线面、面面平行和垂直的八大定理 一、线面平行。 1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平 面平行。符合表示： β ββ////a b a b a ???????? 2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 符号表示： b a b a a a ////??? ? ????=??βαβαα I 二、面面平行。 1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。 符号表示： β α//////????? ?????==N n m M b a a m b n I I 2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。 符号表示： d l d l ////??? ???==γβγαβαI I （更加实用的性质：一个平 面内的任一直线平行另一平面） 三、线面垂直。 1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直 线垂直这个平面。 符号表示： α⊥?????? ??????=⊥⊥a M c b b a c a I ＄：三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
符号表示： PA a A oA a po oA a ⊥??? ? ????=⊥⊥??αα α 2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。） 四、面面垂直。 1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。 βααβ⊥??⊥a a , 2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。βαβαβα⊥?⊥?=?⊥a b a a b ,,，
考纲要求： 1． 理解线面平行的判定定理，理解面面平行的判定定理。 2． 理解线线平行的性质定理，理解面面平行的性质定理。 命题趋势： 1． 以选择题或填空题的形式，结合线与面、面与面的平行关系考查线面位置关系的判定。 2． 作为解答题的一部分，考查线与面、面与面的位置关系的判定。 考点扫描： 自测 1.已知不重合的直线,a b 和平面α ①,,a b a b αα?P P 若则 ②,,a b a b ααP P P 若则
③,,a b b a αα?P P 若则 ④,,a b a b b ααα?P P P 若则或 上面命题中正确的序号是 . 2如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为正方形,.E PC 为中点 证明:PA EDB P 面 例题精析 例1．如图所示,正方体111111,,.ABCD A B C D AB BC -中 侧面对角线上 11,,E F B E C F =分别有两点且,证明:EF ABCD P 面 C
2如图,已知点P 是三角形ABC 所在平面外一点,且1,PA BC == EFGH PA 截面分别平行于、(BC E 点、F 、G 、H 分别在棱AB 、AC 、PC 、PB 上）. (1)求证:四边形EFGH 是平行四边形且周长为定值 (2)设PA 与BC 所成的角为θ,求四边形EFGH 的面积的最大值. p B G C H A F E
练习 11011111111 1111111),,1,90,4,2,3(1),:;(2);(3).B C ABC A B B C A B C AA BB CC O AB OC A B C AB A C C ==∠====P 1( 江西高考)如图是一个直三棱柱(以A 为底面被一平面所截得到的几何体截面为已知设点是中点证明平面求与平面A 所成的角的正弦值 求此几何体的体积
直线与平面平行（第二课时） 课题： 《9.4直线与平面平行》选自人民教育出版社《数学》基础版第九章立体几何第一部分平面的基本性质。 设计理念： 本节课的设计遵循从具体到抽象的原则，适当运用多媒体辅助教学手段，借助实物模型，通过直观感知，操作确认，合情推理，归纳出直线与平面平行的判定定理，将合情推理与演绎推理有机结合，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中，揭示直线与平面平行的判定、理解数学的概念，领会数学的思想方法，养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方式，发展学生的空间观念和空间想象力，提高学生的数学逻辑思维能力。 内容分析： 1、本节课分三个部分内容，分别是：性质定理的猜想、证明、与应用。 2、本节课贯穿线面关系以后的整个教学，是学生进一步顺利、快捷操作立体几何的基础，也是形成学生合理知识链的重要环节。 3、本节课联系了线线位置关系和线面位置关系，在以后为学生后续学习做好“知识、方法及技能”的必要准备。因此，本小节内容具有重要的“战略”意义,在教材中起到承上启下的作用。 学情分析： 任教的学生大多是财会班，女生偏多，学生学习数学的兴趣不大，学习立几所具备的语言表达及空间感与空间想象能力相对不足，学习方面有一定困难。老师的任务即要让学生主动学习，又要让学生学懂。 教学目标： 1、知识与技能：在教师的适当引导和学生的自主学习，使学生通过直观感知和操作确认的方法，推导出直线与平面平行的性质定理，并学会应用定理解决具体问题。 2、过程与方法：（1）在教师的引导下，学生由直观感知获得猜想，经过逻辑论证推导出线面平行的性质定理，发展学生几何直觉、运用图形语言进行交流的能力； （2）通过直线与平面平行的性质定理的实际应用，让学生体会定理的现实意义与重要性。 3、情态与价值观：进一步培养学生观察、发现、归纳的能力和空间想象能力；通过主
