版高考数学一轮总复习中的排列组合题解析排列组合是高考数学中的一个重要知识点，也是学生们在备考中常常遇到的难点之一。
在这篇文章中，我们将对高考数学一轮总复习中的排列组合题进行详细解析，帮助学生们更好地掌握这一知识点。
一、排列问题的解析1. 定义排列是指从给定的一组元素中，选取出若干个元素按照一定的顺序排列的方式。
排列的顺序对结果的影响很大。
2. 排列的计算公式在排列问题中，常常使用P(n, r)表示从n个元素中选取r个元素进行排列的方式的总数。
其计算公式为：P(n, r) = n! / (n - r)!其中，n!表示n的阶乘，即n * (n - 1) * (n - 2) * ... * 2 * 1。
3. 相关示例（示例1）问题：有5个人参加比赛，他们按照顺序依次排队，问可以有多少种不同的排列方式？解析：根据排列的计算公式，我们有P(5,5) = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120种不同的排列方式。
问题：某城市的汽车牌照由一个字母和四个数字组成，字母和数字可以重复使用。
问可以组成多少种不同的汽车牌照？解析：字母有26个可选，数字有0-9十个可选，所以共有26 *10^4 = 260,000种不同的汽车牌照。
二、组合问题的解析1. 定义组合是指从给定的一组元素中，选取出若干个元素组成一个无序的集合，顺序对结果没有影响。
2. 组合的计算公式在组合问题中，常常使用C(n, r)表示从n个元素中选取r个元素进行组合的方式的总数。
其计算公式为：C(n, r) = n! / (r! * (n - r)!)3. 相关示例（示例1）问题：从8位候选人中选取3位进行演讲比赛，问可以有多少种不同的选取方式？解析：根据组合的计算公式，我们有C(8, 3) = 8! / (3! * (8 - 3)!) = 56种不同的选取方式。
问题：某购物网站有8个商品促销，在购物车中最多只能选择5个商品进行结算，问可以有多少种不同的结算方式？解析：根据组合的计算公式，我们有C(8, 0) + C(8, 1) + C(8, 2) +C(8, 3) + C(8, 4) + C(8, 5)= 1 + 8 + 28 + 56 + 70 + 56 = 219种不同的结算方式。
高考数学一轮总复习排列与组合问题求解高考数学一轮总复习排列与组合问题求解排列与组合是高中数学中的一个重要分支，也是高考数学中的常见考点。
在解决排列与组合问题时，我们需要灵活运用相关的概念和公式，同时注意分析问题的特点和限制条件。
以下是一些常见的排列与组合问题的求解方法。
问题一：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，有多少种不同的取法？解析：这是一个典型的组合问题，我们需要从n个不同元素中选出m个元素，而不考虑它们的顺序。
根据组合的定义，我们可以使用组合数的公式进行求解。
组合数的计算公式为C(n,m) = n! / (m!(n-m)!)，其中！表示阶乘。
例如，假设有8个不同的球，要从中选择5个球，可以计算出C(8,5) = 8! / (5!(8-5)!) = 8! / (5!3!) = (8 × 7 × 6) / (3 × 2 × 1) = 56种不同的取法。
问题二：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，其中某几个元素必须被选取，有多少种不同的取法？解析：对于这种情况，我们需要先确定必须被选取的元素，然后从剩余的元素中选择剩下的m-必选元素个数。
例如，如果有5个不同的球，其中2个必须被选取，我们需要从剩下的3个球中再选择1个球。
根据组合的定义，我们可以先计算必选元素的选择方式，即C(2,2)，然后再计算剩余元素的选择方式，即C(3,1)。
最后将两部分的选择方式相乘即可得到最终的结果。
例如，假设有5个不同的球，其中2个必须被选取，我们可以计算出C(2,2) × C(3,1) = 1 × 3 = 3种不同的取法。
问题三：在一排叠盘子中，每个盘子可以是红色、黄色、蓝色中的任意一种颜色。
如果有10个盘子，其中4个红色、3个黄色、3个蓝色，连续的盘子不允许有相同颜色。
请问有多少种不同的叠法？解析：这是一个排列问题，我们需要注意到连续的盘子不允许有相同颜色，因此我们需要分别考虑第一个盘子的颜色，并与之后的盘子进行排列。
§10.2排列与组合考试要求 1.理解排列、组合的概念.2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.3.能利用排列组合解决简单的实际问题．知识梳理1．排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列组合作为一组2.排列数与组合数(1)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，用符号A m n表示．(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，用符号C m n表示．3．排列数、组合数的公式及性质公式(1)A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！(n－m)！(n，m∈N*，且m≤n)．(2)C m n＝A m nA m m＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！