浙江专版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第1节函数及其表示课时分层训练04120212

新浙江专版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第4节二次函数与幂函数课时分层训练A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝( )A.12 B ．1 C.32D ．2C [由幂函数的定义知k ＝1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32.] 2．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时，f (x )是增函数，当x ∈(－∞，－2]时，f (x )是减函数，则f (1)的值为( )A ．－3B ．13C ．7D ．5B [函数f (x )＝2x 2－mx ＋3图象的对称轴为直线x ＝m 4，由函数f (x )的增减区间可知m4＝－2，∴m ＝－8，即f (x )＝2x 2＋8x ＋3，∴f (1)＝2＋8＋3＝13.]3．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2的图象不过原点，则m 的取值是( )A ．－1≤m ≤2B ．m ＝1或m ＝2C ．m ＝2D ．m ＝1B [由幂函数性质可知m 2－3m ＋3＝1，∴m ＝2或m ＝1.又幂函数图象不过原点，∴m 2－m －2≤0，即－1≤m ≤2，∴m ＝2或m ＝1.]4．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是( )A B C DD [由a ＋b ＋c ＝0，a ＞b ＞c 知a ＞0，c ＜0，则c a＜0，排除B ，C.又f (0)＝c ＜0，所以也排除A.]5．若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于( )【导学号：51062033】A ．－1B ．1C ．2D ．－2B [∵函数f (x )＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线， ∴函数的最大值在区间的端点取得． ∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ≥4－3a ，－a ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1.]二、填空题6．(2017·金华十校联合测试改编)已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋1＋b (a ＞0)．若f (x )在[2,3]上的最大值为4，最小值为1，则a ＝________，b ＝________.【导学号：51062034】1 0 [因为函数f (x )的对称轴为x ＝1，又a ＞0， 所以f (x )在[2,3]上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ＝1，f＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧a ·22－2a ·2＋1＋b ＝1，a ·32－2a ·3＋1＋b ＝4，解方程得a ＝1，b ＝0.]7．已知P ＝2，Q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫253，R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123，则P ，Q ，R 的大小关系是________．P ＞R ＞Q [P ＝2－32＝⎝⎛⎭⎪⎫223，根据函数y ＝x 3是R 上的增函数且22＞12＞25， 得⎝⎛⎭⎪⎫223＞⎝ ⎛⎭⎪⎫123＞⎝ ⎛⎭⎪⎫253，即P ＞R ＞Q .] 8．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5在(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，则实数a 的取值范围是________．[2,3] [f (x )＝(x －a )2＋5－a 2，根据f (x )在区间(－∞，2]上是减函数知，a ≥2，则f (1)≥f (a ＋1)，从而|f (x 1)－f (x 2)|max ＝f (1)－f (a )＝a 2－2a ＋1， 由a 2－2a ＋1≤4，解得－1≤a ≤3， 又a ≥2，所以2≤a ≤3.] 三、解答题9．已知幂函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )＞f (a －1)的实数a 的取值范围. 【导学号：51062035】[解] 幂函数f (x )经过点(2，2)， ∴2＝2(m 2＋m )－1，即2＝2(m 2＋m )－1，∴m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2.4分 又∵m ∈N *，∴m ＝1.∴f (x )＝x ，则函数的定义域为[0，＋∞)， 并且在定义域上为增函数．由f (2－a )＞f (a －1)，得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a ＞a －1，10分解得1≤a ＜32.∴a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32.15分 10．