《直线与平面平行的判定》教案 《直线与平面平行的判定》教案 《直线与平面平行的判定》教案 一、设计思路1.指导思想：以新课程理念为指导，遵循教育教学规律，利用多媒体辅助教学。以问题设计为主要表现形式，创设良好的教学情境，充分发挥学生的主体参与作用，在教师引导下让学生进行自主探索，合作交流，达到教学的三维目标（即：知识和能力、过程和方法、情感态度和价值观）。2.设计理念：本节课的设计遵循从具体到抽象的原则，适当运用多媒体辅助教学手段，借助实物模型，通过直观感知，操作确认，归纳出直线与平面平行的判定定理，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中，揭示直线与平面平行的判定、理解数学的概念，领会数学的思想方法，养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方式，发展学生的空间观念和空间想象力，提高学生的数学逻辑思维能力。3.教材分析：本节课《直线与平面平行的判定》选自高一数学第二册第一章第五节第1课时。直线与平面平行问题是高考考查的重点之一，在前面已经学习空间点、线、面位置关系的基础上，结合有关实物模型，通过直观感知、操作确认归纳出直线与平面平行的判定定理。通过对定理的概括及应用，使学生体会“转化”的观点，提高学生的空间想象能力和逻辑推理能力。4.学情分析：对高一的学生来说，该学段的学生学习兴趣较高，但学习立体几所具备的语言表达及空间感与空间想象能力相对不足，学习方面有一定困难。但是在前面直线与平面平行学习的基础上，结合实物模型，对学生在理解接受上有很大帮助。二、教学目标1、知识与技能（1）通过直观感知、操作确认，理解直线与平面平行的判定定理并能进行简单应用。（2）进一步培养学生观察、发现问题的能力和空间想象能力。（3）通过例题及习题的思考，交流及释疑掌握平行关系的判定方法，培养灵活思维、严谨推理的好习惯。2、过程与方法（1）启发式：以实物（门、书、）为媒体，启发、诱导学生逐步经历定理
直线与平面、平面与平面平行的判定 [学习目标] 1.理解直线与平面平行、平面与平面平行判定定理的含义.2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用.3.能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题. 知识点一直线与平面平行的判定定理 语言叙述符号表示图形表示 平面外一条直线与此平面内的一条直线平 行，则该直线与此平面平行 ?? ? ?? a?α b?α a∥b ?a∥α 思考若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线和这个平面平行吗？ 答根据直线与平面平行的判定定理可知该结论错误. 知识点二平面与平面平行的判定定理 语言叙述符号表示图形表示 一个平面内的两条相交直线与另一个平 面平行，则这两个平面平行 ?? ? ?? a?α，b?α a∩b＝A a∥β，b∥β ?α∥β 思考如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面也平行吗？答不一定.这条直线与另一个平面平行或在另一个平面内. 题型一直线与平面平行的判定定理的应用 例1如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、 DA的中点. 求证：(1)EH∥平面BCD； (2)BD∥平面EFGH. 证明(1)∵EH为△ABD的中位线， ∴EH∥BD.
∵EH?平面BCD，BD?平面BCD， ∴EH∥平面BCD. (2)∵BD∥EH，BD?平面EFGH， EH?平面EFGH， ∴BD∥平面EFGH. 跟踪训练1在四面体A－BCD中，M，N分别是△ABD和△BCD的重心，求证：MN∥平面ADC. 证明如图所示，连接BM，BN并延长，分别交AD，DC于P，Q两 点，连接PQ. 因为M，N分别是△ABD和△BCD的重心， 所以BM∶MP＝BN∶NQ＝2∶1. 所以MN∥PQ. 又因为MN?平面ADC，PQ?平面ADC， 所以MN∥平面ADC. 题型二面面平行判定定理的应用 例2如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点.求证：平面A1EB∥平面ADC1. 证明由棱柱性质知， B1C1∥BC，B1C1＝BC， 又D，E分别为BC，B1C1的中点， 所以C1E綊DB，则四边形C1DBE为平行四边形， 因此EB∥C1D， 又C1D?平面ADC1， EB?平面ADC1， 所以EB∥平面ADC1. 连接DE，同理，EB綊BD，
线面平行的判定定理和性质定理 教学目的： 1.掌握空间直线和平面的位置关系； 2.直线和平面平行的判定定理和性质定理，灵活运用线面平行的判定定理和性质定掌握理实现“线线”“线面”平行的转化 教学重点：线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用 教学难点：线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 本节有两个知识点，直线与平面和平面与平面平行，直线与平面、平面与平面平行特征性质这也可看作平行公理和平行线传递性质的推广直线与平面、平面与平面平行判定的依据是线、线平行这些平行关系有着本质上的联系 通过教学要求学生掌握线、面和面、面平行的判定与性质这两个平行关系是下一大节学习共面向量的基础 前面3节主要讨论空间的平行关系，其中平行线的传递性和平行平面的性质是这三小节的重点 教学过程： 一、复习引入： 1 空间两直线的位置关系 （1）相交；（2）平行；（3）异面 2.公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行 推理模式：//,////a b b c a c ?． 3.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等 4.等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等. 5.空间两条异面直线的画法 a b 1A A 6．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线 推理模式：,,,A B l B l ααα?∈???AB 与l 是异面直线