＝n！m！(n－m)！(n，m∈N*，且m≤n)．特别地C0n＝1.性质(1)0！＝1；A n n＝n！.(2)C m n＝C n－mn；C m n＋1＝C m n＋C m－1n.常用结论解决排列、组合问题的十种技巧(1)特殊元素优先安排．(2)合理分类与准确分步．(3)排列、组合混合问题要先选后排．(4)相邻问题捆绑处理．(5)不相邻问题插空处理．(6)定序问题倍缩法处理．(7)分排问题直排处理．(8)“小集团”排列问题先整体后局部．(9)构造模型．(10)正难则反，等价转化．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(×)(2)选择两人去参加同一项活动时无先后顺序．(√)(3)若组合数公式C x n＝C m n，则x＝m成立．(×)(4)A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m)．(×)教材改编题1．将《步步高》《创新设计》等六本不同的教辅资料按如图所示的方式竖放在一起，则《步步高》放在最前面或最后面的不同放法共有()A．120种B．240种C．200种D．180种答案 B解析《步步高》放在最前面或最后面的不同放法共有2A55＝240(种)．2．有3名男生和2名女生排成一排，女生不能相邻的不同排法有()A．36种B．72种C．108种D．144种答案 B解析不同排法种数为A33A24＝72(种)．3．若C2n＝C2n－1＋C3n－1(n∈N*)，则n＝.答案 5解析由C m n＝C m－1＋C m n－1，n－1所以C2n＝C3n，又因为C m n＝C n－m，n所以n－2＝3，即n＝5.题型一排列问题例1(1)(多选)17名同学站成两排，前排7人，后排10人，则不同站法的种数为() A．A77A1010B．A717A1010C．A717＋A1010D．A1717答案BD解析17名同学中选7名全部排序站在前排有A717种方法，剩下10名同学全排在后排有A1010种方法，根据乘法原理，共有A717A1010种方法．将前后排视为一排，共有A1717种方法．(2)(2022·福州模拟)将数字1,2,3,4,5,6排成一列，记第i个数为a i(i＝1,2,3,4,5,6)，若a1≠1，a3≠3，a5≠5，且a1<a3<a5，则不同的排列方法种数为()A．15 B．30 C．45 D．60答案 B解析由题意可知分两步：①先排a1，a3，a5，当a1＝2时，a3＝4，a5＝6或a3＝5，a5＝6有2种，当a1＝3时，a3＝4，a5＝6或a3＝5，a5＝6有2种，当a1＝4时，a3＝5，a5＝6有1种，共5种；②再排a2，a4，a6，共有A33＝6(种)，所以不同的排列方法种数为5×6＝30.教师备选现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人不全相邻的排法种数为()A．A36·A55B．A88－A66·A33C．A35·A33D．A88－A46答案 B解析在8个人全排列的方法数中减去甲、乙、丙全相邻的方法数，就得到甲、乙、丙三人不全相邻的方法数，即A88－A66·A33.思维升华对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．跟踪训练1(1)将1,2,3,4,5,6这6个数填入如图所示的3行2列表格中，要求表格每一行数字之和均相等，则可组成不同表格的个数为()A.8 B．24 C．48 D．64答案 C解析由1＋6＝2＋5＝3＋4，则可组成不同表格的个数为A22A22A22A33＝48.(2)(2022·苏州调研)甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行数学创新能力比赛，决出第一到第五名的名次(无并列名次)．甲、乙两名同学去询问成绩，老师说：“你们都没有得到第一，你们也都不是最后一名，并且你们的名次相邻．”从上述回答分析，5人的名次不同的排列情况有()A．36种B．24种C．18种D．12种答案 B解析由题意甲乙两人名次为2,3或3,4，所以5人的名次不同的排列情况有2×A22A33＝24(种)．题型二组合问题例2(1)(2021·全国乙卷)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有()A．60种B．120种C．240种D．480种答案 C解析根据题设中的要求，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，可分两步进行安排：第一步，将5名志愿者分成4组，其中1组2人，其余每组1人，共有C25种分法；第二步，将分好的4组安排到4个项目中，有A44种安排方法．故满足题意的分配方案共有C25·A44＝240(种)．(2)两个三口之家(父母＋小孩)共6人去旅游，有红旗和大众两辆新能源汽车，每辆车至少乘坐2人，但两个小孩不能单独乘坐一辆车，则不同的乘车方式的种数为()A．48 B．50C．98 D．68答案 A解析6人乘坐的所有情况有C26C44A22＋C36＝15×2＋20＝50(种)，两个小孩单独乘坐一辆车的情况有C12＝2(种)，由题意知两个小孩不能单独乘坐一辆车，则不同的乘车方式的种数为50－2＝48.教师备选泉州洛阳桥，原名万安桥，桥长834米，宽7米，46个桥墩，47个桥孔，全都是由花岗岩筑成，素有“海内第一桥”之誉，是古代著名跨海梁式石构桥．