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挑战中考数学压轴题--平行四边形存在性问题

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__________________________________________________ __________________________________________________ 教师：学生：时间：2017年月日 课题内容 平行四边形存在性问题

专题攻略 一、解平行四边形的存在性问题一般分三个步骤 第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算.

二、难点在于寻找分类标准，寻找恰当的分类标准，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使 计算又准又快.

三、如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点以已知三个定点为 三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点.

四、如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况. 灵活运用向量和中心对称的性质，可以使得解题简便. __________________________________________________

__________________________________________________ 典型例题 例1．如图，抛物线：y=x2﹣x﹣与x轴交于A、B（A在B左侧），A（﹣1，0）、B（3，0），

顶点为C（1，﹣2） （1）求过A、B、C三点的圆的半径． （2）在抛物线上找点P，在y轴上找点E，使以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形，求点P、E的坐标． __________________________________________________

__________________________________________________ （1）∵A（﹣1，0）、B（3，0）、C（1，﹣2），∴AB=3﹣（﹣1）=4， AC==2，BC==2，∴AB2=16，AC2+BC2=8+8=16， ∴AB2=AC2+BC2，∴△ABC是直角三角形，AB是直径，故半径为2；

（2）①当AB是平行四边形的边时，PE=AB=4，且点P、E的纵坐标相等， ∴点P的横坐标为4或﹣4，∴y=×42﹣4﹣=，或y=×42+4﹣=，

∴点P、E的坐标为P1（4，）、E1（0，）或P2（﹣4，）、E2（0，），

②如图，当AB是平行四边形的对角线时，PE平分AB，∴PE与x轴的交点坐标D（1，0）， 过点P作PF⊥AB，则OD=FD，∴点F的坐标为（2，0），∴点P的横坐标为2， y=×22﹣2﹣=﹣，∴点P的纵坐标为，∴点P、E的坐标为P3（2，﹣）、E3（0，）， __________________________________________________ __________________________________________________ 综上所述，点P、E的坐标为：P1（4，）、E1（0，）或P2（﹣4，）、E2（0，）或P3（2，﹣）、E3（0，）．

例2．将抛物线沿c1：y=﹣x2+沿x轴翻折，得拋物线c2，如图所示．

（1）请直接写出拋物线c2的表达式． （2）现将拋物线C1向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线C2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D，E． ①当B，D是线段AE的三等分点时，求m的值； ②在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由． __________________________________________________

__________________________________________________ 方法一： （1）根据翻折的性质可求拋物线c2的表达式； __________________________________________________ __________________________________________________ （2）①求出拋物线c1与x轴的两个交点坐标，分当AD=AE时，当BD=AE时两种情况讨论求解； ②存在．理由：连接AN，NE，EM，MA．根据矩形的判定即可得出． 方法二： （1）求出翻折后抛物线顶点坐标，并求出抛物线表达式． （2）①抛物线c1平移m个单位长度后，求出点A，B，D，E的坐标，并分类讨论点B在点D左侧和右侧的两种情况，进而求出m的值． ②以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形，则AN⊥EN，利用黄金法则二，可求出m的值．

【解答】方法一： 解：（1）y=x2﹣． （2）①令﹣x2+=0，得x1=﹣1，x2=1 则拋物线c1与x轴的两个交点坐标为（﹣1，0），（1，0）． ∴A（﹣1﹣m，0），B（1﹣m，0）．同理可得：D（﹣1+m，0），E（1+m，0）． 当AD=AE时，（﹣1+m）﹣（﹣1﹣m）=[（1+m）﹣（﹣1﹣m）]， ∴m=．

当BD=AE时，（1﹣m）﹣（﹣1+m）=[（1+m）﹣（﹣1﹣m）]，∴m=2． 故当B，D是线段AE的三等分点时，m=或2． ②存在． 理由：连接AN，NE，EM，MA．依题意可得：M（﹣m，），N（m，﹣）． 即M，N关于原点O对称，∴OM=ON． ∵A（﹣1﹣m，0），E（1+m，0），∴A，E关于原点O对称，∴OA=OE __________________________________________________ __________________________________________________ ∴四边形ANEM为平行四边形． ∵AM2=（﹣m﹣1+m）2+（）2=4，ME2=（1+m+m）2+（）2=4m2+4m+4，

