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高中数学第一章导数及其应用1.1变化率与导数导数概念及其运算教材解读素材新人教A版选修2-2课件

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导数概念及其运算教材解读
课标要求
1． 了解函数平均变化率的概念；掌握函数平均变化率的求法；
2．了解瞬时速度、瞬时变化率(导数)的定义，并掌握其求法；
3．了解导数的几何意义；
4．掌握几个常用导数的求法，掌握基本初等函数的导数公式；
5．灵活运用导数的运算法则。
基础知识
一、导数的概念
1．函数的平均变化率
一般地，函数)(xfy，21,xx是其定义域内不同的两点，那么函数的变化率可用式子

21
21
)()(xxxfxf
表示，我们把这个式子称为函数)(xfy从1x到2x的变化率(average rate

of change)。习惯上用x表示12xx即x=12xx，可把x看作是相对于1x的一个“增
量”，可用1x+x代替2x；类似地，)()(12xfxff，于是平均变化率可以表示为xf。
注意：(1) xxfxxfxxxfxfxf)()()()(111212，式子中x、f的值可正可
负，但x的值不能为零，f的值却可以为零。例如若函数)(xfy是常函数时，f=0；
(2)在式子xxfxxfxf)()(11中，当1x取定值，x取不同的数值时，函数的变
化率不同；同样地，当x取定值，1x取不同的值时，函数的平均变化率也不相同。
2．瞬时变化率
作变速直线运动的物体在不同时刻的速度是不同的，把物体在某一时刻的速度叫做瞬时
速度。用数学语言描述为：设物体运动的路程与时间的关系是)(tfs，当t趋近于0时，

函数)(tf在0t到0t+t之间的平均变化率为ttfttf)()(00趋近于某一个常数，称这个
常数为0t时刻的瞬时速度。
2

注意：(1) t趋近于0是指时间间隔t越来越小，能向零无限趋近，但时终不能为0；
(2) t，f在变化率中都趋近于0，但它们的比值趋近于一个确定的常数；
(3)求瞬时速度的一般步骤：①设非匀速直线运动的规律为：)(tss；②时间改变量
t，位置改变量)()(00tsttss；③求平均速度tsv；④求瞬时速度：取0t
，

得vts(常数)。
3．导数的概念
设函数)(xfy在0x附近有定义，当自变量在0xx附近改变量为x时，函数值相
应地改变量为)()(00xfxxfy。如果当x趋近于0时，平均变化率

xxfxxfxy

)()(
00
趋近于一个常数l，则这个常数l称为函数)(xf在0x处的瞬时变

化率，通常称为)(xf在0xx处的导数，记作)(/xf或0|/xxy即
)(0/xf
xxfxxfx

)()(
lim
00

0
。

注意：(1) )(0/xfxxfxxfx)()(lim000也可以写成
)(0/xf00)()(lim0xxxfxfxx，)(0/xf
hhxfhxfh2

)()(lim00


等等；

(2)由导数的定义可知求)(xfy在0x的导数一般步骤：①求函数的增量
)()(00xfxxfy
；②求平均变化率：xxfxxfxy)()(00；③取极限，得

导数)(0/xfxyx0lim。
二．导数的几何意义
1．导数的几何意义
函数)(xfy在0x的导数)(0/xf的几何意义就是曲线)(xfy在点))(,(00xfx处
切线的斜率，即k)(0/xf=xxfxxfx)()(lim000。
注意：(1)利用导数求曲线的切线方各的一般步骤：①求出函数)(xfy在0x的导数
)(0/xf
；

②根据直线的点斜式方程，求得切线方程))((00/0xxxfyy。
3

(2)若在点))(,(00xfx处切线l的倾斜角为2，此时切线平行于y轴，导数不存在，不
能用上方法求切线方程，此时可根据切线的定义直接得出切线方程0xx。
2．导函数
如果函数)(xf在开区间内每一点x处均可导，则称)(xf在区间(ba,)内可导。在区间

