函数的最大值与导数演示课件

取值范围． •
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课堂讲义
• 规律方法 (1)“恒成立”问题向最值问题转 化是一种常见的题型，
• 一般地，可采用分离参数法进行转化．λ≥f(x) 恒 成 立 ⇔λ≥[f(x)]max ； λ≤f(x) 恒 成 立 ⇔λ≤[f(x)]min.
• 对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含 参函数的最值即可．
• (2)此类问题特别要小心“最值能否取得到”
和“不等式中是否含等号”的情况，以此来
确定参数的范围能否p取pt课件得“＝”．
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课堂讲义
• 跟踪演练3 设函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，
• (1)若对任意的x∈[0,3]，都有f(x)<c2成立，求c 的取值范围．
• (2)若对任意的x∈(0,3)，都有f(x)<c2成立，求c 的取值范围．
在闭区间上
x的连［续a函,b数］ 必
有最大值与最 小值
y
因此：该函数没 有最值。
y=f(x)
o a x1 x2 x3 x4 x5
x6 b x
y
f(x)max=f(a), f(x)min=f(x3)
y=f(x)
o a x1 x2 x3 x4 x5
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x6 b x
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1、课本p98 练习 2、求函数y=xlnx的最小值
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当堂检测
• 1．函数f(x)＝－x2＋4x＋7，在x∈[3,5]上的最 大值和最小值分别是( )
• A．f(2)，f(3) B．f(3)，f(5) • C．f(2)，f(5) D．f(5)，f(3) • 答案 B
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当堂检测
• 解析 ∵f′(x)＝－2x＋4， • ∴当x∈[3,5]时，f′(x)<0， • 故f(x)在[3,5]上单调递减， • 故f(x)的最大值和最小值分别是f(3)，f(5)．

由
fπ6 ＝
3－π， 26
f－π6 ＝－
3＋π， 26
且 fπ2 ＝－π2，f－π2＝π2，
故 [f(x)]m a x＝π2，[f(x)]min＝－π2 .
(2)f′ (x)＝1＋1
－ x
1 2x.
令
f′
(x)＝
0，即1＋1
－1x＝ x2
0，化简得
x2＋ x－ 2＝ 0.
解得 x1＝－2(舍去)，x2＝1. ∵f(0)＝0，f(2)＝ln 3－1＞0，f(1)＝ln 2－14，
③当2a＞2，即 0＜a＜1 时，f(x)在(1,2)上单调递增，
∵ f(x)ma x＝ f(2)＝ 4e－ 2a. 综上所述，当 0＜a＜1 时，f(x)的最大值为 4e－2a， 当 1≤a≤2 时，f(x)的最大值为 4a－2e－2，
当 a＞2 时，f(x)的最大值为 e－a. 【名师点评】 对于含参数的最值问题，如果参数对函数 导数的正负有影响，则需对参数分类讨论，否则不需讨论 参数．
题型三 已知函数的最值求参数的值
例3 若 f(x)＝ax3－6ax2＋b(a>0)，x∈[－1,2]的最大值 为 3，最小值是－29，求 a、b 的值． 【解】 f′(x)＝3ax2－12ax＝3a(x2－4x)． 令 f′(x)＝0，得 x＝0，或 x＝4，∵x∈[－1,2]，∴x＝0.
∵a>0，∴f(x)，f′(x)随 x 变化情况如下表：
函数的最大(小)值与导数
1．函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断 的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得__最__大__值__和 _最__小__值__,并且函数的最值必在_极__值__点__或__端__点__处取得．

1函数的最大〔小〕值与导数
省江安中 任真强
我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的 局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质．也 就是说，如果x0是函数y=f(x)的极大〔小〕值点, 那 么在点x0附近找不到比y=f(x0)更大〔小〕的值．但 是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们更 关心函数在某个区间上,哪个值最大,哪个值最小.
x4
x5 b x
图1.314
图1.315
结合图1.314、图1.315,以及函数极值
中的例子,不难看出,只要把函数y f x的
所有极值连同端点的函数值进行比较,就可 以求出函数的最大值与最小值.
说 明：
1.在闭区间[a,b]上连续的函数必有最大值和最小值. 这里有两层意思：
〔1〕给定函数的区间必须是闭区间，f(x)在开区间 上虽然连续但不能保证有最大值或最小值；
思考：函数 f(x)x33x21，x[1 , 3]
方程 f (x) k有两个不等实根，求 k的取
值范围．
课后作业
1. 习题3.3 A组 6 题
2.选做题：
假设函数f(x ) a 3 x 6 a 2 x b ( a 0 )x , [ 1 ,2 ]
的最大值为3,最小值为-29,求 的a ,值b .
存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M; （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M . 那么称M是函数y=f(x)的最小值. 记作：f ( x)min M
y
y f x
a x 1 x 2 x 3 ox 4 x 5 x 6 b x
探究 你能找出函数y fx在区间a,b上的最
大 值 、 最 小 值 吗?
例 1 求 函 数 fx 1 x 3 4 x 4 在 0 ,3 上 的 最 大 值 与 最 小 值 .

在工程中的应用
优化设计
控制系统的设计
在工程设计中，导数可以用来优 化设计方案，例如通过求结构函 数的导数来优化结构的形状和尺寸。
导数可以用来设计控制系统的反 馈机制，从而确保系统的稳定性 和性能。
流体动力学
在流体动力学中，导数可以用来 描述流体的速度场和压力场，从 而分析流体动力学现象。
06
总结与展望
二阶导数法
判断极值性质
二阶导数可以判断极值点的性质，如是否为 极大值或极小值。
确定拐点
二阶导数为0的点可能是拐点，即函数图像 的凹凸性改变的点。
判断最值
结合一阶导数和二阶导数的信息，确定最值。
无穷区间上的最值求法
确定函数的极限
对于在无穷区间上的函数，需要确定其在无穷远 处的极限值。
判断单调性
通过分析函数在无穷区间上的单调性，确定最值 的性质。
导数与函数单调性
总结词
导数的符号决定了函数的单调性。
详细描述
如果导数在某区间内大于0，则函数在此区间内单调递增；如果导数在某区间内小于0，则函数在此区 间内单调递减。因此，通过分析导数的符号变化，可以判断函数的单调性。
导数与极值点
总结词
导数为0的点可能是函数的极值点。
详细描述
导数表示函数在某一点附近的变化率，如果导数在某一点的值为0，且在该点附近两侧 的导数值由正变负或由负变正，则该点可能是函数的极值点。因此，通过求解导数为0
的点，并结合该点附近导数的符号变化，可以判断函数的极值点。
03
函数最值的求法
一阶导数法
确定函数的单调性
通过求一阶导数，判断函数在某区间内的单调 性，从而确定最值的可能位置。
判断极值点