江西省红色七校2020-2021学年高三3月第二次联考文综地理试卷及答案

江西省红色七校2020届高三第二次联考数学（理科）试题（分宜中学、会昌中学、莲花中学、南城一中、永新中学、瑞金一中、遂川中学） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数1z i =-+（i 是虚数单位），则z 的模为（ ） A. 0 B. 12 D. 2【答案】C 【解析】 【分析】根据模长的定义求得结果. 【详解】()221112z i =-+=-+=本题正确选项：C【点睛】本题考查复数模长的求解，属于基础题.2.已知全集U =R ，集合{1,0,1,2,3}A =-，{|2}B x x =，则()UA B =（ ）A. {1,0,1}-B. {1,0,1,2}-C. {|2}x x <D.{|12}x x -<【答案】A 【解析】 【分析】根据补集定义求得U C B ，再利用交集定义求得结果. 【详解】{}2U C B x x =< (){}1,0,1U A C B ∴=-本题正确选项：A【点睛】本题考查集合运算中的交集和补集运算问题，属于基础题. 3.命题“α∃∈R ，sin 0α=”的否定是（ ） A. α∃∈R ，sin 0α≠ B. α∀∈R ，sin 0α≠ C. α∀∈R ，sin 0α< D. α∀∈R ，sin 0α>【答案】B【分析】根据特称量词的否定得到结果.【详解】根据命题否定的定义可得结果为：R α∀∈，sin 0α≠ 本题正确选项：B【点睛】本题考查含量词的命题的否定问题，属于基础题. 4.下列函数中，既是奇函数又在(),-∞+∞上单调递增的是（ ） A. sin y x = B. y x =C. 3y x =-D. )lny x =【答案】D 【解析】 【分析】结合初等函数的奇偶性和单调性可排除,,A B C 选项；再根据奇偶性定义和复合函数单调性的判断方法可证得D 正确.【详解】sin x 不是单调递增函数，可知A 错误；x x -=，则函数y x =为偶函数，可知B 错误； 3y x =-在(),-∞+∞上单调递减，可知C 错误；)ln ln x x ⎫==-⎪⎭，则)lny x =为奇函数；当0x ≥x 单调递增，由复合函数单调性可知)lny x =在[)0,+∞上单调递增，根据奇函数对称性，可知在(),-∞+∞上单调递增，则D 正确. 本题正确选项：D【点睛】本题考察函数奇偶性和单调性的判断，属于基础题.5.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，42S S =2，则数列{}n a 的公比q =（ ） A. -1 B. 1C. ±1D. 2【答案】C 【解析】分别在1q =和1q ≠列出4S 和2S ，构造方程求得结果. 【详解】当1q =时，41124222S a a S ==⨯=，满足题意 当1q ≠时，由42S S =2得：()()421112111a q a q qq--=--，即212q+=，解得：1q =-综上所述：1q =± 本题正确选项：C【点睛】本题考查等比数列基本量的求解问题，易错点是忽略1q =的情况造成求解错误.6.过椭圆2212516x y +=的中心任作一直线交椭圆于P ,Q 两点,F 是椭圆的一个焦点,则PFQ △的周长的最小值为（ ）A. 12B. 14C. 16D. 18【答案】D 【解析】 【分析】记椭圆的另一个焦点为1F ,则1QF PF =,由1+2PF PF a =,PQ 2b ≥,即可求出PQF ∆周长的最小值．【详解】如图所示,记椭圆的另一个焦点为1F ,则根据椭圆的对称性知道:1QF PF = ,2PQ PO =,设(cos ,sin )P a b θθ ,则222222222=cos +sin =()cos +PO a b a b b θθθ-,又因220a b ->,2cos 0θ≥,所以22PO b ≥,即PO b ≥,22PQ PO b =≥．所以PQF ∆的周长为122210818QF PF PQ PF PF PQ a PQ a b ++=++=+≥+=+=故选：D【点睛】本题考查椭圆内焦点三角形的周长的最值问题,熟练掌握椭圆的第一定义是解本题的关键,属于基础题．7.把标号为1，2，3，4的四个小球分别放入标号为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子只放一个小球，则1号球不放入1号盒子的方法共有（ ） A. 18种 B. 9种C. 6种D. 3种【答案】A 【解析】 【分析】先确定1号盒子的选择情况，再确定2、3、4号盒子的选择情况，根据分步计数原理即可求解．【详解】由于1号球不放入1号盒子，则1号盒子有2、3、4号球三种选择，还剩余三个球可以任意放入2、3、4号盒子中，则2号盒子有三种选择，3号盒子还剩两种选择，4号盒子只有一种选择，根据分步计数原理可得1号球不放入1号盒子的方法有111332118C C C ⋅⋅⋅=种． 故答案选A ．【点睛】本题考查排列组合问题，对于特殊对象优先考虑原则即可求解，属于基础题．8.为检测某药品服用后的多长时间开始有药物反应，现随机抽取服用了该药品的1000人，其服用后开始有药物反应的时间（分钟）与人数的数据绘成的频率分布直方图如图所示.若将直方图中分组区间的中点值设为解释变量x （分钟），这个区间上的人数为y （人），易见两变量x ，y 线性相关，那么一定在其线性回归直线上的点为（ ）A. ()1.5,0.10B. ()2.5,0.25C. ()2.5,250D. ()3,300【答案】C 【解析】 【分析】写出四个区间中点的横纵坐标，从而可求出 2.5x =，250y =，进而可选出正确答案.【详解】解：由频率分布直方图可知， 第一个区间中点坐标，111.0,0.101000100x y ==⨯=，第二个区间中点坐标，222.0,0.211000210x y ==⨯=， 第三个区间中点坐标，333.0,0.301000300x y ==⨯=， 第四个区间中点坐标，444.0,0.391000390x y ==⨯=， 则()12341 2.54x x x x x =+++=，()123412504y y y y y =+++=， 则一定在其线性回归直线上点为(),x y ()2.5,250=.故选:C.【点睛】本题考查了频率分布直方图，考查了线性回归直线方程的性质.本题的关键是利用线性回归直线方程的性质，即点(),x y 一定在方程上.9.单位正方体111ABCD A B C O -在空间直角坐标系中的位置如图所示，动点(),,0M a a ，()0,,1N b ，其中01a <≤，01b ≤≤，设由M ，N ，O 三点确定的平面截该正方体的截面为E ，那么（ ）A. 对任意点M ，存在点N 使截面E 为三角形B. 对任意点M ，存在点N 使截面E 为正方形C. 对任意点M 和N ，截面E 都为梯形D. 对任意点N ，存在点M 使得截面E 为矩形 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得：动点(),,0M a a 且01a <≤，即动点在线段1OB （除端点O ）上的动点，()0,,1N b 且01b ≤≤，即动点N 在线段DC 上的动点，M ，N ，O 三点确定的平面截该正方体的截面为E 都过直线1OB ，可以通过特殊点即端点来判断即可. 【详解】由题意可得：动点(),,0M a a 且01a <≤， 即动点M 在线段1OB （除端点O ）上的动点，()0,,1N b 且01b ≤≤，即动点N 在线段DC 上的动点，所以任意点M ，由M ，N ，O 三点确定的平面截该正方体的截面为E 都过直线1OB ， 当点N 与C 重合时，截面E 为三角形，因此A 选项正确； 当点N 与D 重合时，截面E 为矩形，当点N 不与端点C 、D 重合时，截面E 为等腰梯形， 所以,B C 选项错误；只有当点N 与D 重合时，截面E 为矩形，所以D 选项错误； 故选：A【点睛】本题考查了用不同的平面去截正方体所得到的截面，考查了学生的空间想象能力，属于一般题.10.设4log 3a =，5log 2b =，8log 5c =，则（ ） A. a b c << B. b c a << C. b a c << D. c a b <<【答案】B 【解析】 【分析】 由4lg 27log 3lg 64a ==，8lg 25log 5lg 64c ==比较a 、c 的大小，利用中间量12比较b 、c ，从而得解． 【详解】27464lg 27log 3log lg 64a ===，25864lg 25log 5log lg 64c ===， ∴ 3548log log > ，即a c > ，2<，5>，∴581log 2c =>=251log 2b =<= ， ∴5285log log >，即c b > ，∴352485log log log >> ，即a c b >>．故答案选B ．【点睛】本题主要考查了对数函数单调比较大小，解题关键是找到合适的中间变量进行大小比较，有一定难度．11.已知F 是双曲线22:22-1x y E a b= (0,0)a b >>左焦点，过点F 且倾斜角为30°的直线与曲线E 的两条渐近线依次交于A ，B 两点，若A 是线段FB 的中点，且C 是线段AB 的中点，则直线OC 的斜率为（ ）A. C. - D. 【答案】D【解析】 【分析】联立直线和渐近线方程求得,A B 纵坐标，根据2B A y y =可得,a b 之间的关系，从而可用a 表示出,A B 坐标，利用中点坐标公式得到C ，从而求得斜率. 【详解】由题意知，双曲线渐近线为：b y x a=±设直线方程为：)y x c =+由)y x c b y x a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得：A c y a b=；同理可得：Bc y a b = A 是FB 中点 2B A y y ∴=b ⇒=2c a ⇒=A y ∴=，B y = 12A x a ⇒=-，B x a =24A B C x x ax +∴==，2A B C y y y +==COC Cy k x ∴== 本题正确选项：D【点睛】本题考查双曲线几何性质的应用，关键是能够通过中点的关系得到关于交点纵坐标之间的关系，从而求解出,,a b c 之间的关系.12.函数11()sin x x f x e e a x π--+=-+（x ∈R ，e 是自然对数的底数，0a >）存在唯一的零点，则实数a 的取值范围为( ) A. 20,π⎛⎤ ⎥⎝⎦B. 20,π⎛⎫ ⎪⎝⎭C. (0,2]D. (0,2)【答案】A 【解析】 【分析】函数11()sin (x x f x e e a x x R π--+=-+∈，e 是自然对数的底数，0)a >存在唯一的零点等价于函数()sin x a x ϕπ= 与函数11()x x g x e e --=-只有唯一一个交点，由()10ϕ=，()10g =，可得函数()sin x a x ϕπ= 与函数11()x x g x e e --=-唯一交点为(1,0)，()g x 的单调，根据单调性得到()x ϕ与()g x 的大致图象，从图形上可得要使函数()sin x a x ϕπ= 与函数11()x x g x e e --=-只有唯一一个交点，则()()11g ϕ''，即可解得实数a 的取值范围．【详解】解：函数11()sin (x x f x e e a x x R π--+=-+∈，e 是自然对数的底数，0)a >存在唯一的零点等价于：函数()sin x a x ϕπ= 与函数11()x x g x e e --=-只有唯一一个交点，()10ϕ=，()10g =，∴函数()sin x a x ϕπ= 与函数11()x x g x e e --=-唯一交点为(1,0)，又11()x x g x e e --'=--，且10x e ->，10x e ->，11()x x g x e e --∴'=--在R 上恒小于零，即11()x x g x e e --=-在R 上为单调递减函数，又()sin x a x ϕπ= (0)a >是最小正周期为2，最大值为a 的正弦函数，∴可得函数()sin x a x ϕπ= 与函数11()x x g x e e --=-的大致图象如图：∴要使函数()sin x a x ϕπ= 与函数11()x x g x e e --=-只有唯一一个交点，则()()11g ϕ''，()1cos a a ϕπππ'==-， ()111112g e e --'=--=-，2a π∴--，解得2aπ，又0a >，∴实数a 的范围为20,π⎛⎤⎥⎝⎦．