北宋泉州太守蔡襄(今莆田市仙游县人，北宋名臣，书法家、文学家、茶学家)与卢锡共同主持历经七年建成，至今已有九百多年历史．现有一场划船比赛，选取相邻的12个桥孔作为比赛道口，有4艘参赛船只将从一字排开的12个桥孔划过，若为安全起见相邻两艘船都必须至少留有1个空桥孔间隔划过，12个桥孔头尾两侧桥孔也不过船，所有的船都必须从不同的桥孔划过，每个桥孔都只允许1艘船划过，则4艘船通过桥孔的不同方法共有种(用数字作答)．答案840解析依题意相当于将8个相同的小球，放入5个盒子中，且每个盒子不空，则在8个小球中的7个空档插入4个板，分为5堆，则有C47＝35(种)分法，即通过的桥孔组合有35种，再对4艘参赛船全排列有A44＝24(种)排法，故共有C47A44＝35×24＝840(种)方法．思维升华组合问题常有以下两类题型变化(1)“含有”或“不含有”问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“最多”问题：用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．跟踪训练2(1)将6个相同的小球放入3个不同的盒子中，每个盒子至多可以放3个小球，且允许有空盒子，则不同的放法共有()A．10种B．16种C．22种D．28种答案 A解析如果没有空盒，则小盒的球数是1,2,3，或是2,2,2，共有A33＋1＝7(种)放法；若是有一个空盒，则小盒的球数是3,3，首先选盒，再放小球，共有C23×1＝3(种)放法，所以不同的放法共有7＋3＝10(种)．(2)某学校为了迎接市春季运动会，从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为．答案86解析由题意，可分三类考虑：第1类，男生甲入选，女生乙不入选，则方法种数为C13C24＋C23C14＋C33＝31；第2类，男生甲不入选，女生乙入选，则方法种数为C14C23＋C24C13＋C34＝34；第3类，男生甲入选，女生乙入选，则方法种数为C23＋C14C13＋C24＝21.所以男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为31＋34＋21＝86.题型三排列与组合的综合应用命题点1相邻、相间及特殊元素(位置)问题例3(2022·广州质检)某夜市的某排摊位上共有6个铺位，现有4家小吃类店铺，2家饮料类店铺打算入驻，若要排出一个摊位规划，要求饮料类店铺不能相邻，则可以排出的摊位规划总个数为()A．A44A22B．A22A55C．A33A55D．A44A25答案 D解析先将4个小吃类店铺进行全排，再从这4个小吃类店铺的5个空位选2个进行排列，故排出的摊位规划总个数为A44A25.延伸探究若要求饮料类店铺必须相邻，则可以排出的摊位规划总个数为(用数字作答)．答案240解析先将2个饮料类店铺进行捆绑，再和其他4个小吃类店铺进行排列，故排出的摊位规划总个数为A22A55＝240.思维升华相邻、相间问题的解题策略(1)要求相邻时，把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列．(2)对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中．命题点2 定序问题例4 某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后进行，那么安排这6项工程不同的排法种数是 ． 答案 120解析 六个元素进行排序，保证甲、乙、丙三个元素顺序不变，再加入三个元素进行排序，共6！3！＝120(种)． 延伸探究 若在本题中，再增加条件“工程丁必须在丙完成后立即进行”，那么安排这6项工程不同的排法种数是 ． 答案 20解析 工程丁必须在丙完成后立即进行，等价于丙丁看成一个元素，共五个元素进行排序，保证甲乙(丙丁)三个元素顺序不变，再加入两个元素进行排序，共5！3！＝20(种)．思维升华 定序问题的处理策略对于给定元素顺序确定，再插入其他元素进行排列：顺序确定的元素为n 个，新插入的元素为m 个，则排列数为(m ＋n )！n ！.命题点3 分组、分配问题例5 数学活动小组由12名同学组成，现将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出1名组长，则不同的分配方案有( )A.C 312C 39C 36A 33A 44种B ．C 312C 39C 3634种C.C 312C 39C 36A 4443种D ．C 312C 39C 3643种答案 B解析 方法一 首先将12名同学平均分成四组，有C 312C 39C 36A 44种分法，然后将这四组同学分配到四个不同的课题组，有A 44种分法，并在各组中选出1名组长，有34种选法，根据分步乘法计数原理，满足条件的不同分配方案有C 312C 39C 36A 44·A 44·34＝C 312C 39C 3634(种)． 方法二 根据题意可知，第一组分3名同学有C 312种分法，第二组分3名同学有C 39种分法，第三组分3名同学有C 36种分法，第四组分3名同学有C 33种分法．第一组选1名组长有3种选法，第二组选1名组长有3种选法，第三组选1名组长有3种选法，第四组选1名组长有3种选法．