7．异面直线所成的角：已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关，把,a b ''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）．为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上异面直线所成的角的范围：2 , 0(π 8．异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线,a b 垂直，记作a b ⊥． 9．求异面直线所成的角的方法： （1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线； （2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求 10．两条异面直线的公垂线、距离 和两条异面直线都垂直相交．．．．的直线，我们称之为异面直线的公垂线 在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度， 叫做两条异面直线间的距离． 两条异面直线的公垂线有且只有一条 二、讲解新课： 1．直线和平面的位置关系 （1）直线在平面内（无数个公共点）； （2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）； （3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类． a α?，a A α=，//a α． a α a α 2．线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 推理模式：,,////l m l m l ααα???． 证明：假设直线l 不平行与平面α， ∵l α?，∴l P α=， 若P m ∈，则和//l m 矛盾， 若P m ?，则l 和m 成异面直线，也和//l m 矛盾，
3）直线与平面平行：如果一条直线a ∥α. 直线与平面平行的判定定理 语言叙述：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线这个平面 平行.简称为：“线线平行，则线面平行”符号语言：若,,αα??b a 且 图形： 【例题】 例1：已知空间四边形ABCD 中，E ，F 分别AB ，AD 的中点． 求证：EF//平面BCD ． ''''P Q 例2：如图所示，已知、是正方体的面ADD A 、面ABCD 的中心. 证明：PQ//面CDD C D ' A ' B ' C ' C D P
【练习题】 1.直 线 和 平 面 平 行 的 充 要 条 件 是 -----------------------------------------------------------------------（ ） A.直线与平面内的一条直线平行 B.直线与平面内的两条直线不相交 C.直线与平面内的无数条直线平行 D.直线与平面内的任何一条直线都不相交 2．下列命题 (1)直线l 平行于平面α内的无数条直线，则l ∥α； (2)若直线a 在平面α外，则a ∥α； (3)若直线a ∥b ，直线b ?α，则a ∥α； (4)若直线a ∥b ，b ?α，那么直线a 就平行于平面α内的无数条直线． 其 中 真 命 题 的 个 数 为 ----------------------------------------------------------------------------------( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．不同直线m 、n 和不同平面α，β，给出下列命题： ① ? ??? ?n ∥αm ?α?m ∥n ；② ? ??? ?m ∥n m ∥β?n ∥β；③ ? ??? ?m ?αn ?β?m ，n 不共面；④ ? ??? ?n ∥βm ∥α? m ∥n ， 其 中 假 命 题 的 个 数 是 ----------------------------------------------------------------------------------( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．直线l 与平面α平行，点A 是平面α 内的一点，则下列说法正确的是 ----------------------( ) A ．过点A 作与l 平行的直线只能作一条，且在α外 B ．过点A 作与l 平行的直线可作无数条，可在α内，也可在α外 C ．过点A 作与l 平行的直线只能作一条，且在α内 D ．过点A 不可作与l 平行的直线 5.两条平行线中的一条平行于一个平面，那么另一条与此平面的位置关系是
