全国版2020年中考数学复习提分专练反比例函数综合问题
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1 提分专练(三) 反比例函数综合问题
|类型1| 反比例函数与几何图形的面积问题
1.[2019·龙东地区改编]如图T3-1,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,平行四边形OABC的顶点A在反比例函数y=1𝑥(x>0)的图象上,顶点B在反比例函数y=5𝑥(x>0)的图象上,点C在x轴的正半轴上,则平行四边形OABC的面积是 .
图T3-1
2.[2019·衢州]如图T3-2,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,▱ABCD的边AB在x轴上,顶点D在y轴的正半轴上,点C在第一象限,将△AOD沿y轴翻折,使点A落在x轴上的点E处,点B恰好为OE的中点,DE与BC交于点F.若y=𝑘𝑥(k≠0)的图象经过点C.且S△BEF=1,则k的值为 .
图T3-2
3.[2019·兰州] 如图T3-3,在平面直角坐标系xOy中,反比例函数y=𝑘𝑥(k≠0)的图象过等边三角形BOC的顶点B,OC=2,点A在反比例函数图象上,连接AC,AO.
(1)求反比例函数y=𝑘𝑥(k≠0)的表达式;
(2)若四边形ACBO的面积是3√3,求点A的坐标.
图T3-3
|类型2| 反比例函数与一次函数的综合问题
2 4.[2018·贵港] 如图T3-4,已知反比例函数y=𝑘𝑥(x>0)的图象与一次函数y=-12x+4的图象交于A和B(6,n)两点.
(1)求k和n的值;
(2)若点C(x,y)也在反比例函数y=𝑘𝑥(x>0)的图象上,求当2≤x≤6时,函数值y的取值范围.
图T3-4
5.[2019·岳阳] 如图T3-5,双曲线y=𝑚𝑥经过点P(2,1),且与直线y=kx-4(k<0)有两个不同的交点.
(1)求m的值;
(2)求k的取值范围.
图T3-5
6.[2018·宜宾] 如图T3-6,已知反比例函数y=𝑚𝑥(m≠0)的图象经过点(1,4),一次函数y=-x+b的图象经过反比例函数图象上的点Q(-4,n).
3 (1)求反比例函数与一次函数的表达式;
(2)一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A,B两点,与反比例函数图象的另一个交点为P点,连接OP,OQ,求△OPQ的面积.
图T3-6
7.[2019·广东] 如图T3-7,一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=𝑘2𝑥的图象相交于A,B两点,其中点A的坐标为(-1,4),点B的坐标为(4,n).
(1)根据图象,直接写出满足k1x+b>𝑘2𝑥的x的取值范围;
(2)求这两个函数的表达式;
(3)点P在线段AB上,且S△AOP∶S△BOP=1∶2,求点P的坐标.
图T3-7
8.[2019·广州] 如图T3-8,在平面直角坐标系xOy中,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P(-1,2),AB⊥x轴于点E,正比例函数y=mx的图象与反比例函数y=𝑛-3𝑥的图象相交于A,P两点.
4 (1)求m,n的值与点A的坐标;
(2)求证:△CPD∽△AEO;
(3)求sin∠CDB的值.
图T3-8
9.[2019·自贡] 如图T3-9,在平面直角坐标系中,一次函数y1=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y2=𝑚𝑥(m≠0)的图象相交于第一、三象限内的A(3,5),B(a,-3)两点,与x轴交于点C.
(1)求该反比例函数和一次函数的解析式;
(2)在y轴上找一点P使PB-PC最大,求PB-PC的最大值及点P的坐标;
(3)直接写出当y1>y2时,x的取值范围.
图T3-9
5 【参考答案】
1.4 [解析]设A(a,b),B(a+m,b),依题意得b=1𝑎,b=5𝑎+𝑚,∴1𝑎=5𝑎+𝑚,化简得m=4a.∵b=1𝑎,∴ab=1,∴S平行四边形OABC=mb=4ab=4×1=4.
2.24 [解析]连接OC,过F作FM⊥AB于M,延长MF交CD于N.
设BE=a,FM=b,由题意知OB=BE=a,OA=2a,DC=3a.
因为四边形ABCD为平行四边形,所以DC∥AB,所以△BEF∽△CDF,所以BE∶CD=EF∶DF=1∶3,
所以NF=3b,OD=MN=FM+FN=4b.
因为S△BEF=1,即12ab=1,∴S△CDO=12CD·OD=12×3a×4b=6ab=12,所以k=xy=2S△CDO=24.
3.解:(1)作BD⊥OC于D,
∵△BOC是等边三角形,
∴OB=OC=2,OD=12OC=1,
∴BD=√𝑂𝐵2-𝑂𝐷2=√3,
∴S△OBD=12OD·BD=√32,
又∵S△OBD=12|k|,∴|k|=√3,
∵反比例函数y=𝑘𝑥(k≠0)的图象在第一、三象限,∴k=√3,∴反比例函数的表达式为y=√3𝑥.
