年湖南高考数学文科试卷带答案

2009年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）含答案数学（文史类）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.2log 的值为 【 D 】A ． B.C. 12-D. 122. 抛物线2y =-8x 的焦点坐标是 【 B 】A ．（2，0） B. （- 2，0） C. （4，0） D. （- 4，0） 3．设n s 是等差数列｛n a ｝的前n 项和，已知1a =3，5a =11，则7s 等于 【 C 】 A ．13 B. 35 C. 49 D. 634．如图1 D ，E ，F 分别是∆ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则 【 A 】A ．AD + BE + CF=0 B ．BD CE DF -+ =0 C ．AD CE CF +- =0D ．BD BE FC --=0 图15．某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为【 B 】 A ．14 B. 16 C. 20 D. 486．平面六面体ABCD - 1A 1B 1C 1D 中，既与AB 共面也与1CC 共面的棱的条数为【 C 】 A ．3 B. 4 C.5 D. 67．若函数y=f(x)导函数在区间［a,b ］是增函数，则函数y=f(x)在区间［a,b ］上的图象可能是（A ）8. 设函数()y f x =在(,)-∞+∞内有定义，对于给定的正数K ，定义函数{(),(),()()f x f x k k k f x kf x ≤>=取函数()2xf x -=。

当K =12时，函数()k f x 的单调递增区间为 【C 】 A (,0)-∞ B (0,)+∞ C (,1)-∞- D (1,)+∞二 填空题：本大题共七小题，没小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。

2010年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（文史类）(时间120分钟 满分150分) 第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数21i-等于( ) A ．1i + B. 1i - C. 1i -+ D. 1i --2.下列命题中的假命题是( )∃∈x ,lg 0=x B. ∃∈x R ,tan 1=x∀∈x ,30>x D. ∀∈x R ,20>x3.某商品销售量y （件）与销售价格x （元/件）负相关，则其回归方程可能是 ( )A.ˆ10200=-+yx B.ˆ10200=+y x C.ˆ10200=--yx D.ˆ10200=-yx4.极坐标方程cos ρθ=和参数方程1,2=--⎧⎨=+⎩x t y t （t 为参数）所表示的图形分别是 ( )A ．直线、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．圆、直线5.设抛物线y 2=8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线的焦点的距离是 ( ) A.4 B. 6 C. 8 D. 12 6．若非零向量a ，b 满足||||a b =，(2)0a b b +⋅=，则a 与b 的夹角为 ( ) A.30︒ B.60︒ C.30︒ D. 30︒ 7.在ABC ∆中，角,,A B C 的所对的边长分别为,,a b c ，若120,2∠=︒=C c a ，则( )>b <b与b 的大小关系不能确定8.函数2=+y ax bx 与log (0,||||)=≠≠b ay x ab a b 在同一直角坐标系中的图象可能是（）( )第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.把答案填在题中横线上. 9 .已知集合{}1,2,3=A ,{}2,,4=B m ，A ∩B ={}2,3，则 .10.已知一种材料的最佳入量在100g 到200g 之间.若用0.618法安排试验，则第一次试点的加入量可以是 g.11.在区间[-1,2]上随机取一个数x ，则x ∈[0,1]的概率为 . 12.图1是求实数x 的绝对值的算法程序框图，则判断框①中可填 .13.图2中的三个直角三角形是一个体积为203的几何体的三视图，则h = cm ．开始 ① 是否输出输入x正视图侧视图h56CD14. 若不同两点P ，Q 的坐标分别为() ，(3,3),则线段的垂直平分线l 的斜率为；圆22(2)(3)1-+-=x y 关于直线l 对称的圆的方程为.15.若规定1210{,,,}=L E a a a 的子集12{,,,}L m t t t a a a 为E 的第k 个子集，其中112-=+t k 21122--++L m t t ，则（1）13{,}a a 是E 的第个子集;（2）E 的第211个子集是.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分） 已知函数2()sin 22sin =-f x x x ． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（）求函数()f x 的最大值及()f x 取最大值时x 的集合.17.（本小题满分12分）为了对某课题进行研究，用分层抽样的方法从三所高校A 、B 、C 的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表（单位：人）.（I ）求；（）若从高校B ，C 抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自高校C 的概率.18.（本小题满分12分）如图3所示，在长方体1 ABCD A 1B 1C 1D 中，＝１, 1=２, M 是棱1CC 的中点.（Ⅰ）求异面直线1A Ｍ和1C 1D 所成的角的正切值;（Ⅱ）证明：平面 平面A 1B 1M.19．