为|λa |=|λ||a |，λa 地方向定义为：λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反.λ=0或a =0时规定：λa =0 3．数乘地几何意义就是把向量a 沿向量a 地方向或反方向放大或缩小. 4．运算定律 结合律：λ(μa )=(λμ)a ① 第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa ② 第二分配律：λ(a +b )=λa +λb ③ 例1 （1）;2 1)4(a （2）);(3)(2b a b a （3）);)(())((b a b a
变式训练：计算 8（2-+）-6（-2+）-2（2+）= 例2设是未知向量，解方程)(3)(5 例3凸四边形ABCD 地边AD 、BC 地中点分别为E 、F ，求证EF ＝ 2 1(AB +). 变式训练：已知任意两非零向量、，试作 , 2 ，3 .作图判断A 、B 、C 三点之间地位置关系？ 小结：实数与向量积地定义，理解实数与向量积地几何意义；实数与向量地积地运算律 课堂练习：第89页练习A 、B
适用
高中数学
适用年级
高一
学科
适用区域 苏教版区域
课时时长（分钟）
2 课时
知识点 向量的加法；向量的减法；向量的数乘.
教学目标
通过经历向量加法的探究，掌握向量加法概念，结合物理学实际理解向量加法的意义。能 熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能作出已知两向量的和向量。通 过探究活动，掌握向量减法概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反 向量。
教学重点 向量的加减法的运算。
教学难点 向量的加减法的几何意义。
【知识导图】
教学过程
一、导入
高考对本内容的考查主要以选择题或者是填空题的形式来出题，一般难度不 大，属于简单题。
二、知识讲解
（考1）点向1量向加量法加的法三法角则形法则 在定义中所给出的求象量和的方法就是向量加法的三角形法则。运用这一法则时 要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一 个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量。0 位移的合成可以看作 向量加法三角形法则的物理模型。
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（2）平行四边形法则 以同一点 O 为起点的两个已知向量 A.B 为邻边作平行四边形，则以 O 为起点的 对角线 OC 就是 a 与 b 的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平 行四边形法则。
由考于点方2向反向转量两的次减仍法回法到则原来的方向，因此 a 和 a 互为相反向量。 于是 (a) a 。 我们规定，零向量的相反向量仍是零向量. 任一向量与其相反向量的和是零向量，即 a (a) (a) a 0 。 所以，如果 a, b 是互为相反的向量，那么 a= b,b= a, a b 0 。
考点 3 实数与向量的积的运算律 设 ， 为实数，那么 (1) ( a) ()a ； (2) ( )a a a ； (3) (a b) a b . 特别地，我们有 ()a (a) (a) ， (a b) a b 。 向量共线的等价条件是：如果 a(a 0) 与 b 共线，那么有且只有一个实数 ，使 b a。
三 、例题精析 类型一 平面向量的坐标表示
例题 1
已知边长为 1 的正方形 ABCD 中，AB 与 x 轴正半轴成 30°角．求点 B 和点 D 的坐标和 AB 与 AD 的坐标．
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第三章空间向量与立体几何 §3.1空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 师：这节课我们学习空间向量及其加减运算，请看学习目标。 学习目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法； ⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； ⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 师：在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了平面向量的一些知识，现在我们一起来复习。（不要翻书） （在黑板或背投上呈现或边说边写） 1、在平面中，我们把具有__________________的量叫做平面向量； 2、平面向量的表示方法：