故选：A ．【点睛】本题主要考查了零点问题，以及函数单调性，解题的关键是把唯一零点转化为两个函数的交点问题，通过图象进行分析研究，属于难题． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.在ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C =+-，则角A 的大小为____． 【答案】3π 【解析】 【分析】根据正弦定理化简角的关系式，从而凑出cos A 的形式，进而求得结果. 【详解】由正弦定理得：222a b c bc =+-，即222b c a bc +-=则2221cos 22b c a A bc +-== ()0,A π∈ 3A π∴=本题正确结果：3π【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形问题，属于基础题.14.已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，且()f x 在[0,)+∞上单调递增，则不等式(21)(2)f x f x ->-的解集为____．【答案】()(),11,-∞-+∞【解析】 【分析】利用偶函数关于y 轴对称，又由()f x 在[0,)+∞上单调递增，将不等式(21)(2)f x f x ->-转化为212x x ->- ，即可解得(21)(2)f x f x ->-的解集． 【详解】函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，∴(21)(2)f x f x ->-可转化为(21)(2)f x f x ->-，又()f x 在[0,)+∞上单调递增，∴ (21)(2)212f x f x x x ->-⇔->-，两边平方解得：(,1)(1,)x ∈-∞-⋃+∞ ，故(21)(2)f x f x ->-的解集为(,1)(1,)x ∈-∞-⋃+∞．【点睛】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合运用，根据函数奇偶性和单调之间的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．15.已知各项都为正数的数列{}n a ，其前n 项和为n S ，若()241n n S a =+，则n a =____.【答案】21n - 【解析】 【分析】利用11n n n a S S ++=-得到递推关系式，整理可知12n n a a +-=，符合等差数列定义，利用()21141S a =+求出1a 后，根据等差数列通项公式求得结果.【详解】由题意得：()21141n n S a ++=+ 则()()2211144411n n n n n S S a a a +++-==+-+ 即()()()2211112n n n n n n n n a a a a a a a a ++++-=+-=+{}n a 各项均为正数，即10n n a a ++≠ 12n n a a +∴-=由()21141S a =+得：11a =∴数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列()11221n a n n ∴=+-⨯=-本题正确结果：21n -【点睛】本题考查数列通项公式的求解，关键是能够利用11n n n a S S ++=-证明出数列为等差数列，进而根据等差数列的通项公式求得结果.16.A ，B 为单位圆（圆心为O ）上的点，O 到弦AB 的距离为32，C 是劣弧AB （包含端点）上一动点，若OC OA OB λμ=+ (,)R λμ∈，则λμ+的取值范围为___.【答案】231,⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，其中AB 与y 轴垂直，故C 的坐标可以用,λμ表示为3(),22μλλμ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，由C 在单位圆上可得λμ+的取值范围． 【详解】如图以圆心O 为坐标原点建立直角坐标系，设A ，B 两点在x 轴上方且线段AB 与y 轴垂直，A ，B 为单位圆（圆心为O ）上的点，O 到弦AB 的距离为32所以点13,22A ⎛- ⎝⎭ ，点13,22B ⎛ ⎝⎭， 故132OA ⎛=- ⎝⎭，132OB ⎛= ⎝⎭，即32OA λλλ⎛=- ⎝⎭，32OB μμμ⎛= ⎝⎭，所以 3()2OC OA OB μλλμλμ⎛-+=+= ⎝⎭， 又 C 是劣弧AB （包含端点）上一动点, 设点C 坐标为(,)x y ，故11221x y ⎧-≤≤⎪⎪≤≤ ，因为(,)2OC OA OB x y μλλμ⎛-=+== ⎝⎭，1≤≤，解得：13λμ≤+≤， 故λμ+的取值范围为1,3⎡⎢⎣⎦．【点睛】本题考查向量的线性运算中的最值问题，可根据图形的的特点建立合适的平面直角坐标系，把向量的最值问题转化为函数的最值问题．三、解答题：本大题共6个大题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知函数21()cos cos 2f x x x x ωωω=-+(0)>ω，1x ，2x 是函数()f x 的零点，且21x x -的最小值为2π. （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）设,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若13235f πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，15521213f πβ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，求cos()αβ-的值. 【答案】(Ⅰ) 1ω= (Ⅱ) ()56cos 65αβ-= 【解析】 【分析】(Ⅰ)利用二倍角公式和辅助角公式整理出()sin 26f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭，根据周期求得ω；(Ⅱ)根据()f x 解析式可求解出cos α，sin β；再利用同角三角函数关系求出sin α，cos β；代入两角和差余弦公式求得结果.【详解】(Ⅰ)()211cos 21cos cos 22222x f x x x x x ωωωωω+=-+=-+ 12cos 2sin 226x x x πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭21x x -的最小值为2π 22T π∴=,即22T ππω== 1ω∴= (Ⅱ)由(Ⅰ)知：()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭123sin sin cos 233625f ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+-=+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1555sin sin sin 2126613f πππβββπβ⎛⎫⎛⎫-=--=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 5sin 13β∴= 又,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭4sin 5α∴=，12cos 13β= ()3124556cos cos cos sin sin 51351365αβαβαβ∴-=+=⨯+⨯=【点睛】本题考查三角函数解析式的求解及应用问题，关键是考查学生对于二倍角公式、辅助角公式、同角三角函数关系以及两角和差公式的掌握情况，考查学生的运算能力，属于常规题型.18.某厂包装白糖的生产线，正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布()2500,5N （单位：g ）.（Ⅰ）求正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于485g 的概率约为多少？（Ⅱ）该生产线上的检测员某天随机抽取了两包白糖，称得其质量均小于485g ，检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理巾.附：()2~,X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-+≈，(22)0.9544P X μσμσ-+≈，(33)0.9974P X μσμσ-+≈.【答案】（Ⅰ）0.0013 （Ⅱ）见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）由正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布()2500,5N （单位：g ），要求得正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于485g 的概率，化为(3,3)μσμσ-+的形式，然后求解即可;（Ⅱ）由（Ⅰ）可知正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于485g 的概率为0.0013，可求得随机抽取两包检查，质量都小于485g 的概率几乎为零，即可判定检测员的判断是合理的． 【详解】解：（Ⅰ）设正常情况下，该生产线上包装出来的白糖质量为Xg ，由题意可知(,)XN 25005．由于=-⨯48550035，所以根据正态分布的对称性与“3σ原则”可知()(()..P X P X <=--⨯≤≤+⨯≈⨯=1148515003550035000260001322.(Ⅱ)检测员的判断是合理的.因为如果生产线不出现异常的话，由（Ⅰ）可知，随机抽取两包检查，质量都小于485g 的概率约为....-⨯==⨯6000130001300000016916910，几乎为零，但这样的事件竟然发生了，所以有理由认为生产线出现异常，检测员的判断是合理的.【点睛】本题主要考查了正态分布中3σ 原则，考查基本分析应用的能力，属于基础题． 19.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，1AA AB =，D 为1BB 的中点.（I ）若E 为1AB 上的一点，且DE 与直线CD 垂直，求11EB AB 的值；（Ⅱ）在（I ）的条件下，设异面直线1AB 与CD 所成的角为45°，求直线DE 与平面11AB C 成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）见证明；25【解析】 【分析】（Ⅰ）取AB 中点M ,连接CM MD ，，证明DE CMD ⊥ ，即可说明1DE AB ⊥，由底面为正方形，可求得EBAB =1114; （Ⅱ）以M 为坐标原点，分别以,,MA MO MC 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，求得各点的坐标，以及平面11AB C 的法向量为n ，根据线面所成角的正弦值的公式即可求解． 