对数和对数函数练习题(答案)[1]

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一、选择题：

1．3log9log28的值是（ ） A．32 B．1 C．23 D．2

2．若log2)](log[loglog)](log[loglog)](log[log55153313221zyx=0，则x、y、z的大小关系是（ ）

A．z＜x＜y B．x＜y＜z C．y＜z＜x D．z＜y＜x

3．已知x=2+1,则log4(x3－x－6)等于（ ）A.23 B.45 C.0 D.21

4．已知lg2=a，lg3=b，则15lg12lg等于（ ）A．baba12 B．baba12 C．baba12 D．baba12

5．已知2 lg(x－2y)=lgx＋lgy，则yx的值为 ( ）A．1 B．4 C．1或4 D．4 或

6.函数y=)12(log21x的定义域为（ ）A．(21，＋∞) B．［1，＋∞) C．( 21，1] D．(－∞，1)

7．已知函数y=log21 (ax2＋2x＋1)的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）

A．a ＞ 1 B．0≤a＜ 1 C．0＜a＜1 D．0≤a≤1

8.已知f(ex)=x，则f(5)等于（ ）A．e5 B．5e C．ln5 D．log5e

9．若1()log(01),(2)1,()afxxaaffx且且则的图像是（ ）

A B C D

10．若22log()yxaxa在区间(,13)上是增函数，则a的取值范围是（ ）

A．[223,2] B．223,2 C．223,2 D．223,2

11．设集合BAxxBxxA则|},0log|{},01|{22等于（ ）

A．}1|{xx B．}0|{xx C．}1|{xx D．}11|{xxx或

12．函数),1(,11lnxxxy的反函数为 （）

A),0(,11xeeyxx B．),0(,11xeeyxxC．)0,(,11xeeyxxD．)0,(,11xeeyxx

二、填空题：

13．计算：log2.56.25＋lg1001＋lne＋3log122= ．

14．函数y=log4(x－1)2(x＜1＝的反函数为 ．

15．已知m＞1，试比较(lgm)0.9与(lgm)0.8的大小 ． O x y

O x y

O x y

O x y

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16．函数y =(log41x)2－log41x2＋5 在 2≤x≤4时的值域为 ．

三、解答题：

17．已知y=loga(2－ax)在区间{0，1}上是x的减函数，求a的取值范围．

18．已知函数f(x)=lg[(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1]，若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围.

19．已知f(x)=x2＋(lga＋2)x＋lgb，f(－1)=－2，当x∈R时f(x)≥2x恒成立，求实数a的值，并求此时f(x)的最小值?

20．设0＜x＜1，a＞0且a≠1，试比较|loga(1－x)|与|loga(1＋x)|的大小。

21．已知函数f(x)=loga(a－ax)且a＞1，（1）求函数的定义域和值域；（2）讨论f(x)在其定义域上的单调性；（3）证明函数图象关于y=x对称。

22．在对数函数y=log2x的图象上(如图)，有A、B、C三点，它们的横坐标依次为a、a＋1、a＋2，其中a≥1，求△ABC面积的最大值．

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参考答案

一、选择题： ADBCB CDCBA AB

二、填空题：13.213，14.y=1－2x(x∈R)， 15. (lgm)0.9≤(lgm)0.8，16.8425y

三、解答题：

17.解析：先求函数定义域：由2－ax＞0，得ax＜2，又a是对数的底数，∴a＞0且a≠1，∴x＜a2

由递减区间[0，1]应在定义域内可得a2＞1，∴a＜2，又2－ax在x∈[0，1]是减函数

∴y=loga(2－ax)在区间[0，1]也是减函数，由复合函数单调性可知：a＞1，∴1＜a＜2

18、解：依题意(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1＞0对一切x∈R恒成立．当a2－1≠0时，其充要条件是：

