2
与x 轴所围成的图形的面积.故 「2x x 2dx = _
2
sin 2tcostdt=
2
2
J sin 2tcostdt=
2
［coftdt^
对于定积分的大小比较，可以先算出定积分的值再比较大小，而在无法求出积分 值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小.
2
定积分典型例题
例 1
求 lim —(需1 2 &2n 2 L Vn 3
) n
n
分析将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限. 若对题目中被积函 数难以想到，可采取如下方法：先对区间
［0, 1］ n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来
找出被积函数与积分上下限. 解 将区间［0, 1］ n 等分，则每个小区间长为 X i 1
,然后把丄
n n 1 1 丄-的一个因子
n n 入和式中各项•于是将所求极限转化为求定积分•即 lim n
和畅L 贰)=n im 睥瓷L
晋)=
0 ~x 2 dx = ________ .
解法1
由定积分的几何意义
知,
(x 1)2
0)
解法 2本题也可直接用换元法求解.令
x 1 = si nt (
— t 2
2)，则
x 2
2e dx ,
1
2(1 x)dx .
dx =
分析 解法1 2
在［1,2］上，有 e x e x .而令 f(x) e x
x
(x 1)，则 f (x) e 1.当
0时, f (x) 0 ,
f (x)在(0,)上单调递增，从而 f (x)
f (0)，可知在［1,2］上, 有e x
x .又
1
2f(x)dx
2
1 f (x)dx ，从而有
1 2
(1 1 x)dx 2e x
dx
1 2 e x dx .
2
解法
在［1,2］上，有e x
.由泰勒中值定理
x
2 /
e 1 x x 得 e
2!
注意到
1
2 f (x)dx
2
1 f (x)dx .因此
1 2
(1 x)dx
1
x
2e dx
x 2
2e dx .
例4估计定积分
x
2
e
x
dx 的值.
分析要估计定积分的值，关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值.
2
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n p
sin x dx, n
x
分析 这类问题如果先求积分然后再求极限往往很困难
，解决此类问题的常用方法是
利
用积分中值定理与夹逼准则.
沁，显然f(x)在［n,n p ］上连续，由积分中值定理得
p
sinx sin dx
x
解法2利用积分不等式 因为
0,所以
从而
所以
解设f (x)
x 2 x x 2 x
e ,因为
f (x) e (2x
f(0)
e 0
1，f(2)
1
e"
f(x) 2e 2
0 2
x e 2
设f (x) , g(x)在[a, b]上连续,
1
1),令f (x)
0 ,求得驻点x 丄，而
2
1
f(b e 1 , 2
[0,2],
dx
dx g(x)
2e 2 , 1
2e" 0 , f(x)
0 .求 lim
n
a
g(x) n f (x)dx .
由于f(x)在［a,b ］上连续，则f(x)在［a,b ］上有最大值
M 和最小值 m .由 f(x)
0 知
由于lim n m
n
0 .又 g(x) 0 ,则
n — b n
m a g(x)dx
lim n M 1，故
lim n
b a
g(x)n f(x)dx
n
M a g (x)dx .
b
a g(x)n f(x)dx =
b a g(x)dx .
a
lim n
p, n 为自然数.
解法 1利用积分中值定理
设 f (x)
[n,n p],
lim
n
p
sinx dx x sin lim
p 0.
n p
sin x ,
------ d x n x
p
sin x
dx
p
1 n p dx In x n
这是求变限函数导数的问题，禾U 用下面的公式即可
d v(x)
—u(x ) f(t)dt f[v(x)]v(x) f[u(x)]u (x) • dx u (x )
4
2
(1) f (x) = 2xe x
e x
;
解法
解法 于是可得 又由于 因此 lim
n
p
sinx ,
dx x
1 n
I 、 1
x 求 lim dx • n 0
1 x 由积分中值定理 a f (x)g(x)dx
f(
b
a
g(x)dx 可知
1_
x
0厂 lim n
— dx
= x
1
°
x n dx lim
n
lim
n
因为0x1,故有
1
n
x dx
，
1 x
dx
n
x
1 -dx
x
1
x n dx
•
1
x n dx - 0 n
0(n
)
•
lim n 1
01 -dx = 0 • x
存在一点 ，使 f (c) 0 • 分析 由条件和结论容易想到应用罗尔定理，只需再找出条件
f( ) f(0)即可. 证明 由题设f(x)在[0,1]上连续，由积分中值定理, 1
f (0) 4 f (x)dx 4f ( )(1 4
可得 3
)f()， 4 其中 [-,1] [0,1] •于是由罗尔定理，存在 c (0,) 4
(0,1)，使得 f (c) 0 •证毕. (1)若 f (x) x 2
t 2
e x
dt ,则 f (x) =
____ ; ( 2)
x
若 f (x) 0 xf (t)dt ,求 f (x)=
分析
