厦门大学网络教育2012-2013学年第一学期《线性代数》课程复习题（ B ）一、选择题1．设行列式 111222333a b c a b c d a b c =，则111111222222333333223223223c b c a b c c b c a b c c b c a b c ++++++=+++（ ）。
A ．2d -； B ．d -； C ．d ； D ．2d 。
1．B 。
解：由行列式的性质可知111111111111222222222222333333333333223223223c b c a b c c b a a b c c b c a b c c b a a b c d c b c a b c c b a a b c ++++++==-=-+++。
2．已知A 为n 阶非零方阵，E 为n 阶单位矩阵，若3A O =，则（ ）。
A ．A E +不可逆，E A -不可逆；B ．A E -不可逆，A E +可逆；C ．A E +可逆，E A -可逆；D ．AE +不可逆，E A -可逆。
2．C 。
解：由于23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+=，因此E A +，E A -均可逆，故选C 。
3．向量1α，2α，3α线性无关，则下列向量组线性相关的是（ ）。
A ．12αα+，23αα+，31αα+； B ．1α，12αα+，123ααα++； C ．12αα-，23αα-，31αα-； D ．12αα+，232αα+，313αα+。
3．C ．解：显然有1223311()1()1()0αααααα-+-+-=，所以12αα-，23αα-，31αα-线性相关，故选C 。
4．若3阶方阵2E A -及E A +，3A E -都不可逆，则A 的特征多项式中常数项为（ ）。
A ．23； B ．2 ； C ．23-； D ．43。
陕西科技大学《线性代数》复习题一．选择题1．设A 是3阶方阵，且｜A ｜＝－1，则｜2A ｜＝（ ）A ．－8B ．－2C ．2D ．8 2．设矩阵A ＝⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--210110002，则A －1＝（ ）A ．⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1101200021 B ．⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1101200021 C ．⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2100011012 D ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--200011012 3．设A 是n 阶方阵，｜A ｜＝0，则下列结论中错误．．的是（ ） A ．秩（A ）<n B ．A 有两行元素成比例C ．A 的n 个列向量线性相关D ．A 有一个行向量是其余n-1个行向量的线性组合4．行列式543432321的值为（ ）A ．2B ．1C ．0D ．-15．线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-α=-α=-1x x 2x x x x 133221 有解的充分必要条件是α=（ ）A ．-1B ．-31C ．31D ．16.设n 阶方阵A ，B ，C 满足ABC=E ，则必有（ ）A ．ACB=EB ．CBA=EC ．BAC=ED ．BCA=E7.设矩阵A ，B ，C 为同阶方阵，则（ABC ）T =（ ）A ．A TB TC T B ．C T B T A T C ．C T A T B TD ．A T C T B T8.设行列式2211b a b a =1，2211c a c a =2，则222111c b a c b a ++=（ ）A ．-3B ．-1C ．1D ．39.设A 为2阶可逆矩阵，且已知（2A ）-1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321，则A =（ ）A ．2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321B ．214321-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛432121D ．1432121-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10. 二次型312123222132142),,(x x x x x x x x x x f ++++=的矩阵为（ ） A ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛104012421 B ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010421 C ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛102011211 D ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12021101111..设A 为三阶方阵且|A |=-2，则|3A T A |=（ ）A.-108B.-12C.12D.10812.如果方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=-+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解，则k =（ ）A.-2B.-1C.1D.213. 设A 为四阶矩阵，且|A |=2，则|A *|=（ ）A.2B.4C.8D.1214.若方程组⎩⎨⎧=-=+0x kx 0x x 2121有非零解，则k=（ ） A.-1 B.0 C.1 D.215.设1α，2α是Ax=b 的解，η是对应齐次方程Ax=0的解，则（ ）A. η+1α是Ax =0的解B. η+（1α-2α）是Ax=0的解C. 1α+2α是Ax=b 的解D. 1α-2α是Ax=b 的解二、填空题16.设A 是4阶方阵，A =-2，则*A -=________.17. 向量组α1=(1,2,-1,1), α2=(2,0,3,0), α3=(-1,2,-4,1)的秩为________.18. 若α1，α2，α3都是齐次线性方程组Ax=0的解向量，则A （3α1-5α2+2α3）=______.19. 已知方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000x x x t 32321111321有非零解，则t= .20．设矩阵A=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧---400022021与B=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧4000y 0002相似，则y=_______.21．行列式110111011=_____________.22．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100012021，B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛310120001，则A+2B =_____________.23．设3阶矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛002520310，则（A T ）-1=_____________.24.已知3元齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+0320320321321321x x x ax x x x x x 有非零解，则a =_____________.25．