2016中南财经政法大学线性代数期末考试题
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线性代数期末考试样题
得分 评阅人 一、简答题（每小题5分，共30分）：请根据课程内容作出清晰的表述和推导；需要作判断的题目请通过推导或举反例等方式给出你的理由。
1. 设四阶矩阵A=234,,,，234,,,B，其中234,,,,均为四维列向量，且已知行列式3,1.AB 则 4AB是否成立？若不成立，请写出你的计算方法。
院（系）： 专业： 年级： 学生姓名： 学号： 课堂号：________
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第 1 页(共 3 页) 2. 设A为n阶可逆矩阵，*A为A的伴随矩阵，为n维列向量，b为常数。记分块矩阵
*TEOPAA，TAQb. 计算并化简PQ.
3. 设A为三阶矩阵。将A的第2列加到第1列得到矩阵B, 再交换B的第2行与第3行得到单位矩阵E.
若记初等矩阵,12100100110001001010PP, 则一定有121APP. 请根据矩阵的初等变换与初等矩阵的关系及初等矩阵的性质推导出该结论。
4. 通过建立方程组，求出向量(2,3,3)T在3R的一组基1(1,1,0)T，2(1,0,1)T，3(0,1,1)T下的坐标。
5. 若 1122,0,1,2,0,TTkk是矩阵A分属于两个不同特征值1212,（）的特征向量，则12,kk至少应该满足什么关系？写出你的推导过程。
6. 设A为n阶方阵。请从矩阵的性质及其与行列式、方程组求解、行（列）向量组线性相关性的联系等角度，至少写出5个与 "()rAn" 等价的条件。
得分 评阅人
二、计算题（每小题10分，共60分）
1. 设n阶行列式12311000210030101001000nnnDnn，求第一行元素的代数余子式之和1112131nAAAA.
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第 2 页(共 3 页) 2. 同阶方阵,AB满足：ABAB. (1) 证明：1()BEAE；(2) 若130210002B, 求A.
3. 设123(1,1,1,1),(2,2,2,2),(3,3,3,3)TTTaaa，4(4,4,4,4)Ta，问
(1) 当a为何值时，1234,,,线性相关？；（2）当1234,,,线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出。
4．已知四阶方阵1234(,,),,A 1234,,,均为四维列向量。其中234,,线性无关，1232+0，并且1234. 求线性方程组AX的通解。
5. 设三阶方阵A的特征值为1,2,3. 矩阵22BAA.
（1）求B的特征值；（2）B是否可对角化？若可以，说明你的理由并写出与其相似的对角矩阵；
（3）求行列式 B 和 2AE．
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第 3 页(共 3 页) 6. 已知实对称矩阵112121211A. 求正交矩阵P，使得 TPAP 为对角矩阵。
得分 评阅人
三、证明题（10分）
已知n阶方阵A的秩为r，012,,,,nr为非齐次线性方程组(0)Ax的1nr 个线性无关的解向量。证明：(1) 对任意的,1iinr, 0i是导出组0Ax的非零解；（2）
10200,,,nr是导出组0Ax的一个基础解系。
