上海交通大学2002年高等代数考研试题
1、（12）
)()()(1x bg x af x f +=，)()()(1x dg x cf x g +=且
0≠d
c b a ，证
()())(),()(),(11x g x f x g x f =。
2、（14）计算
x
a
a a a a a
x
a
a a a a x a a a a a x a x a a a a a a x a a a a a x n
n n -------=+++
,32
1
321321
。 3、（15）k 取何值时，下列方程组β=AX ：（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解，
此时求其通解。其中⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111,2111111βk k A 。
4、（12）设A 为数域P 上n 阶可逆矩阵，任意将A 分为两个子块⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=21A A A ，证n 维线性空间n P 是齐线性方程组01=X A 的解空间1V 与02=X A 的解空间2V 的直和。 5、（10）f(x)是方阵A 的特征多项式，g(x)为任多项式，())()(),(x d x g x f =，证r(g(A))=r(d(A)).
6、（12）求正交变换化二次型3231212
32
22
1844552x x x x x x x x x f --+++=为标准型。 7、（15）设σ为线性空间V 的一线性变换，σσ
=2
.证（1）σ的特征值只能为1或0（2）
若用1V 与0V 分别表示对应于特征值1和0的特征子空间，则V V σ=1，)0(1
0-=σ
V （3）
)0(101-⊕=⊕=σσV V V V 。
8、（10）设A ，B 为n 阶对角化矩阵，AB=BA 。证明A ，B 可同时对角化。
