《数学分析》中极限问题的浅析
极限理论是数学分析这门学科的基础，极限方法是数学分析的基本方法，通过极限思想、借助极限工具使数学分析内容更加严谨，可以说，极限贯穿整个数学分析的始末，学好极限十分重要。
完整的极限理论的建立，依赖于实数的基本性质，即实数系的所谓连续性，我们已经熟悉的单调有界原理，就是连续性的一个等价命题。极限问题类型很多，变化复杂，解决极限问题在数学分析中更显得尤为重要。这里举一些比较典型的实例，希望从中归纳出解决极限问题的方法。
下面举例说明求解极限问题的若干方法，其主要是根据极限的定义、运算法则和性质、定理，以及数学上的其他知识和技巧。
一 求数列极限
（一） 利用迫敛性定理求极限
首先说明迫敛性定理[1]
求极限，这是一种简单而常用的方法。
例1、证明 （1） (a > 0)
（2） 证明： （1）当a = 1时，等式显然成立。
当a >1时，令
则：a = (1 + h n )n = 1 + nh n + 故0 < h n <
h n = 0
即： (1 + h n ) = 1 当 0 < a < 1时：
lim ∞→n 1
=n a lim ∞→n 1
=n n n n h a +=1 (h n > 0)
n n
n n nh h h n n >++- 22
)1(n
a
由迫敛性定理
lim
∞→n lim ∞→n =n a lim
∞→n lim ∞→n =n a lim ∞→n =n
a 11 1 = 1
n = (1 + h n )n = 1 + nh n +
>
由迫敛性定理得 h n = 0
从而：
例：求极限
即：e n
由迫敛性定理可得：
从而：由连续函数定义知：
极限定义是判定极限是某个数的充要条件，因此有时要用到它的否定形式[2]
，现叙述如下：
（二）单调有界原理求极限
单调有界原理是判定极限存在的重要法则，虽然它不能判定极限是什么数，但许多问题当断定极限存在时，极限值是不难求出的。
n
n
n h h n n ++- 22
)1(2
2
)1(n
h n n -即： 0 < h n <
)2(1
2
≥-n n lim
∞
→n lim ∞→n =n n lim
∞→n (1 + h n ) = 1
lim
+→0λ⎪⎪⎭
⎫
+++ ⎝
⎛λλλn e e e n 21时：解：当0>λλ
λλλn
n
n ne e e e ≤++< 1n n e n e e λλλλ≤ ⎝
⎛⎪⎪⎭⎫++≤ 1令 +→0λlim +→0n n n e e e e =⎪⎪⎭
⎫+++ ⎝⎛λλλλ
21lim
+→0n λn e
e n n =⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛++λλ 1
⋅
λ{}，
，，对任意自然数，若存在设数列01000N N N a n >∃>ε{}为极限。
不以。则而a a a a n N 01ε≥-
例：单调数列 收敛于a 的充要条件是存在子列 使得
证：不妨设设 是单调递增数列，必要性显然。
充分性：若
对任意的 0>ε ，存在k 0 ，当k ≥ k 0 时： 1Xn k a1 = a Xn k < 当n ≥ nk 时：有 此即为： 例：设
证：当x 0 = 0时 显然x n = 0 (n =1. 2.…) 故： x n = 0
故可得：
k
Xn a )(∞→k 则： ε
ε
<-≤-=-k n n n x a x a a x a
x n →)
(∞→n ⎪⎭
⎫
⎝⎛-∈2,20ππx 1sin 2-=n n x x π .2.1=n }
{n x 求证 收敛，并求 lim ∞
→n x n
lim ∞
→n (),2,00
时当：π
∈x 000
00122sin 2sin 2x x x x x x x =⋅⋅≥⋅⋅==ππππ]⎪⎭⎫≥ ⎝
⎛
∈ππ2sin 2,0(x x x o 时，容易证明
当11
1112sin 2sin 2x x x x x x ≥⋅⋅≥=π
π11
111sin 2-----≥⋅⋅≥n n n n n x x x x x π
≤≤≤≤≤n x x x x 210{}
n x {}
k
n x a
x im k n k =∞
→ {}n x
由于
又由于方程
所以
当
例：设a > 0, x n (n=1、2、……)为由以下各式：
x 0 > 0, 所确定的数列，求证
证：由假设x 0 > 0, 又由算术平均数和几何平均数之间的关系得：
由单调有界原理，则： 将
2 x 00π≤≤a a sin 22π
π==对满足等式有唯一解
0sin 2=-x x π2π
=a 从而 lim ∞→n 2
π
=n x 时，同理可得)0,2
(x 0π
-∈lim ∞→n 2π
-=n x )(21x 1n n n x a
x +=+(n =0、1、2，……)
lim ∞
→n a x n =a
x a
x x a x x n
n n n n =⋅≥+=+)(211 又1)1(2112≤+=+n n n x a
x x （n=1、2、……）
n
n x x ≤+1即：（n=1、2、……）
lim ∞
→n ε
=n x 取极限得：)(211n
n n x a
x x +=
+).
(21ε
εεa
+=a
=ε从而：∴lim ∞
→n a
x n =
