在空间“线线平行、线面平行、面面平行”的判定方法
一、两条直线平行的判定方法
（1）在同一平面内没有公共点的两条直线平行（定义）
（2）先证在同一平面内，再用平面几何中的平行线的判定理或者相关图形的性质进行证明。
如①在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果同位角或内错角相等，或同旁内角
互补，则两直线平行。
②三角形、梯形中位线定理。
③平行四边形、矩形、菱形、正方形性质(对边平行)。
④在同一个平面内，同垂直于一条直线的两条直线平行（注意：此结论在空间不适合）。
（3）（线面平行的性质）如果一条直线和一个平面平行，则经过这条直线的一个平面与这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
（4）如果两直线都平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行（平行的传递性）。
（5）（面面平行的性质）如果两个平行平面分别和第三个平面相交，则它们的交线平行。
（6）（线面垂直的性质之一）如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。
（7）用向量证明。
二、一条直线和一个平面平行的判定
（1）如果一直线和一平面没有公共点，那么这条直线就和这个平面平行（定义）
（2）平面外的一条直线，如果和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行(线面平行的判定定理)。
（3）如果两个平面相互平行，那么在一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面.
（线面平行的性质）。
（4）向量法。
三、两个平面平行的判定
（1）如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行（定义）
（2）如果一个平面内的两条相交直线分别和另一个平面平行，那么这两个平面平行。
（3）如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
（4）如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面平行。
（5）如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。
在空间“线线垂直、线面垂直、面面垂直”的判定方法
一、 两条直线垂直的判定
（1） 在同一个明面内证明两条直线垂直可按照平面几何的有关定理和方法判定。
①证明两条直线形成的角等于90°
②正方形、矩形性质（四个角都是直角）；③正方形、菱形对角线互相垂直；
④勾股定理逆定理；⑤“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆定理。 ⑥证明一个三角形两个内角和为90°，则另一个内角为90°。
⑦证明一个三角形和一个直角三角形全等，利用全等三角形对应角相等证明直角。 ⑧证明两个邻补角相等且和为180°，则每一个角为90°
（此两个角有公共定点，有一条公共边，非公共边互为反向延长线）。
⑨等腰三角形性质（三线合一）。 ⑩直径所对的圆周角是直角。
（2） 如果一条直线垂直于一个平面，那么它垂直于这个平面内的任何一条直线。
（3） 如果平面内的一条直线和此平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线
垂直（三垂线定理）
（4） 如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射
影垂直（三垂线定理的逆定理）。
（5） 如果一条直线垂直于两条平行线中的一条直线，那么它也垂直于另一条直线
（此定理在平面和空间都适合）。
（6） 证明空间两条异面直线相互垂直，可证明这两条直线所成的角为90°。
（7） 向量法。
二、 一直线和一个平面垂直的判定
（1） 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么这条直线就垂直于这个平面。
（2） 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线就和这个平面垂直。
（3） 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。
（4） 如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面。
（5） 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面
（面面垂直的性质定理）。
（6） 如果两个相交平面α和β都垂直于平面γ，那么它们的交线也垂直于平面γ（不能当定
理引用）。
（7） 向量法。
三、 两平面垂直的判定
（1） 如果两相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直（定义）。
（2） 如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直（线面垂直性质定理）。
四、 有关直线与平面位置关系中的几个性质定理
（1） 夹在两个平行平面之间平行线段的长相等。
（2） 两平行平面间的距离处处相等。
（3） 两直线如果被三个平行平面所截，那么所截得下对应线段成比例。
（4） 如果两个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等。
五、 要点分析
（1） 线线、线面、面面平行关系的转化
////1////?????→垐垐垐唸垐垐垎噲垐垐垏垐垐垐线面判定面面判定公理4平面几何定理线面性质面面//性质2
线线//线面面面平行 （2）线线、线面、面面垂直关系的转化
