(4)正弦函数、余弦函数的图像和性质练习题

B
y 1
7 6
描图：用光滑曲线 将这些正弦线的终 点连结起来
3 2 11 6
O1
A O
-1
6
3
2
2 3
5 6

4 3
5 3
2
x
y=sinx ( x [0, 2 ] )
问题2:如何画函数y =sinx(x∈R)的图象?
f ( x 2k ) f ( x)
利用图象平移
(1)写出满足不等式cos x 0, x 0,2 的x的取值集合；
1 (2)写出满足不等式 sin x , x 0,2 的x的取值集合； 2
练习讲解： (1)写出满足不等式cos x 0, x 0,2 的x的取值集合；
y 1
2

o -1
2

3 2

y
1
2
o
-1
2

3 2
2
x
y cos x

y 1
2
o -1
2

3 2
2
x
例2.画出函数
x
0
y 1
y cos x，x [0,2 ] 的简图： 3
2
0 0

cosx - cosx
1 -1
-1 1
2 0 0

2
1 -1
y=cosx，x[0, 2]
2
几何画法
五点描图法
2.注意与诱导公式、三角函数线等知识的联系
y 1
2
y=cosx，x [0, 2π]
2
o -1

3 2
2
x
y=sinx，x [0, 2π]

二．基本训练
1、（1）（2008浙江卷5）在同一平面直角坐标系中，函数 的图象和直线 的交点个数是(D)
（A）0（B）1（C）2（D）4
（2）、函数 单调增区间是（A）
A[2kπ- ,2kπ＋ ］（k∈Z）B．［2kπ＋ ，2kπ＋ ］（k∈Z）
C．［2kπ－π，2kπ］（k∈Z）D．［2kπ，2kπ＋π］（k∈Z）
2.（1）已知f（x）的定义域为［0，1］，则f（cosx）的定义域是[2kπ- ,2kπ＋ ］
（2）函数y=｜sin（2x+ ）｜的最小正周期是
三．典例解析
例1、求函数）y= sin（ － ）的单调递增区间：
例2、（2008北京卷）．已知函数 （ ）的最小正周期为 ．
（Ⅰ）求 的值；（Ⅱ）求函数 在区间 上的取值范围．
8、（2008湖南卷）函数 在区间 上的最大值是(C)
A.1B. C. D.1+
9、函数y＝ 的最大值是（B）
A． －1B． ＋1C．1－ D．－1－
10、（2001上海春）关于x的函数f（x）=sin（x+ ）有以下命题：
①对任意的 ，f（x）都是非奇非偶函数；
②不存在 ，使f（x）既是奇函数，又是偶函数；
①图象 关于直线 对称；②图象 关于点 对称；
③函数 在区间 内是增函数；
④由 的图角向右平移 个单位长度可以得到图象 ．
6．函数 的图象向右平移 （ ）个单位，得到的图象关于直线 对称，则 的最小值全国卷II）函数y＝sin2xcos2x的最小正周期是(D)
（A）2π（B）4π（C）（D）
化简完是
三角函数的图象与性质
一．要点精讲
1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像