（本小题满分13分）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8的,A B 两点各建一个考察基地.视冰川面为平面形，以过,A B 两点的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系（图4）.考察范围为到,A B 两点的距离之和不超过10的区域. （Ⅰ）求考察区域边界曲线的方程； （Ⅱ）如图4所示，设线段P 1P 2是冰川的部分边界线（不考虑其他边界线），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2,以后每年移动的距离为前一年的2倍.问：经过多长时间，点A 恰好在冰川边界线上?图 320 （本小题满分13分） 给出下面的数表序列：其中表n (1,2,3,L )有n 行，第1行的n 个数是1,3,5，…，21，从第二行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和.（Ⅰ）写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n （n ≥3）（不要求证明）；（Ⅱ）某个数表中最后一行都只有一个数，它们构成数列1,4,12，L ，记此数列为{}，求和：32412231(+++++∈L n n n b b bn b b b b b b N*)21.（本小题满分13分） 已知函数()(1)ln 15=++-+af x x a x a x, 其中0,<a 且1≠-a . （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）设函数322(23646),1,()(),1⎧-++--≤=⎨⋅>⎩x x ax ax a a e x g x e f x x （e 是自然对数的底数），是否存在a ，使g (x )在[]上是减函数？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由.参考答案题号 12 3 4 5 6 7 8 答案ACADBCAD二、填空题9. 3 10. 161.8或138.2 11. 3112>0或x >0?，或x ≥0 或x ≥0？13. 4 14. 1-；x 2+(1)2=1 15. 5；12578{,,,,}a a a a a 三、解答题16.解：（Ⅰ） 因为()sin 2(1cos 2)2sin 214π⎛⎫=--=+- ⎪⎝⎭f x x x x ，所以函数()f x 的最小正周期22ππ==T . （）由（Ⅰ）知，当2242πππ+=+x k ，即(8ππ=+∈x k k Z ）时，()f x 取最大值12-.因此函数()f x 取最大值时x 的集合为{|,8ππ=+∈x x k k Z }.17.解: （I ）由题意可得2183654==x y ，所以13. （）记从高校B 抽取的2人为b 12, 从高校C 抽取的3人为c 123,则从高校B ，C 抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有：（b 12）,（b 11）, (b 12）, （b 13）, （b 21）, （b 22）, （b 23）,( c 12), ( c 13), ( c 23)，共10种. 设选中的2人都来自高校C 的事件为X ,则X 包含的基本事件有( c 12), ( c 13), ( c 23),共3种. 因此3()10=P X . 故选中的2人都来自高校C 的概率为103. 18.解 （Ⅰ）如图，因为1111//C D B A ，所以11∠MA B 异面直线1A M 和1C 1D 所成的角，因为1A 1B ⊥平面11BCC B ， 所以1190∠=︒A B M ，而1A 1B =1，2211112=+=B M B C MC ，故11111tan 2∠==B MMA B A B . 即异面直线1A Ｍ和1C 1D 所成的角的正切值为2（Ⅱ）由1A 1B ⊥平面11BCC B ，⊂⊥平面11BCC B ，得1A 1B ⊥ . ① 由（Ⅰ）知，12=B M ,222=+=BM BC CM ，12=B B ，所以21+B M 221=BM B B . 从而⊥1M. ② 又1111=I A B B M B , 再由① ②得⊥平面A 1B 1M ，而⊂平面， 因此平面⊥平面A 1B 1M .19. 解:（Ⅰ）设边界曲线上点的坐标为P （），则由10知，点P 在以A 、B 为焦点，长轴长为2a =10的椭圆上，此时短半轴长22543=-=b .所以考察区域边界曲线（如图）的方程为221259+=x y . （Ⅱ）易知过点P 1，P 2的直线方程为4347=0， 因此点A 到直线P 1P 2的距离为22|1647|3154(3)-+==+-d . 设经过n 年，点A 恰好在冰川边界线上，则利用等比数列求和公式可得531121220=--)(.n ，解得 5. 即经过5年，点A 恰好在冰川边界线上.20. 解：（Ⅰ）表4为它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别为4,8,16,32. 它们构成首项为4，公比为2的等比数列. 将结这一论推广到表n （n ≥3），即表n 各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n ，公比为2的等比数列.（Ⅱ）表n 第1行是1,3,5，…，21，其平均数是135(21)++++-=L n n n.由（Ⅰ）知，它的各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n ，公比为2的等比数列（从而它的第k 行中的数的平均数是12-⋅k n ），于是表n 中最后一行的唯一一个数为12-⋅n n .因此12121(2)222(1)2(1)2++--++⋅+==⋅⋅+⋅+⋅k k k k k k k b k k b b k k k k 2322(1)11(1)22(1)2---+-==-+⋅⋅+⋅k k k k k k k k k (1,2,3, …).