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04-05(1)《线性代数B》B

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鲁东大学 2004-2005学年第1学期B
一、 判断题：本题共5小题，每小题3分，满分15分．

1、若A为n阶实方阵，则方程组0Ax与0AxAT同解. ( )
2、方阵3223BA一定不可逆． ( )
3、若任何不全为零的数12,,,skkk都使11220sskkk，
则12,,,s是线性无关的。 ( )
4、秩相同的两向量组等价。 ( )
5、若是A的特征根，则a也是AaE的特征根。 ( )

二、填空题：本题共5小题，每小题4分，满分20分．

1、设100010000A，则A的秩是 。

2、设实对称阵20002202t正定，则t的取值范围是 。
3、向量组1234(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(4,5,6,7)的秩
为 。

4、101101011010abcd= 。

5、方程组01654321xxxxxx的通解为___________．
三、选择题：本题共5小题，每小题3分，满分15分

1、设,AB为n阶方阵，则下列结论成立的是（ ）。
A：()kkkABAB .
B：AA .
C： 22()()BABABA.
D：对于n阶方阵A的伴随矩阵A 的行列式成立1nAA.
2、设向量组12,,,s的秩是4，则以下结论正确的是（ ）。
A：如果12,,,s的一个部分组包含向量的个数不超过4，则一定性无关 。
B：1234,,,是12,,,s的一个极大无关组。
C：如果12,,,s的一个部分组线性无关，则它包含向量的个数不超过4。
D：如果12,,,s的一个部分组线性相关，则它包含向量的个数一定超过4。
3、设A为n阶方阵，则下列条件中与其它三个条件不等价的是（ ）。
A：对任何n维向量b，线性方程组Axb有唯一的解。
B：A可以写成若干个初等矩阵的乘积。
C：齐次方程组0Ax有非零解。
D：A行向量线性无关 。
4、n阶方阵A相似于对角阵的充分必要条件是（ ）。
A：A有n个互不相同的特征根。
B：A有n个互不相同的特征向量。
C：A有n个线性无关的特征向量。
D：A有n个两两正交的特征向量。
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5、设A为2阶实对称阵，且A的行列式0A，则（）。
A： A的特征根互异。
B： A不可逆。
C： A正定。
D： 以上结论都不正确。
四、解答题：本题共5小题，每小题10分，满分50分．
1、计算行列式。
1222
2222
2232

222nDn






2、已知111201011,020001002AB，22AXBAXABA。

3、设21231141,,1,,1124kkk问k为何值时： （1）不能由
123,,线性表出； （2）能由123,,线性表出，且表示唯一； （3）能由123
,,