§2.2.1 直线与平面平行的判定 【教学目标】 （1）识记直线与平面平行的判定定理并会应用证明简单的几何问题； （2）进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力； （3）让学生了解空间与平面互相转换的数学思想。 【教学重难点】 重点、难点：直线与平面平行的判定定理及应用。 【教学过程】 （一）创设情景、揭示课题 引导学生观察身边的实物，如教材第54页观察题：封面所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？如何去确定这种关系呢？这就是我们本节课所要学习的内容。 （二）研探新知 1、观察 ①当门扇绕着一边转动时，门扇转动的一边所在直线与门框所在平面具有什么样的位置关系？②将课本放在桌面上，翻动书的封面，封面边缘所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？ 问题本质：门扇两边平行；书的封面的对边平行 从情境抽象出图形语言 探究问题： 面α外的直线a 平行平面α内的直线b 平 ③直线,a b 共面吗？ ④直线a 与平面α相交吗？ 课本P55探究 学生思考后，小组共同探讨，得出以下结论 直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 简记为：线线平行，则线面平行。 符号表示： a α b β => a ∥α a ∥b 2、典例 例1 课本p55求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边所在的平面。 分析：先把文字语言转化为图形语言、符号语言，要求已知、求证、证明三步骤，要证线面平行转化为线线平行BD EF // 已知:如图,空间四边形ABCD 中,,E F 分别是,AB AD 的中点. 求证:.EF//平面BCD 。 α b a
课题：线面平行、面面平行 教学目标：掌握线面平行、面面平行的判定方法，并能熟练解决线面平行、面面平行的判定问题. （一） 主要知识及主要方法： 1.线面平行的证明()1判定定理:如果平面外一条直线与这个平面内一条直线平行,那么这 条直线与这个平面平行；()2两平面平行的性质定理： α∥β，a λα=I ，b γβ=I ?a ∥b .()3向量法. 方法1；AB ∥α?AB n AB α?⊥????u u u r r à?0 AB n AB α?=?? ?? u u u r r g à 方法2；AB ∥α?AB CD AB CD αα?? ??? u u u r u u u r ∥à? 方法3；证明直线的方向向量与平面的两不共线向量是共面向量， 即利用平面向量基本定理进行证明.如图， CD ∥α?CD xAC y AB CD α ?=+????u u u r u u u r u u u r à（其中{},x y 唯一且有序） 2.面面平行的证明：()1判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平 面,那么这两个平面平行. ()2垂直于同一条直线的两个平面平行;()3平行于同一个平 面的两个平面平行.()3设1n u r 、2n u u r 分别是平面α、β的法向量，若1n u r ∥2n u u r ，则α∥β （二）典例分析： 问题1．（06北京）如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中， AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且 PA AB =，点E 是PD 的中点. ()1略； ()2求证：PB ∥平面AEC ；()3略. 问题2．如图，在正三棱锥S ABC -中， D 、 E 、 F 分别是棱AC 、BC 、SC 上的点， 且2CD DA =，2CE ES =，2CF FB =， G 是AB 的中点.()1求证：平面SAB ∥平面DEF ； ()2求证：SG ∥平面DEF A B C α D g g g g α A B C C D P A B C D E S A C D E g
教学目的： 1.掌握空间直线和平面的位置关系； 2.直线和平面平行的判定定理和性质定理，灵活运用线面平行的判定定理和性质定掌握理实现“线线”“线面 ”平行的转化 教学重点：线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用 教学难点：线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 本节有两个知识点，直线与平面和平面与平面平行，直线与平面、平面与平面平行特征性质这也可看作平行公理和平行线传递性质的推广直线与平面、平面与平面平行判定的依据是线、线平行这些平行关系有着本质上的联系 通过教学要求学生掌握线、面和面、面平行的判定与性质这两个平行关系是下一大节学习共面向量的基础 前面3节主要讨论空间的平行关系，其中平行线的传递性和平行平面的性质是这三小节的重点 教学过程： 一、复习引入： 1 空间两直线的位置关系 （1）相交；（2）平行；（3）异面 2.公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行 推理模式：//,////a b b c a c ?． 3.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等 4.等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等. 5.空间两条异面直线的画法 a b 1A A 6．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线 推理模式：,,,A B l B l ααα?∈???AB 与l 是异面直线