所以32421103212231111111122222322(1)2+-----+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L n n n n n b b b b b b b b b n n 214(1)2n n -=-+⨯21.（Ⅰ）()f x 的定义域为),(+∞0，221()(1)()1-+-'=-++=a a x a x f x x x x . 若-1<a <0,则当0<x <时，()0'>f x ；当 <x <1时，()0'<f x ；当x >1时，()0'>f x .故()f x 分别在(0,),(1,)-+∞a 上单调递增，在(,1)-a 上单调递减.若a <-1,仿（1）可得()f x 分别在(0,1),(,)-+∞a 上单调递增，在(1,)-a 上单调递减. （Ⅱ）存在a ，使g (x )在[]上是减函数.事实上，设322()(23646)(=-++--∈xh x x ax ax a a e x R )， 则322()[23(2)124]'=-+-+-xh x x a x ax a e ，再设322()23(2)124(=-+-+-∈m x x a x ax a x R )，则当g (x )在[]上单调递减时，h (x )必在[a ,0]上单调递,所以()0'≤h a ，由于0>xe ，因此()0≤m a ，而2()(2)=+m a a a ，所以2≤-a ，此时，显然有g (x )在[]上为减函数，当且仅当()f x 在[1]上为减函数，h (x )在[a ,1上为减函数,且(1)(1)≥⋅h e f ,由（Ⅰ）知，当a <-2时,()f x 在(1,)-a 上为减函数. ①又21(1)(1)4133034≥⋅⇔++≤⇔-≤≤-h e f a a a , ② 不难知道，[,1],()0[,1],()0'∀∈≤⇔∀∈≤x a h x x a m x .因为2()66(2)126(2)()'=-+-+=-+-m x x a x a x x a ，令()0'=m x ，则或2,而2≤-a . 于是 （1）当a <-2时，若a <x <-2,则()0'>m x ，若-2 <x <1,则()0'<m x ,因而()m x 分别在(,2)-a 上单调递增，在),(12-上单调递减；（2）当a ＝-2时，()0'≤m x ,()m x 在),(12-上单调递减.综合（1）（2）知，当2-≤a 时，()m x 在[,1]a 上的最大值为2(2)4128-=---m a a ，所以，2[,1],()0(2)0412802∀∈≤⇔-≤⇔---≤⇔≤-x a m x m a a a . ③ 又对[,1],()0∈=x a m x ，只有当2时在2取得，亦即()0'=h x 只有当2时在2取得. 因此，当2≤-a 时，h (x )在[a ,1上为减函数，从而由①②③知 32-≤≤-a 综上所述，存在a ，使g(x)在[]上是减函数，且a 的取值范围为[3,2]--.。

2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（文史类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．不等式2x x >的解集是（ ） A ．(0)-∞，B ．(01)，C ．(1)+∞，D ．(0)(1)-∞+∞，，2．若O E F ，，是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ ） A ．EF OF OE =+ B ．EF OF OE =- C ．EF OF OE =-+D ．EF OF OE =--3．设2:40p b ac ->（0a ≠），:q 关于x 的方程20ax bx c ++=（0a ≠）有实数，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件4．在等比数列{}n a （n ∈N*）中，若11a =，418a =，则该数列的前10项和为（ ）A ．4122-B ．2122-C ．10122-D ．11122-5．在(1)n x +（n ∈N*）的二次展开式中，若只有3x 的系数最大，则n =（ ） A ．8B ．9C ．10D ．116．如图1，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，E F ，分别是1AB ，1BC 的中点，则以下结论中不成立．．．的是（ ） A ．EF 与1BB 垂直 B ．EF 与BD 垂直 C ．EF 与CD 异面D ．EF 与11A C 异面7．根据某水文观测点的历史统计数据，得到某条河流水位的频率分布直方图（如图2）．从图中可以看出，该水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是（ ） A ．48米 B ．49米 C ．50米 D ．51米ABCF8．函数2441()431x x f x x x x -⎧=⎨-+>⎩， ≤，的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．设12F F ，分别是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点，P（c 为半焦距）的点，且122||||F F F P =，则椭圆的离心率是（ ） A．12B ．12C．12D．210．设集合{123456}M =，，，，，， 12k S S S ，，，都是M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的{}i i i S a b =，，{}j j j S a b =，（i j =，{123}i j k ∈、，，，，），都有min min j j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭，，（min{}x y ，表示两个数x y ，中的较小者），则k 的最大值是（ ）A ．10B ．11C ．