概率_随机事件的概率.板块二.随机事件的概率计算.学生版
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1 版块一：事件及样本空间 1．必然现象与随机现象 必然现象是在一定条件下必然发生某种结果的现象； 随机现象是在相同条件下，很难预料哪一种结果会出现的现象． 2．试验：我们把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验，把观察结果或实验的结果称为试验的结果． 一次试验是指事件的条件实现一次． 在同样的条件下重复进行试验时，始终不会发生的结果，称为不可能事件； 在每次试验中一定会发生的结果，称为必然事件； 在试验中可能发生，也可能不发生的结果称为随机事件． 通常用大写英文字母ABC，，，来表示随机事件，简称为事件． 3．基本事件：在一次试验中，可以用来描绘其它事件的，不能再分的最简单的随机事件，称为基本事件．它包含所有可能发生的基本结果． 所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，常用表示．
版块二：随机事件的概率计算 1．如果事件AB，同时发生，我们记作AB，简记为AB； 2．一般地，对于两个事件AB，，如果有()()()PABPAPB，就称事件A与B相互独立，简称A与B独立．当事件A与B独立时，事件A与B，A与B，A与B都是相互独立的． 3．概率的统计定义
一般地，在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率mn，当n很大时，总是在某个常数附近摆动，随着n的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记为()PA． 从概率的定义中，我们可以看出随机事件的概率()PA满足：0()1PA≤≤． 当A是必然事件时，()1PA，当A是不可能事件时，()0PA． 4．互斥事件与事件的并 互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，或称互不相容事件． 由事件A和事件B至少有一个发生（即A发生，或B发生，或AB，都发生）所构成的事件C，称为事件A与B的并（或和），记作CAB． 若CAB，则若C发生，则A、B中至少有一个发生，事件AB是由事件A或B所包含的基本事件组成的集合． 5．互斥事件的概率加法公式： 若A、B是互斥事件，有()()()PABPAPB 若事件12nAAA，，，两两互斥（彼此互斥），有
1212()()()()nnPAAAPAPAPA．
知识内容 板块二.随机事件的概率计算 2
事件“12nAAA”发生是指事件12nAAA，，，中至少有一个发生． 6．互为对立事件 不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件．事件A的对立事件记作A． 有()1()PAPA． 1．概率中的“事件”是指“随机试验的结果”，与通常所说的事件不同．基本事件空间是指一次试验中所有可能发生的基本结果．有时我们提到事件或随机事件，也包含不可能事件和必然事件，将其作为随机事件的特例，需要根据情况作出判断． 2．概率可以通过频率来“测量”，或者说是频率的一个近似，此处概率的定义叫做概率的统计定义．在实践中，很多时候采用这种方法求事件的概率． 随机事件的频率是指事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一定的稳定性，总是在某个常数附近摆，且随着试验次数的增加，摆动的幅度越来越小，这个常数叫做这个随机事件的概率．概率可以看成频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，频率在大量重复试验的前提下可近似地看作这个事件的概率． 3．基本事件一定是两两互斥的，它是互斥事件的特殊情形．
主要方法： 解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”： 求概率的步骤是：
第一步，确定事件性质等可能事件 互斥事件 独立事件 n次独立重复试验，即所给的问题归结为四类事件中的某一种．
第二步，判断事件的运算和事件积事件，即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件．
第三步，运用公式()()()()()()()()(1)kknknnmPAnPABPAPBPABPAPBnPkCpp等可能事件: 互斥事件： 独立事件： 次独立重复试验:求解 第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复． 解决此类问题的关键是会正确求解以下六种事件的概率（尤其是其中的（4）、（5）两种概率）： ⑴ 随机事件的概率，等可能性事件的概率； ⑵ 互斥事件有一个发生的概率； ⑶ 相互独立事件同时发生的概率； ⑷ n次独立重复试验中恰好发生k次的概率； ⑸ n次独立重复试验中在第k次才首次发生的概率； ⑹ 对立事件的概率． 另外：要注意区分这样的语句：“至少有一个发生”，“至多有一个发生”，“恰好有一个发生”，“都发生”，“不都发生”，“都不发生”，“第k次才发生”等．
题型一 概率与频率 典例分析 3
【例1】下列说法： ①频率是反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小；