教学目的： 1.掌握空间直线和平面的位置关系； 2.直线和平面平行的判定定理和性质定理，灵活运用线面平行的判定定理和性质定掌握理实现“线线”“线面 ”平行的转化 教学重点：线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用 教学难点：线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 本节有两个知识点，直线与平面和平面与平面平行，直线与平面、平面与平面平行特征性质这也可看作平行公理和平行线传递性质的推广直线与平面、平面与平面平行判定的依据是线、线平行这些平行关系有着本质上的联系 通过教学要求学生掌握线、面和面、面平行的判定与性质这两个平行关系是下一大节学习共面向量的基础 前面3节主要讨论空间的平行关系，其中平行线的传递性和平行平面的性质是这三小节的重点 教学过程： 一、复习引入： 1 空间两直线的位置关系 （1）相交；（2）平行；（3）异面 2.公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行 推理模式：//,////a b b c a c ?． 3.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等 4.等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等. 5.空间两条异面直线的画法 a b 1A A 6．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线 推理模式：,,,A B l B l ααα?∈???AB 与l 是异面直线
7．异面直线所成的角：已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关，把,a b ''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）．为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上异面直线所成的角的范围：2 , 0(π 8．异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线,a b 垂直，记作a b ⊥． 9．求异面直线所成的角的方法： （1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线； （2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求 10．两条异面直线的公垂线、距离 和两条异面直线都垂直相交．．．．的直线，我们称之为异面直线的公垂线 在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度， 叫做两条异面直线间的距离． 两条异面直线的公垂线有且只有一条 二、讲解新课： 1．直线和平面的位置关系 （1）直线在平面内（无数个公共点）； （2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）； （3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类． a α?，a A α=，//a α． a α a α 2．线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 推理模式：,,////l m l m l ααα???． 证明：假设直线l 不平行与平面α， ∵l α?，∴l P α=， 若P m ∈，则和//l m 矛盾， 若P m ?，则l 和m 成异面直线，也和//l m 矛盾，
在空间“线线平行、线面平行、面面平行”的判定方法 一、两条直线平行的判定方法 （1）在同一平面内没有公共点的两条直线平行（定义） （2）先证在同一平面内，再用平面几何中的平行线的判定理或者相关图形的性质进行证明。 如①在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果同位角或内错角相等，或同旁内角 互补，则两直线平行。 ②三角形、梯形中位线定理。 ③平行四边形、矩形、菱形、正方形性质(对边平行)。 ④在同一个平面内，同垂直于一条直线的两条直线平行（注意：此结论在空间不适合）。 （3）（线面平行的性质）如果一条直线和一个平面平行，则经过这条直线的一个平面与这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 （4）如果两直线都平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行（平行的传递性）。 （5）（面面平行的性质）如果两个平行平面分别和第三个平面相交，则它们的交线平行。 （6）（线面垂直的性质之一）如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。 （7）用向量证明。 二、一条直线和一个平面平行的判定 （1）如果一直线和一平面没有公共点，那么这条直线就和这个平面平行（定义） （2）平面外的一条直线，如果和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行(线面平行的判定定理)。 （3）如果两个平面相互平行，那么在一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面. （线面平行的性质）。 （4）向量法。 三、两个平面平行的判定 （1）如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行（定义） （2）如果一个平面内的两条相交直线分别和另一个平面平行，那么这两个平面平行。 （3）如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。 （4）如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面平行。 （5）如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。