(ba,)内，)(/xf构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数)(xf的导函数，简称为导
数。
注意：(1)函数在一点处的导数，就是该点的函数值的改变量与自变量改变量比值的极
限，它是一个常数；(2)函数的导函数是对于某一区间内的任意一点x而言的，随着x在区
间内的取值的不同，其对对应的导数也不相同；(3) 函数)(xfy在0x的导数)(0/xf，就
是导函数)(/xf在x=0x处的函数值。
三．导数的计算
1．基本初等函数的导数公式
(1)若)(xfc，则)(/xf0； (2)若)(xf)(*Nnxn，则
)(/xf
1n
nx
；

(3)若)(xfxsin，则)(/xfxcos (4)若)(xfxcos，则
)(/xf
xsin
；

(5)若)(xfxa，则)(/xf)0( lnaaax；(6)若)(xfxe，则)(/xfxe；
(7) 若)(xfxalog，则)10( ln1)(/aaaxxf且；(8)若)(xfx1，则)(/xfx1
注意：(1) 以上八个基本初等函数的导数公式要求记熟并能熟练运用；
(2)在今后的求导运算时，只要不强调利用定义求导数，以上公式可直接应用而不加以
证明。
2．导数的运算法则
(1))()()()(///xgxfxgxf；(2) )()()()()()(///xgxfxgxfxgxf；

(3))()()()()()()(2///xgxgxfxgxfxgxf
4

注意：上述公式的记忆口诀：(1)和差导，导和差；(2)前导后不导，后导前不导，中间
是加号；(3)分母平方要记牢，上导下不导，下导上不导，中间是减号。
3．复合函数的求导法则
复合函数))((xgfy的导数与函数)(),(xguufy的导数间的关系是
///
xux
uyy
。

注意：(1)分清复合函数是由哪些基本函数复合而成的，适当地选择中间变量；
(2)分步计算中的每一步都要明确是寻哪个变量进行求导，其要特别注意的是中间变量
的系数；
(3)根据基本初等函数的求导公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间量
换成自变量的函数；
(4)复合函数的求导熟练以后，中间的步骤可以省略不写。
特别提示
1．在求切线的方程时，首先应判断所给出的点是否在曲线上。若在曲线上，可用求切
线方程的步骤来求解；若不在曲线上，可先设出切点，写出切线方程，结合已知条件求出切
点坐标，从而得其方程；
2．熟记导数运算的四则运算法则是求导的基础，另外，根据题目特点恰当地选择求导
法则会简化运算过程；
3．常用函数的导数公式也是求导的基础，它和导数的四则运算法则一样，在高考中经
常涉及，但单独考查利用导数公式求导的题目并不多，所考查的题型大多是与其它知识相联
系，所以在学习的时候在注意这一点。
4．对于复合函数的求导，要注意中间量的适当选取，要弄清每一步是对哪个变量求导，
不要混淆。另外新课标要求能求简单地复合函数的导数(仅限于形如)(baxf的形式)的导
数，不要弄得太难。

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高中数学第1章导数及其应用1.1变化率与导数1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念

高中数学第1章导数及其应用1.1变化率与导数1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念

第一章 导数 及其应用 (dǎo shù)
1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题(wèntí)
1.1.2 导数的概念
12/12/2021
第一页，共四十二页。
学习目标
核心素养
自 1.通过对大量实例的分析，经历由平均变
课
主
堂
预 化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数 1.通过对函数的平均变化率、 小
习
结
·
探
提
新 知
合
合作
探究
释疑
难
素 养
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
·
返 首 页
12/12/2021
第十三页，共四十二页。
·
自
求函数的平均(píngjūn)变化率
课
主
堂
预
小
习 探
【例 1】 已知函数 f (x)＝3x2＋5，求 f (x)：
·
结 提
新
素
知
(1)从 0.1 到 0.2 的平均变化率；
养
合 作
业
·
导数的概念．(易混点)
返 首 页
12/12/2021
第二页，共四十二页。
·
自
课
主
堂
预
小
习
结
·
探
提
新 知
合
自主
预习
探新
知
素 养
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
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12/12/2021
高中数学 第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念学案 新人教A版选修22