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3，(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域； (2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值． [解] (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]， 对称轴x ＝－32∈[－2,3]，2分∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－92－3＝－214，f (x )max ＝f (3)＝15，∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15.7分(2)对称轴为x ＝－2a －12.①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13满足题意；10分②当－2a －12＞1，即a ＜－12时，f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意．综上可知a ＝－13或－1.15分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·浙江学军中学期中)函数f (x )＝(m 2－m －1)x4m 9－m 5－1是幂函数，对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，满足f x 1－f x 2x 1－x 2＞0，若a ，b ∈R ，且a ＋b ＞0，ab ＜0，则f (a )＋f (b )的值( )A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断A [∵f (x )＝(m 2－m －1)x4m 9－m 5－1是幂函数，∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，指数4×29－25－1＝2 015＞0，满足题意．当m ＝－1时，指数4×(－1)9－(－1)5－1＝－4＜0，不满足题意， ∴f (x )＝x2 015.∴幂函数f (x )＝x 2 015是定义域R 上的奇函数，且是增函数．又∵a ，b ∈R ，且a ＋b ＞0，∴a ＞－b ， 又ab ＜0，不妨设b ＜0，则a ＞－b ＞0，∴f (a )＞f (－b )＞0， 又f (－b )＝－f (b )，∴f (a )＞－f (b )，∴f (a )＋f (b )＞0.故选A.]2．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为________.【导学号：51062036】⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2 [由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象如图所示，结合图象可知，当x ∈[2,3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，－2，故当m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象有两个交点．]3．(2017·调测)已知函数f (x )＝e x (其中e 是自然对数的底数)，g (x )＝x 2＋ax ＋1，a ∈R .(1)记函数F (x )＝f (x )·g (x )，且a >0，求F (x )的单调递增区间；(2)若对任意x 1，x 2∈[0,2]，x 1≠x 2，均有|f (x 1)－f (x 2)|>|g (x 1)－g (x 2)|成立，求实数a 的取值范围．[解] (1)因为F (x )＝f (x )·g (x )＝e x(x 2＋ax ＋1)， 所以F ′(x )＝e x[x ＋(a ＋1)](x ＋1).2分令F ′(x )>0，因为a >0，得x >－1或x <－(a ＋1)，5分 所以F (x )的单调增区间为(－∞，－a －1)和(－1，＋∞).6分 (2)因为对任意x 1，x 2∈[0,2]且x 1≠x 2， 均有|f (x 1)－f (x 2)|>|g (x 1)－g (x 2)|成立， 不妨设x 1>x 2，根据f (x )＝e x在[0,2]上单调递增， 所以有f (x 1)－f (x 2)>|g (x 1)－g (x 2)|对x 1>x 2恒成立，8分所以f (x 2)－f (x 1)<g (x 1)－g (x 2)<f (x 1)－f (x 2)对x 1，x 2∈[0,2]，x 1>x 2恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧f x 1＋g x 1f x 2＋g x 2，f x 1－g x 1f x 2－g x 2对x 1，x 2∈[0,2]，x 1>x 2恒成立，所以f (x )＋g (x )和f (x )－g (x )在[0,2]上都是单调递增函数.11分 当f ′(x )＋g ′(x )≥0在[0,2]上恒成立时， 得e x＋(2x ＋a )≥0在[0,2]上恒成立， 得a ≥－(e x＋2x )在[0,2]上恒成立． 因为－(e x ＋2x )在[0,2]上为单调减函数，所以－(e x ＋2x )在[0,2]上取得最大值－1，解得a ≥－1.13分 当f ′(x )－g ′(x )≥0在[0,2]上恒成立时，得e x－(2x ＋a )≥0在[0,2]上恒成立，即a ≤e x－2x 在[0,2]上恒成立， 因为e x －2x 在[0，ln 2]上单调递减，在[ln 2,2]上单调递增， 所以e x －2x 在[0,2]上取得最小值2－2ln 2， 所以a ≤2－2ln 2，14分所以实数a 的取值范围为[－1,2－2ln 2].15分。