① 几何表示法：_________________________ ② 字母表示法：_________________________ （注意：向量手写体一定要带箭头） 3、平面向量的模表示_________________，记作____________ 4、一些特殊的平面向量： ① 零向量：__________________________，记作___（零向量的方向具有任意性） ② 单位向量：______________________________ （强调：都只限制了大小，不确定方向） ③ 相等向量：____________________________ ④ 相反向量：____________________________ 5、平面向量的加法： 6、平面向量的减法： 7、平面向量的数乘：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，其长度和方向规定如下： (1)|λa |＝|λ||a | (2)当λ＞0时，λa 与a 同向； 当λ＜0时，λa 与a 反向； 当λ＝0时，λa ＝0. 8、向量加法和数乘向量满足以下运算律 加法交换律：a ＋b ＝b ＋a 加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ） 数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb 数乘结合律：λ（a μ）=a )(λμ [师]：刚才我们复习了平面向量，那空间向量会是怎样，与平面向量有怎样的区别和联系呢?请同学们阅读书P84-P86.（5分钟） [师]：对比平面向量，我们得到空间向量的相关概念。（在刚复习的黑板或幻灯片上，只需将平面改成空间） [师]：空间向量与平面向量有什么联系？ [生]：向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．所以凡涉及 空间两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。
2.2.3 《向量的数乘运算及几何意义》教学设计 温江二中何汝兵 一、教材分析： 向量具有丰富的实际背景和几何背景，向量既有大小，又有方向. 但是引进向量，而不研究它的运算，则向量只是起到一个路标的作用；向量只有引进运算后才显得威力无穷. 本章从第二节开始学习向量的加法、减法运算及其几何意义；本节接着学习向量的数乘运算及其几何意义. 向量数乘运算以及加法、减法统称为向量的三大线性运算，向量的数乘运算其实是加法运算的推广及简化. 教学时从加法入手，引入数乘运算，充分体现了数学知识之间的内在联系. 实数与向量的乘积仍然是一个向量，既有大小，又有方向. 特别是方向与已知向量是共线向量，进而引出共线向量定理. 这样平面内任意一条直线l 就可以用点A 和某个向量a 表示了. 共线向量定理是本章节的重要的内容，应用相当广泛，且容易出错，尤其是定理的前提条件：向量a是非零向量?共线向量的应用主要用于证明点共线或线平行等，且与后学的知识有着密切的联系. 二、学情分析： 学生在已经学习了近一学期的高中课程内容后，在思想和思维模式上已经适应了高中的 课程和高中的教学方式。学生能适应自主探究、师生互动的学习方式，动手操作能力强，勇于创新，敢于发表自己的见解。只要教师创设情境合理，精心设计问题串，循序渐进层层深入，学生能很快地构建起新的数学知识，教师只要作必要的归纳，就会帮助学生上升到理性认识的层面。同时为了更熟练地掌握知识和应用知识，需加强学生的课堂练习。 三、教学目标： 1、知识与技能通过经历探究数乘运算法则及其几何意义的过程，掌握实数与向量积的定义；理解实数与向量积的几何意义；掌握实数与向量积的运算律。 2、过程与方法 通过师生互动理解两个向量共线的等价条件，能够运用两向量共线条件判断两向量是否平行，进而判定点共线或直线平行。 3、情感态度与价值观 通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问题的思想和方法（从特殊到一般、分类讨论、转化化归、观察、猜想、归纳、类比、总结等）；培养创新能力和积极进取精神；通过具体问题，体会数学在实际生活中的重要作用。 四、教学重难点 教学重点： 1．理解并掌握向量数乘的定义及几何意义； 2．熟练地掌握和运用实数与向量积的运算律；3．掌握向量共线定理，会判定或证明两向量共线。教学难点：对向量共线的等价条件的理解以及运用。 五、教具选取 三角板、投影仪、多媒体辅助教学。
《数乘向量》教学设计 本节课内容是在学生掌握向量的加法的基础上，学习实数与向量的积的运算。教材通过“探究”，引导学生先作出几个相同向量的和，再讨论他们的几何意义，从而得到向量数乘运算的直观感知，然后再过渡到一般的向量数乘运算的定义。引入向量数乘运算后，考查这种运算律是一个自然的问题。 【知识与能力目标】 1. 通过实例掌握向量的数乘运算，理解其几何意义； 2.理解向量共线定理，熟练运用定义、运算律进行有关计算，能够运用定理解决向量共线、三点共线、直线平行等问题。 【过程与方法目标】 理解并掌握向量共线定理及其证明过程，会根据向量共线定理判定两个向量是否共线。【情感态度价值观目标】 通过向量数乘运算的学习和探究，培养学生的观察、分析、归纳、抽象思维能力，以及运算能力和逻辑推理能力。 【教学重点】 理解向量的数乘运算及其几何意义；运算律；向量共线定理。 【教学难点】 理解向量共线定理，并应用其解决相关问题。 电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。