7．异面直线所成的角：已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关，把,a b ''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）．为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上异面直线所成的角的范围：2 , 0(π 8．异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线,a b 垂直，记作a b ⊥． 9．求异面直线所成的角的方法： （1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线； （2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求 10．两条异面直线的公垂线、距离 和两条异面直线都垂直相交．．．．的直线，我们称之为异面直线的公垂线 在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度， 叫做两条异面直线间的距离． 两条异面直线的公垂线有且只有一条 二、讲解新课： 1．直线和平面的位置关系 （1）直线在平面内（无数个公共点）； （2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）； （3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类． a α?，a A α=，//a α． a α a α 2．线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 推理模式：,,////l m l m l ααα???． 证明：假设直线l 不平行与平面α， ∵l α?，∴l P α=， 若P m ∈，则和//l m 矛盾， 若P m ?，则l 和m 成异面直线，也和//l m 矛盾，
《直线与平面平行的判定》教学设计 教师：孔德珠 一、课题分析： 本节内容选自人教版A版必修2第二章第二节直线、平面平行的判定及其性质》的第一课时，是学习了点、线、面的位置关系以后，进一步研究直线与平面的位置关系。平行关系是本章的重要内容，线面平行是平行关系的初步，也是面面平行判定的基础，而且还映射着线面垂直的有关内容，具有承上启下的作用。因此本节内容具有承前启后的作用，地位至关重要． 二、三维目标： （一）知识与技能 1、通过直观感知.操作确认，理解直线与平面平行的判定定理并能进行简单应用； 2、进一步培养学生观察、发现问题的能力和空间想像能力。 （二）过程与方法 1、启发式。以实物（门、书等）为媒体，启发、诱思学生逐步经历定理的直观感知过程； 2、指导学生进行合情推理。对于立体几何的学习，学生已初步入门，让学生自己主动地去获取知识、发现问题，教师予以指导、帮助学生合情推理、澄清概念、加深认识，正确运用。 （三）情感态度与价值观 1、让学生亲身经历数学研究的过程，体验创造的激情，享受成功的喜悦，感受数学的魅力； 2、在培养学生逻辑思维能力的同时，养成学生办事认真仔细的习惯及合情推理的探究精神。 三、重点难点： 教学重点：直线和平面平行关系判定的形成过程； （通过直观类比、探究发现来突出重点） 教学难点：直线与平面平行判定定理的理解和应用。 （通过分组讨论、设计练习等教学手段来突破难点） 四、教学过程 （一）复习引入 问题：回顾直线与平面的位置关系。 设计意图：通过师生互动回忆旧知识，帮助学生巩固旧知识，让学生在体验学习数学的成就感中来学习新知识，营造轻松愉快的学习氛围。 （二）感知定理
直线和平面平行的判定 一、素质教育目标 1、理解并掌握直线和平面平行的判定定理，会运用定理证明直线与平面平行问题； 2、领悟将空间的线面平行关系转化为线线平行关系的转化数学思想，同时让学生认识理论 来源于实践，并应用于实践． 二、教学重点、难点 1．教学重点：直线与平面平行的判定定理及应用． 2．教学难点：直线与平面平行的判定定理的归纳与灵活运用． 三、教学手段及教具准备 1、运用多媒体电脑教室，教学课件； 2、教具准备：直线2条、平面、长方体模型各一个。 四、教与学双边活动过程设计 （一）复习旧知，创设问题情境． 师：直线和平面的位置关系有几种，分别是什么？ 生：直线和平面的位置关系有三种： 直线在平面内；直线和平面相交；直线和平面平行． 师：直线和平面平行的定义怎样？ 生：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行． （二）提出问题. 师：可不可以用这个方法判定直线与平面平行？还有没有更好的办法？ （三）引导学生探索新知，发现定理. 师：直线和平面平行的判定不仅可以根据定义，还有更好的方法．让我们先来观察(动手操作)： 【实例1】如图1，将一本书平放在桌面上，翻动书的硬皮封面，封面边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？（模型演示）
【实例2】门框的对边是平行的，如图2，a ∥b ，当门扇绕着一边b 转动时，另一边a 始终与b 图1 ——启发学生观察，积极进行思考，探索、总结归纳直线与平面平行的判定定理。 生：不会有公共点，即a 平行于b 所在的平面．由此我们得到： 直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个 平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 符号表示为：a ?α，b ?α，a ∥b ?a ∥α 师：从上面的判定定理我们可以得到证明一条直线和一个平面平行的方法，是怎样的？ ——引导学生深化理解，形成知识方法。 生：只要在这个平面内找出一条直线和已知直线平行，就可断定这条已知直线必和这个平面平行，即：线线平行?线面平行． 知识及时反馈：在长方体中，指定一条棱所在直线，找出与该棱所在直线平行的平面。 （模型演示） （四）应用定理，巩固与提高 1、学习例1： 空间四边形相邻两边中点的连线，平行于经过另外两边的平面． 已知：空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、求证：EF ∥平面BCD ． 分析：根据直线与平面平行的判定定理， 要证明EF ∥平面BCD ，只要在平面BCD 内 找一直线与EF 平行即可，很明显原平面BCD 内的直线BD ∥EF ． 生：证明：连结BD ．