线面平行的判定定理和性质定理 教学目的： 1.掌握空间直线和平面的位置关系； 2.直线和平面平行的判定定理和性质定理，灵活运用线面平行的判定定理和性质定掌握理实现“线线”“线面”平行的转化 教学重点：线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用 教学难点：线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 本节有两个知识点，直线与平面和平面与平面平行，直线与平面、平面与平面平行特征性质这也可看作平行公理和平行线传递性质的推广直线与平面、平面与平面平行判定的依据是线、线平行这些平行关系有着本质上的联系 通过教学要求学生掌握线、面和面、面平行的判定与性质这两个平行关系是下一大节学习共面向量的基础 前面3节主要讨论空间的平行关系，其中平行线的传递性和平行平面的性质是这三小节的重点 教学过程： 一、复习引入： 1 空间两直线的位置关系 （1）相交；（2）平行；（3）异面 2.公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行 推理模式：//,////a b b c a c ?． 3.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等 4.等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等. 5.空间两条异面直线的画法 a b 1A A 6．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线 推理模式：,,,A B l B l ααα?∈???AB 与l 是异面直线
7．异面直线所成的角：已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关，把,a b ''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）．为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上异面直线所成的角的范围：2 , 0(π 8．异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线,a b 垂直，记作a b ⊥． 9．求异面直线所成的角的方法： （1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线； （2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求 10．两条异面直线的公垂线、距离 和两条异面直线都垂直相交．．．．的直线，我们称之为异面直线的公垂线 在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度， 叫做两条异面直线间的距离． 两条异面直线的公垂线有且只有一条 二、讲解新课： 1．直线和平面的位置关系 （1）直线在平面内（无数个公共点）； （2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）； （3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类． a α?，a A α=，//a α． a α a α 2．线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 推理模式：,,////l m l m l ααα???． 证明：假设直线l 不平行与平面α， ∵l α?，∴l P α=， 若P m ∈，则和//l m 矛盾， 若P m ?，则l 和m 成异面直线，也和//l m 矛盾，
. 线面，面面平行证明 一．线面平行的判定 1. 定义：直线和平面没有公共点，则直线和平面平行. 2. 判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. 3.符号表示为：,,////a b a b a ααα??? 二．面面平行的判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行 符号语言:_____________________________________________________________________ 选择题 1．已知直线1l 、2l , 平面α, 1l ∥2l , 1l ∥α, 那么2l 与平面α的关系是（ ）. A. 1l ∥α B. 2l ?α C. 2l ∥α或2l ?α D. 2l 与α相交 2．以下说法（其中a ，b 表示直线，α表示平面） ①若a ∥b ，b ?α，则a ∥α ②若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ③若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α ④若a ∥α，b ?α，则a ∥b 其中正确说法的个数是（ ）. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 3．已知a ，b 是两条相交直线，a ∥α，则b 与α的位置关系是（ ）. A. b ∥α B. b 与α相交 C. b ?α D. b ∥α或b 与α相交 4．如果平面α外有两点A 、B ，它们到平面α的距离都是a ，则直线AB 和平面α的位置关系一定是（ ）. A. 平行 B. 相交 C. 平行或相交 D. AB ?α 5．如果点M 是两条异面直线外的一点，则过点M 且与a ，b 都平行的平面（ ）. A. 只有一个 B. 恰有两个 C. 或没有，或只有一个 D. 有无数个 6 .已知两条相交直线ａ、ｂ，ａ∥平面α，则ｂ与平面α的位置关系 ( ) A ｂ∥α B ｂ与α相交 C ｂ?α D ｂ∥α或ｂ与α相交 7．不同直线,m n 和不同平面,αβ，给出下列命题： ① ////m m αββα????? ② //////m n n m β β? ??? ③ ,m m n n αβ?? ????异面 其中假命题有 ( ) A 0个 B 1个 C 2个 D 3个 8．若将直线、平面都看成点的集合，则直线ｌ∥平面α可表示为 ( ) A ｌ?α B ｌ?α C ｌ≠α D ｌ∩α＝? 9．平行于同一个平面的两条直线的位置关系是 ( ) A 平行 B 相交 C 异面 D 平行或相交或异面 10．下列命题中正确的是( ) ① 若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行 ②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行 ③若一个平面内任何一条直线都平行于零一个平面,则这两个平面平行 ④若一个平面内的两条相交直线分别平行于零一个平面,则这两个平面平行