线性表出，且表示不唯一；

4、已知向量)4,2,1,1(1，)1,3,3,2(2，)0,2,1,1(3，)2,6,6,4(4．
求该向量组的秩以及它的所有极大线性无关组．

5、设二次型
222
123123121323
(,,)2442,(0)fxxxxxbxxxxxaxxa

通过正交变换可化为标准形222123227fyyy，求参数,ab的值及所用的正交
矩阵。

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线性代数B(部分)第四部分小结

线性代数B(部分)第四部分小结


(5) 已知β1，β2是非齐次线性方程组Ax＝b 的两个不 同的解，α1，α2是对应的齐次线性方程组Ax＝0的基础解 系,k1, k2为任意常数，则方程组Ax＝b的通解必是 （ ）． β1 − β 2 β1 + β 2 (a)k1α1 + k2 (α1 + α 2 ) + ;(b)k1α1 + k2 (α1 − α 2 ) + ; 2 2 β1 − β 2 β1 + β 2 (c)k1α1 + k2 ( β1 − β 2 ) + ;(d )k1α1 + k2 ( β1 − β 2 ) + . 2 2 解 由非齐次线性方程组解的结构知， Ax b Ax＝b的通解 为其一个特解与对应的齐次线性方程组的通解之和．由此 对照4个选项， 因
其中 ξ1, ξ2,…, ξn-r为Ax = 0的基础解系；η*是Ax =b的一个 特解.
四、典型例题
1、填空、选择题 、填空、 例1 填空 （1）设向量组α1＝（1，1，1）, α2＝（1，2，3）, α3＝（1，3，t）线性相关，则t＝_________． 解 本题有多种解法，可以用由向量组组成的行列式 等于零，也可以用由向量组组成的矩阵的小于3．由于
解 因为β，α1，α2线性相关，所以β，α1，α2， α3也 线性相关，而β，α2，α3线性无关,由定理知α1可用β, α2, α3 线性表示．故选(C). (2)设A为n阶方阵，且R(A)=n－1， α1，α2是Ax＝0的 两个不同的解向量, k为常数, 则Ax＝0的通解[ ]． (A) kα1; (B) kα2; (C) k(α1－α2); (D) k(α1+ α2).
β1－β 2
2 β1 + β 2 解，所以可排除(a)、(c),在(b) 、 (d)中 是Ax＝b 2
《线性代数》样卷B及答案(1)

《线性代数》样卷B及答案(1)

《线性代数》样卷B一、选择题（本题共10小题,每小题2分，共20分)(从下列备选答案中选择一个正确答案) 1、排 列7352164的逆序数为（ ） （A ）11 （B ）12 （C ）13 （D ）14 2、若A 为n 阶可逆矩阵，下列各式正确的是（ ） （A ）11(2)2A A --= （B ）0A A *⋅≠（C ）11()A A A-*-= （D ）111[()][()]T T T A A ---=3、以初等矩阵001010100⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭右乘初等矩阵001100010A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭相当于对矩阵A 施行初等变换为（ ） （A ）23r r ↔ （B ）23C C ↔ （C ）13r r → （D ）13C C ↔ 4、奇异方阵经过（ ）后，矩阵的秩有可能改变（A ）初等变换 （B ）左乘初等矩阵 （C ）左右同乘初等矩阵 （D ）和一个单位矩阵相加 5、 如果n 元齐次线性方程组0=Ax 有基础解系并且基础解系含有)(n s s <个解向量，那么矩阵A 的秩为（ ）（A ）n （B ）s （C ）s n - （D ）以上答案都不正确 6、向量组123,,βββ 线性无关，234,,βββ 线性相关，则有（ ）（A ）1β可由423,,βββ 线性表示 （B ）2β可由143,,βββ 线性表示 （C ）3β可由124,,βββ 线性表示 （D ）4β可由123,,βββ 线性表示 7、 以下结论正确的是（ ）（A ）一个零向量一定线性无关； （B ）一个非零向量一定线性相关； （C ）含有零向量的向量组一定线性相关； （D ）不含零向量的向量组一定线性无关 8、n 阶方阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的（ ）（A ）充要条件 （B ）充分不必要条件 （C ）必要不充分条件（D ）既不充分也不必要条件9、 关于x 的一次多项式10213111()2543111f x x ---=-----，则式中一次项的系数为（ ）（A ）2 （B ）—2 （C ）3 （D ）—3 10、下列不可对角化的矩阵是（ ）（A ）实对称矩阵 （B ）有n 个相异特征值的n 阶方阵 （C ）有n 个线性无关的特征向量的n 阶方阵 （D ）不足n 个线性无关的特征向量的n 阶方阵二、填空题（本题共10空，每空2分，共20分） （请将正确答案填入括号内）1、若三阶方阵A 的3重特征值为2，则行列式A =2、已知6834762332124321D --=--，则212223246834A A A A +-+= . 3. 设A 为三阶可逆矩阵，且13A =，则()13A -= 4、 125=13--⎛⎫ ⎪-⎝⎭5、矩阵112134134-⎛⎫⎪- ⎪⎪--⎝⎭的秩是 6、行列式526742321-中元素－2的代数余子式是7、设0=AX 为一个4元齐次线性方程组，若321,,ξξξ为它的一个基础解系，则秩()R A =8、设211132121A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的行最简形为： .9、已知(6,4,3),(1,3,2)T T x y ==--，则[],x y = . 10、 设向量T )2,2,3(-=α与向量T t ),3,4(=β正交，则=t三、计算题（本题共2小题,每小题6分，共12分） （要求写出主要计算步骤及结果）1、计算4222242222422224n D =2、已知2()41f x x x =-+，120210002A -⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，求()f A .四、综合应用题（本题共4小题，共48分） （要求写出主要计算步骤及结果）1、（8分）已知向量组()()()1231,2,3,2,1,1,3,0,5,7,3,4,TTTααα==--=-，（1）求该向量组的秩. （2）求该向量组的一个最大无关组. （3）将不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示. 2、（8分）验证123(0,2,1),(2,1,3),(3,3,4)T T T ααα==-=--为R 3的一个基并求12(1,2,3),(2,3,1)T T ββ==-在这个基中的坐标。