根据分步乘法计数原理可知，满足条件的不同分配方案有C 312C 39C 36C 3334种． 教师备选1．某地遭遇极端强降雨天气，一方有难，八方支援，全国各地救援团队奔赴此地．现有某救援团队5名志愿者被分配到3个不同巡查点进行防汛救灾志愿活动，要求每人只能去一个巡查点，每个巡查点至少有一人，则不同分配方案的总数为( ) A ．120 B ．150 C ．240 D ．300答案 B解析 有5名志愿者被分配到3个不同巡查点进行防汛抗洪志愿活动，要求每人只能去一个巡查点，每个巡查点至少有一人， 包括两种情况：一是按照2,2,1分配，有12C 25C 23A 33＝90(种)结果，二是按照3,1,1分配，有12C 15C 14A 33＝60(种)结果．不同分配方案的总数为90＋60＝150.2．(2022·南平模拟)福建省于2021年启动了中学生科技创新后备人才培养计划(简称中学生“英才计划”)，在数学、物理、化学、生物、计算机等学科有特长的学生入选2021年福建省中学生“英才计划”，他们将在大学教授的指导下进行为期一年的培养，现有4名数学特长生可从3位数学教授中任选一位作为导师，每位数学教授至多带2名数学特长生，则不同的培养方案有 种．(结果用数字作答) 答案 54解析 分两类，C 24C 22A 22A 23＋C 24C 12C 11A 22A 33＝54(种)．思维升华 解决分组分配问题的策略(1)对于整体均分，分组后一定要除以A n n (n 为均分的组数)，避免重复计数．(2)对于部分均分，若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！.跟踪训练3(1)2021年7月1日，建党百年盛典，天安门广场上共青团员、少先队员齐诵青春誓言“请党放心，强国有我！”，新的百年，听党话、感党恩、跟党走！给人们留下深刻印象．表演前，为呈现最佳效果，节目编排人员将4名领诵人员排成一排，则两名女领诵相邻的方案有()A．10种B．12种C．20种D．24种答案 B解析将两名女领诵捆绑，再和另外两名男领诵进行全排列，共有A22A33＝12(种)．(2)(多选)甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是()A．如果甲乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种C．甲乙不相邻的排法种数为72种D．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有30种答案ABC解析如果甲乙必须相邻且乙在甲的右边，可将甲乙捆绑看成一个元素，则不同的排法有A44＝24(种)，故A正确；最左端排甲时，有A44＝24(种)不同的排法，最左端排乙时，最右端不能排甲，则有C13A33＝18(种)不同的排法，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有24＋18＝42(种)，故B正确；因为甲乙不相邻，先排甲乙以外的三人，再让甲乙插空，则有A33A24＝72(种)，故C正确；甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有A55＝20(种)，故D不正确．A33课时精练1．山城农业科学研究所将5种不同型号的种子分别试种在5块并成一排的试验田里，其中A，B两型号的种子要求试种在相邻的两块试验田里，且均不能试种在两端的试验田里，则不同的试种方法数为()A．12 B．24C．36 D．48答案 B解析因为A，B两型号的种子试种方法数为2×2＝4，所以一共有4A33＝24(种)．2．宋代学者聂崇义编撰的《三礼图集注》中描述的周王城，“匠人营国，方九里，旁三门，国中九经九纬…”，意思是周王城为正方形，边长为九里，每边都有左中右三个门，城内纵横各有九条路…，依据此种描述，画出周王城的平面图，则图中共有个矩形()A．3 025 B．2 025C．1 225 D．2 525答案 A解析要想组成一个矩形，需要找出两条横边、两条纵边，根据分步乘法计数原理，依题意，所有矩形的个数为C211·C211＝3 025.3．(2022·衡水模拟)同宿舍六位同学在食堂排队取餐，其中A，B，C三人两两不相邻，A和D是双胞胎必须相邻，这样的排队方法有()A．24种B．48种C．72种D．96种答案 C解析根据题意分3步进行分析：第一步，将除A，B，C之外的三人全排列，有A33＝6(种)情况，第二步，由于AD必须相邻，则A必须安排在D相邻的两个空位中，有2种情况，第三步，将B，C安排在剩下的3个空位中，有A23＝6(种)情况，则共有6×2×6＝72(种)不同的安排方法．4．中国古代的五音，一般指五声音阶，依次为宫、商、角、徵、羽．如果把这五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序，且要求宫、羽两音阶不在角音阶的同侧，可排成的不同音序的种数为()A．120 B．90C．60 D．40答案 D解析根据题意，将5个音阶全排列，共有5个位置，如图，从左至右依次记为1,2,3,4,5，进而可以分以下三类求解．当角音阶在2号位置，此时只需在宫、羽两音阶中选一个放置到1号位置，剩下的一个音阶和其余的两个任意安排到3,4,5号位置即可，故有A12A33＝12(种)；当角音阶在3号位置，此时只需在宫、羽两音阶中选一个放置到1号或2号位置，剩下的一个音阶放到4号或5号位置，最后安排剩余的商、徵两个音阶，共有C12A12A12A22＝16(种)；当角音阶在4号位置，此时与2号位置的安排方法相同，共有A12A33＝12(种)，故宫、羽两音阶不在角音阶的同侧，可排成的不同音序的种数为12＋16＋12＝40.5．