【详解】（Ⅰ）证明：取AB 中点M ,连接CM MD ，,有//MD AB 1,因为AC BC =，所以CM AB ⊥, 又因为三棱柱111ABC A B C =为直三棱柱， 所以ABC ABB A ⊥11平面平面, 又因为=ABCABB A AB 11平面平面,所以CM ABB A ⊥11平面， 又因为11DE ABB A ⊂平面 所以CM DE ⊥ 又因为,DE CD CDMD D ⊥=,CD ⊂平面CMD ,CM ⊂平面CMD ,所以DE CMD ⊥平面，又因为MD ⊂平面CMD , 所以DE MD ⊥, 因为//MD AB 1， 所以1DE AB ⊥,连接1A B ,设11A B AB O ⋂=，因为11ABB A 为正方形，所以11A B AB ⊥,又因为,,DE AA B B A B AA B B ⊂⊂平面平面11111 所以1//DE A B , 又因为D 为1BB 的中点， 所以E 为1OB 的中点,所以EB AB =1114. （Ⅱ）如图以M 为坐标原点，分别以,,MA MO MC 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系， 设2AB a =,由（Ⅰ）可知CDM ∠=45， 所以AB a =122， 所以DM CM a ==2,所以(,,),(,,),(,),(,,),(,,)A a B a a C a a D a a E a a ---111300*********, 所以(,,),(,,),(,,)AB a a B C a a DE a a =-==1111122002022， 设平面11AB C 的法向量为()x,y,z =n ，则1110,0AB n B C n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即220,20x y x z -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 则n 的一组解为(2,2,1)n =-．所以cos ,DE DE DE →⋅===⨯225252n n n所以直线DE 与平面11AB C . 【点睛】本题主要考查线面垂直的证明、中位线定理以及利用空间向量求线面角的正弦值，考查了学生空间想象能力和计算能力，属于中档题．20.已知抛物线2:2C x py =(0)p >，其焦点到准线的距离为2，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线C 的切线1l ，2l ，1l 与2l 交于点M .（Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）若12l l ⊥，求MAB △面积的最小值. 【答案】(Ⅰ) 2p = (Ⅱ) 最小值4. 【解析】 【分析】(Ⅰ)根据抛物线的性质即可得到结果；(Ⅱ)由直线垂直可构造出斜率关系，得到124x x =-，通过直线与抛物线方程联立，根据根与系数关系求得m ；联立两切线方程，可用k 表示出M ，代入点到直线距离公式，从而得到关于面积的函数关系式，求得所求最值. 【详解】(Ⅰ)由题意知，抛物线焦点为：0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为：2p y =- 焦点到准线的距离为2，即2p =. (Ⅱ)抛物线的方程为24x y =，即214y x =，所以12y x '= 设()11,A x y ，()22,B x y ，()21111:42x x l y x x -=- ()22222:42x x l y x x -=-由于12l l ⊥，所以12122x x ⋅=-，即124x x =- 设直线l 方程为y kx m =+，与抛物线方程联立，得24y kx mx y=+⎧⎨=⎩所以2440x kx m --= 216160k m ∆=+>，12124,44x x k x x m +==-=-，所以1m =即:1l y kx =+联立方程2112222424x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得：21x k y =⎧⎨=-⎩，即：()2,1M k - M 点到直线l的距离d ==()241AB k ==+所以()()32221414142S k k =⨯+=+≥当0k =时，MAB ∆面积取得最小值4【点睛】本题考查抛物线的性质的应用、抛物线中三角形面积最值的求解，关键是能够将所求面积表示为关于斜率的函数关系式，从而利用函数最值的求解方法求出最值. 21.已知1x =是函数2()ln 2xf x ax x x =+-的极值点. （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）求证：函数()f x 存在唯一的极小值点0x ，且()07160f x <<. （参考数据：ln 20.69≈，4516e 7<，其中e 为自然对数的底数） 【答案】(Ⅰ) 14a = (Ⅱ)见证明 【解析】 【分析】(Ⅰ)根据'(1)0f =，求得实数a 的值，通过导数验证函数单调，可知时14a =极值点为1x =，满足题意；(Ⅱ)由(Ⅰ) 函数()f x 的极小点值位于(2,)+∞ ，此时()g x 的零点位于,x ∈（）0742，且此0x 为()f x 的极小点值点，代入()g x ，()f x 中，化简即可得到()f x 关于0x 的二次函数，求解二次函数在区间,（）742上的值域即可证明结论．【详解】解：(Ⅰ)因为'()ln f x ax x =--122，且1x = 是极值点，所以'()f a =-=11202，所以14a = . 此时'()ln x f x x =--122 ，设()'()g x f x = ，则'()x g x x x-=-=11222 .则当02x << 时，'()()g x g x <，0 为减函数. 又(1)()ln g g ==-<，102202， 所以在01x <<时，()0>g x ，()f x 为增函数；12x << 时，()0<g x ，()f x 为减函数.所以1x =为()f x 的极大值点，符合题意.（Ⅱ）当2x > 时，'()0g x >，()g x 为增函数，且()ln g =->342202，(2)0g < 所以存在(),x x ∈=（）,00240g 当02x x << 时，()0<g x ，()f x 为减函数；0x x > 时，()0>g x ，()f x 为增函数，所以函数()f x 存在唯一的极小值点0x .又()ln g =-757242 ，已知e <54167 ，可得()ln e <⇒<54775422 ， 所以()g <702，所以x <<0742 ，且满足ln x x --=001022.所以()ln ()x x x f x x x x =+-=-+∈，2200000007042416.其中0()0f x >也可以用如下方式证明：()ln (ln )x x f x x x x x x =+-=+-2114242 ，设()ln x h x x =+-142 ， 则'()x h x x x -=-=11444.则当04x << 时，'()0h x < ，()h x 为减函数；当4x > 时，'()0h x >，()h x 为增函数. 所以()()ln h x h ≥=->342202所以在()0f x > ，所以0()0f x >【点睛】本题考查利用函数极值与导数关系的综合应用问题，解决本题的关键是能够利用零点存在定理确定零点处理问题，从而可将证明问题转化为某一个区间内二次函数值域问题的求解，考查了学生基本计算能力以及转化与划归思想，属于难题． 四、选做题请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 过原点且倾斜角为02παα⎛⎫< ⎪⎝⎭.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=.在平面直角坐标系xOy 中，曲线2C 与曲线1C 关于直线y x =对称.（Ⅰ）求曲线2C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线2l 过原点且倾斜角为3πα+，设直线1l 与曲线1C 相交于O ，A 两点，直线2l 与曲线2C 相交于O ，B 两点，当α变化时，求AOB 面积的最大值.【答案】(Ⅰ) 2sin ρθ= +34【解析】【分析】(Ⅰ)法一：将1C 化为直角坐标方程，根据对称关系用2C 上的点表示出1C 上点的坐标，代入1C 方程得到2C 的直角坐标方程，再化为极坐标方程；法二：将y x =化为极坐标方程，根据对称关系将1C 上的点用2C 上的点坐标表示出来，代入1C 极坐标方程即可得到结果；(Ⅱ)利用1l 和2l 的极坐标方程与12,C C 的极坐标方程经,A B 坐标用α表示，将所求面积表示为与α有关的三角函数解析式，通过三角函数值域求解方法求出所求最值.【详解】(Ⅰ)法一：由题可知，1C 的直角坐标方程为：2220x y x +-=，设曲线2C 上任意一点(),x y 关于直线y x =对称点为()00,x y ， 所以00x y y x =⎧⎨=⎩ 又因为2200020x y x +-=，即2220x y y +-=，所以曲线2C 的极坐标方程为：2sin ρθ=法二：由题可知，y x =的极坐标方程为：4πθ=()R ρ∈， 设曲线2C 上一点(),ρθ关于4πθ= ()R ρ∈的对称点为()00,ρθ， 所以0024ρρθθπ=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 又因为002cos ρθ=，即2cos 2sin 2πρθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 所以曲线2C 的极坐标方程为：2sin ρθ=(Ⅱ)直线1l 的极坐标方程为：θα=，直线2l 的极坐标方程为：3πθα=+设()11,A ρθ，(),B ρθ22 所以2cos θαρθ=⎧⎨=⎩解得12cos ρα=，32sin πθαρθ⎧=+⎪⎨⎪=⎩解得22sin 3πρα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1211sin sin sin 2332AOB S ππρρααααα∆⎛⎫⎛⎫∴=⋅=⋅+=⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23πααα⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭因为：02πα≤<，所以42333πππα≤+< 当232ππα+=即12πα=时，sin 213πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，AOB S ∆取得最大值为：+324【点睛】本题考查轨迹方程的求解、三角形面积最值问题的求解，涉及到三角函数的化简、求值问题.求解面积的关键是能够明确极坐标中ρ的几何意义，从而将问题转化为三角函数最值的求解.【选修4-5：不等式选讲】23.选修4-5：不等式选讲已知函数()1f x x x a =+++.（Ⅰ）当1a =-时，求不等式()2f x x >的解集；（Ⅱ）当不等式()1f x >的解集为R 时，求实数a 的取值范围.【答案】(Ⅰ) (,1)-∞ (Ⅱ) 0a <或2a >【解析】【分析】(Ⅰ)根据x 的范围得到分段函数()f x 的解析式，从而分别在三段区间上求解不等式，取并集得到所求解集；(Ⅱ)由绝对值三角不等式得到()f x 的最小值，则最小值大于1，得到不等式，解不等式求得结果.【详解】(Ⅰ)1a =-时，()2,12,112,1x x f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩当1x <-时，22x x ->，即0x < 1x ∴<-当11x -≤≤时，22x >，即1x < 11x ∴-≤<当1x >时，22x x >，无解综上，()2f x x >的解集为(),1-∞(Ⅱ)()11f x x x a a =+++≥-当1a -≤-，即1a ≥时, 1a x -≤≤-时等号成立；当1a ->-，即1a <时, 1x a -≤≤-时等号成立所以()f x 的最小值为1a - 即11a ->0a ∴<或2a >【点睛】本题考查含绝对值不等式的求解、绝对值三角不等式的应用问题，属于常规题型.。