正弦函数、余弦函数的图象和性质（一）●作业导航掌握用“五点法”画正弦函数图象，掌握正弦函数的定义域、值域、最大值和最小值、周期、奇偶性、单调性．一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．函数f (x )＝sin(5x ＋27π)是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数 2．下列函数中，最小正周期为π的偶函数是( )A ．y ＝sin2xB ．y ＝cos 2xC ．y ＝sin2x ＋cos2xD ．y ＝x x22tan 1tan1+- 3．y ＝3sin|x |，x ∈R 的值域为( ) A ．(0，3) B ．［0，3］ C ．(-3，3) D ．［-3，3］4．设函数f (x )是周期为2T 的函数，若f (x )定义域为R ，且图象关于直线x ＝T 对称，那么f (x )是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数5．已知f (x )＝122-a a(a x -a -x )，且0<a <1，那么，此函数的反函数是( ) A ．奇函数且为减函数 B ．偶函数且为减函数 C ．奇函数且为增函数D ．偶函数且为增函数二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．用“五点法”画函数y ＝2-sin x ，x ∈［0，2π］的图象时，五个关键点分别是________．2．函数y ＝1sin 2-x 的定义域是________．3．已知奇函数f (x )，当x >0时，f (x )＝x ＋cos x ，则x <0时，f (x )的解析式为________． 4．已知奇函数y ＝f (x )对一切x ∈R 满足f (x ＋1)＝f (x -1)，当x ∈［-1，0］时，f (x )＝3x＋94，则f (5log31)＝________．5．设函数y ＝f (x )是最小正周期为2的偶函数，它在区间［0，1］上的图象为线段AB ，如图，则在区间［1，2］上，f (x )的解析式为________．三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．求函数y ＝x xx sin 1cossin 22+⋅的最大值和最小值．2．把截面直径为40cm 的圆形木料锯成矩形木料，问如何选择矩形的尺寸，才能使得废弃的木料最少？3．若cos 2θ＋2msin θ-2m -2<0恒成立，试求实数m 的取值范围．4．求证：f (x )＝lg x x xx cos sin cos sin -+为奇函数．5．若(x ＋2y )3＋x 3＋2x ＋2y ＝0，求(x ＋y )10的值．参考答案一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．B 分析：sin(5x ＋27π)＝-cos5x ．2．D 分析：y ＝xx 22tan 1tan1+-＝cos2x ．3．D分析：y ＝3sin|x |＝⎩⎨⎧<-≥0sin 30sin 3x xx x ． -3≤3sin x ≤3，-3≤-3sin x ≤34．B 分析：∵ f (x )的图象关于x ＝T 对称 ∴ f (T -x )＝f (T ＋x ) ① 又f (x )的周期为2T∴ f (T ＋x )＝f (T ＋x -2T )＝f (x -T )②由①、②有f (T -x )＝f (x -T ) 令x -T ＝t ，则f (-t )＝f (t )对一切t ∈R 都成立∴ f (x )是偶函数．5．C 分析：∵ f (-x )＝122-a a(a -x -a x )＝-f (x )∴ f (x )为奇函数∵ g (x )＝a x 和ϕ(x )＝-(a 1)x 都是减函数，122-a a<0∴ f (x )＝122-a a［g (x )＋ϕ(x )］是增函数．二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．(0，2)，(2π，1)，(π，2)，(23π，3)，(2π，2)2．{x |6π＋2k π≤x ≤65π＋2k π，k ∈Z }分析：2sin x -1≥0 sin x ≥21由图象或单位圆可得6π＋2k π≤x ≤65π＋2k π，k ∈Z 3．x -cos x 分析：x <0，则-x >0 ∴ f (-x )＝-x ＋cos(-x )＝-x ＋cos x 又f (-x )＝-f (x )∴ -f (x )＝-x ＋cos x ∴ f (x )＝x -cos x (x <0)4．-1 分析：令t ＝x -1，即x ＝t ＋1 ∴ f (t )＝f (t ＋2)∴ f (x )是周期为2的函数∵ 5log31＝-log 35∵ 1<log 35<2 ∴ -1<log 35-2<0f (5log31)＝-f (log 35)1)9495()943(2log53-=+-=+-=- 5．