第五讲 罗尔定理的应用一、利用罗尔定理、费马定理、零点定理证明方程的根 例1 设01,,,n a a a "为，为满足1200231n a a aa n ++++=+"的实数，证明方程 20120n n a a x a x a x ++++="在(0,1)内至少有一个实根。例2 设()f x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，0b a >>，证明

罗尔定理

中值定理首先我们来瞧瞧几大定理:1、 介值定理:设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且在该区间的端点取不同的函数值f(a)=A 及f(b)=B,那么对于A 与B 之间的任意一个数C,在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(aPs:c 就是介于A 、B 之间的,结论中的ξ取开区间。介值定理的推论:设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)

罗尔定理

《罗尔定理》教学设计一、 教学目的理解罗尔定理的推导，掌握罗尔定理，灵活运用罗尔定理.二、 教学重难点重点：罗尔定理及其应用难点：罗尔定理的条件的讨论三、 教学过程（一） 复习回顾1、闭区间上连续函数的性质1f x a b ,f x a b 2f x a b f a f b 0f =0ξξ（）（最大值和最小值定理）设（）在［，］连续则（）在［，］上可以取到最

拉格朗日中值定理是微分学中最重要的定罗尔定理来证明。理之一，它是沟通函数与其导数之间的桥梁，也是微分学的理论基础。一般高等数学教材上，大都是用罗尔定理证明拉朗日中值定理，直接给出一个辅助函数，把拉格朗日定理的证明归结为用罗尔定理，证明的关键是给出—个辅助函数。怎样构作这一辅助函数呢?给出两种构造辅助函数的去。罗尔定理：函数满足在[a，b止连续，在(a，b)内

罗尔定理的应用题：1. 设函数()f x 在[,]a b 上二阶可导，且()()0f a f b ==，()()0f a f b ''⋅>. 又()g x 在(,)a b 内二阶可导，且()0,()()0g x g x b ''≠≠，证明：(,)a b ξ∃∈，使得()()=()()f fg g ξξξξ''''. 证明：构造辅助函数 ()()()()()F

罗尔定理与拉格朗日定理的证明与应用单位：旅游系 专业：酒店管理 姓名：王姐 学号：1414061039【摘要】罗尔定理与拉格朗日定理是是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断导数的整体性质的工具。拉格朗日定理存在于多个科学领域之中，其中微积分中的拉格朗日定理即拉格朗日中值定理，又称拉式定理，是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形

由罗尔定理知：（1）可导函数在取得极值点处导数等于零；（2）方程：()0'=的一个根；f xf x=的两根之间至少有方程：()0（3）唯一性证明。反证法：假设谬论，运用罗尔定理推出矛盾；（4）结论可能需多次运用罗尔定理。①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩⑾⑿⒀⒁⒂ 证明：（1）方程33x x C -+（这里C 为常数）在区间[0,1]内不可能有两个不同的实根；（2）方程n

罗尔定理的证明设函数在闭区间上连续，在开区间上可导,且，则在内至少存在一点，使得。证明:由于在闭区间上连续,则,存在.若,则,内任意一点都可作为.若,则由知与中至少有一个(不妨设为)在区间内某点取到, 即,下面证明.因为在处可导,所以极限存在,因而左、右极限都存在且相等，即，由于是在上的最大值，所以不论或，都有，当时，，因而，当时，，因而，所以，。

罗尔中值定理的内容及证明方法（一）定理的证明证明：因为函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，所以存在最大值与最小值，分别用M 和m 表示，现在分两种情况讨论：1.若m M =，则函数)(x f 在闭区间[]b a ,上必为常数，结论显然成立。2.若m M >，则因为)()(b f a f =使得最大值M 与最小值m 至少有一个在()b a ,内某点ξ

罗尔中值定理的证明及应用

注意若罗尔定理的三个条件中有一个不满足.

罗尔定理如果函数满足1.在闭区间上连续；2.在开区间内可导；3.在区间端点处的函数值相等，即，那么在内至少有一点，使得。这个定理称为罗尔定理。证明首先，因为在闭区间上连续，根据极值定理，在上有最大值和最小值。如果最大值和最小值都在端点或处取得，由于，显然是一个常数函数。那么对于任一点，我们都有。现在假设在处取得最大值。我们只需证明在该点导数为零。取，由最大值

常考题型　罗尔定理的证明解题提示:欲证结论为f (n )(ξ)=k ,或F (ξ,f (ξ),f '(ξ))=0,使用罗尔定理证明,有三个考察角度:(1)是无需构造辅助函数,只需寻找某个函数存在两个相同的端点;(2)是结论证明f ᵡ(ξ)=0,此时关键是去寻找f (x )有三个相同的端点;(3)是去构造辅助函数.(读者可参考‘高等数学一本通“的相应讲解)典型

微分方程在用罗尔定理证明等式中的应用作者：仲盛来源：《科技风》2017年第09期摘要：用罗尔定理证明等式的关键是构造辅助函数，构造辅助函数的一般方法是用导数倒推，此种方法难度较大，可以用微分方程直接求解辅助函数，更方便更有效。关键词：中值定理；微分方程；辅助函数微分中值定理最直接的应用是可以用来证明一些等式，而这类问题大多数情况下是以“至少存在一点使某等式成

☆例1 设)(x f 在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且3)2()1()0(=++f f f ，1)3(=f .试证：必存在)3,0(∈ξ，使()0f ξ'=证：∵ )(x f 在[0，3]上连续，∴ )(x f 在[0，2]上连续，且有最大值和最小值.于是M f m ≤≤)0(；M f m ≤≤)1(；M f m ≤≤)2(，故M f f f m

证明f (a )−f(§)g(§)−g(b)=f ′(§)g ′(§) f(x),g(x)均为在[a,b]上连续，在（a ，b ）上可导的函数。解：f (a )−f(§)g(§)−g(b)=f ′(§)g ′(§)推导得f (a )g ′(§)−f(§)g ′(§)=f ′(§)g(§)−f ′(§)g(b) 移项得f (a )g ′(§)−f(§)g ′(

推广的罗尔定理设函数()f x 在(,)a +∞上可导，且满足 lim ()lim ()x x a f x f x A +→+∞→==(有限或为±∞)， 则必存在(,+)a ξ∈∞，使得()=0f ξ'.（1） A 为有限数情况证明1： 若()f x 恒等于A ，则()=0f x '，(,+)a ξ∞可以取中的任何值，都有()=0f ξ'. 若()f x 不

罗尔定理与拉格朗日定理的证明与应用罗尔定理与拉格朗日定理的证明与应用单位：旅游系专业：酒店管理姓名：王姐 学号：1414061039【摘要】罗尔定理与拉格朗日定理是是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断导数的整体性质的工具。拉格朗日定理存在于多个科学领域之中，其中微积分中的拉格朗日定理即拉格朗日中值定理，又称拉式定理，是罗尔中值定理的推广，