AE2=（1+m+1+m）2=4m2+8m+4，若AM2+ME2=AE2，则4+4m2+4m+4=4m2+8m+4，∴m=1， 此时△AME是直角三角形，且∠AME=90°． ∴当m=1时，以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形． 方法二： （1）略， （2）①抛物线C1：y=﹣x2+， 与x轴的两个交点为（﹣1，0），（1，0），顶点为（0，），抛物线C2：y=﹣x2﹣， 与x轴的两个交点也为（﹣1，0），（1，0），顶点为（0，﹣），抛物线C1向左平移m个单位长度后，顶点M的坐标为（﹣m，），与x轴的两个交点为A（﹣1﹣m，0）、B（1﹣m，0），AB=2， 抛物线C2向右平移m个单位长度后，顶点N的坐标为（m，﹣），与x轴的两个交点为D（﹣1+m，0）、E（1+m，0），∴AE=（1+m）﹣（﹣1﹣m）=2（1+m），B、D是线段AE的三等分点，有两种情况． 1、B在D的左侧，AB=AE=2，AE=6， ∴2（1+m）=6，m=2， 2、B在D的右侧，AB=AE=2，AE=3， ∴2（1+m）=3，m=．

（3）若A、N、E、M为顶点的四边形是矩形， ∵A（﹣1﹣m，0），E（1+m，0），N（m，﹣）、M（﹣m，）， ∴点A，E关于原点对称，点N，M关于原点对称， ∴A、N、E、M为顶点的四边形是平行四边形， 则AN⊥EN，KAN×KEN=﹣1， __________________________________________________ __________________________________________________ ∵A（﹣1﹣m，0），E（1+m，0），N（m，﹣）， ∴=﹣1， ∴m=1． __________________________________________________

__________________________________________________ 强化训练 1．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与y轴交于点A（0，1），过点A的直线与抛物线交于另一点B（3，），过点B作BC⊥x轴，垂足为C．点P是x轴正半轴上的一动点，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，设OP的长度为m． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P在线段OC上（不与点O、C重合）时，试用含m的代数式表示线段PM的长度； （3）连结CM，BN，当m为何值时，以B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？ __________________________________________________

__________________________________________________ 解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（0，1）和点B（3，）， ∴，∴， ∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+1；

（2）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0）， ∵A（0，1），B（3，），

∴，∴直线AB的解析式为y=x+1， ∵PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，OP=m， __________________________________________________ __________________________________________________ ∴P（m，0），M（m，m+1），∴PM=m+1； （3）由题意可得：N（m，﹣m2+m+1）， ∵MN∥BC， ∴当MN=BC时，四边形BCMN为平行四边形， 当点P在线段OC上时，MN=﹣m2+m， 又∵BC=， ∴﹣m2+m=，

解得m1=1，m2=2； 当点P在线段OC的延长线上时，MN=m2﹣m， ∴m2﹣m=，

解得 m1=（不合题意，舍去），m2=， 综上所述，当m的值为1或2或时，以B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形．

2．如图，已知二次函数的图象M经过A（﹣1，0），B（4，0），C（2，﹣6）三点． （1）求该二次函数的解析式； （2）点G是线段AC上的动点（点G与线段AC的端点不重合），若△ABG与△ABC相似，求点G的坐标； （3）设图象M的对称轴为l，点D（m，n）（﹣1＜m＜2）是图象M上一动点，当△ACD的面积为时，点D关于l的对称点为E，能否在图象M和l上分别找到点P、Q，使得以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

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2020年中考数学二次函数压轴题核心考点突破13平行四边形存在性问题