2.2.1 线面与面面平行的判定 【使用说明及学法指导】 1．先自学课本，理解概念，完成导学提纲； 2．小组合作，动手实践。 【学习目标】 1. 通过生活中的实际情况，建立几何模型，了解直线与平面平行的背景； 2. 理解和掌握直线与平面平行的判定定理，并会用其证明线面平行. 3. 能借助于长方体模型讨论直线与平面、平面与平面的平行问题； 4. 理解和掌握两个平面平行的判定定理及其运用； 【重点】直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理及应用 【难点】直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理及应用 一、自主学习 1.预习教材P54～ P57,完成下列问题 复习：直线与平面的位置关系有______________，_______________，_________________. 讨论：直线和平面的位置关系中，平行是最重要的关系之一，那么如何判定直线和平面是平行的呢？根据定义好判断吗？ 2.导学提纲 探究1：直线与平面平行的背景分析 实例1：如图，一面墙上有一扇门，门扇的两边是平行的.当门扇绕着墙上的一边转动时，观察门扇转动 的一边l与墙所在的平面位置关系如何？ 实例2：如图，将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，观察封面边缘所在直线l与桌面所在的平面具有怎样的位置关系？ 结论： 探究2：直线与平面平行的判定定理 问题：探究1两个实例中的直线l为什么会和对应的平面平行呢？你能猜想出什么结论吗？能作图把这一 结论表示出来吗？ 直线与平面平行的判定定理 定理： 反思：思考下列问题 ⑴用符号语言如何表示上述定理；⑵上述定理的实质是什么？
探究3：两个平面平行的判定定理 问题1：平面可以看作是由直线构成的.若一平面内的所有直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行 吗？由此你可以得到什么结论？ 问题2：一个平面内所有直线都平行于另外一个平面好证明吗？能否只证明一个平面内若干条直线和另外 一个平面平行，那么这两个平面就平行呢？ 试试：在长方体中，回答下列问题 面,AA∥面BB C C，则面AA B B∥面BB C C吗？ ⑴如下图，AA AA B B 面，则A ADD 面吗？ 面∥DCC D ⑵如下图6-2，AA∥EF，AA∥DCC D 面，EF∥DCC D ⑶如下图，直线A C和B D相交，且A C、B D都和平面ABCD平行(为什么)，则平面A B C D∥平面ABCD吗？ 反思：由以上3个问题，你得到了什么结论？ 两个平面平行的判定定理： 如图所示，∥. 反思： ⑴定理的实质是什么? ⑵用符号语言把定理表示出来. 二、典型例题 例1. 有一块木料如图5-4所示，P为平面BCEF内一点，要求过点P在平面BCEF内作一条直线与平面ABCD平行，应该如何画线？
线面、面面平行的判定、性质定理 1、已知： b ，a//， a//，则 a 与b的位置关系是（） Ａ． a// bＢ． a b Ｃ． a ，b相交但不垂直Ｄ． a ，b异面 2、已知： b ，a//，a//，则a与b的位置关系是（）． Ａ． a// bＢ．a b Ｃ． a 、b相交但不垂直Ｄ．a、b异面 3、过平面外的直线l ，作一组平面与相交，如果所得的交线为 a ， b ， c ，?，则这些交线的位置关系为（） Ａ．都平行 Ｂ．都相交且一定交于同一点 Ｃ．都相交但不一定交于同一点 Ｄ．都平行或都交于同一点 4、 a ， b 是两条异面直线， A 是不在a，b上的点，则下列结论成立的是（） Ａ．过 A 且平行于 a 和 b 的平面可能不存在 Ｂ．过 A 有且只有一个平面平行于 a 和 b Ｃ．过 A 至少有一个平面平行于 a 和 b Ｄ．过 A 有无数个平面平行于 a 和 b 5、如图，已知点P 是平行四边形AB C D 所在平面外的一点， E ， F 分别是 P A ， B D 上的点且 PE∶EA BF ∶FD ，求证：EF//平面PBC． P E D C F 6、如图，正方形 A BC D的边长为1 3，平面 A BC D 外一点 P 到正方形各顶点的距离都是13 ，M，N 分别是 PA ， DB 上的点，且 PM ∶M A BN∶ND 5∶8 ． （ 1）求证：直线 MN // 平面PBC； P （ 2）求线段M N的长． M D C E N A B 7、如图，已知P 为平行四边形 A B C D 所在平面外一点，M 为 PB 的中点， 求证： PD //平面MAC ．P M B A C D 8、如图，在正方体ABC D A1B1C 1D1中，E ，F 分别是棱 B C ， C 1 D 1的中点，求证：EF //平面BB1D1D ．D1F C 1 A 1 B1 D C A B A B E
2.2 线面平行、面面平行的判定 例题解读: 例1.如图，ABCD 是平行四边形，S 是平面ABCD 外一点，M 为SC 的中点. 求证：SA ∥平面MDB. 例2.正方形ABCD 交正方形ABEF 于AB ，M 、N 在对角线 求证：//MN 平面BCE 例3.已知ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，求证：AP∥GH、 例4. 如图，在空间四边形ABCD 中，P 、Q 分别是△ABC 和△BCD 的重心.求证：PQ ∥平面ACD.
例5.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面P AO? 巩固练习： 1.若α//l ，α∈A ，则下列说法正确的是（ ） A.过A 在平面α内可作无数条直线与l 平行 B.过A 在平面α内仅可作一条直线与l 平行 C.过A 在平面α内可作两条直线与l 平行 D.与A 的位置有关 2.若直线a∥直线b ，且a∥平面α，则b 与a 的位置关系是（ ） A 、一定平行 B 、不平行 C 、平行或相交 D 、平行或在平面内 3. 如图在四面体中，若直线EF 和GH 相交，则它们的交点一定（ ）. A.在直线DB 上B.在直线AB 上 C.在直线CB 上 D.都不对 4.一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线( A ．异面 B ．相交 C ．平行 D ．不确定 5.已知平面α、β和直线m ，给出条件：①m ∥α；②m ⊥α；③m ?α；④α⊥β；⑤α∥β.为使m ∥β，应选择下面四个选项中的( ) A ．①④ B．①⑤C．②⑤ D．③⑤ 6.若直线l 与平面α的一条平行线平行，则l 和α的位置关系是 () A.α?l B.α//l C.αα//l l 或? D.相交和αl 7若直线a 在平面α内，直线a,b 是异面直线，则直线b 和α平面的位置关系是 ( ) A ．相交 B.平行 C.相交或平行 D.相交且垂直 8.若直线l 上有两点P 、Q 到平面α的距离相等，则直线l 与平面α的位置关系是( ) A.平行 B.相交C.平行或相交 D.平行、相交或在平面α内 9.下列命题正确的个数是( ) (1)若直线l 上有无数个点不在α内，则l ∥α (2)若直线l 与平面α平行，l 与平面α内的任意一直线平行 (3)两条平行线中的一条直线与平面平行，那么另一条也与这个平面平行 (4)若一直线a 和平面α内一直线b 平行，则a ∥α A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