高中数学 第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念学案 新人教A版选修22

1．1.1 变化率问题 1．1.2 导数的概念学习目标 1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．知识点一 函数的平均变化率假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系．A 是出发点，H 是山顶．爬山路线用函数y ＝f (x )表示．自变量x 表示某旅游者的水平位置，函数值y ＝f (x )表示此时旅游者所在的高度．设点A 的坐标为(x 1，y 1)，点B 的坐标为(x 2，y 2)．思考1 若旅游者从点A 爬到点B ，自变量x 和函数值y 的改变量分别是多少？ 答案 自变量x 的改变量为x 2－x 1，记作Δx ，函数值的改变量为y 2－y 1，记作Δy . 思考2 怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？答案 对山路AB 来说，用Δy Δx ＝y 2－y 1x 2－x 1可近似地刻画其陡峭程度．梳理 函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率 (1)定义式：Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.(2)实质：函数值的增量与自变量的增量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢．(4)几何意义：已知P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))是函数y ＝f (x )的图象上两点，则平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示割线P 1P 2的斜率． 知识点二 瞬时速度思考1 物体的路程s 与时间t 的关系是s (t )＝5t 2.试求物体在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度．答案 Δs ＝5(1＋Δt )2－5＝10Δt ＋5(Δt )2，v ＝ΔsΔt＝10＋5Δt . 思考2 当Δt 趋近于0时，思考1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？答案 当Δt 趋近于0时，ΔsΔt趋近于10，这时的平均速度即为当t ＝1时的瞬时速度． 梳理 瞬时速度(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．(2)一般地，设物体的运动规律是s ＝s (t )，则物体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt .如果Δt 无限趋近于0时，Δs Δt 无限趋近于某个常数v ，我们就说当Δt 趋近于0时，ΔsΔt 的极限是v ，这时v 就是物体在时刻t ＝t 0时的瞬时速度，即瞬时速度v＝lim Δt →0 Δs Δt ＝ lim Δt →0s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt.知识点三 函数在某点处的导数函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或0|x x y'=，即f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.1．在平均变化率中，函数值的增量为正值．( × )2．瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x 1，x 2]上变化快慢的物理量．( × ) 3．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数值与Δx 的正、负无关．( √ )类型一 函数的平均变化率 命题角度1 求函数的平均变化率例1 求函数y ＝f (x )＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx 都为13，哪一点附近的平均变化率最大？考点 变化问题与变化率 题点 变化率大小的比较 解 在x ＝1附近的平均变化率为k 1＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝(2＋Δx )2－22Δx＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f (3＋Δx )－f (3)Δx ＝(3＋Δx )2－32Δx＝6＋Δx .当Δx ＝13时，k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193.由于k 1<k 2<k 3，所以在x ＝3附近的平均变化率最大． 反思与感悟 求平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1. (3)得平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.跟踪训练1 (1)已知函数y ＝f (x )＝x 2＋2x －5的图象上的一点A (－1，－6)及邻近一点B (－1＋Δx ，－6＋Δy )，则ΔyΔx＝________.(2)如图所示是函数y ＝f (x )的图象，则函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________；函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________．考点 平均变化率 题点 函数的平均变化率 答案 (1)Δx (2)12 34解析 (1)Δy Δx ＝f (－1＋Δx )－f (－1)Δx＝(－1＋Δx )2＋2(－1＋Δx )－5－(－6)Δx ＝Δx .(2)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为f (1)－f (－1)1－(－1)＝2－12＝12. 由函数f (x )的图象知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3.所以函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为f (2)－f (0)2－0＝3－322＝34.命题角度2 平均变化率的几何意义例2 过曲线y ＝f (x )＝x 2－x 上的两点P (1,0)和Q (1＋Δx ，Δy )作曲线的割线，已知割线PQ 的斜率为2，求Δx 的值．