7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法的种数为()A．120 B．240C．360 D．480答案 C解析前排3人有4个空，从甲、乙、丙3人中选1人插入，有C14C13种方法，对于后排，若插入的2人不相邻，有A25种方法；若相邻，有C15A22种，故共有C14C13(A25＋C15A22)＝360(种)．6．(2022·辽阳模拟)联考结束后，某班要安排6节课进行试卷讲评，要求课程表中要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物共六节课，如果第一节课只能排语文或数学，最后一节不能排语文，则不同的排法共有()A．192种B．216种C．240种D．288种答案 B解析分以下两种情况讨论：①若第一节课安排语文，则后面五节课的安排无限制，此时共有A55种；②若第一节课安排数学，则语文可安排在中间四节课中的任何一节，此时共有4A44种．综上所述，不同的排法共有A55＋4A44＝216(种)．7．(多选)现有4个编号为1,2,3,4不同的球和4个编号为1,2,3,4不同的盒子，把球全部放入盒内．则下列说法正确的是()A．恰有1个盒不放球，共有72种放法B．每个盒子内只放一个球，且球的编号和盒子的编号不同的放法有9种C．有2个盒内不放球，另外两个盒子内各放2个球的放法有36种D．恰有2个盒不放球，共有84种放法答案BCD解析对于A，恰有1个盒不放球，先选1个空盒子，再选一个盒子放两个球，则C14C24A33＝144≠72，故A不正确；对于B，编号为1的球有C13种方法，把与编号为1的球所放盒子的编号相同的球放入1号盒子或者其他两个盒子，共有1＋C12＝3(种)，即3×3＝9(种)，故B正确；对于C，首先选出两个空盒子，再取两个球放剩下的两个盒子中的一个，共有C24C24＝36(种)，故C正确；对于D，恰有2个盒不放球，首先选出两个空盒子，再将4个球分为3,1或2,2两种情况，放入盒子，共有C24(C14C12＋C24)＝6×14＝84(种)，故D正确．8．(多选)下列等式正确的有()A．A m n＋m A m－1n＝A m n＋1B．n C m n＝m C m－1n－1C．C33＋C34＋C35＋…＋C32 021＝C2 0182 022D．C02 022＋C12 022＋C22 022＋…＋C2 0222 022＝22 022答案ACD解析对于A，A m n＋m A m－1n ＝n！(n－m)！＋m·n！(n－m＋1)！＝(n－m＋1)·n！(n－m＋1)！＋m·n！(n－m＋1)！＝(n ＋1)！[(n ＋1)－m ]！＝A m n ＋1， 选项A 正确；对于B ，n C m n ＝n ·n ！m ！(n －m )！＝n 2m ·(n －1)！(m －1)！[(n －1)－(m －1)]！＝n 2m·C m －1n －1≠m C m －1n －1， 选项B 错误；对于选项C ，C 33＋C 34＋C 35＋…＋C 32 021＝(C 44＋C 34)＋C 35＋…＋C 32 021＝(C 45＋C 35)＋C 36＋…＋C 32 021＝(C 46＋C 36)＋…＋C 32 021＝…＝C 42 021＋C 32 021＝C 42 022＝C 2 0182 022，选项C 正确；对于D 选项，二项式(a ＋b )n (n ∈N *)的展开式的二项式系数和等于2n ，选项D 正确．9．某高铁站有10个候车位(成一排)，现有4名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有5个连续空座位的候车方式共有 种(用数字作答)．答案 480解析 把四位乘客当做4个元素作全排列有A 44种排法，将一个空座位和余下的5个空座位作为2个元素插空有A 25种排法，∴共有A 44A 25＝480(种)．10．若把英语单词“good ”的字母顺序写错了，则可能出现的错误方法共有 种．(用数字作答)答案 11解析 根据题意，因为“good ”四个字母中的两个“O ”是相同的，则其不同的排列有12×A 44＝12(种)，其中正确的有一种，所以错误的方法共有12－1＝11(种)．11．为巩固防疫成果，现有7人排队接种加强针新冠疫苗，若要求甲在乙的前面，乙在丙的前面，且丙、丁相邻，则有 种不同的排队方法．(用数字作答)答案 240解析 丙、丁捆绑作为一个人，7个人7个位置变成6个位置，从中选3个安置甲、乙、丙(丁)，其他3个任意排列，方法数为C 36A 22A 33＝240.12．基础学科招生改革试点，也称强基计划，是教育部开展的招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.2021年的强基计划报名时间集中在4月8日－4月30日，某校甲、乙、丙、丁、戊五名学生准备报名清华、北大和南大的强基计划，若每所学校至少有一名学生报名，每名学生只报名一所学校，且甲和乙商量好报名同一所学校，则共有 种不同的报名方式．(用数字作答)答案 36解析 根据题意，把甲乙2人视为一个人，则五个人看成四个人，从四个人中先取出两个人，然后与剩下两个人进行全排列，则有C 24A 33＝36(种)不同的方法．