(2)∵S△OBC=12OC·BD=12×2×√3=√3,∴S△AOC=3√3−√3=2√3.
∵S△AOC=12OC·yA=2√3,∴yA=2√3.
把y=2√3代入y=√3𝑥,得x=12, ∴点A的坐标为12,2√3.
6 4.解:(1)把B(6,n)代入一次函数y=-12x+4中,可得n=-12×6+4=1,
所以B点的坐标为(6,1).
又B在反比例函数y=𝑘𝑥(x>0)的图象上,
所以k=xy=1×6=6,
所以k的值为6,n的值为1.
(2)由(1)知反比例函数的解析式为y=6𝑥.
当x=2时,y=62=3;当x=6时,y=66=1,
由函数图象可知,当2≤x≤6时函数值y的取值范围是1≤y≤3.
5.解:(1)把P(2,1)的坐标代入y=𝑚𝑥,得:
1=𝑚2,m=2.
(2)由(1)可知反比例函数解析式为y=2𝑥,
∴2𝑥=kx-4,
整理得:kx2-4x-2=0,
∵双曲线与直线有两个不同的交点,∴Δ>0,
即(-4)2-4k·(-2)>0,
解得:k>-2.
又∵k<0,
∴k的取值范围为-2
6.解:(1)∵反比例函数y=𝑚𝑥(m≠0)的图象经过点(1,4),
∴4=𝑚1,解得m=4,
故反比例函数的表达式为y=4𝑥.
∵Q(-4,n)在反比例函数的图象上,
∴n=4-4=-1,∴Q(-4,-1).
∵一次函数y=-x+b的图象过点Q(-4,-1),
∴-1=4+b,解得b=-5,
∴一次函数的表达式为y=-x-5.
7 (2)由题意可得:{𝑦=4𝑥,𝑦=−𝑥-5,
解得{𝑥=−4,𝑦=−1或{𝑥=−1,𝑦=−4,
∴P(-1,-4).
在一次函数y=-x-5中,
令y=0,得-x-5=0,
解得x=-5,故A(-5,0).
∴S△OPQ=S△OPA-S△OAQ=12×5×4-12×5×1=7.5.
7.解:(1)x<-1或0
(2)把A(-1,4)的坐标代入y=𝑘2𝑥,得k2=-4.∴y=-4𝑥.∵点B(4,n)在反比例函数y=-4𝑥的图象上,∴n=-1.∴B(4,-1).
把A(-1,4),B(4,-1)的坐标代入y=k1x+b,
得{-𝑘1+𝑏=4,4𝑘1+𝑏=−1,解得{𝑘1=−1,𝑏=3.∴y=-x+3.
(3)设直线AB与y轴交于点C,
∵点C在直线y=-x+3上,∴C(0,3).
S△AOB=12OC·(|xA|+|xB|)=12×3×(1+4)=7.5,
又∵S△AOP∶S△BOP=1∶2,
∴S△AOP=13×7.5=2.5,S△BOP=5.
又S△AOC=12×3×1=1.5,1.5<2.5,
∴点P在第一象限.∴S△COP=2.5-1.5=1.
又OC=3,∴12×3×xP=1,解得xP=23.
把xP=23代入y=-x+3,得yP=73.
∴P23,73.
8.解:(1)将点P(-1,2)的坐标代入y=mx,
8 得:2=-m,解得m=-2,
∴正比例函数解析式为y=-2x;
将点P(-1,2)的坐标代入y=𝑛-3𝑥,
得:2=-(n-3),解得:n=1,
∴反比例函数解析式为y=-2𝑥.
解方程组{𝑦=−2𝑥,𝑦=−2𝑥,
得{𝑥1=−1,𝑦1=2,{𝑥2=1,𝑦2=−2,
∴点A的坐标为(1,-2).
(2)证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,AB∥CD,
∴∠CPD=90°,∠DCP=∠BAP,
即∠DCP=∠OAE.
∵AB⊥x轴,
∴∠AEO=∠CPD=90°,
∴△CPD∽△AEO.
(3)∵点A的坐标为(1,-2),
∴AE=2,OE=1,AO=√𝐴𝐸2+𝑂𝐸2=√5.
∵△CPD∽△AEO,∴∠CDP=∠AOE,
∴sin∠CDB=sin∠AOE=𝐴𝐸𝐴𝑂=2√5=2√55.
9.解:(1)将A(3,5)的坐标代入y2=𝑚𝑥得,5=𝑚3,
∴m=15.
∴反比例函数的解析式为y2=15𝑥.
当y2=-3时,-3=15𝑥,∴x=-5,
∴点B的坐标为(-5,-3).
将A(3,5),B(-5,-3)的坐标代入y1=kx+b得,
{3𝑘+𝑏=5,-5𝑘+𝑏=−3,解得{𝑘=1,𝑏=2.
∴一次函数的解析式为y1=x+2.