一、探究新知。 教材整理：数乘向量 阅读教材P 82～P 84“例3”以上部分，完成下列问题。 1．数乘向量及运算律 (1)向量数乘的定义 一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ．它的长度和方向规定如下： ①|λa |＝|λ||a |； ②当λ>0时，λa 与a 的方向相同；当λ<0时，λa 与a 的方向相反；当λ＝0时，λ a ＝0 。(2)向量数乘的运算律 设a ，b 为向量，λ，μ为实数，则数乘向量满足： ①结合律：λ(μa )＝(λμ)a ②分配律：(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；λ(a ＋b )＝λa ＋λb 2．共线向量定理 (1)判定定理 a 是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得 b ＝λa ，则向量b 与非零向量a 共线． (2)性质定理 若向量b 与非零向量a 共线，则存在一个实数λ，使得b ＝λa 。 巩固练习 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)实数λ与向量a 的积还是向量。( ) (2)对于非零向量a ，向量－6a 与向量2a 方向相反。( ) (3)向量－8a 的模是向量4a 的模的2倍。( ) (4)若b ＝λa (a ≠0)，则a 与b 方向相同或相反。( ) (5)若a ∥b ，则存在λ∈R ，使得b ＝λa 。( ) 【解析】 由数乘向量的意义知，(1)正确，(2)正确，(3)正确；(4)当λ＝0，b ＝0时，不能判断方向相同或相反，因而(5)错误；(6)当a ＝0，b ≠0时，就不存在实数λ，使b ＝ λa ，故(6)错误。 【答案】 (1)√ (2)√ (3)√ (4)× (5)× 二、例题解析。 (1)化简12? ? ? ???3a ＋2b －? ????a ＋12b －2? ?? ??12a ＋38b ； (2)已知向量a ，b ，x ，y 满足3x －2y ＝a ，－4x ＋3y ＝b ， 试用向量a ，b 表示向量x ，y 。
2.3.1向量数量积的物理背景与定义 教材说明 平面向量数量积具有代数与几何的双重性质，因此所涉及的内容较为广泛，如方程、不等式等代数问题；夹角、距离、面积、平行、垂直等几何问题。 平面向量数量积是数学中知识与能力的载体，是数学上的一个重要工具之一，值得一提的是在教材的后续两章的学习中，对三角函数内容中某些问题的处理都是借助向量的数量积来解决的，这正体现了平面向量数量积的工具性，在解决代数与几何问题中都有着很强的实用性。 课型新授课 课时1课时（练习共2课时） 学情分析 在学习平面向量数量积之前，学生已学习了平面向量的概念、向量的线性运算及向量的基本定理与坐标表示等有关内容，这为过渡到本节的学习起了铺垫作用；在后继知识的学习中，是据此内容用向量代数方法进一步研究了平面图形的有关性质。 本节以力对物体做功作为背景，研究平面向量的数量积。但是，学生作为初学者不清楚向量数量积是数量还是向量，寻找两向量的夹角又容易想当然，以及对运算律的理解和平面向量的数量积的灵活应用。通过情景创设、探究和思考引导学生认知、理解并掌握相关的内容。利用向量数量积运算讨论一些几何元素的位置关系、距离和角，这些刻画几何元素（点、线、面）之间度量关系的基本量学生容易混淆。利用数量积运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系解决问题，是学生学习本节内容的重点又是难点。由向量的线性运算迁移、引申到向量的乘法运算这是个很自然的过渡，深入浅出、符合学生的认知规律，也有利于明确本节课的教学任务，激发学生的学习兴趣和求知欲望。 教学内容分析 教学的主要内容：以物体受力做功为背景引入数量积的概念，使向量数量积运算与物理知识联系起来；向量数量积与向量的长度及夹角的关系；进一步探究两个向量的夹角对数量积符号的影响及有关的性质、几何意义和运算律。
《数乘向量》教学设计 一、教材分析： 向量具有丰富的实际背景和几何背景，向量既有大小，又有方向.引进向量运算后才使显得威力无穷.本章从第二节开始学习向量的加法、减法运算及其几何意义；本节接着学习向量的数乘运算及其几何意义. 向量数乘运算以及加法、减法统称为向量的三大线性运算，向量的数乘运算其实是加法运算的推广及简化.教学时从加法入手，引入数乘运算，充分体现了数学知识之间的内在联系.实数与向量的乘积仍然是一个向量，既有大小，又有方向.特别是方向与已知向量是共线 向量，进而引出共线向量定理.这样平面内任意一条直线l 就可以用点A 和某个向量a 表示了.共线向量定理是本章节的重要的内容，应用相当广泛，且容易出错，尤其是定理的前提 条件：向量a 是非零向量.共线向量的应用主要用于证明点共线或线平行等，且与后学的知识有着密切的联系. 二、学情分析： 学生在已经学习了近一学期的高中课程内容后，在思想和思维模式上已经慢慢适应了高中的课程和高中的教学方式。