13．福厦高速铁路，正线全长300.483千米.2017年开工建设，沿线设福州站→福州南站→福清西站→莆田站→泉港站→泉州东站→泉州南站→厦门北站→漳州站9座客站，设计速度每小时350千米，预计2022年9月开通．为了加快推动重点项目进展，即西溪特大桥、泉州湾跨海大桥、木兰溪特大桥3个控制性工程的建设．项目监管公司决定派出甲、乙等6名经理去3个项目现场考察监督，每个项目现场2名经理，每位经理只去一个项目现场，则甲、乙到不同项目现场的不同安排方案共有( )A ．6种B ．18种C ．36种D ．72种答案 D解析 根据题意把6人分成3组，共有C 26C 24C 22A 33＝15(种)不同的分法，其中甲乙在同一组中有C 24C 22A 22＝3(种)分法，可得甲乙不在同一组中，共有15－3＝12(种)不同的分组，再分派到3个不同的项目现场，共有12×A 33＝72(种)不同的方案．14．2021年是“十四五”开局之年，必将在中国历史上留下浓墨重彩的标注，作为当代中学生，需要发奋图强，争做四有新人，首先需要学好文化课．现将标有数字2,0,2,1,7,1的六张卡片排成一排，组成一个六位数，则共可组成 个不同的六位数．答案 150解析 依题意可组成不同的六位数有A 66A 22A 22－A 55A 22A 22＝180－30＝150(个)．15．(多选)众所周知，组合数C m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！，这里m ，n ∈N *，并且m ≤n .牛顿在研究广义二项式定理过程中把二项式系数C m n 中的下标n 推广到任意实数，规定广义组合数C m x ＝x (x －1)…(x －m ＋1)m ！是组合数的一种推广，其中(m ∈N *，x ∈R )，且定义C 0x ＝1，比如C 52＝2(2－1)(2－2)(2－3)(2－4)5！＝0.下列关于广义组合数的性质说法正确的有( ) A ．C 4－7＝－210B ．当m ，n 为正整数且m >n 时，C m n ＝0C ．当m 为正奇数时，C m －1＝－1D ．当n 为正整数时，C m －n ＝(－1)m C m n ＋m －1答案 BCD解析 选项A ，由题意，C 4－7＝－7(－7－1)(－7－2)(－7－3)4！＝210， 故A 不正确．选项B ，由C m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！， 当m ，n 为正整数且m >n 时，则n －m ≤－1，所以n －m ＋1≤0， 所以n ，n －1，n －2，…，n －m ＋1这m 个数中，一定有某个数为0，所以C m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！＝0， 故B 正确．选项C ，当m 为正奇数时，C m －1＝－1×(－2)…(－1－m ＋1)m ！＝－1×(－2)…(－m)m！＝－1，故C正确．选项D，当n为正整数时，C m－n＝－n(－n－1)(－n－2)…(－n－m＋1)m！＝(－1)mn(n＋1)(n＋2)…(n＋m－1)m！.C m n＋m－1＝(n＋m－1)(n＋m－2)…(n＋m－1－m＋1)m！＝(n＋m－1)(n＋m－2)…(n＋1)nm！.所以C m－n＝(－1)m C m n＋m－1，故选项D正确．16．某次灯谜大会共设置6个不同的谜题，分别藏在如图所示的6只灯笼里，每只灯笼里仅放一个谜题．并规定一名参与者每次只能取其中一串最下面的一只灯笼并解答里面的谜题，直到答完全部6个谜题，则一名参与者一共有种不同的答题顺序．答案60解析将6只灯笼全排，即A66，因为每次只能取其中一串最下面的一只灯笼内的谜题，每次取灯的顺序确定，取谜题的方法有A66A33·A22＝60(种)．。
高考总复习2025第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布领航 备考路径新课标核心考点2020202120222023Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷1.古典概型、排列组合第3题第6题 第5题第5题第13题第3题2.二项式定理 第13题3.正态分布、相互独立 第8题第6题 第13题4.概率分布列、期望、方差第18题第21题 第19题第21题第12题优化 备考策略1.概率与统计在高考命题中常整体统筹,本章在高考中至少命制一道客观题,对于解答题,要么倾向于考查概率和分布列,要么侧重成对数据的统计分析.有时也把二者综合命题.2.从考查内容上看,选择、填空题中主要考查排列组合、古典概型、条件概率、正态分布等.解答题常以现实生产、生活、科技等真实情境为背景,考查离散型随机变量分布列、期望、方差等,多与独立事件、超几何分布、二项分布等交汇,难度中高等.3.核心素养:数学建模、数据分析、逻辑思维、数学运算等.本章的复习建议(1)重视条件概率与全概率公式等新增知识,在理解的基础上能熟练运用相关公式计算.(2)本部分题目多以实际问题为背景,一般阅读量较大,需要重视阅读理解训练,抓住材料本质,提炼关键内容,通过数学建模达到处理题目信息的目的.(3)提升运算正确率,理清几种特殊分布,尤其是二项分布和超几何分布,平时多注意数学运算的训练,力求会的题目做对.