2021年江西省红色七校高考数学第二次联考试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x∈Z|x＞﹣1}，集合B＝{x|log2x＜2}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜4}B．{x|0＜x＜4}C．{0，1，2，3}D．{1，2，3}2．若z∈C且|z+2﹣2i|＝1，则|z﹣1﹣2i|的最小值是（）A．2B．3C．4D．53．已知数据（x1，y1）、（x2，y2）、…、（x10，y10）满足线性回归方程＝x+，则“（x0，y0）满足线性回归方程＝x+”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知直线m，n和平面α，β，γ，有如下四个命题：①若m⊥α，m∥β，则α⊥β；②若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β；③若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β；④若m⊥α，m⊥n，则n∥α．其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．45．（2x﹣1）（x+2）5的展开式中，x3的系数是（）A．200B．120C．80D．406．在各项均为正数的等比数列{a n}中，a1a11+2a6a8+a3a13＝25，则a1a13的最大值是（）A．25B．C．5D．7．已知a＝0.8﹣0.4，b＝log53，c＝log85，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．a＜c＜b8．将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到g （x）的图象．若g（x1）g（x2）＝9，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则2x1﹣x2的最大值为（）A．B．C．D．9．若关于x的方程（x﹣2）2e x+ae﹣x＝2a|x﹣2|（e为自然对数的底数）有且仅有6个不等的实数解，则实数a的取值范围是（）A．（，+∞）B．（e，+∞）C．（1，e）D．（1，）10．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥AC，AB＝6，AC＝8，D是线段AC上一点，且AD＝3DC．三棱锥P﹣ABC的各个顶点都在球O表面上，过点D作球O的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为16π，则球O的表面积为（）A．72πB．86πC．112πD．128π11．已知椭圆+＝1（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF＝α，且α∈[，]，则该椭圆离心率e的取值范围为（）A．[，]B．[，1）C．[，﹣1]D．[，] 12．若对于任意的正实数x，y都有成立，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题）.13．实数x，y满足约束条件，若目标函数z＝ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为4，则ab的最大值为．14．已知数列{a n}的前n项和S n＝2a n﹣1（n∈N*），设b n＝1+log2a n，则数列{}的前n项和T n＝．15．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）上一点C，过双曲线中心的直线交双曲线于A，B两点，设直线AC，BC的斜率分别为k1，k2，则当最小时，双曲线的离心率为．16．设直线l1，l2分别是函数f（x）＝|lnx|，（x≠1）图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是．三、解答题17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足a＝2，a cos B＝（2c﹣b）cos A．（1）求角A的大小；（2）求△ABC周长的范围．18．如图，四边形ABCD是矩形，平面MCD⊥平面ABCD，且MC＝MD＝CD＝4，BC＝4，N为BC中点．（1）求证：AN⊥MN；（2）求二面角A﹣MN﹣C的大小．19．某网购平台为帮助某贫困县脱贫致富，积极组织该县农民制作当地特产﹣﹣腊排骨，并通过该网购平台销售，从而大大提升了该县农民的经济收入.2019年年底，某单位从通过该网购平台销售腊排骨的农户中随机抽取了100户，统计了他们2019年因制作销售腊排骨所获纯利润（单位：万元）的情况，并分成以下五组：[1，3），[3，5），[5，7），[7，9），[9，11]，统计结果如表所示：[1，3）[3，5）[5，7）[7，9）[9，11]所获纯利润（单位：万元）农户户数1015452010（1）据统计分析可以认为，该县农户在该网购平台上销售腊排骨所获纯利润Z（单位：万元）近似地服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2≈2.12．若该县有1万户农户在该网购平台上销售腊排骨，试估算所获纯利润Z在区间（1.9，8.2）内的户数．（每区间数据用该区间的中间值表示）（2）为答谢该县农户的积极参与，该网购平台针对参与调查的农户举行了抽奖活动，每人最多有8次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为．每一次抽奖，若中奖，则可继续进行下一次抽奖，若未中奖，则活动结束，每次中奖的奖金都为1024元．求参与调查的某农户所获奖金X的数学期望．参考数据：若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）≈0.9545．20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的一个焦点与抛物线E：x＝y2的焦点相同，A为椭圆C的右顶点，以A为圆心的圆与直线y＝x相交于P，Q两点，且•＝0，＝3（Ⅰ）求椭圆C的标准方程和圆A的方程；（Ⅱ）不过原点的直线l与椭圆C交于M、N两点，已知OM，直线l，ON的斜率k1，k，k2成等比数列，记以OM、ON为直径的圆的面积分别为S1、S2，试探究S1+S2的值是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由．21．已知函数f（x）＝2ln（x+1）+sin x+1，函数g（x）＝ax﹣1﹣blnx（a，b∈R，ab≠0）．（1）讨论g（x）的单调性；（2）证明：当x≥0时，f（x）≤3x+1．（3）证明：当x＞﹣1时，f（x）＜（x2+2x+2）e sin x．22．在直角坐标系xOy中．直线l的参数方程为（t为参数，φ∈[0，π））．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为．（1）化圆C的极坐标方程为直角坐标标准方程；（2）设点P（x0，y0）圆心C（2x0，2y0），若直线l与圆C交于M，N两点，求的最大值．23．已知函数f（x）＝|x|+|x+a|．（1）若存在x使得不等式f（x）≤3a﹣1成立，求实数a的取值范围；（2）若不等式f（x）≤3a﹣1的解集为[b，b+3]，求实数a，b的值．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x∈Z|x＞﹣1}，集合B＝{x|log2x＜2}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜4}B．{x|0＜x＜4}C．{0，1，2，3}D．{1，2，3}解：∵集合A＝{x∈Z|x＞﹣1}，集合B＝{x|log2x＜2}＝{x|0＜x＜4}，∴A∩B＝{1，2，3}，故选：D．2．若z∈C且|z+2﹣2i|＝1，则|z﹣1﹣2i|的最小值是（）A．2B．3C．4D．5解：∵|z+2﹣2i|＝1，∴复数z对应点在以C（﹣2，2）为圆心、以1为半径的圆上．而|z﹣1﹣2i|表示复数z对应点与点A（1，2）间的距离，故|z﹣1﹣2i|的最小值是|AC|﹣1＝2，故选：A．3．已知数据（x1，y1）、（x2，y2）、…、（x10，y10）满足线性回归方程＝x+，则“（x0，y0）满足线性回归方程＝x+”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：∵故样本中心点（x0，y0）必满足线性回归方程，、反之，若（x0，y0）＝（x1，y1）时，也满足线性回归方程，故反过来不成立．故选：B．4．已知直线m，n和平面α，β，γ，有如下四个命题：①若m⊥α，m∥β，则α⊥β；②若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β；③若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β；④若m⊥α，m⊥n，则n∥α．