考点 平均变化率 题点 平均变化率的应用解 割线PQ 的斜率即为函数f (x )从1到1＋Δx 的平均变化率ΔyΔx .∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )2－(1＋Δx )－(12－1)＝Δx ＋(Δx )2， ∴割线PQ 的斜率k ＝ΔyΔx＝1＋Δx .又∵割线PQ 的斜率为2，∴1＋Δx ＝2，∴Δx ＝1.反思与感悟 函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率的实质是函数y ＝f (x )图象上两点P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))连线P 1P 2的斜率，即12p p Δx x 2－x 1跟踪训练2 甲、乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图所示，则在[0，t 0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v 甲，v 乙的关系是( )A ．v 甲>v 乙B ．v 甲<v 乙C ．v 甲＝v 乙D ．大小关系不确定 考点 平均变化率 题点 平均变化率的应用 答案 B解析 设直线AC ，BC 的斜率分别为k AC ，k BC ，由平均变化率的几何意义知，s 1(t )在[0，t 0]上的平均变化率v 甲＝k AC ，s 2(t )在[0，t 0]上的平均变化率v 乙＝k BC .因为k AC <k BC ，所以v 甲<v 乙． 类型二 求瞬时速度例3 某物体的运动路程s (单位：m)与时间t (单位：s)的关系可用函数s (t )＝t 2＋t ＋1表示，求物体在t ＝1 s 时的瞬时速度． 考点 求瞬时速度题点 用极限思想求瞬时速度 解 ∵Δs Δt ＝s (1＋Δt )－s (1)Δt＝(1＋Δt )2＋(1＋Δt )＋1－(12＋1＋1)Δt＝3＋Δt ，∴lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 (3＋Δt )＝3. ∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为3. 即物体在t ＝1 s 时的瞬时速度为3 m/s. 引申探究1．若例3中的条件不变，试求物体的初速度． 解 求物体的初速度，即求物体在t ＝0时的瞬时速度．Δt Δt＝(0＋Δt )2＋(0＋Δt )＋1－1Δt＝1＋Δt ，∴lim Δt →0(1＋Δt )＝1. ∴物体在t ＝0时的瞬时变化率为1， 即物体的初速度为1 m/s.2．若例3中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s. 解 设物体在t 0时刻的瞬时速度为9 m/s. 又Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt＝(2t 0＋1)＋Δt . lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 (2t 0＋1＋Δt )＝2t 0＋1. 则2t 0＋1＝9，∴t 0＝4.则物体在4 s 时的瞬时速度为9 m/s.反思与感悟 (1)不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率是导致无从下手解答本类题的常见错误．(2)求运动物体瞬时速度的三个步骤①求时间改变量Δt 和位移改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)； ②求平均速度v ＝ΔsΔt； ③求瞬时速度，当Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt 无限趋近于的常数v 即为瞬时速度，即v ＝lim Δt →0 Δs Δt. 跟踪训练3 一质点M 按运动方程s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值． 考点 求瞬时速度题点 瞬时速度在实际问题中的应用解 质点M 在t ＝2时的瞬时速度即为函数在t ＝2处的瞬时变化率． ∵质点M 在t ＝2附近的平均变化率为Δs Δt ＝s (2＋Δt )－s (2)Δt ＝a (2＋Δt )2－4a Δt ＝4a ＋a Δt ， ∴lim Δt →0 Δs Δt＝4a ＝8，即a ＝2.类型三 导数定义的应用例4 (1)若函数f (x )可导，则lim Δx →0 f (1－Δx )－f (1)2Δx等于( )A ．－2f ′(1) B.12f ′(1) C ．－12f ′(1)D ．f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12 考点 导数的概念题点 导数的概念的简单应用 答案 C 解析 lim Δx →0f (1－Δx )－f (1)2Δx＝－12lim Δx →0 f [1＋(－Δx )]－f (1)－Δx ＝－12f ′(1)．(2)求函数y ＝x －1x在x ＝1处的导数．考点 导数的概念题点 导数的概念的简单应用解 因为Δy ＝(1＋Δx )－11＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－11＝Δx ＋Δx1＋Δx，所以Δy Δx ＝Δx ＋Δx1＋Δx Δx ＝1＋11＋Δx .lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11＋Δx ＝2， 所以f ′(1)＝2，即函数y ＝x －1x在x ＝1处的导数为2.反思与感悟 (1)用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤 ①求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； ②求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；③求极限lim Δx →0 ΔyΔx . (2)瞬时变化率的变形形式lim Δx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝limΔx→0f(x0－Δx)－f(x0)－Δx＝limΔx→0f(x0＋nΔx)－f(x0)nΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0－Δx)2Δx＝f′(x0)．跟踪训练4 已知f(x)＝3x2，f′(x0)＝6，求x0. 考点导数定义的应用题点导数定义在函数中的应用解∵f′(x0)＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝limΔx→03(x0＋Δx)2－3x20Δx＝limΔx→0(6x0＋3Δx)＝6x0，又f′(x0)＝6，∴6x0＝6，即x0＝1.1．