直线与平面、平面与平面平行的判定 [学习目标] 1.理解直线与平面平行、平面与平面平行判定定理的含义.2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用.3.能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题. 知识点一 直线与平面平行的判定定理 语言叙述 符号表示 图形表示 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行 ? ??? ? a ?α b ?αa ∥b ?a ∥α 思考 若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线和这个平面平行吗？ 答 根据直线与平面平行的判定定理可知该结论错误. 知识点二 平面与平面平行的判定定理 语言叙述 符号表示 图形表示 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 ? ??? ? a ?α， b ?αa ∩b ＝A a ∥β，b ∥β?α∥β 思考 如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面也平行吗？ 答 不一定.这条直线与另一个平面平行或在另一个平面内. 题型一 直线与平面平行的判定定理的应用 例1 如图，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点. 求证：(1)EH ∥平面BCD ； (2)BD ∥平面EFGH . 证明 (1)∵EH 为△ABD 的中位线， ∴EH ∥BD . ∵EH ?平面BCD ，BD ?平面BCD ，
∴EH∥平面BCD. (2)∵BD∥EH，BD?平面EFGH， EH?平面EFGH， ∴BD∥平面EFGH. 跟踪训练1在四面体A－BCD中，M，N分别是△ABD和△BCD的重心，求证：MN∥平面ADC. 证明如图所示，连接BM，BN并延长，分别交AD，DC于P，Q两 点，连接PQ. 因为M，N分别是△ABD和△BCD的重心， 所以BM∶MP＝BN∶NQ＝2∶1. 所以MN∥PQ. 又因为MN?平面ADC，PQ?平面ADC， 所以MN∥平面ADC. 题型二面面平行判定定理的应用 例2如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点.求证：平面A1EB∥平面ADC1. 证明由棱柱性质知， B1C1∥BC，B1C1＝BC， 又D，E分别为BC，B1C1的中点， 所以C1E綊DB，则四边形C1DBE为平行四边形， 因此EB∥C1D， 又C1D?平面ADC1， EB?平面ADC1， 所以EB∥平面ADC1. 连接DE，同理，EB1綊BD， 所以四边形EDBB1为平行四边形，则ED綊B1B. 因为B1B∥A1A，B1B＝A1A(棱柱的性质)， 所以ED綊A1A，则四边形EDAA1为平行四边形，
线面、面面平行的判定与性质 基础巩固强化 1.(文)(2011·海淀期中)已知平面α∩β＝l，m是α不同于l 的直线，那么下列命题中错误 ．．的是( ) A．若m∥β，则m∥l B．若m∥l，则m∥β C．若m⊥β，则m⊥l D．若m⊥l，则m⊥β [答案] D [解析]A符合直线与平面平行的性质定理；B符合直线与平面平行的判定定理；C符合直线与平面垂直的性质；对于D，只有α⊥β时，才能成立． (理)(2011·模拟)设m、n表示不同直线，α、β表示不同平面，则下列命题中正确的是( ) A．若m∥α，m∥n，则n∥α B．若m?α，n?β，m∥β，n∥α，则α∥β C．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥β D．若α∥β，m∥α，n∥m，n?β，则n∥β [答案] D [解析]A选项不正确，n还有可能在平面α，B选项不正确，平面α还有可能与平面β相交，C选项不正确，n也有可能在平面β，选项D正确． 2．(文)(2011·期末)设m，n为两条直线，α，β为两个平面，则下列四个命题中，正确的命题是( ) A．若m?α，n?α，且m∥β，n∥β，则α∥β B．若m∥α，m∥n，则n∥α C．若m∥α，n∥α，则m∥n
D．若m，n为两条异面直线，且m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，则α∥β [答案] D [解析]选项A中的直线m，n可能不相交；选项B中直线n可能在平面α；选项C中直线m，n的位置可能是平行、相交或异面．(理)(2011·省市测试)已知m，n，l为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( ) A．α∥β，m?α，n?β?m∥n B．l⊥β，α⊥β?l∥α C．m⊥α，m⊥n?n∥α D．α∥β，l⊥α?l⊥β [答案] D [解析]对于选项A，m，n平行或异面；对于选项B，可能出现l?α这种情形；对于选项C，可能出现n?α这种情形．故选D. 3．(2011·模拟)已知直线l、m，平面α、β，则下列命题中的假命题是( ) A．若α∥β，l?α，则l∥β B．若α∥β，l⊥α，则l⊥β C．若l∥α，m?α，则l∥m D．若α⊥β，α∩β＝l，m?α，m⊥l，则m⊥β [答案] C [解析]对于选项C，直线l与m可能构成异面直线，故选C. 4．(2011·揭阳模拟)若a不平行于平面α，且a?α，则下列结论成立的是( ) A．α的所有直线与a异面