12D ．13二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上． 11．圆心为(11)，且与直线4x y -=相切的圆的方程是 ．12．在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若1a =，c =，π3C =，则A = ． 13．若0a >，2349a =，则14log a = ． 14．设集合{()||2|0}A x y y x x =-，≥，≥，{()|}B x y y x b =-+，≤，A B =∅， （1）b 的取值范围是 ；位图2（2）若()x y A B ∈，，且2x y +的最大值为9，则b 的值是 ．15．棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积是 ；设E F ，分别是该正方体的棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数2πππ()12sin 2sin cos 888f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．求：（I ）函数()f x 的最小正周期； （II ）函数()f x 的单调增区间．17．（本小题满分12分）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．（I ）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；（II ）任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培养的概率． 18．（本小题满分12分） 如图3，已知直二面角PQ αβ--，A PQ ∈，B α∈，C β∈，CA CB =，45BAP ∠=，直线CA 和平面α所成的角为30． （I ）证明BC PQ ⊥；（II ）求二面角B AC P --的大小．19．（本小题满分13分）已知双曲线222x y -=的右焦点为F ，过点F 的动直线与双曲线相交于A B ，两点，点C 的坐标是(10)，． （I ）证明CA ，CB 为常数；ABC Q P（II ）若动点M 满足CM CA CB CO =++（其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程． 20．（本小题满分13分）设n S 是数列{}n a （n ∈N*）的前n 项和，1a a =，且22213n n n S n a S -=+，0n a ≠，234n =，，，． （I ）证明：数列2{}n n a a +-（2n ≥）是常数数列；（II ）试找出一个奇数a ，使以18为首项，7为公比的等比数列{}n b （n ∈N*）中的所有项都是数列{}n a 中的项，并指出n b 是数列{}n a 中的第几项．21．（本小题满分13分）已知函数3211()32f x x ax bx =++在区间[11)-，，(13]，内各有一个极值点．（I ）求24a b -的最大值；（II ）当248a b -=时，设函数()y f x =在点(1(1))A f ，处的切线为l ，若l 在点A 处穿过函数()y f x =的图象（即动点在点A 附近沿曲线()y f x =运动，经过点A 时，从l 的一侧进入另一侧），求函数()f x 的表达式．2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（文史类）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．D 2．B 3．A 4．B 5．C 6．D 7．C 8．C 9．D 10．B 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上． 11．22(1)(1)2x y -+-=12．π613．314．（1）[2)+∞，（2）9215．3π三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．解：ππ()cos(2)sin(2)44f x x x =+++πππ))2442x x x =++=+=．（I ）函数()f x 的最小正周期是2ππ2T ==； （II ）当2ππ22πk x k -≤≤，即πππ2k x k -≤≤（k ∈Z）时，函数()2f x x =是增函数，故函数()f x 的单调递增区间是π[ππ]2k k -，（k ∈Z ）．17．解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A ，“该人参加过计算机培训”为事件B ，由题设知，事件A 与B 相互独立，且()0.6P A =，()0.75P B =． （I ）解法一：任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是 所以该人参加过培训的概率是1110.10.9P -=-=．解法二：任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是 该人参加过两项培训的概率是3()0.60.750.45P P A B ==⨯=． 所以该人参加过培训的概率是230.450.450.9P P +=+=．（II ）解法一：任选3名下岗人员，3人中只有2人参加过培训的概率是22430.90.10.243P C =⨯⨯=．3人都参加过培训的概率是330.90.729P ==．所以3人中至少有2人参加过培训的概率是450.2430.7290.972P P +=+=． 解法二：任选3名下岗人员，3人中只有1人参加过培训的概率是1230.90.10.027C ⨯⨯=．3人都没有参加过培训的概率是30.10.001=．所以3人中至少有2人参加过培训的概率是10.0270.0010.972--=． 18．解：（I ）在平面β内过点C 作CO PQ ⊥于点O ，连结OB ． 因为αβ⊥，PQ αβ=，所以CO α⊥，又因为CA CB =，所以OA OB =．