直线平面简单几何体
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直线 平面 简单几何体 共4页
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直线.平面.简单几何体
一、选择题
1、已知平面⊥平面β，∩β= l，点A∈，Al，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ ）
A. AB∥m B. AC⊥m C. AB∥β D. AC⊥β
2、将正三棱柱截去三个角(如图1所示,A,B,C分别是△GHI三边的中点)得到几何体如图2,则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为(
)
图1 图2
3、已知直线m、n和平面、满足m⊥n，m⊥，⊥则 （ ）
A. n⊥ B. n∥或n C. n⊥ D. n∥或n
4、设a,b是两条直线,α,β是两个平面,则a⊥b的一个充分条件是( )
A.a⊥α,b∥β,α⊥β B.a⊥α,b⊥β,α∥β C.aα,b⊥β,α∥β D.aα,b∥β,α⊥β
二、填空题
1、 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为_________.
2、如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H.有下列四个命题
A.点H是△A1BD的垂心 B.AH垂直平面CB1D1 C.二面角C—B1D1—C1的正切值为 D.点H到平面A1B1C1D1的距离为。其中真命题的代号是 .(写出所有真命题的代号)
3、正三棱锥P－ABC的高为2，侧棱与底面ABC成45°角，则点A到侧面PBC的距离为__________.
4、已知正四棱柱的对角线的长为，且对角线与底面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于
.
5、已知在同一个球面上,若
,则两点间的球面距离是
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6、已知一个凸多面体共有9个面，所在棱长均为1，其平面展开图如右图所示，则该凸多面体的体积.
7、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为，底面周长为3，那么这个球的体积为 _________
8、若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是___________.
9、一个正方体的各顶点均在同一球的球面上,若该球的体积为4π,则该正方体的表面积为____
10、长方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点在同一球面上，且AB=2,AD=,AA1=1,则顶点A、B间的球面距离是
_________.
11、直线l平面a,经过a外一点A与l、a都成30°角的直线有且只有_________条.
12、连结球面上两点的线段称为球的弦。半径为4的球的两条弦、的长度分别等于、，、分别为、的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：
①弦、可能相交于点 ②弦、可能相交于点③的最大值为5
④的最小值为1 其中真命题的序号为_________.
13、长方体的各顶点都在球的球面上，其中．两点的球面距离记为，两点的球面距离记为，则的值为 ．
14、平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件① ；
充要条件②
．（写出你认为正确的两个充要条件）
15、，为空间中一点，且，则直线与平面所成角的正弦值为___________.
16、体积为4π的球的表面上有A、B、C三点,AB=1,BC=,A、C两点的球面距离为π,则球心到平面ABC的距离为_______________.
17、图，已知球O的面上四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC。AB⊥BC，DA=AB=BC=，则球O的体积等于 。
18、个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，那么这个球的体积为 _________ 直线 平面 简单几何体 共4页
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19、图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P。如果将容器倒置，水面也恰好过点（图2）。有下列四个命题：
A．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半
B．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点
(1) (2) C．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点
D．若往容器内再注入升水，则容器恰好能装满
其中真命题的代号是：
（写出所有真命题的代号）．
三、解答题
1、如图,在棱长为1的正方体ABCD—A′B′C′D′中,AP=BQ=b(0＜b＜1),截面PQEF∥A′D,截面PQGH∥AD′.
(1)证明平面PQEF和平面PQGH互相垂直;
(2)证明截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值,并求出这个值;
(3)若b=,求D′E与平面PQEF所成角的正弦值.
2、如图所示,四棱锥P—ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形,其中BD是圆的直径,∠ABD=60°,∠BDC=45°.PD垂直底面ABCD,PD=2R.E,F分别是PB,CD上的点,且,过点E作BC的平行线交PC于G.
(1)求BD与平面ABP所成角θ的正弦值;
(2)证明△EFG是直角三角形;
(3)当=时,求△EFG的面积.
3、如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝,OA⊥底面ABCD，OA=2,M为OA的中点.
（Ⅰ）求异面直线AB与MD所成角的大小；
（Ⅱ）求点B到平面OCD的距离.
4、在四面体ABCD 中，CB= CD, AD⊥BD，且E ,F分别是AB,BD 的中点，
求证：
（Ⅰ）直线EF ∥面ACD ；
（Ⅱ）面EFC⊥面BCD ．
5、某厂根据市场需求开发折叠式小凳（如图所示）.凳面为三角形的尼龙布，凳脚为三根细钢管.考虑到钢管的受力和人的舒适度等因素，设计小凳应满足：①凳子高度为30cm，②三根细钢管相交处的节点与凳面三角形重心的连线垂直于凳面和地面. 直线 平面 简单几何体 共4页
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（1）若凳面是边长为20cm的正三角形，三只凳脚与地面所成的角均为，确定节点分细钢管上下两段的比值（精确到0.01）；
（2）若凳面是顶角为的等腰三角形，腰长为24cm，节点分细钢管上下两段之比为2:3.确定三根细钢管的长度（精确到0.1cm）
.
6、如图所示,四棱锥P—ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形,其中BD是圆的直径,∠ABD=60°,∠BDC=45°,△ADP∽△BAD.
(1)求线段PD的长;
(2)若PC=R,求三棱锥P—ABC的体积.
7、 如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD=
∠FAB=90°，BC，BE，G、H分别为FA、FD的中点.
（Ⅰ）证明：四边形BCHG是平行四边形;
（Ⅱ）C、D、F、E四点是否共面？为什么？
（Ⅲ）设AB=BE.证明：平面ADE⊥平面CDE.
8、记动点P是棱长为1的正方体的对角线上一点，记．当为钝角时，求的取值范围．
9、如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD=,底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2，O为AD中点.
(Ⅰ)求证:PO⊥平面ABCD；
(Ⅱ)求异面直线PB与CD所成角的余弦值；
(Ⅲ)求点A到平面PCD的距离.
10、如图，在四棱锥中，底面边长为1的菱形，,
,
,为的中点，为的中点
（Ⅰ）证明：直线；
（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；
（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离。
