全等三角形几种类型

全等三角形几种类型 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 板块 考试要求 A级要求 B级要求 C级要求 全等三角形的性质及判定 会识别全等三角形 掌握全等三角形的概念、判定和性质，会用全等三角形的性质和判定解决简单问题 会运用全等三角形的性质和判定解决有关问题 全等三角形的认识与性质 全等图形： 能够完全重合的两个图形就是全等图形． 全等多边形： 能够完全重合的多边形就是全等多边形． 相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角． 全等多边形的对应边对应边、全等多边形的对应角相等． 如下图，两个全等的五边形，记作：五边形ABCDE≌五边形'''''ABCDE． 这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”． A'

B'C'D'

E'EDCB

A

全等三角形： 能够完全重合的三角形就是全等三角形． 全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等； 反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等． 全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等． 全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为“≌”． 全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角． (6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)． 要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．

全等三角形的判定方法： (1) 边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等． (4) 角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线． 判定三角形全等的基本思路： SASHLSSS 找夹角已知两边 找直角 找另一边

ASAAASSASAAS 边为角的对边→找任意一角→ 找这条边上的另一角→已知一边一角 边就是角的一条边 找这条边上的对角→

找该角的另一边→

ASAAAS 找两角的夹边已知两角 找任意一边

全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式： ⑴ 平移全等型

⑵ 对称全等型

⑶ 旋转全等型

由全等可得到的相关定理：

⑴ 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等． ⑵ 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上． ⑶ 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角)． ⑷ 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合． ⑸ 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)． ⑹ 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等． ⑺ 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．

与角平分线相关的问题 角平分线的两个性质： ⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等； ⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 它们具有互逆性． 角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式： 1． 由角平分线上的一点向角的两边作垂线， 2． 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形， 3． OAOB，这种对称的图形应用得也较为普遍，

ABOP POBAABOP 三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线 三角形中线的相关定理： 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半 等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合) 三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半． 中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边． 中线中位线相关问题(涉及中点的问题) 见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见． 重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定也是本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，HL的判定是整个直角三角形的重点 难点：本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用。为了能熟练的应用性质定理及其推论，要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚，哪几个是条件，决定哪个结论，如何用数学符号表示，即书写格式，都要在讲练中反复强化 板块一、全等三角形的认识与性质 【例1】 在AB、AC上各取一点E、D，使AEAD，连接BD、CE相交于O再连结AO、BC，若12，则图中全等三角形共有哪几对并简单说明理由．

21EODC

BA

【巩固】如图所示，ABAD，BCDC，EF、在AC上，AC与BD相交于P．图中有几对全等三角形请一一找出来，并简述全等的理由． 4

FAEP

D

C

B

板块二、三角形全等的判定与应用 【例2】 (2008年巴中市高中阶段教育学校招生考试)如图，ACDE∥，BCEF∥，ACDE．求证：AFBD．

FE

DCBA

【例3】 (2008年宜宾市)已知：如图，ADBC，ACBD，求证：CD． ODC

BA 【巩固】如图，AC、BD相交于O点，且ACBD，ABCD，求证：OAOD． AB

C

DO

【例4】 (哈尔滨市2008 年初中升学考试)已知：如图，B、E、F、C四点在同一条直线上，ABDC，BECF，BC．求证：OAOD．

FEODCBA 【例5】 已知，如图，ABAC，CEAB，BFAC，求证：BFCE． FE

CB

A

【例6】 E、F分别是正方形ABCD的BC、CD边上的点，且BECF．求证：AEBF．

PFE

DCBA

【巩固】E、F、G分别是正方形ABCD的BC、CD、AB边上的点，GEEF，GEEF．求证：BGCFBC．

GA

BCD

EF

【例7】 在凸五边形中，BE，CD，BCDE，M为CD中点．求证：AMCD．

MEDCBA

板块三、截长补短类 【例1】 如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点(点B除外)，作60DMN，射线MN与DBA∠外角的平分线交于点N，DM与MN有怎样的数量关系 6

NEBMA

D

【巩固】如图，点M为正方形ABCD的边AB上任意一点，MNDM且与ABC∠外角的平分线交于点N，MD与MN有怎样的数量关系

NCD

EBMA

【例2】 如图，AD⊥AB，CB⊥AB，DM=CM=a，AD=h，CB=k，∠AMD=75°，∠BMC=45°，则AB的长为 ( )

A. a B. k C. 2kh D. h

MDC

BA 【例3】 已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE. 求证：BE+DF=AE.

FE

DCBA

【例4】 如图所示，ABC是边长为1的正三角形，BDC是顶角为120的等腰三角形，以D为顶点作一个60的MDN，点M、N分别在AB、AC上，求AMN的周长． 7

NM

DCB

A

【例5】 五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：AD平分∠CDE

CEDB

A

板块四、与角平分线有关的全等问题 【例1】 如图，已知ABC的周长是21，OB，OC分别平分ABC和ACB，ODBC于D，且3OD，求ABC的面积．

【例2】 在ABC中，D为BC边上的点，已知BADCAD，BDCD，求证：ABAC．

【例3】 已知ABC中，ABAC，BE、CD分别是ABC及ACB平分线．求证：CDBE．

A D O C B

DCBA