其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4解：已知直线m，n和平面α，β，γ，有如下四个命题：①若m⊥α，m∥β，则在β内，作n∥m，所以n⊥α，由于n⊂α，则α⊥β，故正确；②若m⊥α，m∥n，所以n⊥α，由于n⊂β，则α⊥β；故正确．③若n⊥α，n⊥β，所以α∥β，由于m⊥α，则m⊥β；故正确．④若m⊥α，m⊥n，则n∥α也可能n⊂α内，故错误．故选：C．5．（2x﹣1）（x+2）5的展开式中，x3的系数是（）A．200B．120C．80D．40解：由于（2x﹣1）（x+2）5＝（2x﹣1）（x5+10x4+40x3+80x2+80x+32），∴含x3项的系数为2×80﹣40＝120，故选：B．6．在各项均为正数的等比数列{a n}中，a1a11+2a6a8+a3a13＝25，则a1a13的最大值是（）A．25B．C．5D．解：根据题意，在各项均为正数的等比数列{a n}中，a1a11+2a6a8+a3a13＝25，即a62+2a6a8+a82＝（a6+a8）2＝25，变形可得a6+a8＝5，又由a1a13＝a6a8≤（）2＝，当且仅当q＝1即a6＝a8时等号成立，故a1a13的最大值是，故选：B．7．已知a＝0.8﹣0.4，b＝log53，c＝log85，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．a＜c＜b解：a＝0.8﹣0.4＝（）0.4＞1，b＝log53＝1﹣log5，c＝log85＝1﹣，因为log5＞log5＞，所以1﹣log5＜1﹣＜1，即b＜c＜1＜a．故选：B．8．将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到g （x）的图象．若g（x1）g（x2）＝9，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则2x1﹣x2的最大值为（）A．B．C．D．解：将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到g（x）＝2sin（2x+）+1的图象．若g（x1）g（x2）＝9，则g（x1）和g（x2）都取得最大值3，故g（x1）和g（x2）相差一个周期的整数倍．故当2x1+＝，2x2+＝﹣时，2x1﹣x2的取得最大值．∵x1＝，x2＝﹣，2x1﹣x2的取得最大值为，故选：D．9．若关于x的方程（x﹣2）2e x+ae﹣x＝2a|x﹣2|（e为自然对数的底数）有且仅有6个不等的实数解，则实数a的取值范围是（）A．（，+∞）B．（e，+∞）C．（1，e）D．（1，）解：∵（x﹣2）2e x+ae﹣x＝2a|x﹣2|，∴（x﹣2）2e2x﹣2a|x﹣2|e x+a＝0，令g（x）＝|x﹣2|e x＝，则g′（x）＝，∴当x≥2或x＜1时，g′（x）＞0，当1＜x＜2时，g′（x）＜0，∴g（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，∴当x＝1时，g（x）取得极大值t（1）＝e，又x→﹣∞时，g（x）→0，g（2）＝0，x→+∞时，g（x）→+∞，作出g（x）的函数图象如图所示：令g（x）＝t，由图象可知：当0＜t＜e时，方程g（x）＝t＜有3解；当t＝0或t＞e时，方程g（x）＝t有1解；当t＝e时，方程g（x）＝t有2解；当t＜0时，方程g（x）＝t无解．∵方程（x﹣2）2e2x﹣2a|x﹣2|e x+a＝0有6解，即g2（x）﹣2ag（x）+a＝0有6解，∴关于t的方程t2﹣2at+a＝0在（0，e）上有2解，∴，解得1＜a＜．故选：D．10．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥AC，AB＝6，AC＝8，D是线段AC上一点，且AD＝3DC．三棱锥P﹣ABC的各个顶点都在球O表面上，过点D作球O的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为16π，则球O的表面积为（）A．72πB．86πC．112πD．128π解：将三棱锥补成知三棱柱，且三棱锥的外接球与三棱柱的外接球都是球O．设三角形ABC的中心为O'，设外接球的半径为R，球心O到平面ABC的距离为x，即OO'＝x，连接O'A，则O'A＝5，∴R2＝x2+25，在三角形ABC中，取AC的中点E，连接O'D，O'E，则O'E＝AB＝3，DE＝AC＝2，∴O'D＝，在Rt△OO'D中，OD＝，由题意得当截面与直线OD垂直时，截面面积最小，设此时截面半径为r，则r2＝R2﹣OD2＝x2+25﹣（x2+13）＝12，所以截面圆的面积为πr2＝12π，当截面过球心时，截面圆的面积最大为πR2，∴πR2﹣12π＝16π，所以R2＝28，所以表面积S＝4πR2＝112π，故选：C．11．已知椭圆+＝1（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF＝α，且α∈[，]，则该椭圆离心率e的取值范围为（）A．[，]B．[，1）C．[，﹣1]D．[，]解：由已知，点B和点A关于原点对称，则点B也在椭圆上，设椭圆的左焦点为F1，则根据椭圆定义：|AF|+|AF1|＝2a＝10，根据椭圆对称性可知：|AF1|＝|BF|，因此|AF|+|BF|＝2a＝10①；因为AF⊥BF，则在Rt△ABF中，O为斜边AB中点，则|AB|＝2|OF|＝2c，那么|AF|＝2c sinα②，|BF|＝2c cosα③；将②、③代入①得，2c sinα+2c cosα＝2a，则离心率e＝＝＝，由α∈[，]，α+∈[，]，由sin＝，由函数的单调性可知：sin（α+）∈[，1]，则e∈[，﹣1]，故选：C．12．若对于任意的正实数x，y都有成立，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．解：根据题意，对于（2x﹣）•ln≤，变形可得（2x﹣）ln≤，即（2e﹣）ln≤，设t＝，则（2e﹣t）lnt≤，t＞0，设f（t）＝（2e﹣t）lnt，（t＞0）则其导数f′（t）＝﹣lnt+﹣1，又由t＞0，则f′（t）为减函数，且f′（e）＝﹣lne+﹣1＝0，则当t∈（0，e）时，f′（t）＞0，f（t）为增函数，当t∈（e，+∞）时，f′（t）＜0，f（t）为减函数，则f（t）的最大值为f（e），且f（e）＝e，若f（t）＝（2e﹣t）lnt≤恒成立，必有e≤，解可得0＜m≤，即m的取值范围为（0，]；故选：D．二、填空题13．实数x，y满足约束条件，若目标函数z＝ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为4，则ab的最大值为2．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，1），由z＝ax+by，得y＝，由图可知，当直线y＝过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为2a+b＝4，又a＞0，b＞0，∴4＝2a+b，即ab≤2，当且仅当2a＝b，即a＝1，b＝2时等号成立．故答案为：2．14．已知数列{a n}的前n项和S n＝2a n﹣1（n∈N*），设b n＝1+log2a n，则数列{}的前n项和T n＝．解：令n＝1，a1＝1；n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2a n﹣2a n﹣1，整理得：a n＝2a n﹣1，所以a n＝2n﹣1，b n＝1+log22n﹣1＝n，T n＝++…+＝＝1﹣＝．故答案为：．15．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）上一点C，过双曲线中心的直线交双曲线于A，B两点，设直线AC，BC的斜率分别为k1，k2，则当最小时，双曲线的离心率为．解：设C（x，y），A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），显然x≠x1，x≠x2．∵点A，C在双曲线上，∴，两式相减得，∴．由，设t＝k1k2，则，∴求导得，由得t＝2．∴在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增，∴t＝2时即k1k2＝2时取最小值，∴，∴．故答案为：．16．设直线l1，l2分别是函数f（x）＝|lnx|，（x≠1）图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是（0，1）．解：设P1（x1，y1），P2（x2，y2）（0＜x1＜1＜x2），当0＜x＜1时，f′（x）＝，当x＞1时，f′（x）＝，∴l1的斜率，l2的斜率，∵l1与l2垂直，且x2＞x1＞0，∴，即x1x2＝1．直线l1：，l2：．取x＝0分别得到A（0，1﹣lnx1），B（0，﹣1+lnx2），|AB|＝|1﹣lnx1﹣（﹣1+lnx2）|＝|2﹣（lnx1+lnx2）|＝|2﹣lnx1x2|＝2．联立两直线方程可得交点P的横坐标为x＝，∴＝＝．∵函数y＝x+在（0，1）上为减函数，且0＜x1＜1，∴＞1+1＝2，则0，∴0＜＜1．∴△PAB的面积的取值范围是（0，1）．故答案为：（0，1）．三、解答题17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足a＝2，a cos B＝（2c﹣b）cos A．