9.2 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质 【教学目标】 知识目标： （1）理解线线、线面、面面的位置关系； （2）了解异面直线的概念； （3）理解线线、线面、面面平行的判定与性质． 能力目标： （1）画出线线、线面、面面各种位置关系的直观图； （2）利用线线、线面、面面平行的判定与性质，解释生活空间的一些实例； （3）培养学生的空间想象能力和数学思维能力． 情感目标： （1）经历对线线、线面、面面、几何体的位置关系及对应直观图形的认知，发展空间想象思维． （2）参与数学实验，感受各种位置关系的特征，培养数学直觉，感受科学思维．（3）关注生活中的数学模型，体会数学知识的应用． （4）经历合作学习的过程，尝试探究与讨论，树立团队合作意识． 【教学重点】 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质． 【教学难点】 异面直线的想象与理解，平面中与已知直线平行直线的寻求过程 【教学设计】 本节结合正方体模型，通过观察实验，发现两条直线的位置关系除了相交与平行外，在空间还有既不相交也不平行，不同在任何一个平面内的位置关系．由此引出了异面直线的概念．通过画两条异面直线培养学生的画图、识图能力，逐步建立空间的立体观念．空间两条直线的位置关系既是研究直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的开始，又是学习后两种位置关系的基础．因此，要让学生树立考虑问题要着眼于空间，克服只在一个平面内考虑问题的习惯． 通过观察教室里面墙与墙的交线，引出平行直线的性质，在此基础上，提出问题“空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角的度数存在着什么关系？请通过演
示进行说明．”这样安排知识的顺序，有利于学生理解和掌握所学知识． 要防止学生误认为“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内的所有的直线”，教学时可通过观察正方体模型和课件的演示来纠正学生的这个错误认识．平面与平面的位置关系是通过观察教室中的墙壁与地面、天花板与地面而引入的．【教学备品】 教学课件． 【课题】9.2.2直线与平面平行（第一课时） 【教学过程】
§2.2.1 直线与平面平行的判定 （选自人教A版必修②第二章第二节第一课时） 一、教材分析 本节教材选自人教A版数学必修②第二章第二节第一课时，主要内容是直线与平面平行的判定定理的探究与发现、归纳概括、练习与应用。它是在前面已学空间点、线、面的位置关系的基础上，结合有关的实物模型，通过直观感知、操作确认(合情推理，不要求证明)归纳出直线与平面平行的判定定理。学线面平行判定是三大平行判定（线线平行、线面平行、面面平行）的核心，也是高考的高频考点之一，学好线面平行对后续学习面面平行及三大垂直的判定与性质等内容，具有良好的示范作用，同时，它在立体几何学习中起着承上启下的作用，具有重要的意义与地位。本节课的学习对培养学生空间想象能力与逻辑推理能力起到重要作用。线面平行的判定蕴含的数学思想方法主要有数形结合与化归与转化思想。 二、学情分析 本节课的教学对象是高一的学生，他们具备一定的由形象思维转化为逻辑思维的能力。学生在此前已经学习了直线与直线平行的性质及判定、直线与平面平行的定义，对直线与平面平行有了一定的认识，这些都为学生学习本节课做了准备。同时，由于本节课与生活实际相结合，学生的学习兴趣、参与度会比较大。但是由于学生处于学习空间立体几何的初始阶段，学习立体几何所具备的语言表达及空间感与空间想象能力不够，特别是对线面平行（空间立体）转化为线线平行（平面）的化归与转化思想，这是学生首次接触的思想方法，应加以必要的强化与引导。 三、教学目标 （一）知识技能目标 （1）理解直线与平面平行的判定定理并能进行简单应用； （2）培养学生观察、发现问题的能力和空间想象能力。 （二）过程方法目标 （1）启发式：以实物（门、书、直角梯形卡纸）为媒介，启发、诱导学生逐步经历定理的直观感知过程；
课题：直线与平面平行的判定 【教学目标】班级姓名 1.探究直线与平面平行的判定定理. 2.直线与平面平行的判定定理的应用. 【重点难点:】如何判定直线与平面平行 【学习过程】 一、课前预习案 问题1. 将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，封面边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？ 问题2. 观察长方体，你能发现长方体ABCD—A′B′C′D′中， 线段A′B所在的直线与长方体ABCD—A′B′C′D′的侧面 C′D′DC所在平面的位置关系吗？ 阅读教材p54-55页，并独立思考解决下列问题 ①回忆空间直线与平面的位置关系，直线a在平面α外，是不是能够断定a∥α呢？ ②若平面外一条直线平行平面内一条直线，那么平面外的直线与平面的位置关系可能相交吗？请你探究平面外的直线与平面的位置关系. ③请描述直线与平面平行的判定定理. 自然语言： 符号语言： 图形语言： 思考：要证明线面平行，需先证明
二、课堂探究案 例: 求证空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边的平面. 已知空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点. 求证：EF∥面BCD. 点评：“见中点，找中点”是证明线线平行常用方法，而证明线面平行往往转化为证明线线平行. 跟踪训练：1.如图，已知AB、BC、CD是不在同一平面内的三条线段，E、F、G分别为AB、BC、CD的中点. 求证：AC∥平面EFG，BD∥平面EFG. 2.已知四棱锥P—ABCD的底面为平行四边形,M为PC的中点,求证:PA∥平面MBD.