而45BAO ∠=，所以45ABO ∠=，90AOB ∠=，从而BO PQ ⊥，又CO PQ ⊥， 所以PQ ⊥平面OBC ．因为BC ⊂平面OBC ，故PQ BC ⊥． （II ）解法一：由（I ）知，BO PQ ⊥，又αβ⊥，PQ αβ=，BO α⊂，所以BO β⊥．过点O 作OH AC ⊥于点H ，连结BH ，由三垂线定理知，BH AC ⊥．故BHO ∠是二面角B AC P --的平面角．由（I ）知，CO α⊥，所以CAO ∠是CA 和平面α所成的角，则30CAO ∠=，ABC QPOH不妨设2AC =，则AO =3sin 30OH AO ==． 在Rt OAB △中，45ABO BAO ∠=∠=，所以BO AO == 于是在Rt BOH △中，tan 22BOBHO OH∠===． 故二面角B AC P --的大小为arctan 2．解法二：由（I ）知，OC OA ⊥，OC OB ⊥，OA OB ⊥，故可以O 为原点，分别以直线OB OA OC ，，为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图）． 因为CO a ⊥，所以CAO ∠是CA 和平面α所成的角，则30CAO ∠=．不妨设2AC =，则AO =1CO =． 在Rt OAB △中，45ABO BAO ∠=∠=， 所以BO AO == 则相关各点的坐标分别是(000)O ，，，0)B ，，(0A ，(001)C ，，．所以(3AB =，，(0AC =，． 设1n {}x y z =，，是平面ABC 的一个法向量，由1100n AB n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得00z =+=⎪⎩，取1x =，得1n =．易知2(100)n =，，是平面β的一个法向量．设二面角B AC P --的平面角为θ，由图可知，12n n θ=<>，．所以1212cos 5||||5n n n nθ===．故二面角B AC P --的大小为arccos5． 19．解：由条件知(20)F ，，设11()A x y ，，22()B x y ，．（I ）当AB 与x 轴垂直时，可设点A B ，的坐标分别为(2，(2，， Q此时(12)(12)1CA CB =-=-，，． 当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±． 代入222x y -=，有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=．则12x x ，是上述方程的两个实根，所以212241k x x k +=-，2122421k x x k +=-，于是212121212(1)(1)(1)(1)(2)(2)CA CB x x y y x x k x x =--+=--+--22(42)411k k =--++=-．综上所述，CA CB 为常数1-．（II ）解法一：设()M x y ，，则(1)CM x y =-，，11(1)CA x y =-，，22(1)CB x y =-，，(10)CO =-，，由CM CA CB CO =++得： 121213x x x y y y -=+-⎧⎨=+⎩，即12122x x x y y y+=+⎧⎨+=⎩，于是AB 的中点坐标为222x y +⎛⎫⎪⎝⎭，． 当AB 不与x 轴垂直时，121222222yy y y x x x x -==+---，即1212()2y y y x x x -=--． 又因为A B ，两点在双曲线上，所以22112x y -=，22222x y -=，两式相减得 12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+，即1212()(2)()x x x y y y -+=-．将1212()2yy y x x x -=--代入上式，化简得224x y -=． 当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(20)M ，，也满足上述方程． 所以点M 的轨迹方程是224x y -=．解法二：同解法一得12122x x x y y y+=+⎧⎨+=⎩，……………………………………①当AB 不与x 轴垂直时，由（I ） 有212241k x x k +=-．…………………②21212244(4)411k ky y k x x k k k ⎛⎫+=+-=-= ⎪--⎝⎭．………………………③ 由①②③得22421k x k +=-．…………………………………………………④241ky k =-．……………………………………………………………………⑤ 当0k ≠时，0y ≠，由④⑤得，2x k y+=，将其代入⑤有 2222244(2)(2)(2)1x y x yy x x yy +⨯+==++--．整理得224x y -=． 当0k =时，点M 的坐标为(20)-，，满足上述方程．当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(20)M ，，也满足上述方程． 故点M 的轨迹方程是224x y -=．20．解：（I ）当2n ≥时，由已知得22213n n n S S n a --=．因为10n n n a S S -=-≠，所以213n n S S n -+=． …………………………① 于是213(1)n n S S n ++=+． …………………………………………………② 由②－①得：163n n a a n ++=+．……………………………………………③ 于是2169n n a a n +++=+．……………………………………………………④ 由④－③得：26n n a a +-=．…………………………………………………⑤ 即数列2{}n n a a +-（2n ≥）是常数数列． （II ）由①有2112S S +=，所以2122a a =-． 由③有1215a a +=，所以332a a =+，而⑤表明：数列2{}k a 和21{}k a +分别是以2a ，3a 为首项，6为公差的等差数列． 