专项强化练二 基本初等函数Ⅰ及其应用1.若函数f(x)=|x+1|+|x+a|的图象关于直线x=1对称,则a 的值为( ) A.1B.-1C.-3D.-51.答案 C 若函数f(x)的图象关于直线x=1对称,则f(1+x)=f(1-x)对于任意实数x 恒成立,即|x+2|+|x+1+a|=|x-2|+|x-1-a|对于任意实数x 恒成立,从而有{-2=1+a ,-1-a =2,解得a=-3,故选C.2.若关于x 的方程7x 2-(m+13)x-m-2=0的一个根在区间(0,1)内,另一个根在区间(1,2)内,则实数m 的取值范围是( ) A.(-4,-2) B.(-3,-2)C.(-4,0)D.(-3,1)2.答案 A 设函数f(x)=7x 2-(m+13)x-m-2,∵方程7x 2-(m+13)x-m-2=0的一个根在区间(0,1)内,另一个根在区间(1,2)内, 又f(x)的图象开口向上, ∴{f (0)>0,f (1)<0,f (2)>0,即{-m -2>0,-2m -8<0,-3m >0,解得-4<m<-2,即实数m 的取值范围是(-4,-2).故选A. 3.函数f(x)=ax+b (x+c )2的图象如图所示,则下列结论成立的是( )A.a>0,b>0,c<0B.a<0,b>0,c>0C.a<0,b>0,c<0D.a<0,b<0,c<03.答案 C 函数f(x)的定义域为{x|x≠-c},由题图可知-c=x P >0,即c<0,排除B.令f(x)=0,可得x=-ba,则x N =-ba ,又x N >0,则ba <0.所以a,b 异号,排除A,D.故选C.4.(2019浙江高三模拟)已知函数f(x)=x 2-bx+a 的部分图象如图所示,则函数g(x)=e x +f '(x)的零点所在的区间为( )A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)4.答案 B 由题图可知,0<f(0)=a<1, f(1)=1-b+a=0,所以1<b<2.又f '(x)=2x-b,所以g(x)=e x +2x-b,所以g'(x)=e x +2>0,所以g(x)在R 上单调递增, 又g(0)=1-b<0,g(1)=e+2-b>0,所以根据零点存在性定理可知,函数g(x)的零点所在的区间是(0,1), 故选B.5.(2018镇海中学期末)关于x 的方程x 2-(a-1)x+4=0在区间[1,3]内有两个不等实根,则实数a 的取值范围是( ) A.(4,5] B.[3,6]C.(5,163]D.[163,6)5.答案 C ∵关于x 的方程x 2-(a-1)x+4=0在区间[1,3]内有两个不等实根, ∴{Δ=(a -1)2-16>0,1<a -12<3,1-(a -1)+4≥0,9-3(a -1)+4≥0,解得5<a≤163,故选C. 6.(2019台州中学月考)已知x 1,x 2为一元二次方程x 2+(1+a)x+1+a+b=0的两个实根,且0<x 1<1,x 2>1,则b a 的取值范围是( ) A.(-1,-12]B.(-1,-12)C.(-2,-12]D.(-2,-12)6.答案 D 令f(x)=x 2+(1+a)x+1+a+b,易知函数f(x)的图象开口向上, ∵方程x 2+(1+a)x+1+a+b=0的两根满足0<x 1<1<x 2, ∴{f (0)>0,f (1)<0,即{1+a +b >0,3+2a +b <0,其对应的平面区域如图中的阴影区域所示.又ba 表示阴影区域内一点与原点连线的斜率, 故由图可知b a ∈(-2,-12), 故选D.7.已知函数f(x)=x 2-x-4xx -1(x<0),g(x)=x 2+bx-2(x>0),b∈R,若f(x)图象上存在两个不同的点A,B 分别与g(x)图象上A',B'两点关于y 轴对称,则b 的取值范围是( ) A.(-4√2-5,+∞) B.(4√2-5,+∞) C.(-4√2-5,1)D.(4√2-5,1)7.答案 D 设函数g(x)图象上任一点的坐标为(x,x 2+bx-2),其关于y 轴的对称点的坐标为(-x,x 2+bx-2),所以方程x 2+bx-2=x 2+x--4x-x -1,即(b-1)x 2+(b+1)x-2=0在(0,+∞)上有两个不等实根,所以{ Δ=(b +1)2+8(b -1)>0,-2b -1>0,-b+12(b -1)>0,解得4√2-5<b<1,即实数b 的取值范围是(4√2-5,1),故选D.8.函数f(x)={(x -1)2,x ≥0,|e x-2|,x <0,则f(-1)= ,若方程f(x)=m 有两个不同的实数根,则m 的取值范围是 . 8.答案 2-1e ;(0,2)解析 f(-1)=|1e -2|=2-1e .作出函数f(x)的图象,如图,当x<0时, f(x)=2-e x ∈(1,2),∴当x≤1时, f(x)∈[0,2),当x>1时, f(x)>0,若方程f(x)=m 有两个不同的实数根,则0<m<2,即实数m 的取值范围是(0,2).9.(2019浙江三校第二次联考)定义max{a,b}={a ,a ≥b ,b ,a <b ,已知函数f(x)=max{|x|,-(x-1)2+b},b∈R, f(1)>1,则b 的取值范围是 ;若f(x)=2有四个不同的实根,则b 的取值范围是 . 9.答案 (1,+∞);(2,3)解析 由题意得f(1)=max{1,b},当b≤1时, f(1)=1,不符合题意,当b>1时, f(1)=b>1,故b 的取值范围是(1,+∞).