2线线、线面、面面平行的判定与性质 姓名： 分数： 知识记忆： 1.空间两条直线有 种位置关系： 、 、 ． 2.平行线的传递性： 。 3.空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 4.直线与平面的位置关系有 种：直线在平面 、直线与平面 、直线与平面 ． 5.线面平行判断：如果面外线平行于面内线，那么 .（线线平行 ，则 ） 6.线面平行性质：如果一条直线与一个平面平行，并且经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线与交线 。（线面平行，则 ）. 7.空间两个平面就有 种位置关系： 与 ． 8.面面平行的判定：如果一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，那么这两个平面 ．（线线平行 ，则 ） 9.面面平行的判定：如果一个平面与两个平行平面相交，那么它们的交线平行．（面面平行，则 ） 一、填空题： 1.长方体1111ABCD A B C D 中,直线1DD 平面11BCC B （平行、垂直），理由是 。 二、选择题 1“空间四点D C B A ,,,不在同一平面内”是“直线CD AB ,异面”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件 2.两个平面平行的条件是（ ） A ．一个平面内有一条直线平行于另一个平面 B ．一个平面内有两条平行直线都平行于另一个平面 C ．一平面内有两条相交直线都平行于另一个平面 D ．一平面内有无数条直线都平行于另一个平面 3.下列命题中正确的是（ ） A ．分别在两个平行平面内的两条直线是异面直线 B. 分别通过两条平行直线的两个平面平行 C. 分别在两个平行平面内的两条直线平行 D. 分别在两个平行平面内的两条直线平行或异面 三、解答题： 1.已知空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中 点（如图）．判断四边形 EFGH 是否为平行四边形？ 2. 在如图所示的一块木料中，已知BC ∥平面1111A B C D ，BC ∥11B C ，要经过 平面11A C 内的一点P 与棱BC 将木料锯开，应当怎样画线？
线面、面面平行的判定与性质 一、线线、线面、面面平行间的相互转化 （1）平行公理:平行于同一直线的两直线平行（线线平行的传递性） （2）线面平行的判定定理：如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这 个平面平行（线线平行→线面平行） （3）面面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行 （线面平行→面面平行） （4）线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交， 那么这条直线和交线平行（线面平行→线线平行） （5）面面平行的性质定理：两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面（面面平 行→线面平行） （6）面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（面 面平行→线线平行） 三、证明线线平行的方法： （1）线线平行的传递性； （2）三角形中位线； （3）平行四边形对边平行； （4）三角形中对应边成比例； （5）线面平行的性质定理. 三、典型例题 例：已知四棱锥ABCD P ,E 是PD 的中点.证明：ACE PB 面// E P D B A C
变式1：已知四棱锥ABCD P -,E 是AD 的中点，F 是PB 的中点.证明：ACE PB 面//. 变式2：已知四棱锥ABCD P -,BC EF //,EFHG 平面与ABCD 平面相交于HG ， PB HI //,证明:PBC IG 面//. 四、巩固训练 1.三棱柱111ABC A B C -中，D 为AB 边的中点.求证：1AC ∥平面1CDB . P D B A C E F E P D B A C F G H I B A C A 1 B 1 C 1 D
直线与平面平行的判定和性质
（二）新授内容 1．如何判定直线与平面平行 在平面外能不能说明直线与平面平行？ 不能说明直线与平面平行） ②直线与平面平行的判定定理 面平行。 已知：a?α，b?α，且a∥ 求证：a∥α 师：你们会采用什么方法证明定理？ 证明：∵ a∥b∴经过a,b确定一个平面β ∵a?α，b?α∴α与β是两个不同的平面。∵b?α，且b?β∴α∩β 假设a与α有公共点P，则P∈α∩β＝ 点P是a、b的公共点这与a∥b矛盾，∴a∥α例1：求证：空间四边形相邻两边中点的连线，已知：如图空间四边形ABCD中，E、F分别是面BCD 证明：连结BD AE＝EB ?EF∥BD AF＝FD EF ?平面BCD ?EF∥平面 BD ?平面BCD 评析：要证EF∥平面BCD，关键是在平面BCD 证明线面平行的问题转化为证明直线的平行2．直线和平面平行的性质定理： 如果一条直线和一个平面平行， 这条直线和交线平行。 已知：a∥α，a?β,α∩β＝b（如右图） 求证：a∥b
证明：α∩β＝b ?b ?a a ?β a ∥α ? a ∩b=φ ?a ∥ b b ?β 评析：证明用到了“同一平面的两直线没有公共点，则它们平行” 例2、如图，平面α、β、γ两两相交，a 、b 、c 为三条交线，且a ∥b ，那么a 与c 、b 与c 有什么关系？为什么？ 师：猜a 与c 什么关系？生：平行 师：已知a ∥b 能得出什么结论，怎样又可征得a ∥c 解：依题可知：α∩γ=a,β∩γ=b,α∩β借助多媒体将 ∵a ?α,b ?α,且a ∥b ∴b ∥α 图形多角度展 又∵b ? β, α∩ β=C ∴b ∥示，便于观察 又∵a ∥b, ∴a ∥c 师：b ∥α,过b 且与α相交的平面有多少个？这些交线的位置关系如何？ 多媒体展示过 生：有无数条交线，且它们相互平行。 程 注： ①性质定理也可概括为由“线面平行”证得“线线平行” ②过b 且与α相交的平面有无数个，这些平面与α的交线也有无数条，且这些交线都互相平行 3．练习 ①能保证直线a 与平面α平行的条件是（ A ） A.a ?α,b ?α,a ∥b B .b ?α,a ∥b C. b ?α,c ∥α,a ∥b,a ∥c D. b ?α,A ∈a,B ∈a,C ∈b ,D ∈b 且AC ＝BD ②下列命题正确的是（ D F ） A. 平行于同一平面的两条直线平行 B. 若直线a ∥α,则平面α内有且仅有一条直线与a 平行 C. 若直线a ∥α,则平面α内任一条直线都与a 平行 D. 若直线a ∥α,则平面α内有无数条直线与a 平行 E. 如果a 、b 是两条直线，且a ∥b ，那么a 平行于经过b 的任何平面 F. 如果直线a 、b 和平面α满足a ∥b ，a ∥α,b ?α，那么b ∥α ③若两直线a 与b 相交，且a 平行于平面α，则b 与α的位置关系是 平行或相交 ④如图，空间四边形ABCD 被一平面所截，截面EFGH 是一矩形。 （1）求证：CD ∥平面EFGH ； （2）求异面直线AB 、CD 所成的角