2020年中考数学二次函数压轴题核心考点突破13平行四边形存在性问题


1 1．三定一动
已知 A（1，2）B（5，3）C（3，5），在坐标系内确定点 D 使得以 A 、B、C、D 四个点为 顶点的四边形是平行四 边形．
y C
B A
y C
D2
A
D1 B
O
x
O
D3
x
思路 1：利用对角线互相平分，分类讨论： 设 D 点坐标为（m，n），又 A（1，2）B （5，3）C（3，5），可得：
y
求△PAB 面积的最大值．
【分析】
（1）抛物线： y x2 2x 3 ，直线 AB： y x 3 ； O
B
x
E A
C
（2）考虑 EC∥MN ，故若使点 M、N、C、E 是平行四边形，则 EC=MN 即可， ∵E （1，-2）、C（1，-4）， ∴EC=2，
设 M 点坐标为（m，m-3）（m>1），则 N 点坐标为 m,m2 2m 3 ，
xB yB
xD yD
xC yC
xA yA
xC yC
xD xB yD yB
，
xA xC
2
yA
yC
xB xD 2
yB yD
→
xA yA
xC yC
xB xD yB yD
．
2
2
当 AC 和 BD 为对角线时，结果可简记为： A C B D （各个点对应的横纵坐标相加）
但此两个性质统一成一个等式：
xA yA
xC yC
xB xD yB yD
，
两个等式，只能允许最多存在两个未知数，即我们刚刚所讲的平行四边形存在性问题最多 只能存在 2 个未知量．
由图形性质可知未知量，由未知量可知动点设计，由动点设计可化解问题．
中考数学解答题压轴题突破 重难点突破七 二次函数综合题 类型四：二次函数与特殊四边形问题

中考数学解答题压轴题突破 重难点突破七 二次函数综合题 类型四：二次函数与特殊四边形问题

解：存在．令x＝0，代入y＝－x2＋6x－5，得y＝－5， ∴点C的坐标为(0，－5)．
Ⅰ)如答图①，连接AC，分别过点A，B作对边的平行线交于 点F. 在▱ ACBF中，∵C(0，－5)向右平移1个单位长度，再向上平 移5个单位长度得到A(1，0)， ∴B(5，0)按照相同的平移方式得到F(6，5)；
解：设点Q的坐标为(a，b)，过点Q作QM∥x轴，过点B作BM∥y轴，交QM 于点M，过点F作FN∥y轴交QM于点N，过点E作EK∥x轴交BM于点K， ∴△BMQ≌△QNF≌△EKB， ∴NF＝KB＝MQ＝|a＋2|，QN＝EK＝BM＝|b|， ∴点F的坐标为 (a－b，a＋b＋2)， 点E的坐标为 (－2－b，a＋2)，
Ⅱ)如答图②，分别过点A，C作BC，AB的平行线交于点 F，在▱ ABCF中，∵B(5，0)向左平移5个单位长度，再向 下平移5个单位长度得到C(0，－5)， ∴A(1，0)按照相同的平移方式得到F(－4，－5)；
Ⅲ)如答图③，连接AC，分别过点B，C作对边的平行线交 于点F.在▱ ACFB中，∵A(1，0)向左平移1个单位长度，再 向下平移5个单位长度得到C(0，－5)， ∴B(5，0)按照相同的平移方式得到F(4，－5)； 综上所述，满足条件的点F分别为(6，5)，(－4，－5)或 (4，－5)．
(1)求抛物线的函数解析式； (2)把抛物线 y＝x2＋bx＋c 平移，使得新抛物线的顶点 为点 P(2，－4)．M 是新抛物线上一点，N 是新抛物线对 称轴上一点，直接写出所有使得以点 A，B，M，N 为顶点 的四边形是平行四边形的点 M 的坐标，并把求其中一个 点 M 的坐标的过程写出来．
解：(1)该抛物线的函数解析式为y＝x2－72x－1. (2)满足条件的点M的坐标为 (2，－4)，(6，12)，(－2，12)． 由题意可知，平移后抛物线的函数解析式为 y＝x2－4x， 对称轴为直线x＝2，如答图．
2020年中考数学二次函数压轴试题分类精析-专题04 二次函数与平行四边形存在性问题