二次型2221212122),(x x x x x x f -+=的秩为_____________.26．若实对称矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a 000103为正定矩阵，则a 的取值应满足_____________.27. 设A=⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤411023,B=,010201⎢⎣⎡⎥⎦⎤则AB=___________. 28. 若α=(1,-2,x )与),1,2(y =β正交,则x y=___________.29..矩阵A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-301012121所对应的二次型是______________________.30.设A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤220010002,则A -1 =___________.31 .向量组α1 =(1,0,0) α2 =(1,1,0), α3 =(-5,2,0)的秩是___________.32.已知α=（1，2，3），则|αT α|=___________.33.设A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200030021，则A *=___________.34. 设A 为4×5的矩阵，且秩（A ）=2，则齐次方程Ax=0的基础解系所含向量的个数是___________.35..设A 满足3E+A-A 2=0，则A -1=___________.三、计算题36. 计算行列式3111131111311113的值.37. 求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-+-=+--0x 3x 2x x 0x 3x x x 0x x x x 432143214321 的通解，并用其基础解系表示.38 求4阶行列式1111112113114111的值.39. 设向量α=（1，2，3，4），β=（1，-1，2，0），求（1）矩阵αT β；（2）向量α与β的内积（α，β）.40. 设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-=++223321321321ax x x x ax x a x x x（1）问a 为何值时，方程组有无穷多个解；（2）当方程组有无穷多个解时，求出其通解（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）.41. 求3阶矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---011101110的全部实特征值和对应的全部特征向量.42. 计算四阶行列式1002210002100021的值.43. .求向量组α1 =(1,-1,2,4)，α 2 =(0,3,1,2), α3 =(3,0,7,14), α4 =(2,1,5,6), α5 =(1,-1,2,0)的一个最大线性无关组.44. 已知A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡3152，B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3421，C =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2512，X 满足AX +B =C ，求X.45．求向量组1α=（1，2，1，3），2α=（4，-1，-5，-6），3α=（1，-3，-4，-7）的秩和其一个极大线性无关组.46. 计算6阶行列式1002000100000010*********0000300002147. 设2阶矩阵A 可逆，且A -1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2121b b a a ，对于矩阵P 1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1021，P 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0110，令B =P 1AP 2，求B -1.48. 已知1α=(1,2,1)，2α=(-1,1,3)，3α=(1,1,1)是R 3的一个基，求β=(3,2,-1)在此基下的坐标.49. 设矩阵A =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-b a 1401321a 21的秩为2，求a ，b.50. 计算行列式D=a1001a 1001a1001a---的值四、证明题51. 已知向量组α1，α2，α3线性无关，证明向量组α1+2α2，2α2+3α3，3α3+α1线性无关.52．设A ，B 都是正交矩阵，证明AB 也是正交矩阵.53. 设α为Ax=0的非零解，β为Ax=b (b ≠0)的解，证明α与β线性无关54. 设向量组α1，α2，α3线性无关，β1=α1+α2，β2=α2+α3，β3=α3+α1，证明：向量组β1，β2，β3线性无关.55．已知n 阶方阵A 满足关系式A 2-3A -2E =0，证明A 是可逆矩阵，并求出其逆矩阵.56．设n 阶方阵A 满足A 2=A ，证明A 的特征值为1或0.57. 设A ，B 都是n 阶矩阵，且A 是正定的，B 是半正定的，证明：A+B 是正定矩阵.58. 设321,,ααα是齐次方程组Ax=0的基础解系，证明21α+α,321,αα-α也是Ax=0的基础解系59. 设a ，b ，c 为任意实数，证明向量组α1=（1，a ，1，1）T ，α2=（1，b ，1，0）T , α3=（1，c ，0，0）T 线性无关.60. 设α1，α2依次为n 阶矩阵A 的属于特征值λ1，λ2的特征向量，且λ1≠λ2. 证明α1-α2不是A 的特征向量.。
<近世代数复习题>一、定义描述（8’）1、群：设G是一个非空集合，是它的一个代数运算。
如果满足以下条件：（1）结合律成立，即对G中任意元素a，b，c都有（a b）c = a （b c）.（2）G中有元素e.叫做G的左单位元，它对G中每个元素a都有e a = a .（3）对G中每个元素a，在G中都有元素a-1，叫做a的左逆元，使a-1 a = e .则称G对代数运算做成一个群。
2、正规子群：设N是群G的一个子群，如果对G中每个元素a都有aN=Na，即aNa-1=N ，则称N是群G的一个正规子群（或不变子群）。
3、环：设非空集合R有两个代数运算，一个叫做加法并用加号+ 表示，另一个叫做乘法用乘号表示，如果：（1）R对加法作成一个加群；（2）R对乘法满足结合律：（ab）c = a（bc）；（3）乘法对加法满足左右分配率：a（b+c）= ab + ac ，（b+c）a = ba + ca .其中a，b，c为R中任意元素，则称R对这两个代数运算作成一个环。
4、极大理想：设N是环R的一个理想，且N≠R .如果除R和N外，R中没有包含N的其它理想，则称N为环R的一个极大理想。
5、惟一分解整环：设K是有单位元的整环。
如果K中每个既不是零又不是单位的元素都能惟一分解，则称K为惟一分解整环。
整数环Z及域F上多项式环F[ x ]都是惟一分解整环。
6、欧氏环：设K是一个有单位元的整环，如果（1）有一个从K的非零元集K – { 0}到非负整数集的映射ψ存在；（2）这个ψ对K中任意元素a及b≠0，在K中有元素q，r使a=bq + r，r=0或ψ（r）＜ψ（b），则称R关于ψ作成一个欧氏环。
-------------7、素理想：设R是一个交换环，P ◁R .如果ab∈P => a∈P或b∈P，其中a，b∈R，则称P是R的一个素理想。
显然，环R本身是R的一个素理想；又零理想{ 0}是R的素理想当且仅当R无零因子，亦即R是一个整环。