D C A B B 1 A 1C 1 直线、平面平行的判定及其性质 测试题 A 一、选择题 1．下列条件中,能判断两个平面平行的是( ) A ．一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B ．一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C ．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D ．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 2．E ，F ，G 分别是四面体ABCD 的棱BC ，CD ，DA 的中点，则此四面体中与过E ，F ，G 的截面平行的棱的条数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3． 直线,a b c ，及平面αβ，，使//a b 成立的条件是（ ） A ．//,a b αα? B ．//,//a b αα C ．//,//a c b c D ．//,a b ααβ=I 4．若直线m 不平行于平面α，且m ?α，则下列结论成立的是（ ） A ．α内的所有直线与m 异面 B ．α内不存在与m 平行的直线 C ．α内存在唯一的直线与m 平行 D ．α内的直线与m 都相交 5．下列命题中，假命题的个数是（ ） ① 一条直线平行于一个平面，这条直线就和这个平面内的任何直线不相交；② 过平面外一点有且只有一条直线和这个平面平行；③ 过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行；④ 平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行；⑤ a 和b 异面，则经过b 存在唯一一个平面与α平行 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 6．已知空间四边形ABCD 中，,M N 分别是,AB CD 的中点，则下列判断正确的是（ ） A ．()12 MN AC BD ≥+ B ．()12 MN AC BD ≤+ C ．()12 MN AC BD =+ D ．()12 MN AC BD <+ 二、填空题 7．在四面体ABCD 中，M ，N 分别是面△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________. 8．如下图所示，四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得到 AB 1 图，正三棱柱 111C B A ABC -的底面边长是2， 侧棱长是3，D 是AC 的中点.求证：//1C B 平面BD A 1. 11.如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，M ，N ，G 分别是AA 1，CD ，CB ， CC 1的中点， 求证：（1）MN B 一、选择题 1．α，β是两个不重合的平面，a ，b 是两条不同直线，在下列条件下，可判定α∥β的是（ ） A ．α，β都平行于直线a ，b B ．α内有三个不共线点到β的距离相等 C ．a ，b 是α内两条直线，且a ∥β，b ∥β D ．a ，b 是两条异面直线且a ∥α，b ∥α，a ∥β，b ∥β 2．两条直线a ，b 满足a ∥b ，b α，则a 与平面α的关系是（ ） A ．a ∥α B ．a 与α相交 C ．a 与α不相交 D ．a α 3．设,a b 表示直线，,αβ表示平面，P 是空间一点，下面命题中正确的是（ ） A ．a α?，则//a α B ．//a α，b α?，则//a b C ．//,,a b αβαβ??，则//a b D ．,,//,//P a P a βααβ∈∈，则a β? 4．一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关 系是（ ） A.异面 B.相交 C.平行 D.不能确定 5.下列四个命题中，正确的是（ ） ①夹在两条平行线间的平行线段相等；②夹在两 条平行线间的相等线段平行；③如果一条直线和一个平面平行，那么夹在这条直线和平面间的平行线段相 等；④如果一条直线和一个平面平行，那么夹在这条直线和平面间的相等线段平行 A ．①③ B ．①② C ．②③
线面、面面平行的判定与性质（教师版） 知识回顾 1．线面平行的判定 （1）直线与平面平行的定义：直线与平面无公共点． （2）直线与平面平行的判定定理： 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行． 用符号表示为：a ?α，b ?α，且a ∥b ?a ∥α． 2．线面平行的性质 直线与平面平行的性质定理： 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 符号语言描述： ? ??? ?a ∥α a ?ββ∩α＝ b ?a ∥b ． 3. 面面平行的判定 （1）平面α与平面β平行的定义：两平面无公共点． （2）直线与平面平行的判定定理： 下面的命题在“________”处缺少一个条件，补上这个条件，使其构成真命题(m ，n 为直线，α，β为平面)，则此条件应为m ，n 相交． ? ????m ?α n ?α m ∥βn ∥β ?α∥β 4．面面平行的性质 平面与平面平行的性质定理： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． 符号表示为： ? ??? ?α∥β α∩γ＝a β∩γ＝b ?a ∥b ． 题型讲解 题型一 利用三角形中位线证明线面平行 例1、如图，ABCD 是平行四边形，S 是平面ABCD 外一点，M 为SC 的中点.