2020年中考数学二次函数压轴试题分类精析-专题04 二次函数与平行四边形存在性问题

一、解决此类题目的基本步骤与思路 1.先分类，（按照边和对角线进行分类）2.画图，（画出大致的平行四边形的样子，抓住目标点坐标）3. 计算（利用平行四边形的性质以及全等三角形的性质） 二、针对于计算的方法选择1.全等三角形抓住对应边对应角的相等2.在利用点坐标进行长度的表示时要利用两点间距离公式3.平行四边形的对应边相等列相关的等式4.利用平行四边形的对角线的交点从而找出四个点坐标之间的关系X A +X C =X B +X D Y A +Y C =Y B +Y D （利用P 是中点，以及中点坐标公式）A(x 1,y 1)、B （x 2,y 2），那么AB 中点坐标就是（,）注意事项：1.简单的直角三角形可以直接利用底乘高进行面积的表示2.复杂的利用“补”的方法构造矩形或者大三角形，整体减去部分的思想 3.利用“割”的方法时，一般选用横割或者竖割，也就是做坐标轴的垂线。

4.利用点坐标表示线段长度时注意要用大的减去小的。

二次函数中平行四边形的存在性问题 （一）例题演示已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，将∠OBA 对折，使点O 的对应点H 落在直线AB 上，折痕交x 轴于点C ． （1）直接写出点C 的坐标，并求过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为D ，在直线BC 上是否存在点P ，使得四边形ODAP 为平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；ABDCP【解析】：（1）点A的坐标是纵坐标为0，得横坐标为8，所以点A的坐标为（8，0）；点B的坐标是横坐标为0，解得纵坐标为6，所以点B的坐标为（0，6）；由题意得：BC是∠ABO的角平分线，所以OC=CH，BH=OB=6。

∵AB=10，∴AH=4，设OC=x，则AC=8﹣x，由勾股定理得：x=3，∴点C的坐标为（3，0）将此三点代入二次函数一般式，列的方程组即可求得；（2）求得直线BC的解析式，根据平行四边形的性质，对角相等，对边平行且相等，借助于三角函数即可求得；解答：（1）点C的坐标为（3，0）．（1分）∵点A、B的坐标分别为A（8，0），B（0，6），∴可设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=a（x﹣3）（x﹣8）．将x=0，y=6代入抛物线的解析式，得．∴过A、B、C三点的抛物线的解析式为．（2）可得抛物线的对称轴为直线，顶点D的坐标为，设抛物线的对称轴与x轴的交点为G．直线BC的解析式为y=﹣2x+6.设点P的坐标为（x，﹣2x+6）．解法一：如图，作OP∥AD交直线BC于点P，连接AP，作PM⊥x轴于点M．∵OP∥AD，∴∠POM=∠GAD，tan∠POM=tan∠GAD．∴，即．解得．经检验是原方程的解．此时点P的坐标为．但此时，OM＜GA．∵，∴OP＜AD，即四边形的对边OP与AD平行但不相等，∴直线BC上不存在符合条件的点P解法二：如图，取OA 的中点E ，作点D 关于点E 的对称点P ，作PN ⊥x 轴于点N ．则∠PEO=∠DEA ，PE=DE ．可得△PEN ≌△DEG ．由，可得E 点的坐标为（4，0）．NE=EG=，ON=OE ﹣NE=，NP=DG=．∴点P 的坐标为．∵x=时，，∴点P 不在直线BC 上．∴直线BC 上不存在符合条件的点P ．【试题精炼】如图，已知抛物线2y x bx c =-++与一直线相交于A （-1，0），C （2，3）两点，与y 轴交于点N ．其顶点为D ．（1）抛物线及直线AC 的函数关系式；（2）若抛物线的对称轴与直线AC 相交于点B ，E 为直线AC 上的任意一点，过点E 作EF ∥BD 交抛物线于点F ，以B ，D ，E ，F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E 的坐标；若不能，请说明理由；【解析】：本题主要考查二次函数的应用。

中考数学压轴题之抛物线中存在性问题（平行四边形）

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上一篇文章中已经说明了“两定两动”型平行四边形存在性问题如何解答，这一次我们来看看“三定一动”型平行四边形存在性问题如何突破，其实这类问题解题是有一定套路可寻的。

通常情况下，我们首先连接三个定点形成一个小三角形，接着分别过三个定点做对边的平行线，三条平行线相交形成一个大三角形，则大三角形的三个顶点可能就是我们要求的答案。

题目及图像
解答图像
点评：AB长度以及C点坐标对于求M有很大作用，解题时要注意对称性质的使用。