3.如图,四棱锥P ABCD -中,2AB CD AB CD =∥,,,,,E F G M N 分别为,,,,PB AB BC PD PC 的中点 求证:CE PAD ∥平面; 三、目标检测 1.指出下列命题是否正确，并说明理由： (1).如果一条直线不在平面内，那么这条直线就与这个平面平行； (2).过直线外一点有无数个平面与这条直线平行； (3).过平面外一点有无数条直线与这个平面平行。 2.已知直线a,b 和平面α，下列命题正确的是 （ ） A.若a//α,b ?α则a//b B. 若a//α,b//α则a//b C. 若a//b,b ?α则a//α D. 若a//b,b ?α则a//α或b ?α 3.在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的面中： (1)与直线AB 平行的平面是： (2)与直线A A 1平行的平面是： (3)与直线AD 平行的平面是： 4如图, 已知E 、F 分别是三棱锥A-BCD 的侧棱AB 、AD 中点, 求证: EF//平面BCD. A 1 A E F B D
8.5空间直线、平面的平行 【学习目标】 1.掌握直线与平面平行的判定定理； 2.掌握两平面平行的判定定理； 3．能熟练应用直线与平面、平面与平面平行的判定定理解决相关问题． 【要点梳理】 要点一、直线与直线平行 基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：//a b ，////b c a c ?. 基本事实4说明平行具有传递性，在平面、空间都适用. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 要点二、直线和平面平行的判定 判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.简记为：线线平行，则线面平行. 图形语言： 符号语言：a α?、b α?，//a b //a α?. 要点诠释： （1）用该定理判断直线a 与平面α平行时，必须具备三个条件： ①直线a 在平面α外，即a α?； ②直线b 在平面α内，即b α?； ③直线a ，b 平行，即a ∥b ． 这三个条件缺一不可，缺少其中任何一个，结论就不一定成立． （2）定理的作用 将直线和平面平行的判定转化为直线与直线平行的判定，也就是说，要证明一条直线和一个平面平行，只要在平面内找一条直线与已知直线平行即可． 要点三、直线和平面平行的性质定理 定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.简记为：线面平行则线线平行. 符号语言：若//a α，a β?，b αβ=I ，则//a b . 图形语言： 要点诠释： 直线和平面平行的性质定理可简述为“若线面平行，则线线平行”．可以用符号表示：若a ∥α， αβ?，，则a ∥b ．这个性质定理可以看作直线与直线平行的判定定理，用该定理判断直线a 与b 平行
直线与平面平行的判 定 2016年9月12日 “直线与平面平行的判定”教学设计 授课教师学校： 一、教学背景分析 教学内容分析 本节课选自人教A版必修2第二章第二节第一小节《直线与平面平行的判定》，共2课时，本节为第一课时。主要内容有： 1.直线与平面平行的判定定理； 2.直线与平面平行的判定定理的简单应用. 线面平行的判定是研究空间线面关系的起始课，也为其它位置关系的研究做了准备；线面平行与垂直关系 研究的主线是类似的，都是以定义——判定——性质为主线，判定定理的教学，尽管新课程在必修课程中 不要求证明，但通过定理的探索过程，培养学生的几何直觉以及运用图形语言、符号语言进行交流的能力，是本节课的重要任务. 本节学习内容蕴含丰富的数学思想，即“空间问题转化为平面问题”，“无限问题转化为有限问题”，“线线平行与线面平行互相转化”等数学思想。线面平行是研究空间中的线线关系和线面关系的桥梁，为后继面 面平行的学习、线、面垂直的学习奠定了知识与思想方法基础． 学情分析及教学问题诊断： （一）学情分析 通过前面课程的学习，学生对简单几何体的结构特征有了初步认识，对几何体的直观图及三视图的画法有 了基本的了解．学生已有的认知基础是熟悉日常生活中的具体直线与平面平行的直观形象（学生的客观现 实）和平面性质三公理、空间图形的基本关系等数学知识结构（学生的数学现实），初步具备了最朴素的空间观念． 但由于刚刚接触立体几何不久，学习经验有限，学习立体几何所应具备的语言表达能力及空间想象能力相 对不足，从生活实例中抽象概括出问题的数学本质的能力相对欠缺，从具体情境发现并归纳出直线与平面
平行的判定定理以及对定理的理解是教学难点．符号、图形表达能力比较薄弱，空间问题平面化的化归转 化思想储备不足，学习上有一定的困难． （二）教学问题诊断 如何从直线与平面平行的直观形象中提炼出直线与平面平行的判定定理，让学生认识到线面平行是由线线 平行来刻画的，逐步形成概念体系，体会其中的转化思想，这对于学生来讲还比较困难.因此，在设计教学时，首先让学生观察周围环境直观感知直线与平面平行的具体形象，然后将其抽象为几何图形，再用数 学语言对几何图形进行精确的描述。在教学过程中，通过探究活动，精心设置问题，引导学生通过动手操 作、观察提炼、探究说理体会线面平行的关键因素. 教学方法分析： 以问题为导向，启发式与探究式相结合． 在启发教学过程中，以问题引导学生思维.教学设计突出问题链，在教学过程中，随着学生思维的发展， 问题设置层层递进，环环相扣，使学生对问题的思考逐步深入，思维水平不断提高.