求证：SA∥平面MDB. 答案:证明：连结AC交BD于N，因为ABCD是平行四边形，所以N是AC的中点.又因为M是SC的中点，所以MN∥SA.因为MN平面MDB，所以SA∥平面MDB. 例2、如图,已知点M、N是正方体ABCD-A1B1C1D1的两棱A1A与A1B1的中点，P是正方形ABCD的中心， 求证：MN∥平面PB1C. 答案证明：如图，连结AC， 则P为AC的中点，连结AB1， ∵M、N分别是A1A与A1B1的中点， ∴MN∥AB1. 又∵平面PB1C，平面PB1C，故MN∥面PB1C. 例3、如图所示，P是?ABCD所在平面外一点，E、F分别在PA、BD上，且PE∶EA＝BF∶FD． 求证：EF∥平面PBC．
线面平行判定练习（总结较全） 第1题. 已知a αβ=，m βγ=，b γα=，且m α//，求证：a b //． 答案：证明： m m m a a b a m b β γααβ=?? ?? ??????=??? 同理////////． 第2题. 已知：b α β=，a α//，a β//，则a 与b 的位置关系是（ ） Ａ．a b // Ｂ．a b ⊥ Ｃ．a ，b 相交但不垂直 Ｄ．a ，b 异面 答案：Ａ． 第3题. 如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是PA ，BD 上的点且PE EA BF FD =∶∶，求证：EF //平面PBC ． b a m α β γ P E A C B D F
答案：证明：连结AF 并延长交BC 于M ．连结PM ， AD BC ∵//，BF MF FD FA =∴ ，又由已知PE BF EA FD =，PE MF EA FA = ∴． 由平面几何知识可得EF //PM ，又EF PBC ?，PM ?平面PBC ， ∴EF //平面PBC ． 第4题. 如图，长方体1111ABCD A B C D -中，11E F 是平面11A C 上的线段，求证：11E F //平面AC ． 答案：证明：如图，分别在AB 和CD 上截取11AE A E =，11DF D F =，连接1EE ，1FF ， EF ． ∵长方体1AC 的各个面为矩形， 11A E ∴平行且等于AE ，11D F 平行且等于DF ， 故四边形11AEE A ，11DFF D 为平行四边形． 1EE ∴平行且等于1AA ，1FF 平行且等于1DD ． 1AA ∵平行且等于1DD ，1EE ∴平行且等于1FF ， 四边形11EFF E 为平行四边形，11E F EF //． EF ?∵平面ABCD ，11E F ?平面ABCD ， ∴11E F //平面ABCD ． A B C D 1A 1D 1B 1C 1F 1E A C D 1A 1D 1B 1C 1F 1E F
线面、面面关系的判定与性质 一、线面关系的转换网络图 1﹒线线平行： （1）平行公理:平行于同一直线的两直线平行（线线平行的传递性）﹒ （4）线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么 这条直线和交线平行（线面平行→线线平行）﹒ （6）面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（面面平行 →线线平行）﹒ （12）线面垂直的性质定理：垂直于同一平面的两直线平行﹒ 2﹒线线垂直： （9）线面垂直的性质：一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线（线面垂直→线线垂直）其它判定方法：利用平面几何中证明线线垂直的方法（如勾股定理，等腰直角三角形底边上的高，正方形（菱形）的对角线等）﹒ 3﹒线面平行： （2）线面平行的判定定理：如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面 平行（线线平行→线面平行）﹒ （5）面面平行的性质定理：两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面（面面平行→线 面平行）﹒ 4﹒线面垂直： （7）线面垂直的判定定理：如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面（线线 垂直→线面垂直）﹒ （11）线面垂直的判定定理推论：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个 平面﹒ （14）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则它也垂直于另一个平面﹒
（10）面面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个 平面（面面垂直→则线面垂直）﹒ 5﹒面面平行： （4）面面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行（线面 平行→面面平行）﹒ （13）定理：垂直于同一条直线的两个平面平行﹒ 6﹒面面垂直： （8）面面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面垂直，另一个平面过这条线，则这两个平面垂直 （面面垂直→则线面垂直）﹒ 7.直线与平面所成的角 （1）定义：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 这个角的范围为]90,0[00. （2）斜线与平面成角计算一般步骤： ①找过斜线上一点与平面垂直的直线； ②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角； ③把这个角放在三角形中计算. 注：斜线PA 与平面α所成的角为PAB ∠，其中α平面⊥PB . 二、典型例题 例1：三棱锥ABC P -中，ABC PA 平面⊥， 0 90=∠BAC ，证明：PAC BA 平面⊥. （判定定理、定义） 变式1：三棱锥ABC P -中，PA AC ⊥，ABC ?满足0 90=∠BAC ， AC PA =，D 是边PC 的中点， 证明：DAB PC 平面⊥. （判定定理、定义、等腰三角形的高） C B A P C D A P B P A B α