第1节 排列与组合课标解读1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理,能正确区分“类”和“步”.2.能利用两个原理解决一些简单的实际问题.3.理解排列、组合的概念.4.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.5.能利用排列数和组合数公式解决一些简单的实际问题.强基础 固本增分知识梳理1.两个基本计数原理名称分类加法计数原理分步乘法计数原理条件完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法结论完成这件事共有N=__________种不同的方法完成这件事共有N=__________种不同的方法依据能否独立完成整件事能否逐步完成整件事推广完成一件事有n类不同方案,在第1类方案中有m1种不同的方法,在第2类方案中有m2种不同的方法, ……,在第n类方案中有m n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+…+m n种不同的方法完成一件事需要n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法,……,做第n步有m n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×…×m n种不同的方法类类独立,不重不漏步步相依,步骤完整m+n m×n微点拨1.在分类加法计数原理中,完成一件事的各种方法是相互独立的.从集合角度看,如果完成一件事有A,B两类方案,集合A与B的交集为空集,在A 中有m1个元素(m1种方法),在B中有m2个元素(m2种方法),则完成这件事的不同方法的种数即为集合A∪B中元素的个数,即m1+m2.2.在分步乘法计数原理中,必须且只需连续完成n个步骤后才能完成这件事,各个步骤之间不重复、不遗漏.2.排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照__________排成一列组合作为一组微点拨定义中规定m≤n,如果m<n,则这样的排列只是取一部分元素作排列,叫做选排列;如果m=n,则这样的排列是取出所有元素作排列,叫做全排列.微思考排列问题与组合问题的区别是什么?一定的顺序提示元素之间与顺序有关的为排列,与顺序无关的为组合.3.排列数与组合数 是符合条件的排列的总数,是一个实数常用此性质计算组合数不同排列 不同组合n ! 1自主诊断题组一 思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.在分类加法计数原理中,每类方案中的每种方法都能直接完成这件事.( )2.所有元素完全相同的两个排列为相同排列.( )3.在分步乘法计数原理中,事情是分两步完成的,其中任何一个单独的步骤都能完成这件事.( )4.若组合式 ,则一定有x =m 成立.( )√× × ×题组二回源教材5.(人教A版选择性必修第三册习题6.1第2题改编)如图,从甲地到乙地有3条路,从乙地到丁地有2条路;从甲地到丙地有2条路,从丙地到丁地有4条路.则D从甲地到丁地不同的路线有( )A.11条B.12条C.13条D.14条解析从甲地到丁地分为两类,第1类,从甲地过乙地到丁地分两步,从甲地到乙地有3条路,从乙地到丁地有2条路,由分步乘法计数原理得,从甲地到丁地有6种走法;第2类,从甲地过丙地到丁地分两步,从甲地到丙地有2条路,从丙地到丁地有4条路,由分步乘法计数原理得,从甲地到丁地有8种走法.再由分类加法计数原理得,从甲地到丁地共有6+8=14种走法.6.(人教A版选择性必修第三册6.2.3节例5改编)平面内有A,B,C,D共4个点.12以其中2个点为端点的有向线段共有__________条;以其中2个点为端点的6线段共有__________条.7.(人教A版选择性必修第三册6.2.4节例7改编)在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这100件产品中任意抽出3件,至少有1件是次品的抽法有9604__________种.解析抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数,就是从100件产品中抽出3件的抽法种数减去3件都是合格品的抽法种数,即题组三连线高考8.(2023·全国乙,理7)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种,则这C两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有( )A.30种B.60种C.120种D.240种9.(2022·新高考Ⅱ,5)甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站B在两端,丙和丁相邻的不同排列方式有( )A.12种B.24种C.36种D.48种研考点 精准突破考点一 两个计数原理的应用例1(1)三个人踢毽子,互相传递,每人每次只能踢一下,由甲开始踢,经过4次传递后,毽子又被踢回给甲,则不同的传递方式共有( )A .4种B .6种C .10种D .16种B 解析 分两类:第一类,甲第一次踢给乙,有3种满足条件的传递方式(如图);第二类,甲第一次踢给丙,满足条件的也有3种传递方式,由分类加法计数原理,可知不同传递方式的种数为3+3=6.