《线性代数》复习题B

《线性代数》复习题B

厦门大学网络教育2012-2013学年第一学期《线性代数》课程复习题（ B ）一、选择题1．设行列式 111222333a b c a b c d a b c =，则111111222222333333223223223c b c a b c c b c a b c c b c a b c ++++++=+++（ ）。

A ．2d -； B ．d -； C ．d ； D ．2d 。

1．B 。

解：由行列式的性质可知111111111111222222222222333333333333223223223c b c a b c c b a a b c c b c a b c c b a a b c d c b c a b c c b a a b c ++++++==-=-+++。

2．已知A 为n 阶非零方阵，E 为n 阶单位矩阵，若3A O =，则（ ）。

A ．A E +不可逆，E A -不可逆；B ．A E -不可逆，A E +可逆；C ．A E +可逆，E A -可逆；D ．AE +不可逆，E A -可逆。

2．C 。

解：由于23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+=，因此E A +，E A -均可逆，故选C 。

3．向量1α，2α，3α线性无关，则下列向量组线性相关的是（ ）。

A ．12αα+，23αα+，31αα+； B ．1α，12αα+，123ααα++； C ．12αα-，23αα-，31αα-； D ．12αα+，232αα+，313αα+。

3．C ．解：显然有1223311()1()1()0αααααα-+-+-=，所以12αα-，23αα-，31αα-线性相关，故选C 。

4．若3阶方阵2E A -及E A +，3A E -都不可逆，则A 的特征多项式中常数项为（ ）。

A ．23； B ．2 ； C ．23-； D ．43。

《线性代数》课后习题集与答案第一章B组题

《线性代数》课后习题集与答案第一章B组题

《线性代数》课后习题集与答案第一章B组题基础课程教学资料第1章矩阵习题一(B)1、证明：矩阵A 与所有n 阶对角矩阵可交换的充分必要条件是A 为n 阶对角矩阵. 证明：先证明必要性。

若矩阵A 为n 阶对角矩阵. 即令n 阶对角矩阵为：A =??n a a a 00000021,任何对角矩阵B 设为n b b b0000021，则AB=??n n b a b a b a000002211，而BA =??n n a b a b a b000002211，所以矩阵A 与所有n 阶对角矩阵可交换。

再证充分性，设 A =??nn n n n n b b b b b b b b b 212222111211，与B 可交换，则由AB=BA ，得：nn n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a 221122222111122111=nn n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a 212222221211121111，比较对应元素，得0)(=-ij j i b a a ，)(j i ≠。

又j i a a ≠，)(j i ≠，所以0=ij b ，)(j i ≠，即A 为对角矩阵。

2、证明：对任意n m ?矩阵A ，T AA 和A A T均为对称矩阵. 证明：(TAA )T =(A T )T A T =AA T，所以，TAA 为对称矩阵。

(A A T)T =A T (A T )T =A T A ，所以，A A T 为对称矩阵。

3、证明：如果A 是实数域上的一个对称矩阵，且满足O A =2 ，则A =O . 证明：设A =??nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211，其中，ij a 均为实数，而且ji ij a a =。

由于O A =2，故A 2=AA T =nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211nn nnn n a a a a a a a a a 212221212111=0。