设函数y＝f(x)＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为( ) A．2.1 B．1.1 C．2 D．0考点平均变化率题点函数的平均变化率答案 A解析ΔyΔx＝f(1.1)－f(1)1.1－1＝0.210.1＝2.1.2．物体运动方程为s(t)＝3t2(位移单位：m，时间单位：s)，若v＝limΔt→0s(3＋Δt)－s(3)Δt＝18 m/s，则下列说法中正确的是( )A．18 m/s是物体从开始到3 s这段时间内的平均速度B．18 m/s是物体从3 s到(3＋Δt)s这段时间内的速度C．18 m/s是物体在3 s这一时刻的瞬时速度D．18 m/s是物体从3 s到(3＋Δt)s这段时间内的平均速度考点导数的概念题点导数概念的理解答案 C3．设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a等于( ) A．2 B．－2 C．－3 D．3考点导数定义的应用题点导数定义在函数中的应用答案 D解析因为f′(1)＝limΔx→0f(1＋Δx)－f(1)Δx＝lim Δx →0a (1＋Δx )＋3－(a ＋3)Δx＝a .因为f ′(1)＝3，所以a ＝3.4．如图，函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，[x 3，x 4]这几个区间上，平均变化率最大的一个区间是________．考点 平均变化率 题点 平均变化率的应用 答案 [x 3，x 4]解析 由平均变化率的定义可知，函数y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，[x 3，x 4]上平均变化率分别为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1，f (x 3)－f (x 2)x 3－x 2，f (x 4)－f (x 3)x 4－x 3，结合图象可以发现函数y ＝f (x )的平均变化率最大的一个区间是[x 3，x 4]．5．一物体的运动方程为s (t )＝7t 2－13t ＋8，则t 0＝________时该物体的瞬时速度为1. 考点 求瞬时速度题点 瞬时速度在实际问题中的应用 答案 1 解析 lim Δt →0s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt＝lim Δt →0 7(t 0＋Δt )2－13(t 0＋Δt )＋8－(7t 20－13t 0＋8)Δt ＝lim Δt →0 (14t 0－13＋7Δt ) ＝14t 0－13＝1，得t 0＝1.理解平均变化率要注意以下几点： (1)平均变化率f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示点(x 1，f (x 1))与点(x 2，f (x 2))连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”．(2)为求点x 0附近的平均变化率，上述表达式常写为f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx的形式．(3)函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势．自变量的改变量Δx 取值越小，越能准确体现函数的变化情况． 利用导数定义求导数：(1)取极限前，要注意化简ΔyΔx ，保证使Δx →0时分母不为0.(2)函数在x 0处的导数f ′(x 0)只与x 0有关，与Δx 无关． (3)导数可以描述事物的瞬时变化率，应用非常广泛．一、选择题1．已知函数y ＝2＋1x，当x 由1变到2时，函数的增量Δy 等于( )A.12 B ．－12 C ．1 D ．－1 考点 函数自变量、因变量的增量 题点 函数因变量的增量 答案 B解析 Δy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12－(2＋1)＝－12.2．函数f (x )＝5x －3在区间[a ，b ]上的平均变化率为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 考点 平均变化率 题点 函数的平均变化率 答案 C解析 平均变化率为f (b )－f (a )b －a ＝5(b －a )b －a＝5.3．一质点运动的方程为s ＝5－3t 2，若该质点在时间段[1,1＋Δt ]内相应的平均速度为－3Δt －6，则该质点在t ＝1时的瞬时速度是( ) A ．－3 B ．3 C ．6 D ．－6 考点 求瞬时速度题点 用极限思想求瞬时速度 答案 D解析 由平均速度和瞬时速度的关系可知，质点在t ＝1时的瞬时速度为s ′＝lim Δt →0 (－3Δt －6)＝－6.4．已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在函数y ＝f (x )的图象上，若函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率为3，则下面叙述正确的是( )A ．曲线y ＝f (x )的割线AB 的倾斜角为π6B ．曲线y ＝f (x )的割线AB 的倾斜角为π3C ．曲线y ＝f (x )的割线AB 的斜率为－ 3D ．曲线y ＝f (x )的割线AB 的斜率为－33考点 平均变化率 题点 平均变化率的应用 答案 B解析 函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率就是割线AB 的斜率，所以k AB ＝3，割线AB 的倾斜角为π3，故选B.5．若可导函数f (x )的图象过原点，且满足lim Δx →0 f (Δx )Δx＝－1，则f ′(0)等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－1 D ．1考点 导数的概念题点 导数的概念的简单应用 答案 C解析 ∵f (x )图象过原点，∴f (0)＝0， ∴f ′(0)＝lim Δx →0 f (0＋Δx )－f (0)Δx ＝lim Δx →0 f (Δx )Δx＝－1， 故选C.6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋1，0≤x <3，2＋3(x －3)2，x ≥3，则函数f (x )在x ＝1处的导数为( )A ．2B ．3C ．4D ．6 考点 导数定义的应用 题点 导数定义在函数中的应用 答案 D 解析 f (1)＝4，f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0 3(1＋Δx )2＋1－4Δx ＝lim Δx →0(6＋3Δx )＝6.7．