第二章习题解答
2.1 解 均匀扇形薄片，取对称轴为x 轴，由对称性可知质心一定在x 轴上。
题2.1.1图
有质心公式
⎰⎰=
dm
xdm x c 设均匀扇形薄片密度为ρ，任意取一小面元dS ，
dr
rd dS dm θρρ==
又因为
θcos r x =
所以
θ
θ
θρθρsin 3
2a
dr
rd dr rd x dm
xdm x c =
=
=
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
对于半圆片的质心，即2
πθ=代入，有
πππ
θ
θ
a a a
x c 342
2sin 32sin 3
2=⋅
=
=
2.2 解 建立如图2.2.1图所示的球坐标系
题2.2.1图
把球帽看成垂直于z 轴的所切层面的叠加（图中阴影部分所示）。设均匀球体的密度为ρ。 则
)(2
2
2
z a dz y dv dm -===ρπρπρ
由对称性可知，此球帽的质心一定在z 轴上。 代入质心计算公式，即
)
2()
(432
b a b a dm
zdm
z c ++-
==
⎰⎰
2.3 解 建立如题2.
3.1图所示的直角坐标，原来人W 与共同作一个斜抛运动。
y
O
题2.3.1图
当达到最高点人把物体水皮抛出后，人的速度改变，设为x v ，此人即以 x v 的速度作平抛运动。由此可知，两次运动过程中，在达到最高点时两次运动的水平距离是一致的（因为两次运动水平方向上均以αcos v 0=水平v 作匀速直线运动，运动的时间也相同）。所以我们只要比较人把物抛出后水平距离的变化即可。第一次运动：从最高点运动到落地，水平距离1
s
t a v s ⋅=cos 01 ① gt v =αsin 0 ② α
αcos sin 2
01g
v s =
③
第二次运动:在最高点人抛出物体，水平方向上不受外力，水平方向上动量守恒，有
)(cos )(0u v w Wv v w W x x -+=+α
可知道
u w
W w a v v x ++
=cos 0
水平距离
α
ααsin )(cos sin 02
02uv g
W w w g
v t v s x ++
=
=
跳的距离增加了
12s s s -=∆=
α
sin )(0uv g
w W w +
2.42.4 解 建立如图2.4.1图所示的水平坐标。
2.4.1图
θ题2.4.2图
以1m ，2
m 为系统研究，水平方向上系统不受外力，动量守恒，有
02211=+x m x
m ① 对1
m 分析；因为
相对
绝a a a += ②
1m 在劈2m 上下滑，以2m 为参照物，则1m 受到一个惯性力21x m F -=惯（方向与2m 加速度方向相反）。如图2.4.2图所示。所以1m 相对2
m 下滑。由牛顿第二定律有
θθcos sin 21111x
m g m a m +='
②
所以1
m 水平方向的绝对加速度由②可知
..
2
1
'1cos //x a a -=θ绝 ③
..
2
..2..
1cos cos sin x x g x -⎪⎭
⎫
⎝⎛==θθθ④
联立①④，得
g
m x θ
sin m m 2
12+=
θθcos sin 2..
1 ⑤
把⑤代入①，得
g
m m s m x θ
θθ2
121..
2sin cos sin =-
= ⑥
负号表示方向与x 轴正方向相反。求劈对质点反作用力1R 。用隔离法。单独考察质点1
m 的受力情况。因为质点垂直斜劈运动的加速度为0，所以
sin cos ..
2111=⎪⎭
⎫
⎝⎛-+-θθx m g m R ⑦
把⑥代入⑦得，
g
m m m m R θ
θ2
12211sin cos +=
⑧
水平面对劈的反作用力2
R 。仍用隔离法。因为劈在垂直水皮方向上无加速度，
所以
0cos 122=--θR g m R ⑨
于是
g
m m m m m R θ
2
122122sin )(++=
⑩
2.52.5解 因为质点组队某一固定点的动量矩
∑=⨯=
n
1
i i
i m v r
J i
所以对于连续物体对某一定点或定轴，我们就应该把上式中的取和变为积分。如