只要教师创设情境合理，精心设计问题串，循序渐进层层深入，学生能很快地构建起新的数学知识，教师只要作必要的归纳，就会帮助学生上升到理性认识的层面。同时为了更熟练地掌握知识和应用知识，需加强学生的课堂练习。 三、教学目标： 1、知识与技能 掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义；了解实数与向量积的运算律；会利用向量共线定理证明点共线或线平行。 2、过程与方法 通过师生互动理解两个向量共线的等价条件，能够运用两向量共线条件判断两向量是否平行，进而判定点共线或直线平行。 3、情感态度与价值观 通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问题的思想和方法（从特殊到一般、分类讨论、转化化归、观察、猜想、归纳、类比、总结等）；培养创新能力和积极进取精神；通过具体问题，体会数学在实际生活中的重要作用。 四、教学重难点 教学重点： 1．理解并掌握向量数乘的定义及几何意义； 2．掌握向量共线定理，会判定或证明两向量共线。 教学难点：对向量共线的等价条件的理解以及运用。 五、教具选取 三角板、多媒体辅助教学。
【教学过程】 *揭示课题 7.2.3 平面向量的数乘运算 *情境导入 有一同学从O 点出发，向东行进，1秒后到达A 点，按照相同的走法，问3秒后人在哪里，用向量怎么表示？观察图7－15可以看出，向量 OC 与向量a 共线，并且 OC ＝3a ． 图7?15 *引入新知 一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的模为 （7．3） 若||λ≠a 0，则当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反．当λ＝0时，λa = 0。实数λ与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算。 由上面定义可以得到，对于非零向量a 、b ，当0λ≠时，有 （7．4） 容易验证，对于任意向量a , b 及任意实数λμ、，向量数乘运算满足如下的法则： ()()111=-=-a a a a ， ； ()()()()2a a a λμλμμλ== ； ()()3a a a λμλμ+=+ ； ()()a b a b λλλ+=+４ ． 【做一做】 请画出图形来，分别验证这些法则． 向量加法及数乘运算在形式上与实数的有关运算规律相类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形，可直接应用于向量的运算中．但是，要注意向量的运算与数 a a a a O A B C
的运算的意义是不同的． *例题讲解 例1 在平行四边形ABCD 中，O 为两对角线交点如图7－16，AB ＝a ，AD ＝b ，试用a , b 表示向量AO 、OD ． 例2 计算： （1）（-3）×4a （2）5（a +b ）-2（a -b ） （3）（a +4 b -3c ）-（2 a -3 b -5c ） *练习强化 1． 计算：（1）3（a ?2 b ）－2（2 a ＋b ）； （2）3 a ?2（3 a ?4 b ）＋3（a ?b ）． 2．设a , b 不共线，求作有向线段OA ，使OA ＝1 2 （a ＋b ）． *揭示课题 7.4.1 平面向量的内积 *情境导入 如图7－21所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N 的力，朝着与水平线成?30角的方向拉小车，使小车前进了100 m ．那么，这个人做了多少功？ 我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积．如图7－22所示，设水平方向的单位向量为i ，垂直方向的单位向量为j ，则 F =x i + y j cos30sin30=?+?F i F j ， 图7—21 图7－16
《平面向量》单元教学设计 武都区两水中学王斌 向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具。向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系。 向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。在本章中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力。 一、单元教学目标 本章主要包括平面向量的实际背景及基本概念、平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容。通过本章学习，应引导 学生： 1．通过力和力的分析等实例，知道向量的实际背景，会运用平面向量和向量相等的含义，会向量的几何表示。 2．通过实例，会算向量加、减法的运算，并会求其几何意义。 3．通过实例，熟练运用向量数乘的运算，并解释其几何意义，以及两个向量共线的含义。 4．能说出向量的线性运算性质及其几何意义。 5．知道平面向量的基本定理及其意义。 6．