1.3.2直线的极坐标方程直线

简单曲线的极坐标方程
O x
C(a,0)
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怎样求曲线的极坐标方程？ 怎样求曲线的极坐标方程？
建立极坐标系 建立极坐标系 极坐标 设点（ρ,θ） 设点（ θ 找ρ,θ的关系 θ 化简 F(ρ,θ)=0 ρθ 下结论
直线的极坐标方程
l
π
o
﹚
4
x
新课讲授
π
例题1：求过极点， 例题 ：求过极点，倾斜角为 4 的射线的极坐 标方程。 标方程。 分析： 分析： 如图， 如图，所求的射线上任一 点的极角都是 π
o
﹚θ A
3、过某个定点平行于极轴 、 o ρ sin θ ＝a 4、过某个定点，且与极轴成一定的角度 、过某个定点， ρ ρ sin(α − θ ) = ρ1 sin(α − θ1 ) ρ
1
ρ ﹚θ
M
o
P α ﹚ ﹚ x A
θ1
/4
π
M
其极径可以取任意的非负数。 其极径可以取任意的非负数。 故所求射线的极坐标方程为
θ =
π
4
o
﹚
4
x
(ρ ≥ 0)
思考： 思考：
5π 1、求过极点，倾斜角为 的射线的极坐标方程。 的射线的极坐标方程。 、求过极点， 4
易得
5 θ = π ( ρ ≥ 0) 4
2、求过极点，倾斜角为 、求过极点，
练习3 练习 求过点P(4,π/3)且与极轴夹角为π/6的直线 l 的 求过点 且与极轴夹角为 的直线 方程。 方程。
ρ sin(θ − ) = 2
6
π
小结： 小结：直线的几种极坐标方程 1、过极点 、
l
ρ = θ ( ρ ∈ R)
﹚θ o
ρ
M A M x x
2、过某个定点垂直于极轴 、
ρ cos θ = a
ρ
OM cos ∠MOA = OA
即
o
﹚θ A x
ρ cos θ = a
可以验证， 的坐标也满足上式。 可以验证，点A的坐标也满足上式。 的坐标也满足上式
求直线的极坐标方程步骤 1、由题意建立极坐标系画出草图； 、由题意建立极坐标系画出草图； 2、设点 M ( ρ , θ )是直线上任意一点； 、 是直线上任意一点； 3、连接MO； 3、连接MO； 4、建立关于 ρ , θ 的方程，并化简； 、 的方程，并化简； 5、检验并确认所得的方程即为所求。 、检验并确认所得的方程即为所求。
A o
ρ ﹚θ
M x
课堂练习2 设点A的极坐标为 课堂练习 设点 的极坐标为 ( a , 0)，直线 l 过点 A且与极轴所成的角为α ,求直线l 的极坐标方程。 且与极轴所成的角为 求直线 的极坐标方程。 如图，建立极坐标系， 解：如图，建立极坐标系，设点 M ( ρ , θ ) 上异于A点的任意一点 连接OM， 点的任意一点， 为直线 l上异于 点的任意一点，连接 ， 在 ∆MOA中，由正弦定理 得 M ρ MO MA = sin ∠MAO sin ∠AMO θ ﹚ ﹚α ρ a o A x = 即 sin(π − α ) sin(α − θ ) 化简得 ρ sin(α − θ ) = a sin α 显然A点也满足上方程 显然 点也满足上方程
课堂练习1求过点 课堂练习 求过点A (a,π/2)(a>0)，且平行于 求过点 ， 极轴的直线L的极坐标方程。 极轴的直线 的极坐标方程。 的极坐标方程 如图，建立极坐标系， 解：如图，建立极坐标系， 为直线L上除点 设点 M ( ρ ,θ ) 为直线 上除点 A外的任意一点，连接OM 外的任意一点，连接 外的任意一点 在 Rt ∆MOA 中有 IOMI sin∠AMO=IOAI 即 ρ sin θ ＝a ∠ 可以验证，点A的坐标也满足上式。 可以验证， 的坐标也满足上式。 的坐标也满足上式
π
4
的直线的极坐标方程。 的直线的极坐标方程。
5 ( ρ ≥ 0 ) 和 θ = π ( ρ ≥ 0) θ = 4 4
π
和前面的直角坐标系里直线方程的表示形 式比较起来， 式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不 方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？ 方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？
ρ≥0
例题3设点 的极坐标为 过点P且 例题 设点P的极坐标为( ρ1 ,θ1 )，直线 l 过点 且 设点 α 求直线 的极坐标方程。 与极轴所成的角为 ,求直线 的极坐标方程。 l 如图， 为直线上除点P外 解：如图，设点 M ( ρ , θ )为直线上除点 外 的任意一点，连接OM，则 OM = ρ , ∠xOM = θ 的任意一点，连接 ， 由点P的极坐标知 由点 的极坐标知 O P = ρ 1 ∠ x O P = θ 1 设直线L与极轴交于点 与极轴交于点A。 设直线 与极轴交于点 。则在∆MOP 中 ∠OMP = α − θ , ∠OPM = π − (α − θ1 ) M ρ 由正弦定理得 OM = OP ρ1 P sin ∠OPM sin ∠OMP ρ1 ρ = α 即 ﹚θ1 ﹚ sin[π − (α − θ1 )] sin(α − θ ) o x A ρ sin(α − θ ) = ρ1 sin(α − θ1 ) 显然点P的坐标也是上式的解 的坐标也是上式的解。 显然点 的坐标也是上式的解。
为了弥补这个不足，可以考虑允许极径可以 为了弥补这个不足， 取全体实数。 取全体实数。则上面的直线的极坐标方程可 以表示为
θ=
π
4
( ρ ∈ R)
或
5 θ = π ( ρ ∈ R) 4
例题2、求过点 例题 、求过点A(a,0)(a>0)，且垂直于极轴的 ， 直线L的极坐标方程 的极坐标方程。 直线 的极坐标方程。 解：如图，建立极坐标系，设点 M ( ρ , θ ) 如图，建立极坐标系， M 为直线L上除点 外的任意一点， 上除点A外的任意一点 为直线 上除点 外的任意一点， 连接OM 在 Rt ∆MOA 中有 连接