(2)(2024·湖南长郡中学月考)如图,用4种不同的颜色,对四边形中的四个区域进行着色,要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色,则不同的着色方C法种数为( )A.72B.56C.48D .36解析将四个区域标记为A,B,C,D,如图所示.可以分四个步骤完成:第1步,涂A,有4种涂法;第2步,涂B,有3种涂法;第3步,涂C,有2种涂法;第4步,涂D,有2种涂法,根据分步乘法计数原理可知,共有4×3×2×2=48种着色方法.(3)有六名同学报名参加三个智力项目,每项限报一人,且每人至多参加一120项,则共有__________种不同的报名方法.解析每项限报一人,且每人至多参加一项,因此可由项目选人,第一个项目有6种选法,第二个项目有5种选法,第三个项目有4种选法,根据分步乘法计数原理,可得不同的报名方法共有6×5×4=120(种).变式探究1(变条件)例题(3)中若将条件“每项限报一人,且每人至多参加一项”改为“每人恰好参加一项,每项人数不限”,则有多少种不同的报名方法?解每人都可以从这三个比赛项目中选报一项,各有3种不同的报名方法,根据分步乘法计数原理,可得不同的报名方法种数共有36=729.变式探究2(变条件)例题(3)中若将条件“每项限报一人,且每人至多参加一项”改为“每项限报一人,但每人参加的项目不限”,则有多少种不同的报名方法?解每人参加的项目不限,因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参加,根据分步乘法计数原理,可得不同的报名方法种数共有63=216.[对点训练1](1)(2024·安徽黄山模拟)由0,1,2,3,5组成的无重复数字的五位A偶数共有( )A.42个B.48个C.54个D.120个解析可以分为三类.第1类,若五位数的个位数是0,则可以组成n1=4×3×2×1=24个五位偶数;第2类,若五位偶数的个位数是2,由于0不排首位,因此首位只有1,3,5这3种情形,中间的三个位置有3×2×1=6种情形,依据分步乘法计数原理,可得n2=3×6=18种情形.由分类加法计数原理可得,所有无重复数字的五位偶数的个数为N=n1+n2=24+18=42.(2)(2024·江苏宿迁模拟)如图,一条电路从A处到B处接通时,可以有9__________条不同的线路(每条线路仅含一条通路).解析依题意按上、中、下三条线路可分为三类:上线路中有2条;中线路中只有1条;下线路中有2×3=6条.根据分类加法计数原理,共有2+1+6=9条不同的路线.考点二 排列问题例2有3名男生,4名女生,在下列不同要求下,求不同的排列方法总数:(1)选其中5人排成一排;(2)全体排成一排,甲不站在排头也不站在排尾;(3)全体排成一排,女生必须站在一起;(4)全体排成一排,男生互不相邻.[对点训练2](多选题)(2024·云南楚雄模拟)A,B,C,D,E五个人并排站在一起,AC则下列说法正确的有( )A.若A,B两人站在一起有48种方法B.若A,B两人不相邻,共有12种方法C.若A在B左边有60种排法D.若A不站在最左边,B不站最右边,有72种方法考点三 组合问题例3男运动员6名,女运动员4名,其中男、女队长各1名.现选派5人外出参加比赛,在下列情形中各有多少种选派方法?(1)男运动员3名,女运动员2名;(2)至少有1名女运动员;(3)队长中至少有1人参加.[对点训练3]某市工商局对35种商品进行抽样检查,已知其中有15种不合格商品,现从35种商品中选取3种.(1)其中某一种不合格商品必须在内,不同的取法有多少种?(2)其中某一种不合格商品不能在内,不同的取法有多少种?(3)恰有2种不合格商品在内,不同的取法有多少种?(4)至少有2种不合格商品在内,不同的取法有多少种?考点四 分组、分配问题例4按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?(1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;(2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;(3)平均分成三份,每份2本;(4)平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;(5)分成三份,1份4本,另外两份每份1本.考点一考点二考点三考点四规律方法分组、分配问题的一般解题思路是先分组再分配:(1)分组问题属于“组合”问题.①对于整体均分,不管它们的顺序如何,都是一 种情况,所以分组后一定要除以组数的阶乘;②对于部分均分,即若有 m 组元素个数相同, 则分组时应除以m!;③对于不等分组,只需先分组,后排列.(2)分配问题属于“排列”问题.①相同元素的“分配”问题,常用的方法是采用 “挡板法”;②不同元素的“分配”问题,利用分步乘法计数原 理,分两步完成,第一步是分组,第二步是分配;③有限制条件的分配问题常采用分类法求解.考点一考点二考点三考点四[对点训练4](1)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排3名,乙场馆安排1名,丙场馆安排2名,则不同的安排方法共有( )A .120种B .90种C .80种D .60种D (2)甲、乙、丙3家公司承包了6项工程,每家公司承包2项,则不同的承包方案有__________种.90。