0)1(4)1(01222aaa解得a＜－1或a＞35，又a=－1，f(x)=0满足题意，a=1，不合题意．

所以a的取值范围是：(－∞，－1]∪(35，＋∞)

19、解析：由f(－1)=－2 ，得：f(－1)=1－(lga＋2)＋lgb=－2，解之lga－lgb=1，∴ba=10，a=10b．

又由x∈R，f(x)≥2x恒成立．知：x2＋(lga＋2)x＋lgb≥2x，即x2＋xlga＋lgb≥0，对x∈R恒成立，

由Δ=lg2a－4lgb≤0，整理得(1＋lgb)2－4lgb≤0，即(lgb－1)2≤0，只有lgb=1，不等式成立．

即b=10，∴a=100．∴f(x)=x2＋4x＋1=(2＋x)2－3，当x=－2时，f(x) min=－3．

20.解法一：作差法

|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|=|axlg)1lg( |－|axlg)1lg(|=|lg|1a(|lg(1－x)|－|lg(1＋x)|)

∵0＜x＜1，∴0＜1－x＜1＜1＋x

∴上式=－|lg|1a[(lg(1－x)＋lg(1＋x)]=－|lg|1a·lg(1－x2)

由0＜x＜1，得，lg(1－x2)＜0，∴－|lg|1a·lg(1－x2)＞0，

∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|

解法二：作商法

|)1(log||)1(log|xxaa=|log(1－x)(1＋x)|

∵0＜x＜1，∴0＜1－x＜1＋x，∴|log(1－x)(1＋x)|=－log(1－x)(1＋x)=log(1－x)x11

由0＜x＜1，∴1＋x＞1，0＜1－x2＜1

∴0＜(1－x)(1＋x)＜1，∴x11＞1－x＞0

4

∴0＜log(1－x) x11＜log(1－x)(1－x)=1

∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|

解法三：平方后比较大小

∵loga2(1－x)－loga2(1＋x)=[loga(1－x)＋loga(1＋x)][loga(1－x)－loga(1＋x)]

=loga(1－x2)·logaxx11=|lg|12a·lg(1－x2)·lgxx11

∵0＜x＜1，∴0＜1－x2＜1，0＜xx11＜1∴lg(1－x2)＜0，lgxx11＜0

∴loga2(1－x)＞loga2(1＋x)，即|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|

解法四：分类讨论去掉绝对值

当a＞1时，|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|=－loga(1－x)－loga(1＋x)=－loga(1－x2)

∵0＜1－x＜1＜1＋x，∴0＜1－x2＜1

∴loga(1－x2)＜0，∴－loga(1－x2)＞0

当0＜a＜1时，由0＜x＜1，则有loga(1－x)＞0，loga(1＋x)＜0

∴|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|=|loga(1－x)＋loga(1＋x)|=loga(1－x2)＞0

∴当a＞0且a≠1时，总有|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|

21.解析：(1)定义域为(－∞，1)，值域为(－∞，1)

(2)设1＞x2＞x1∵a＞1，∴12xxaa，于是a－2xa＜a－1xa

则loga(a－a2xa)＜loga(a－1xa)

即f(x2)＜f(x1)

∴f(x)在定义域(－∞，1)上是减函数

(3)证明：令y=loga(a－ax)(x＜1)，则a－ax=ay，x=loga(a－ay)

∴f－1(x)=loga(a－ax)(x＜1)

故f(x)的反函数是其自身，得函数f(x)=loga(a－ax)(x＜1＝图象关于y=x对称．

22.解析：根据已知条件，A、B、C三点坐标分别为(a，log2a)，(a＋1，log2(a＋1))，(a＋2，log2(a＋2))，则△ABC的面积

S=)]2(log[log2)]2(log)1([log2)]1(log[log222222aaaaaa

222)]2([)1)(2(log21aaaaa)2()1(log2122aaa

aaaa212log21222)211(log2122aa

因为1a,所以34log21)311(log2122maxS