已知函数f (x )＝2x ，且f ′(m )＝－12，则m 的值等于( )A ．±2B ．2C ．－2D ．－4考点 导数定义的应用 题点 导数定义在函数中的应用 答案 A解析 f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝－2x2，于是有－2m 2＝－12，m 2＝4，解得m ＝±2.二、填空题8.汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图所示，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为________________．考点 平均变化率 题点 平均变化率的应用 答案 v 1<v 2<v 3解析 v 1＝k OA ，v 2＝k AB ，v 3＝k BC ， 由图象知，k OA <k AB <k BC .9．若函数y ＝f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率为2，则t ＝________. 考点 平均变化率 题点 平均变化率的应用 答案 5解析 函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率是Δy Δx ＝f (t )－f (－2)t －(－2)＝t 2－t －(－2)2－2t ＋2＝2，即t 2－t －6＝2t ＋4，t 2－3t －10＝0， 解得t ＝5或t ＝－2(舍去)．所以，当函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率是2时，t 的值是5.10．对于函数y ＝f (x )＝1x2，其导数值等于函数值的点是________．考点 导数定义的应用 题点 导数定义在函数中的应用 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，14解析 f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0 1(x 0＋Δx )2－1x 2Δx ＝－2x 30.由题意知，f ′(x 0)＝f (x 0)，即－2x 30＝1x 20，解得x 0＝－2，从而y 0＝14.11．若f ′(x 0)＝2，则lim Δx →0 f (x 0)－f (x 0＋Δx )2Δx＝________.考点 导数的概念题点 导数的概念的简单应用 答案 －1 解析 lim Δx →0f (x 0)－f (x 0＋Δx )2Δx＝－12lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝－12f ′(x 0)＝－1.三、解答题12．若函数y ＝f (x )＝－x 2＋x 在[2,2＋Δx ](Δx >0)上的平均变化率不大于－1，求Δx 的取值范围． 考点 平均变化率 题点 平均变化率的应用解 ∵函数f (x )在[2,2＋Δx ]上的平均变化率为 Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝－(2＋Δx )2＋(2＋Δx )－(－4＋2)Δx＝－3－Δx ，∴由－3－Δx ≤－1，得Δx ≥－2.又∵Δx >0，∴Δx 的取值范围是(0，＋∞)．13．已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，求适合f ′(x 0)＋2＝g ′(x 0)的x 0的值． 考点 导数定义的应用 题点 导数定义在函数中的应用 解 由导数的定义知，f ′(x 0)＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )2－x 2Δx ＝2x 0， g ′(x 0)＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )3－x 30Δx ＝3x 20. 因为f ′(x 0)＋2＝g ′(x 0)，所以2x 0＋2＝3x 20，即3x 20－2x 0－2＝0. 解得x 0＝1－73或x 0＝1＋73.四、探究与拓展14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝3x ，y ＝0，x ＝t (t >0)围成的△OAB 的面积为S (t )，则S (t )在t ＝2时的瞬时变化率是________．考点 导数定义的应用题点 导数定义在实际问题中的应用 答案 2 3解析 x ＝t 时，y ＝3t ，B (t ，3t )， 则AB ＝3t ，∴S (t )＝12·OA ·AB ＝12t ·3t ＝32t 2，∴S ′(2)＝lim Δt →0S (2＋Δt )－S (2)Δt＝lim Δt →0 32(2＋Δt )2－23Δt＝2 3. 15．若一物体运动方程如下：(位移单位：m ，时间单位：s)s ＝f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧29＋3(t －3)2，0≤t <3，3t 2＋2，t ≥3.求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度； (2)物体的初速度v 0；(3)物体在t ＝1时的瞬时速度． 考点 求瞬时速度题点 用极限思想求瞬时速度解 (1)因为物体在t ∈[3,5]内的时间变化量为 Δt ＝5－3＝2，位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2) ＝3×(52－32)＝48，所以物体在t ∈[3,5]内的平均速度为 Δs Δt ＝482＝24 m/s. (2)求物体的初速度v 0，即求物体在t ＝0时的瞬时速度． 因为物体在t ＝0附近位移的平均变化率为 Δs Δt ＝f (0＋Δt )－f (0)Δt＝29＋3[(0＋Δt )－3]2－29－3(0－3)2Δt＝3Δt －18，所以物体在t ＝0处位移的瞬时变化率为 lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 (3Δt －18)＝－18， 即物体的初速度v 0＝－18 m/s.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为物体在t ＝1处位移的瞬时变化率， 因为物体在t ＝1附近位移的平均变化率为 Δs Δt ＝f (1＋Δt )－f (1)Δt＝29＋3[(1＋Δt )－3]2－29－3(1－3)2Δt ＝3Δt －12，所以物体在t ＝1处位移的瞬时变化率为 lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0(3Δt －12)＝－12， 即物体在t ＝1时的瞬时速度为－12 m/s.。

