数值分析2 方程求根

1）逐步搜索法
适当取一个小正数 h ，逐步计算 f(a) 、 f(a+h) 、 f(a+2h) 、 f(a+3h)、 …… 的值，直到相邻两个值 异号，则取这两点的中点为近似根。
2）图形放大法
y=f(x)图象与x轴交点（的横坐标）即为f(x)=0根。 借助计算机，逐步画图，就可得近似根。
3）数值迭代逼近法
f ( xn ) xn1 xn f ( xn ) n 0,1,......
当初值x0和方程的根 x*接近时， f(x) 近似等于 以此产生的序列 {Xn}得到 f(x)=0 的近似解，称为 f(x0)+f’(x0)(x-x0)， Newton法，又叫切线法。 则
f(x)=0
与
f(x0)+f’(x0)(x-x0)＝0
变端点弦截法又称两点割线法
弦截法的几何解释
求解方程f(x)=0的快速弦截法
(1) (2) 输入 : x0 , x1 , , N ; L 0, f 0 f ( x0 ), f1 f ( x1 ); | f1 | 时做 x1 x0 f1 ; f 2 f ( x2 ); L L 1; f1 f 0
1.5 4 1.5 3 x1 1.5 1.2543 3 4 1.5 1 4 得到方程的一个 x1 x1 3 x2 x1 1.1723 3 近似根 1.1640 ， 4 x1 1
4 x2 x2 3 x3 x2 1.1641 3 4 x2 1 4 x3 x3 3 x4 x3 1.1640 3 4 x3 1 4 x4 x4 3 x5 x4 1.1640 4 x4 1
f (1.125) 0 f (1.1875 ) 0,

一、实验目的通过本次实验，掌握数值分析方法的基本原理和应用，熟悉MATLAB编程环境，学会使用MATLAB进行数值计算，并分析不同数值方法的优缺点。

二、实验内容1. 二分法求方程根（1）原理：二分法是一种迭代方法，通过不断缩小根所在的区间，直到满足精度要求为止。

（2）步骤：①给定初始区间[a, b]，使得f(a) f(b) < 0；②计算区间中点c = (a + b) / 2；③判断f(c)的符号：a. 若f(c) = 0，则c为方程的根；b. 若f(c) f(a) < 0，则新的区间为[a, c]；c. 若f(c) f(b) < 0，则新的区间为[c, b]；④重复步骤②和③，直到满足精度要求。

（3）代码实现：```MATLABfunction root = bisection_method(f, a, b, tol)while (b - a) / 2 > tolc = (a + b) / 2;if f(c) == 0break;elseif f(a) f(c) < 0b = c;elsea = c;endendroot = (a + b) / 2;end```2. Newton法求方程根（1）原理：Newton法是一种基于切线逼近的迭代方法，通过不断逼近函数的零点。

（2）步骤：①给定初始值x0；②计算导数f'(x)和f(x)在x0处的值；③计算新的近似值x1 = x0 - f(x0) / f'(x0)；④重复步骤②和③，直到满足精度要求。

（3）代码实现：```MATLABfunction root = newton_method(f, df, x0, tol)while abs(f(x0)) > tolx1 = x0 - f(x0) / df(x0);x0 = x1;endroot = x0;end```3.不动点迭代法求方程根（1）原理：不动点迭代法是一种迭代方法，通过不断逼近不动点，即方程的根。

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第六章： 第六章：方程求根
天才的伽罗华
1829年 伽罗华中学毕业前， 1829年，伽罗华中学毕业前，把关 于群论的初步研究结果的论文提交给法 国科学院，科学院委托当时法国最杰出 国科学院， 的数学家柯西审核论文。 的数学家柯西审核论文。 在1830年1月18日柯西计划对伽罗华 1830年 18日柯西计划对伽罗华 的研究成果在科学院举行一次全面的意 见听取会。他在一封信中写道： 见听取会。他在一封信中写道：“今天 我应当向科学院提交一份关于年轻的伽 罗华的工作报告……但因病在家，我很 但因病在家， 罗华的工作报告 但因病在家 遗憾未能出席今天的会议， 遗憾未能出席今天的会议，希望安排我 参加下次会议，讨论已指明的议题。” 参加下次会议，讨论已指明的议题。
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第六章： 第六章：方程求根 第二周，柯西向科学院宣读他自己的一篇论文时， 第二周，柯西向科学院宣读他自己的一篇论文时，忘记了原 来的议题。 来的议题。 1830年 1830年2月，伽罗华将论文寄给当时的科学院终身秘书傅立 叶，傅立叶于当年5月去世，在他的遗物中未发现伽罗华的手稿。 傅立叶于当年5月去世，在他的遗物中未发现伽罗华的手稿。 伽罗华递交的两次数学论文均被遗失。 伽罗华递交的两次数学论文均被遗失。 1831年1月，伽罗华将包含新成果的论文提交给法国科学院， 1831年 伽罗华将包含新成果的论文提交给法国科学院， 负责审查的数学家泊松（Possion),四个月后， 负责审查的数学家泊松（Possion),四个月后，以“完全不能理 四个月后 解”，建议科学院退稿。 建议科学院退稿。 1831年 1831年1月8日，因伽罗华揭发校长的政治两面派行为，被皇 因伽罗华揭发校长的政治两面派行为， 家国民教育委员会批准开除出巴黎师范大学； 家国民教育委员会批准开除出巴黎师范大学；

2
∴ 取φ ( x ) =
令x0 = 4, 于是得到如下迭代序列：
2
( x − 3),即迭代格式xk +1
2
1 2 = ( xk − 3)。 2
1 2 x1 = ( x0 − 3) = 6.5 2 1 2 x2 = ( x1 − 3) = 19.625 2 1 2 x3 = ( x2 − 3) = 191.0703125 2 1 2 x4 = ( x3 − 3) = 18252.432159423828125 2 1 2 x5 = ( x4 − 3) = 166575638.36718459473922848701477 2 M
§1 §2 §3 §4
§5
引言 二分法 迭代法 牛顿法 劈因子法
引言 /* Introduction */
求 f (x) = 0 的根 1. 基本概念
方程f (x)=0,如果存在某个 ，使得 (x*)=0。则称 为 如果存在某个x*，使得f 方程 如果存在某个 。则称x*为 方程f 的根或者称为函数f 的零点 的零点。 方程 (x) = 0 的根或者称为函数 (x)的零点。
为迭代格式(迭代公式 称xn+1 =φ(xn)为迭代格式 迭代公式 ；φ(x)为迭代 为迭代格式 迭代公式)； 为迭代 函数； 为迭代序列； 函数；求得序列 x ∞ 为迭代序列；上述求根方 法称为迭代法。 法称为迭代法。 k k=0
{ }
例：给定方程 f (x)=x2-2x-3=0，显然它在区间 ，显然它在区间[2,4] 内有唯一实根x*=3。按不同迭代格式来求此解。 内有唯一实根 。按不同迭代格式来求此解。 解：1) f ( x ) = x 2 − 2 x − 3 = 0 ⇔ x = 2 x + 3