通过直观感知、操作 确认、动画演示等环节让学生经历线面平行判定定理的生成过程，体会线面平行的关键因素。 新课程倡导学生自主学习，要求教师成为学生学习的引导者、组织者、合作者和促进者，使教学过程成为 师生交流、积极互动、共同发展的过程．本节课的教学遵循从具体到抽象的原则，适当运用多媒体辅助教 学手段，借助实物模型，通过直观感知，合情推理，探究说理，操作确认，归纳出直线与平面平行的判定 定理，将合情推理与演绎推理有机结合，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中，揭示直线与 平面平行的判定定理、理解数学概念，领会数学思想方法，养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方 式，发展学生的空间观念和空间想象能力，提高学生的数学逻辑思维能力． 二、教学目标与要求 1.理解并掌握直线与平面平行的判定定理；能对判定定理进行简单的应用. 2.通过直观感知——操作确认——思辨论证的认识方法完整经历直线与平面平行的判定定理的发现 过程．进一步渗透化归与转化的数学思想，渗透立体几何中将空间问题降维转化为平面问题的一般方法．初步掌握直线与平面平行的画法并能准确使用数学符号语言、文字语言表述判定定理，培养学生观察、探究、发现的能力和空间想象能力、逻辑思维能力． 3.进一步培养学生从生活空间中抽象出几何图形关系的能力，提高演绎推理、逻辑记忆的能力．让 学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的 学习态度，提高学习的自我效能感，培养学生主动探究的习惯. 三、教学重点与难点
直线与平面平行的判定 教学目标 1．知识目标⑴进一步熟悉掌握空间直线和平面的位置关系；⑵理解并掌握直线与平面平行的判定定理、图形语言、符号语言、文字语言；⑶灵活运用直线和平面的判定定理，把“线面平行”转化为“线线平行”。．能力训练2 ⑴掌握由“线线平行”证得“线面平行”的数学证明思想；提高学生的逻辑空间想象力和类比、⑵进一步培养学生的观察能力、转化能力，推理能力。3．德育渗透⑴培养学生的认真、仔细、严谨的学习态度；⑵建立“实践——理论——再实践”的科学研究方法。教学重点直线与平面平行的判定定理教学难点直线与平面平行的判定定理的应用教学方法启发式、引导式、观察分析、理论联系实际教具模型、尺、多媒体设备教学过程（一）内容回顾有几种？可将图形给以什么作师：在上节课我们介绍了直线与平面的位置关系，为划分的标准？ 直线与平平行面交面与直内平线直在面线平相
??a???//a?A?a 1 / 4 （二）新课导入、如何判定直线与平面平行1请同学回忆，我们昨天是受用了什么方法证明直线与平面平行？有直线在师：平面外能不能说明直线与平面平行？生：借助定义，说明直线与平面没有公共点。判断直线与平面有没有公共点，需要将直线和平面延展开看它们有没有交师：我们来看但延展判断并不方便灵敏，那就需要我们挖掘一种新的判定方法。点，看生活中的线面平行能给我们什么启发呢？观察l若将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，观察封面边缘所在直线与书本所在的平面具有怎样的位置关系？ l师：你们能用自己的话概括出线面平行的判定定理吗？如果平面外一条直
线和这个平面内的一条直线平行，生：那么这条直线和这个平面平行。、分析判定定理的三种语言2 师：定理的条件细分有几点？生：线在平面外，线在平面内，线线平行（师生互动共同整理出定理的图形语言、符号语言、文字语言）文字语言符号语言图形语言 a??a?线线平行，???//??ab?则线面平行。b?ba//?（三）例题讲解?师：如果要证明线面平行，关键在哪里？生：在平面内找到一条直线，证明线线平行。的中点。求证：ADF分别是AB、1 例已知：如图空间四 边形ABCD中，E、。EF∥平面BCD A BD 证明：连结FE?BD EFEB ∥＝AE DB?? EF∥平面BCD AF＝FD EF 平面BCD C?平面BD BCD 着重强调：①要证EF∥平面BCD，关键是在平面BCD中找到和EF平行的直线； ②注意证明的书写，先说明图形中增加的辅助点和线，证明步骤严谨。例2 如图，正方体ABCD－ABCD中，E为DD的中点，证明BD∥平面111111AEC。 2 / 4 EO O,连结证明：连结BD交AC于BDD中，在∧D11C1与BD的中点∵E,O分别为DD B11A1∴OE//BD1 E?平面AEC BD 又∵OE∥平面AEC ?1DC?平面AECBD 1O着重强调：如果题目条件中出现中点，则辅助点经常取某BA条线中点构成三角形形成中位线，得到线线平行。 （四）巩固练习 ?平行的充要条件是（a与平面）练习1 直线?内的一条直线平行与平面Ａ．直线a?内两条直线不相交与平面Ｂ．直线a?内的任一条直线都不相交与平面Ｃ．直线a?内的无数条直线平行与平面Ｄ．直线a目的：考察直线和平面 的位置关系，引导学生发挥想象力，借助教室或书本实物想象，举反例 CD11 C D各面中，B2 在长方体ABCD- A练习1111 B1A1与直线AB平行的平面有：(1) AA1平行的平面有：(2)与直线 目的：学生们能够叙述清楚证明线面平行必须满足的DC三个条件——面内、面外、线线平行。BA是平行四边如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD3 练习 MN//的中点．求证：平面PAD．形，M，N分别是AB,PC P目的：①锻炼