②做n次随机试验，事件A发生的频率mn就是事件的概率； ③百分率是频率，但不是概率； ④频率是不能脱离具体的n次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值； ⑤频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值． 其中正确的是（ ） A．①④⑤ B．②④⑤ C．①③④ D．①③⑤
【例2】对某工厂所生产的产品质量进行调查，数据如下： 抽查件数 50 100 200 300 500 合格件数 47 95 192 285 478 根据上表所提供的数据，估计合格品的概率约为多少？若要从该厂生产的此种产品中抽到950件合格品，大约需要抽查多少件产品？
【例3】某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投篮的结果如下： 投篮次数 8 10 12 9 10 16 60 100 进球次数 6 8 9 7 7 12 45 74
进球频率 （1）在表中直接填写进球的频率； （2）这位运动员投篮一次，进球的概率为多少？
【例4】下列说法： ①频率是反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小；
②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的概率为mn； ③频率是不能脱离n次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值； ④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值． 其中正确命题的序号为 ．
【例5】盒中装有4只相同的白球与6只相同的黄球．从中任取一只球．试指出下列事件分别属于什么事件？它们的概率是多少？ 4
⑴A“取出的球是白球”； ⑵B“取出的球是蓝球”； ⑶C“取出的球是黄球”； ⑷D“取出的球是白球或黄球”．
题型二 独立与互斥 【例6】（2010辽宁高考） 两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 A．12 B．512 C．14 D．16
【例7】掷两枚均匀的骰子，记A“点数不同”，B“至少有一个是6点”，判断A与B是否为独立事件．
【例8】设M和N是两个随机事件，表示事件M和事件N都不发生的是（ ） A．MN B．MN C． MNMN D．MN
【例9】判断下列各对事件是否是相互独立事件 ⑴ 甲组3名男生、2名女生；乙组2名男生、3名女生，今从甲、乙两组中各选1名同学参加 演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”． ⑵ 容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”．
【例10】⑴某县城有两种报纸甲、乙供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至5
少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报也不订”．判断下列每对事件是不是互斥事件，再判断它们是不是对立事件． ①A与C；②B与E；③B与D；④B与C；⑤C与E．
【例11】抛掷一枚骰子，记事件A为“落地时向上的数是奇数”，事件B为“落地时向上的数是偶数”，事件C为“落地时向上的数是3的倍数”，事件D为“落地时向上的数是6或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（ ） A．A与B B．B与C C．A与D D．C与D
【例12】每道选择题都有4个选择支，其中只有1个选择支是正确的．某次考试共有12道选择题，某人说：“每个选择支正确的概率是14，我每题都选择第一个选择支，则一定有3题选择结果正确”．对该人的话进行判断，其结论是（ ） A．正确的 B．错误的 C．模棱两可的 D．有歧义的
题型三 随机事件的概率计算 【例13】（2010丰台二模） 一个正三角形的外接圆的半径为1，向该圆内随机投一点P，点P恰好落在正三角形外的概率是_________．
【例14】（2010崇文一模） 从52张扑克牌（没有大小王）中随机的抽一张牌，这张牌是J或Q或K的概率为_______． 6
【例15】（2010朝阳一模） 一只小蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行． 若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器6个表面中至少有一个的距离不大于10，则就有可能撞到玻璃上而不安全；若始终保持与正方体玻璃容器6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一位置可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率是（ ）
A．18 B．116 C．127 D．38
【例16】（2010东城二模） 在直角坐标系xOy中，设集合(,)01,01xyxy≤≤≤≤，在区域内任取一点(,)Pxy，则满足1xy≤的概率等于 ．
【例17】（2010朝阳一模） 在区间[π,π]内随机取两个数分别记为,ab，则使得函数22()2πfxxaxb有零点的概率为（ ）
A．78 B．34 C．12 D．14
【例18】（2010东城一模） 某人向一个半径为6的圆形标靶射击，假设他每次射击必定会中靶，且射中靶内各点是随机的，则此人射击中靶点与靶心的距离小于2的概率为（ ）
A．113 B．19 C．14 D．12
【例19】（2010西城一模） 在边长为1的正方形ABCD内任取一点P，则点P到点A的距离小于1的概率为 ．