（1）求角A的大小；（2）求△ABC周长的范围．解：（1）解法一：由已知，得a cos B+b cos A＝2c cos A．由正弦定理，得sin A cos B+sin B cos A＝2sin C cos A．（1分）即sin（A+B）＝2sin C cos A，因为sin（A+B）＝sin C．所以sin C＝2sin C cos A．因为sin C≠0，所以，因为0＜A＜π，所以．解法二：结合余弦定理，即b2+c2﹣a2＝bc．所以．因为0＜A＜π，所以．（2）解法一：由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，得bc+4＝b2+c2即（b+c）2＝3bc+4．因为所以．即b+c≤4（当且仅当b＝c＝2时等号成立）．又∵b+c＞a，所以4＜a+b+c≤6．解法二：，且a＝2，，所以，，所以因为，所以4＜a+b+c≤618．如图，四边形ABCD是矩形，平面MCD⊥平面ABCD，且MC＝MD＝CD＝4，BC＝4，N为BC中点．（1）求证：AN⊥MN；（2）求二面角A﹣MN﹣C的大小．解：（1）证明：取CD的中点O，连接OA，OM，ON，∵MC＝MD，O为CD中点，∴MO⊥CD，又∵平面MCD⊥平面BCD，MO⊂平面MCD，∴MO⊥平面ABCD，则MO＝2，ON＝2，OA＝6，MN2＝MO2+ON2＝24，AN2＝BN2+AB2＝24，AM2＝MO2+OA2＝48，∴MN2+AN2＝AM2，∴AN⊥MN．（2）解：如图，以O为原点，OM，OC所在直线分别为x轴、y轴，CD的垂直平分线所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．则A（0，﹣2，），C（0，2，0），M（2，0，0），N（0，2，2），∴＝（2，﹣2，﹣2），＝（2，2，﹣4），＝（2，﹣2，0）．设平面AMN的法向量为＝（x，y，z），由，令z＝2，可得＝（）．同理可得平面MNC 的一个法向量为＝（1，，0）．∴cos ＜＞＝＝．由图可知二面角A﹣MN﹣C为钝角，故二面A﹣MN﹣C的大小为135°．19．某网购平台为帮助某贫困县脱贫致富，积极组织该县农民制作当地特产﹣﹣腊排骨，并通过该网购平台销售，从而大大提升了该县农民的经济收入.2019年年底，某单位从通过该网购平台销售腊排骨的农户中随机抽取了100户，统计了他们2019年因制作销售腊排骨所获纯利润（单位：万元）的情况，并分成以下五组：[1，3），[3，5），[5，7），[7，9），[9，11]，统计结果如表所示：[1，3）[3，5）[5，7）[7，9）[9，11]所获纯利润（单位：万元）农户户数1015452010（1）据统计分析可以认为，该县农户在该网购平台上销售腊排骨所获纯利润Z（单位：万元）近似地服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2≈2.12．若该县有1万户农户在该网购平台上销售腊排骨，试估算所获纯利润Z在区间（1.9，8.2）内的户数．（每区间数据用该区间的中间值表示）（2）为答谢该县农户的积极参与，该网购平台针对参与调查的农户举行了抽奖活动，每人最多有8次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为．每一次抽奖，若中奖，则可继续进行下一次抽奖，若未中奖，则活动结束，每次中奖的奖金都为1024元．求参与调查的某农户所获奖金X的数学期望．参考数据：若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）≈0.9545．解：（1）由题意知中间值246810概率0.10.150.450.20.1所以样本平均数为，所以Z～N（6.1，2.12）．所以（μ﹣2σ，μ+σ）＝（1.9，8.2），而，故1万户农户中，Z落在区间（1.9，8.2）内的户数约为10000×0.8186＝8186．（2）设中奖次数为i，则i的可能取值为0，1，2，3， (8)则所以．．令，①由，②由①﹣②得，所以，所以（元）．所以参与调查的某农户所获奖金X的数学期望为1020元．20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的一个焦点与抛物线E：x＝y2的焦点相同，A为椭圆C的右顶点，以A为圆心的圆与直线y＝x相交于P，Q两点，且•＝0，＝3（Ⅰ）求椭圆C的标准方程和圆A的方程；（Ⅱ）不过原点的直线l与椭圆C交于M、N两点，已知OM，直线l，ON的斜率k1，k，k2成等比数列，记以OM、ON为直径的圆的面积分别为S1、S2，试探究S1+S2的值是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由．解：（Ⅰ）抛物线E：x＝y2，即为y2＝4x，则其焦点为（，0），∴a2﹣b2＝3，设A（a，0），圆A的半径为r，可得圆A的方程为：（x﹣a）2+y2＝r2，联立y＝x，可得：（1+）x2﹣2ax+a2﹣r2＝0，由＝3，可设P（m，n），Q（3m，3n），由韦达定理可得m+3m＝4m＝，3m2＝，∵•＝0，∴⊥，可得A到直线y＝x的距离为|PQ|＝r，即＝r，即有r2＝，a2﹣r2＝＝，则3m2＝＝＝3••，即有a＝2，b＝1，r2＝，则椭圆C的标准方程为+y2＝1，圆A的方程为（x﹣2）2+y2＝；（Ⅱ）设直线l的方程为y＝kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），由直线l的方程代入椭圆方程，消去y得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，且△＝16（1+4k2﹣m2）＞0，∵k1、k、k2恰好构成等比数列．∴k2＝k1k2＝．∴﹣4k2m2+m2＝0，∴k＝±．∴x1+x2＝±2m，x1x2＝2m2﹣2∴|OM|2+|ON|2＝x12+y12+x22+y22＝[（x1+x2）2﹣2x1x2]+2＝5，∴S＝S1+S2＝π|OM|2+π|ON|2＝π．故S1+S2的值是定值，定值为π．21．已知函数f（x）＝2ln（x+1）+sin x+1，函数g（x）＝ax﹣1﹣blnx（a，b∈R，ab≠0）．（1）讨论g（x）的单调性；（2）证明：当x≥0时，f（x）≤3x+1．（3）证明：当x＞﹣1时，f（x）＜（x2+2x+2）e sin x．解：（1）g（x）的定义域为（0，+∞），，当a＞0，b＜0时，g'（x）＞0，则g（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞0，b＞0时，令g'（x）＞0，得，令g'（x）＜0，得，则g（x）在上单调递减，在上单调递增；当a＜0，b＞0时，g'（x）＜0，则g（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＜0，b＜0时，令g'（x）＞0，得，令g'（x）＜0，得，则g（x）在上单调递增，在上单调递减；（2）证明：设函数h（x）＝f（x）﹣（3x+1），则．∵x≥0，∴，cos x∈[﹣1，1]，则h'（x）≤0，从而h（x）在[0，+∞）上单调递减，∴h（x）＝f（x）﹣（3x+1）≤h（0）＝0，即f（x）≤3x+1．（3）证明：当a＝b＝1时，g（x）＝x﹣1﹣lnx．由（1）知，g（x）min＝g（1）＝0，∴g（x）＝x﹣1﹣lnx≥0，即x≥1+lnx．当x＞﹣1时，（x+1）2＞0，（x+1）2e sin x＞0，则（x+1）2e sin x≥1+ln[（x+1）2e sin x]，即（x+1）2e sin x≥2ln（x+1）+sin x+1，又（x2+2x+2）e sin x＞（x+1）2e sin x，∴（x2+2x+2）e sin x＞2ln（x+1）+sin x+1，即f（x）＜（x2+2x+2）e sin x．22．在直角坐标系xOy中．直线l的参数方程为（t为参数，φ∈[0，π））．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为．（1）化圆C的极坐标方程为直角坐标标准方程；（2）设点P（x0，y0）圆心C（2x0，2y0），若直线l与圆C交于M，N两点，求的最大值．解：（1）圆C的极坐标方程为，所以．因为ρ2＝x2+y2，ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，所以，所以圆C的直角坐标标准方程为．（2）由（1）知圆C的圆心的直角坐标为，则，所以，所以直线l的参数方程为（t为参数，φ∈[0，π））．将直线l的参数方程代入，得．设点M，N对应的参数分别为t1，t2，则，t1t2＝﹣12，＝，因此，当时，取得最大值为．23．已知函数f（x）＝|x|+|x+a|．（1）若存在x使得不等式f（x）≤3a﹣1成立，求实数a的取值范围；（2）若不等式f（x）≤3a﹣1的解集为[b，b+3]，求实数a，b的值．解：（1）函数f（x）＝|x|+|x+a|≥|x﹣x﹣a|＝|a|，即f（x）的最小值为|a|，存在x使得不等式f（x）≤3a﹣1成立，可得|a|≤3a﹣1，即1﹣3a≤a≤3a﹣1，解得a≥；（2）由（1）可得﹣a＜0，f（x）＝，作出y＝f（x）的图象，由图象和题意可得：，解得a＝，b＝﹣．。