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。 7．会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。 8．解释用坐标表示的平面向量共线的条件。 9．通过物理中“功”等实例，说明平面向量数量积的含义及其物理意义。 10．体会平面向量的数量积与向量投影的关系。 11．识记数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。 12．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。 13．经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。 二、学习者特征分析 向量是近代数学中重要的和基本的概念之一，它是沟通代数几何与三角的一种工具。向量对学生来说是比较新的内容，学生对它的学习可以说是充满了探求的欲望，应当说能够使大部分学生在此章节的学习中体会到学习的成功乐趣。学生在学习本单元内容之前，已熟知了实数的运算体系，具备了物理知识. 这都为学习向量准备好各方面条件. 三、单元教材分析 本章共安排了5个小节及2个选学内容，大约需要12个课时，具体分配如下 2．1 平面向量的实际背景及基本概念 2课时 2．2 向量的线性运算 2课时
向量数乘运算及其几何意义教学设计 一、教材分析 1.《新课程标准》的解读分析 向量具有丰富的现实背景和物理背景，是沟通几何、代数、三角等内容的桥梁,是重要的数学模型。在本模块的教学中，应鼓励学生使用计算器和计算机探索和解决问题。在相应的内容中可以插入数学探究或数学建模活动。 2. 在整个高中教材中的地位和作用。 向量，具有“数”与“行”的双重身份，是处理问题的一种工具，作用非常大，贯穿于整个高中数学的学习中。 3. 本章节地位、本节的逻辑关系。 向量数乘运算及其几何意义位于人教版《必修4》2.2.3节，在本章节中起着承前起后的作用。学生在掌握向量加法、减法的基础上，学习实数与向量的积的运算已无多大困难。通过前面学习两个向量的运算，进一步转化为数与向量的联系，是后面学习平面向量基本定理的基础。 二、教学目标设计 （一）教学重难点 重点：掌握实数与向量的积的定义、运算律,理解向量共线定理。 难点：向量共线定理的探究及其应用。 （二）三维目标设计 1.知识与技能: 通过实例，掌握向量数乘运算，理解其几何意义，理解向量共线定理。熟练运用定义、运算律进行有关计算，能够运用定理解决向量共线、三点共线、直线平行等问题。 2.过程与方法: 理解掌握向量共线定理及其证明过程，会根据向量共线定理判断两个向量是否共线。 3.态度情感与价值观： 通过由实例到概念，由具体到抽象，培养学生自主探究知识形成的过程的能力，合作释疑过程中合作交流的能力。激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情感，培养学生实事求是的科学态度，勇于创新的精神。 （三）教情学情分析 本节课是为高一8班的数学教学而设计的，因为我任教的是高三，所以对本班级的一些情况缺乏了解。通过与任课教师以及所在班学生的交流得知，前面学生已经学完向量的加减运算，学生具备一定的独立思考，合作释疑的能力。因此，本节课采用“探究释疑”的授课方式，既能充分发挥学生主观能动性，又能达到预期的教学目的。 （四）教学预设前制定的预习提纲 一、基本知识点 1.一般地，我们规定，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度和方向规定如下：（1） （2） 2.向量数乘的运算律：（1）（结合律） （2） (第一分配率)
课题：空间向量及其线性运算（人教A版 3.1.1+3.1.2部分内容） 教学内容解析： 本节课的教学内容选自《普通高中课程标准实验教科书·数学（选修2-1）》（人教A 版）第3章“空间向量与立体几何”第1节“空间向量及其加减运算”和第2节“空间向量的数乘运算”的部分内容。 向量是既有大小又有方向的量，既能像数一样进行运算本身又是一个“图形”所以它可以作为沟通代数和几何的桥梁在很多数学问题的解决中有着重要的应用。本章要学习的空间向量将为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供一个十分有效的工具。本小节的主要内容可分为两部分一是空间向量的相关概念；二是空间向量的线性运算。空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角，本课作为章节的起始课，是学生学习了平面向量的基础之后展开的，经历了向量及其运算由平面向空间推广的过程，既复习巩固了平面向量的有关内容，又为后面用向量解决立体几何问题做好铺垫，起到承前启后的作用。教学过程中应充分让学生类比猜想、自主探索，得出相应的法则和性质，引导学生主动学习类比、归纳、推广、化归等思想方法，提高数学素养。 学情分析： 1.学生已经学习过平面向量的概念及其相关运算，为本节空间向量及其线性运算的学习打下了坚实的知识基础。 2.学生在探究问题以及合作交流的意识等方面，发展不够均衡，尚有待加强，必须在教师一定的指导下才能进行。 教学目标： 1.知识与技能目标： （1）了解空间向量的概念； （2）掌握空间向量的加减数乘运算； （3）掌握空间向量的运算律。 2.过程与方法目标：