x 分析：线段AB 的方程为 f (x )＝-x ＋2(0≤x ≤1)当1≤x ≤2时 0≤-x ＋2≤1 则有f (-x ＋2)＝-(-x ＋2)＋2＝x ．三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．解：y ＝xx x xxx sin 1)sin1(sin 2sin 1cossin 222+-=+⋅21)21(s i n 2)1)(s i n s i n 1(s i n 2s i n 1)s i n 1)(sin 1(sin 22+--=-≠-=+-+=x x x x x x x x∵ -1<sin x ≤1∴ -4<y ≤21∴ 当sin x ＝21时，即x ＝2k π＋6π或x ＝2k π＋65π，k ∈Z 时，y 有最大值21． ∵ sin x ≠-1∴ y 无最小值．2．解：如图，BD ＝40 cm ，设∠DBC ＝θ，矩形面积为S ，则S ＝40cos θ·40sin θ＝1600sin θcos θ＝800sin2θ 当sin2θ＝1时，即2θ＝90°，θ＝45°时 S 有最大值800 cm 2 ∴ 当矩形为正方形且边长为202cm 时，废弃的木料最少． 3．解：设sin θ＝t ，t ∈［-1，1］，要使cos 2θ＋2m sin θ-2m -2<0恒成立． 也就是t 2-2mt ＋2m ＋1>0，t ∈［-1，1］恒成立．设f (t )＝t 2-2mt ＋2m ＋1，对称轴方程为t ＝m ．(1)当t <-1时，只要f (-1)>0．即1＋2m ＋2m ＋1>0 m >-21这与m <-1矛盾，舍去 (2)当-1≤m ≤1时只要f (m )>0，即m 2-2m 2＋2m ＋1>0 m 2-2m -1<01-2<m <1＋2．∴ 1-2<m ≤1．(3)当m >1时，只要f (1)>0，即1-2m ＋2m ＋1>0．即2>0． ∴ m >1时，f (t )>0恒成立 综上(1)、(2)、(3)有m >1-2．4．证明：x x xx cos sin cos sin -+>01t a n 1t a n -+xx >0 (tan x ＋1)(tan x -1)>0 tan x >1或tan x <-1k π＋4π<x <k π＋2π，k ∈Z 或k π＋2π<x <k π＋43π，k ∈Z函数的定义域为{x |k π＋4π<x <k π＋2π或k π＋2π<x <k π＋43π，k ∈Z }，关于原点对称．)(c o ss i n c o s s i n lg)cos sin cos sin lg(cos sin cos sin lgcos sin sin cos lg )cos()sin()cos()sin(lg)(1x f x x x x xx x x xx x x x x x x x x x x x f -=-+-=-+=+-=---=----+-=--又∴ f (x )为奇函数．5．解：∵ (x ＋2y )3＋x 3＋2x ＋2y ＝0∴ (x ＋2y )3＋(x ＋2y )＝-(x 3＋x )①构造函数f(t)＝t3＋t(t∈R)f(-t)＝(-t)3＋(-t)＝-(t3＋t)＝-f(t)∴f(t)是奇函数∵g(t)＝t3，h(t)＝t为R上的增函数∴f(t)＝g(t)＋h(t)＝t3＋t为R上的增函数．由①得f(x＋2y)＝-f(x)＝f(-x)∴x＋2y＝-x∴x＋y＝0∴(x＋y)10＝0。

思考2:如何画函数y =sinx(x∈R)的图象?
y=sinx x[0,2]
sin(x+2k)=sinx, kZ
y
1
y=sinx xR
4 3 2
o 2 3 4 x
1
正弦函数y=sinx, xR的图象叫正弦曲线.
思考3：在精确度不是很高的情况下，观察图像
上的点可不可以通过一些特殊点来画它的图像。
2
3
1
4
. . .o1 .
. . . 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11
6
2
A o 2 5
6 32 3 6
x
4
7 -1
3
4
函数y=sinx,x[0,2]的图象
几何法作图
3 4
4 3
y
2
1 ●
●
6
●
O
63
● ●
2
23
●
7 4 3
63 2
5
●
6
●
5 3
11
6
2
●
x
●
7 -1
4
●
●
●
函数y=sinx,x[0,2]的图象
物理中把简谐运动的图像叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”
沙漏单摆 实验
正弦函数、余弦函数的图象
思考1：怎样精确的画出y=sinx在[0, 2π]的图像
复习正弦线、余弦线的概念
y α 的终边
正弦线 MP sin
余弦线 OM cos
P(x,y)
oMx
y=sinx y=cosx
(x∈R)
几何法作图
y
0