江西省红色七校2021届高三数学下学期第二次联考试题文一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}22211,log(32)2xA xB x y x xx⎧-⎫=<==-+⎨⎬-⎩⎭,则A B⋂= ( )A.(),1-∞- B.1(,1)2C.()2,+∞ D.()1,1-2.已知复数112z i=-,则复数12111zzz+=-的虚部是( )A.iB.i-C.1D.-13.设数列{}n a为等差数列，其前n项和为n S，已知14725899,93a a a a a a++=++=，若对任意*n N∈都有n kS S≤成立，则k的值为( )A.22B.21C.20D.194.已知lg lg0a b+=,函数()xf x a-=与函数xxgblog)(=的图象可能是( )A B C D5.将函数sin(2)y xθ=+的图像沿x轴向左平移8π个单位后，得到一个函数()f x的图像，则“()f x是偶函数”是“4πθ=”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.按照下图的程序框图计算,若开始输入的值为3，则最后输出的结果是( )A.6B.21C.231D.50507.a,b,c,d R+∈,设a b c dSa b c b c d c d a d a b=+++++++++++,则下列判断中正确的是( )A.01S<< B.12S<< C.23S<< D.34S<<8.已知,x y满足203010yxx y-≤+≥--≤⎧⎪⎨⎪⎩,则264x yx+--的取值范围是( )A.171,7⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡717,1 C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡719,0 D.[]0,2-9. 定长为4的线段MN的两端点在抛物线xy=2上移动，设点P为线段MN的中点，则点P到y轴距离的最小值为( )A.12 B.1 C.54 D.7410.在边长为1的正三角形ABC 中,,,0,0BD xBA CE yCA x y ==>> ,且1=+y x ,则⋅的最大值为( )A.85-B.83-C.23-D.43-11.定义在R 上的偶函数()f x 的导函数为()'f x ,若对任意的正实数x ,都有()()22f x xf x '+<恒成立,则使()()2211x f x f x -<-成立的实数x 的取值范围为( )A.()(),11,-∞-⋃+∞B.()1,1-C.()()1,00,1-⋃D.{}|1x x ≠±12.在棱长为6的正方体1111D C B A ABCD -中,M 是BC 的中点,点P 是面11D DCC 所在的平面内的动点,且满足MPC APD ∠=∠,则三棱锥BCD P -的体积最大值是( ) A.36 B.312 C.24 D.318二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分,把答案填写在答题卡相应的位置) 13.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为 __________. 14.面积为S 的三角形ABC 中，在边AB 上有一点P ,使三角形PBC 的面积大于4S的概率为__________.15.正项数列{}n a 满足121,2a a ==,又{}1n n a a +是以12为公比的等比数列,则使得不等式1221111...2019n a a a ++++>成立的最小整数n 为__________. 16.已知函数()()y f x x R =∈,对函数()()y g x x I =∈,定义()g x 关于()f x 的“对称函数”为()()I y h x x =∈,()y h x =满足:对任意x I ∈,两个点()()()(),,,x h x x g x 关于点()(),x f x 对称,若()sin h x a x =-是()g x 关于()ππcos()cos()44f x x x =+-的“对称函数”,且()g x 在[,62]ππ上是减函数,则实数a 的取值范围是__________.三、解答题：本大题共6小题，共74分。