所以22(1)6626k a a k k a =+-⨯=-+，213(1)6623k a a k k a +=+-⨯=+-，k ∈N*．由题设知，1187n n b -=⨯．当a 为奇数时，21k a +为奇数，而n b 为偶数，所以n b 不是数列21{}k a +中的项，n b 只可能是数列2{}k a 中的项．若118b =是数列2{}k a 中的第n k 项，由18626k a =-+得036a k =-，取03k =，得3a =，此时26k a k =，由2n k b a =，得11876n k -⨯=，137n k -=⨯∈N*，从而n b 是数列{}n a 中的第167n -⨯项．（注：考生取满足36n a k =-，n k ∈N*的任一奇数，说明n b 是数列{}n a 中的第126723n a-⨯+-项即可） 21．解：（I ）因为函数3211()32f x x ax bx =++在区间[11)-，，(13]，内分别有一个极值点，所以2()f x x ax b '=++0=在[11)-，，(13]，内分别有一个实根，设两实根为12x x ，（12x x <），则21x x -=，且2104x x <-≤．于是04<，20416a b <-≤，且当11x =-，23x =，即2a =-，3b =-时等号成立．故24a b -的最大值是16．（II ）解法一：由(1)1f a b '=++知()f x 在点(1(1))f ，处的切线l 的方程是(1)(1)(1)y f f x '-=-，即21(1)32y a b x a =++--，因为切线l 在点(1())A f x ，处空过()y f x =的图象，所以21()()[(1)]32g x f x a b x a =-++--在1x =两边附近的函数值异号，则1x =不是()g x 的极值点．而()g x 321121(1)3232x ax bx a b x a =++-++++，且22()(1)1(1)(1)g x x ax b a b x ax a x x a '=++-++=+--=-++．若11a ≠--，则1x =和1x a =--都是()g x 的极值点．所以11a =--，即2a =-，又由248a b -=，得1b =-，故321()3f x x x x =--．解法二：同解法一得21()()[(1)]32g x f x a b x a =-++--2133(1)[(1)(2)]322a x x x a =-++-+．因为切线l 在点(1(1))A f ，处穿过()y f x =的图象，所以()g x 在1x =两边附近的函数值异号，于是存在12m m ，（121m m <<）．当11m x <<时，()0g x <，当21x m <<时，()0g x >； 或当11m x <<时，()0g x >，当21x m <<时，()0g x <．设233()1222a a h x x x ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则当11m x <<时，()0h x >，当21x m <<时，()0h x >； 或当11m x <<时，()0h x <，当21x m <<时，()0h x <． 由(1)0h =知1x =是()h x 的一个极值点，则3(1)21102ah =⨯++=， 所以2a =-，又由248a b -=，得1b =-，故321()3f x x x x =--．。

湖南省2019年高考文科数学试题及答案湖南省2019年高考文科数学试题及答案（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设3i12iz -=+，则z =A ．2BCD ．12．已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则A ．{}1,6B ．{}1,7C ．{}6,7D ．{}1,6,73．已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是12（12≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是12．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是 A ．165 cm B ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm5．函数f (x )=2sin cos x xx x ++在[-π，π]的图像大致为A ．B ．C ．D ．6．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生 B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生7．tan255°= A ．-2B ．-C ．2D ．8．已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a -b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6 B ．π3C ．2π3D ．5π69．如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．A =12A + B ．A =12A +C ．A =112A+D ．A =112A+10．双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为A ．2sin40°B ．2cos40°C ．1sin50?D ．1cos50?11．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A -b sin B =4c sin C ，cos A =-14，则b c=A ．6B ．5C ．4D ．312．已知椭圆C 的焦点为12(1,0),(1,0)F F -，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。