（1）理解空间向量的概念，掌握空间向量的表示方法； （2）会用图形说明空间向量加法，减法，数乘向量及它们的运算律； （3）用空间向量的运算及运算律解决简单的立体几何问题。 3.情感态度价值观目标： （1）形成事物与事物之间普遍联系及其相互转化的辨证观点； （2）通过变式训练，提高学生对事物个性与共性之间联系的认识水平。 教学重点： 空间向量的线性运算； 教学难点： 体会类比的数学方法；（平面向量向空间向量的推广过程中学生对于其相同点与不同点的理解有一定的困难） 教学策略： 多媒体教学、问题式教学、讲授法、类比法、讨论法、自主学习、合作探究 教学设计： 1.教学结构设计
第七章第二节数乘向量 学情分析 本节课是在学生已经学习了向量的加、减法的基础上进行学习的，虽然学生已经了解了向量的一些基本运算，但在本节课中出现了符号的判断和向量的证明，是本节课的重点也是学生的难点。 教材分析 学生已学习了向量的加、减法运算，知道用作图的方法来求两个向量的和向量和差向量，在本节课的学习中，学生会遇到的困难有：数乘向量运算时的符号确定；数乘向量的证明，为此在教学中要注重数形结合的学习方法。 二、教学结构化 一）三维目标 知识与能力目标 1.通过实例，掌握向量数乘运算，理解其几何意义，理解向量共线定理。 2.熟练运用定义、运算律进行有关计算。 3.能够运用定理解决向量共线、三点共线、直线平行等问题。 过程与方法目标 理解掌握向量共线定理及其证明过程，会根据向量共线定理判断两个向量是否共线。
情感态度与价值观 通过由实例到概念，由具体到抽象，培养学生自主探究知识形成的过程的能力，合作释疑过程中合作交流的能力。激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情感，培养学生实事求是的科学态度，勇于创新的精神。 三、 教学过程 一、知识回顾 问题1：向量加法的运算法则？ 问题2：向量减法的运算法则？ 二、新知探究 数乘向量的图形表示 我和你同时向一个方向用绳子拉讲桌，那么你年轻些肯定力气大些哈！我用的力的大小记为F ,而你所用的力的大小是我的两倍，那么就可以表示为… 好！那是否能把这样的向量在图上表示出来呢？ 1.向量数量积的定义 【探究1】 已知非零向量a ，作出 a 2 1 ，a a 3-2和 很明显这些向量都是共线的，而且大小之间存在着倍数关系。 那么，向这样的实数k 和向量a 的积叫做数乘向量。记做a k 。 咱们接着观察：
平面向量的数量积授课教案 张辉
授课内容：平面向量的数量积 授课类型：复习课 授课教师：张辉 教学目标：
①通过物理中"功"等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理 意义；
②体会平面向量的数量积与向量投影的关系； ③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算； ④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面 向量的垂直关系。 教学重点：平面向量数量积的运算 教学难点：平面向量与其他知识点的综合问题的处理 命题走向： 本讲以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察平 面向量的数量积的概念及应用。重点体会向量为代数几何的结合体， 此类题难度不大，分值 5~9 分。 平面向量的综合问题是“新热点”题型，其形式为与直线、圆锥 曲线、三角函数等联系，解决角度、垂直、共线等问题，以解答题为 主。 预测 09 年高考： （1）一道选择题和填空题，重点考察平行、垂直关系的判定或
夹角、长度问题；属于中档题目。
（2）一道解答题，可能以三角、数列、解析几何为载体，考察
向量的运算和性质；
教学过程： 一．知识点梳理 （1）数量积的概念
已知两个非零向量 a 与 b ，它们的夹角为 ，则 a · b =︱ a ︱·︱ b ︱cos
叫做 a 与 b 的数量积（或内积）。规定 0 a 0 ；
向量的投影：︱ b ︱cos = a b ∈R，称为向量 b 在 a 方向上的投影。投影的 |a|
绝对值称为射影；
（2）数量积的几何意义： a · b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘 积。
（3）向量数量积的性质
①向量的模与平方的关系： a a a2 | a |2 。
②乘法公式成立
a b a b a2 b 2 a 2 b 2 ； a b 2 a2 2a b b 2 a 2 2a b b 2 ；
③平面向量数量积的运算律 交换律成立： a b b a ；
对实数的结合律成立： ab a b a b R ； 分配律成立： a b c a c b c c a b 。
④向量的夹角：cos = cos a,b a ? b =
x1x2 y1 y2
。
a?b
x12 y12 x2 2 y2 2
当且仅当两个非零向量 a 与 b 同方向时，θ=00，当且仅当 a 与 b 反方向时θ