高三地理试卷（答案在最后）本试卷满分100分，考试用时75分钟。

注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.本试卷主要考试内容：高考全部内容。

一、选择题：本题共16小题，每小题3分，共48分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

黄土高原半干旱区旱地玉米种植业是该区农业主要产业。

该区地下水位深，降水季节分配不均，缺水和季节性干旱是制约旱地玉米种植业发展的主要瓶颈之一。

垄沟覆盖集雨栽培技术采用田间沟垄相间排列、沟内种植作物、垄上覆膜的方式，增加农田及作物根域土壤含水量，实现提高作物产量和水分利用效率的目标。

下图示意垄沟覆盖种植模式。

据此完成下面小题。

1.该区域垄沟覆盖种植模式在垄上覆盖液态地膜的主要目的是（）A.防止垄上生长杂草B.减少垄上水分损失C.避免垄受外力侵蚀D.增加垄上太阳辐射2.与沟内无覆盖相比，沟内覆盖秸秆的玉米地（）A.土壤微生物丰富，玉米长势良好B.土壤病虫害更多，农药施用量大C.土壤积水更严重，玉米生长缓慢D.土壤温度更适宜，复种指数提高3.玉米靠近垄种植的主要原因是（）A.防止大风折断茎秆B.提高土地种植效率C.方便收获季节采收D.利于根系吸收水分工业智能化依托智能技术与工业产业深度融合，驱动传统工业产业在生产、服务、销售等方面智能化发展，最终实现工业价值链攀升，经济、社会和环境效益提高。

中国工业智能化进程在保持加速之势的同时，也面临区域劳动力结构变化、核心技术高度依赖国际大循环等突出问题。

下图示意2010—2021年中国工业智能化发展的时序演变趋势。

据此完成下面小题。

4.2010—2021年，中国工业智能化发展的时序演变趋势反映出（）A.工业智能化水平呈现逐年增长B.地区工业智能化水平差距缩小C.东部地区增长率波动幅度最小D.西部地区工业智能化发展均衡5.导致东、中、西部地区工业智能化水平差异的主要因素有（）①资源禀赋②经济发展水平③产业结构④人口结构A.①②B.②③C.①④D.③④6.2020——2021年，中国工业智能化增长率回落的主要原因是（）A.技术创新力不足，后期发展优势下降B.智能化工业升级，短期内增长率下降C.国际环境不稳定，核心技术领域被封锁D.传统型产业复苏，智能化工业占比下降城市15分钟社区生活圈，是指教育、文化、医疗、养老、休闲等基本服务功能齐全的社区共同体，被形象地称作“生活盒子”。