高中数学第一章导数及其应用1.1.1平均变化率课件新人教A版选修2_2

高中数学第一章导数及其应用1.1.1平均变化率课件新人教A版选修2_2

老师没提了一个问题，同学们就应当立即主动地去思考，积极地寻找答案，然后和老师的解答进行比较。通过超前思考，可以把注意力集中在对这些“难点”的理解 上，保证“好钢用在刀刃上”，从而避免了没有重点的泛泛而听。通过将自己的思考跟老师的讲解做比较，还可以发现自己对新知识理解的不妥之处，及时消除知识 的“隐患”。
2
02
10
20
30 34 t(d)
3、 怎样从数学的角度描述“气温变化的快慢程度”呢？
分析：这一问题中，存在两个变量“时间”和“气温”， 18.6 3.5
当时间从1到32，气温从3.5oC增加到18.6oC，气温平均变化
0.5
32 1
当时间从32到34，气温从18.6oC增加到33.4oC，气温平均变化 33.4 18.6 7.4 34 32
高度h
15.000
10.000
5.000
0.000
65
时间
0
0.5
1 49 1.5
2
四、知识应用，深化理解
4.在高台跳水运动中，t 秒时运动员相对 于水面的高度是h(t)= - 4.9t2+6.5t+10
(2). 运动员在这段时间内是静止的吗？
(3). 你认为用平速度描述运动员的运动状态 有什么问题吗？
为第一天）
20
30 34 t(d)
1、上图是 “某地3月18日-4月20日每天气温最高温度统计图”，你从图中 获得了哪些信息？
二、探究新知，揭示概念
实例一：气温的变化问题
T (℃) 30 20
C (34, 33.4) B (32, 18.6)
10A (1, 3.5)Biblioteka 20210
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人教A版高中数学选修1-1 3.1.1 变化率和导数的概念 素材