如图所示,A(1,b),令-(x-1)2+b=x,解得x=1±√4b -32, 则B (1+√4b -32,1+√4b -32) .若f(x)=2有四个不同的实根,则1+√4b -32<2<b,解得2<b<3,即b∈(2,3).10.(2019浙江台州高三上期末)若函数f(x)=x 2+(13+a)x+b 在[-1,1]上有零点,则a 2-3b 的最小值为 . 10.答案 -13解析 设函数f(x)的零点为x 0,x 0∈[-1,1],则由f(x 0)=0得b=-x 02-(13+a)x 0, 所以a 2-3b=a 2+3x 02+(1+3a)x 0=(a +32x 0)2+34(x 0+23)2-13, 当x 0=-23,a=1时,a 2-3b 有最小值-13.11.(2019浙江金丽衢十二校高三第一次联考)偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),且当x∈[0,1]时, f(x)=x,则f (43)= ;若在区间[-1,3]内,函数g(x)=f(x)-kx-k 有4个零点,则实数k 的取值范围是 . 11.答案 23;(0,14]解析 ∵偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1), ∴f(x)=f(x+2),即函数f(x)是周期为2的周期函数, ∴f (43)=f (43-2)=f (-23)=f (23)=23. 若-1≤x≤0,则0≤-x≤1, 则f(-x)=-x=f(x), 即f(x)=-x,-1≤x≤0, 令g(x)=f(x)-kx-k=0, 得f(x)=k(x+1),函数g(x)=f(x)-kx-k 有4个零点,即函数f(x)与h(x)=k(x+1)有四个不同的交点, 作出函数f(x),h(x)的图象,如图:由图可知,h(x)的图象过定点A(-1,0), f(3)=1, 则0<h(3)≤1,,即0<4k≤1,得0<k≤14].即实数k的取值范围是(0,14。

第4讲　二次函数与幂函数 分层A级　基础达标演练 (时间：30分钟　满分：55分) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．若二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1，则f(x)的表达式为( )． A．f(x)＝－x2－x－1 B．f(x)＝－x2＋x－1 C．f(x)＝x2－x－1 D．f(x)＝x2－x＋1 解析　设二次函数解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，根据题意得 则解得f(x)＝x2－x＋1.故选D. 答案　D 2．(2013·山东实验中学模拟)如图给出4个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是( )． A．y＝x，y＝x2，y＝x，y＝x－1 B．y＝x3，y＝x2，y＝x，y＝x－1 C．y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1 D．y＝x，y＝x，y＝x2，y＝x－1 解析　由图象知，该图象对应的函数为奇函数且定义域为R，当x>0时，图象是向下凸的，结合选项知选B. 答案　B 3．(2012·青岛模拟)设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝－1.5，则( )． A．y3>y1>y2 B．y2>y1>y3 C．y1>y3>y2 D．y1>y2>y3 解析　y1＝40.9＝21.8，y2＝80.48＝21.44，y3＝21.5， y1>y3>y2. 答案　C 4．(2013·哈尔滨模拟)幂函数f(x)＝x3m－5(mN)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)＝f(x)，则m可能等于( )． A．0 B．1 C．2 D．3 解析　由f(－x)＝f(x)，知函数f(x)为偶函数，排除A，C.但当m＝3时，f(x)＝x4在(0，＋∞)上为增函数，排除D.故选B. 答案　B 二、填空题(每小题5分，共10分) 5．设α，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为________． 答案　{1,3} 6．(2012·北京西城二模)已知函数f(x)＝x2＋bx＋1是R上的偶函数，则实数b＝________，不等式f(x－1)<x的解集为________． 解析　因为f(x)＝x2＋bx＋1是R上的偶函数，所以b＝0，则f(x)＝x2＋1，解不等式(x－1)2＋1<x，即x2－3x＋2<0，得1<x<2. 答案　0　{x|1<x2x＋m恒成立，求实数m的取值范围． 思维启迪：对于(1)，由f(0)＝1可得c，利用f(x＋1)－f(x)＝2x恒成立，可求出a，b，进而确定f(x)的解析式．对于(2)，可利用函数思想求得． 解　(1)由f(0)＝1得，c＝1.f(x)＝ax2＋bx＋1.又f(x＋1)－f(x)＝2x，a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，即2ax＋a＋b＝2x，∴ 因此，f(x)＝x2－x＋1. (2)f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可． g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减， g(x)min＝g(1)＝－m－1，由－m－1>0得，m1)． (1)若f(x)的定义域和值域均是[1，a]，求实数a的值； (2)若f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，求实数a的取值范围． 