人教A版高中数学选修1-1 3.1.1 变化率和导数的概念 素材

变化率和导数的概念---------学习要点1．函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率(1)定义式：Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1. (2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比．(3)意义：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢．(4)平均变化率的几何意义：设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是曲线y ＝f (x )上任意不同的两点，函数y ＝f (x )的平均变化率Δy Δx＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)Δx 为割线AB 的斜率，如图所示．2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率3．导数的概念例1、求函数f (x )＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx 的值为13，哪一点附近的平均变化率最大？解析： 在x ＝1附近的平均变化率为k 1＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx＝2＋Δx ； 在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝(2＋Δx )2－22Δx＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f (3＋Δx )－f (3)Δx ＝(3＋Δx )2－32Δx＝6＋Δx ； 若Δx ＝13，则k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193， 由于k 1＜k 2＜k 3，故在x ＝3附近的平均变化率最大．类题通法：求平均变化率的步骤(1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 1)－f (x 0)．(2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 1－x 0.(3)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0. 要点2：求瞬时速度例2、一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s (t )＝3t －t 2.(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度．解析：(1)当t ＝0时的速度为初速度．在0时刻取一时间段[0,0＋Δt ]，即[0，Δt ]， ∴Δs ＝s (Δt )－s (0)＝[3Δt －(Δt )2]－(3×0－02)＝3Δt －(Δt )2，Δs Δt ＝3Δt －(Δt )2Δt ＝3－Δt ，0lim t ∆→Δs Δt ＝0lim t ∆→(3－Δt )＝3. ∴物体的初速度为3.(2)取一时间段[2,2＋Δt ]，∴Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝[3(2＋Δt )－(2＋Δt )2]－(3×2－22)＝－Δt －(Δt )2，Δs Δt ＝－Δt －(Δt )2Δt ＝－1－Δt ， 0lim t ∆→ΔsΔt ＝0lim t ∆→(－1－Δt )＝－1， ∴当t ＝2时，物体的瞬时速度为－1.类题通法：1．求运动物体瞬时速度的三个步骤(1)求时间改变量Δt 和位移改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)．(2)求平均速度v ＝Δs Δt； (3)求瞬时速度，当Δt 无限趋近于0时，Δs Δt无限趋近于常数v ，即为瞬时速度． 2．求Δy Δx(当Δx 无限趋近于0时)的极限的方法 (1)在极限表达式中，可把Δx 作为一个数来参与运算；(2)求出Δy Δx的表达式后，Δx 无限趋近于0就是令Δx ＝0，求出结果即可． 要点3：求函数在某点处的导数例3、 (1)函数y ＝x 在x ＝1处的导数为________．(2)如果一个质点由定点A 开始运动，在时间t 的位移函数为y ＝f (t )＝t 3＋3，①当t 1＝4，Δt ＝0.01时，求Δy 和比值Δy Δt； ②求t 1＝4时的导数．解析： (1)Δy ＝1＋Δx －1，Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1， 0lim t ∆→11＋Δx ＋1＝12，所以y ′|x ＝1＝12. 答案：(1)12(2)解：①Δy ＝f (t 1＋Δt )－f (t 1)＝3t 21·Δt ＋3t 1·(Δt )2＋(Δt )3，故当t 1＝4，Δt ＝0.01时，Δy ＝0.481201，Δy Δt＝48.120 1. ②0lim t ∆→Δy Δt ＝0lim t ∆→[3t 21＋3t 1·Δt ＋(Δt )2]＝3t 21＝48， 故函数y ＝t 3＋3在t 1＝4处的导数是48，即y ′|t 1＝4＝48.类题通法：1．用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤(1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；(2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx； (3)求极限0lim x ∆→Δy Δx.2．瞬时变化率的变形形式0limx ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝0lim x ∆→f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx ＝0lim x ∆→f (x 0＋n Δx )－f (x 0)n Δx ＝0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0－Δx )2Δx ＝f ′(x 0)．。