解　(1)f(x)＝(x－a)2＋5－a2(a>1)， f(x)在[1，a]上是减函数．又定义域和值域均为[1，a] 即解得a＝2. (2)f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，a≥2. 又x＝a[1，a＋1]，且(a＋1)－a≤a－1， f(x)max＝f(1)＝6－2a，f(x)min＝f(a)＝5－a2. 对任意的x1，x2[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4， f(x)max－f(x)min≤4，得－1≤a≤3，又a≥2，2≤a≤3. 分层B级　创新能力提升 1．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2(a<b)，并且α，β是方程f(x)＝0的两根(α0，a>4，由于a为正整数，即a的最小值为5. 答案　C 3．(2013·淮南调研)已知a是正实数，函数f(x)＝ax2＋2ax＋1，若f(m)<0，试比较大小：f(m＋2)________1.(用“”连接) 解析　根据已知条件画出f(x)图象如图所示．因为对称轴方程为x＝－1，所以(0,0)关于x＝－1的对称点为(－2,0)． 因f(m)<0， 所以应有－2<m0. 因f(x)在(－1，＋∞)上递增， 所以f(m＋2)>f(0)＝1. 答案　> 4．(2013·衡阳联考)设f(x)＝|2－x2|，若02ab，00.f(0)＝1－2t＝20. 又函数f(x)的图象连续不间断． 因此f(x)＝0在区间(－1,0)及上各有一个实根． 6．函数f(x)＝－x2＋4x－1在区间[t，t＋1](tR)上的最大值为g(t)． (1)求g(t)的解析式； (2)求g(t)的最大值． 解　(1)f(x)＝－x2＋4x－1＝－(x－2)2＋3.对称轴x＝2. 当t＋1＜2，即t＜1时，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，g(t)＝f(t＋1)＝－t2＋2t＋2； 当t≤2≤t＋1，即1≤t≤2时，g(t)＝f(2)＝3； 当t＞2时，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数， g(t)＝f(t)＝－t2＋4t－1. 综上所述，g(t)＝ (2)当t＜1时，g(t)＝－t2＋2t＋2＝－(t－1)2＋3＜3； 当1≤t≤2时，g(t)＝3；当t＞2时，g(t)＝－t2＋4t－1＝－(t－2)2＋3＜3.g(t)的最大值为3.。

课时分层训练(四) 函数的单调性与最值A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( ) 【导学号：51062021】 A ．y ＝2－xB ．y ＝xC ．y ＝log 2xD ．y ＝－1xB [由题知，只有y ＝2－x与y ＝x 的定义域为R ，且只有y ＝x 在R 上是增函数．] 2．若函数y ＝ax 与y ＝－b x在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增B [由题意知，a ＜0，b ＜0，则－b2a ＜0，从而函数y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上为减函数．]3．函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞C.⎝⎛⎦⎥⎤－1，32 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4 D [要使函数有意义需4＋3x －x 2＞0， 解得－1＜x ＜4，∴定义域为(－1,4)．令t ＝4＋3x －x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋254.则t 在⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，32上递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4上递减， 又y ＝ln t 在⎝⎛⎦⎥⎤0，254上递增，∴f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4.]4．(2017·绍兴质检)已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，－1]C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)A [因为函数f (x )在(－∞，－1)上是单调函数，所以－a ≥－1，解得a ≤1.]5．(2017·台州调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，x 2－2x ，x ＜0.若f (－a )＋f (a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．[－1,0)B ．[0,1]C ．[－1,1]D ．[－2,2]C [因为函数f (x )是偶函数，故f (－a )＝f (a )，原不等式等价于f (a )≤f (1)，即f (|a |)≤f (1)，而函数在[0，＋∞)上单调递增，故|a |≤1，解得－1≤a ≤1.]二、填空题6．(2017·温州一模)函数f (x )＝log 2(－x 2＋22)的值域为________.【导学号：51062022】⎝⎛⎦⎥⎤－∞，32 [∵0＜－x 2＋22≤22，∴当x ＝0时，f (x )取得最大值，f (x )max ＝f (0)＝log 222＝32，∴f (x )的值域为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，32.] 7．已知函数f (x )为R 上的减函数，若m ＜n ，则f (m )________f (n )；若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)，则实数x 的取值范围是________．＞ (－1,0)∪(0,1) [由题意知f (m )＞f (n )；⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x ＞1，即|x |＜1，且x ≠0.故－1＜x ＜1且x ≠0.]8．(2017·宁波模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋a ，x ＜1，2x，x ≥1的最小值为2，则实数a 的取值范围是________．[3，＋∞) [当x ≥1时，f (x )≥2，当x ＜1时，f (x )＞a －1.由题意知a －1≥2，∴a ≥3.]三、解答题9．已知函数f (x )＝－2x ＋1，x ∈[0,2]，用定义证明函数的单调性，并求函数的最大值和最小值. 【导学号：51062023】[解] 设0≤x1＜x 2≤2，则f (x 1)－f (x 2)＝－2x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2＋1＝－x 2＋1－x 1－x 1＋x 2＋＝－x 2－x 1x 1＋x 2＋.3分由0≤x 1＜x 2≤2，得x 2－x 1＞0，(x 1＋1)(x 2＋1)＞0，6分 所以f (x 1)－f (x 2)＜0， 即f (x 1)＜f (x 2)，故f (x )在区间[0,2]上是增函数.10分 因此，函数f (x )＝－2x ＋1在区间[0,2]的左端点取得最小值，右端点取得最大值，即最小值是f (0)＝－2，最大值是f (2)＝－23.15分10．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围． [解] (1)证明：设x 1＜x 2＜－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝x 1－x 2x 1＋x 2＋.4分∵(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0， ∴f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增.7分 (2)f (x )＝xx －a ＝x －a ＋a x －a ＝1＋ax －a，当a ＞0时，f (x )在(－∞，a )，(a ，＋∞)上是减函数，10分 又f (x )在(1，＋∞)内单调递减，∴0＜a ≤1，故实数a 的取值范围是(0,1].15分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·诸暨市一中模拟)已知函数f (x )＝e x－1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若存在f (a )＝g (b )，则实数b 的取值范围为( )A ．[0,3]B ．(1,3)C ．[2－2，2＋2]D ．(2－2，2＋2)D [由题可知f (x )＝e x－1＞－1，g (x )＝－x 2＋4x －3＝－(x －2)2＋1≤1， 若f (a )＝g (b )，则g (b )∈(－1,1]，即－b 2＋4b －3＞－1，即b 2－4b ＋2＜0， 解得2－2＜b ＜2＋ 2.所以实数b 的取值范围为(2－2，2＋2)，故选D.]2．规定符号“*”表示一种两个正实数之间的运算，即a *b ＝ab ＋a ＋b ，a ，b 是正实数，已知1] .(1，＋∞) [由题意知1]k )＋1＋k ＝3，解得k ＝1或k ＝－2(舍去)，所以f (x )＝k *x ＝1]x )＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34，因为x ＞0，所以f (x )＞1，即f (x )的值域是(1，＋∞)．]3．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值. 【导学号：51062024】 [解] (1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.3分 (2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1， 当x >1时，f (x )<0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2<0，5分即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数.9分 (3)∵f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数， ∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)．由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫93＝f (9)－f (3)，12分 而f (3)＝－1，∴f (9)＝－2. ∴f (x )在[2,9]上的最小值为－2.15分。