小河中学高一数学必修2立体几何练习

高一数学必修2立体几何测试题试卷满分：150分 考试时间：120分钟班级___________ 姓名__________ 学号_________ 分数___________第Ⅰ卷一、选择题（每小题5分，共60分）1、线段AB 在平面α内，则直线AB 与平面α的位置关系是A 、AB α⊂ B 、AB α⊄C 、由线段AB 的长短而定D 、以上都不对2、下列说法正确的是A 、三点确定一个平面B 、四边形一定是平面图形C 、梯形一定是平面图形D 、平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点 3、垂直于同一条直线的两条直线一定A 、平行B 、相交C 、异面D 、以上都有可能 4、在正方体1111ABCD A B C D -中，下列几种说法正确的是A 、11AC AD ⊥B 、11DC AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45角D 、11AC 与1B C 成60角 5、若直线l 平面α，直线a α⊂，则l 与a 的位置关系是A 、l aB 、l 与a 异面C 、l 与a 相交D 、l 与a 没有公共点 6、下列命题中：（1）、平行于同一直线的两个平面平行；（2）、平行于同一平面的两个平面平行；（3）、垂直于同一直线的两直线平行；（4）、垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有 A 、1 B 、2 C 、3 D 、47、在空间四边形ABCD 各边AB BC CD DA 、、、上分别取E F G H 、、、四点，如果与EF GH 、能相交于点P ，那么 A 、点必P 在直线AC 上 B 、点P 必在直线BD 上C 、点P 必在平面ABC 内D 、点P 必在平面ABC 外 8、a ，b ，c 表示直线，M 表示平面，给出下列四个命题：①若a ∥M ，b ∥M ，则a ∥b ；②若b ⊂M ， a ∥b ，则a ∥M ；③若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ；④若a ⊥M ，b ⊥M ，则a ∥b .其中正确命题的个数有 A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个 9、一个棱柱是正四棱柱的条件是A 、底面是正方形，有两个侧面是矩形B 、底面是正方形，有两个侧面垂直于底面C 、底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直D 、每个侧面都是全等矩形的四棱柱10、在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是A 、23 B 、76 C 、45 D 、56B 1C 1A 1D 1BACD11、已知二面角AB αβ--的平面角是锐角θ，α内一点C 到β的距离为3，点C 到棱AB 的距离为4，那么tan θ的值等于A 、34B、35C、7D 、712、如图:直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA 1和CC 1上，AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积为A 、2VB 、3VC 、4VD 、5V二、填空题（每小题4分，共16分）13、等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是S 球_____S 正方体(填”大于、小于或等于”).14、正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AB D 和平面1BC D 的位置关系为15、已知PA 垂直平行四边形ABCD 所在平面，若PC BD ⊥，平行则四边形ABCD 一定是 .16、如图，在直四棱柱A 1B 1C 1 D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件_________时，有A 1 B ⊥B 1D 1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形.)第Ⅱ卷13、 14、 15、 16、三、解答题(共74分,要求写出主要的证明、解答过程)17、已知圆台的上下底面半径分别是2、5,且侧面面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线长.(10分)18、已知E 、F 、G 、H 为空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且ＥＨ∥ＦＧ． 求证：EH ∥BD . (12分)QPC'B'A'CBAH G FE D BA C19、已知ABC ∆中90ACB ∠=，SA ⊥面ABC ，AD SC ⊥，求证：AD ⊥面SBC ．(12分)20、一块边长为10cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,试建立容器的容积V 与x 的函数关系式,并求出函数的定义域. (12分)SD CB A21、已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：（１）1C O 面11AB D ；（2 ）1AC ⊥面11AB D ． (14分)22、已知△BCD 中，∠BCD =90°，BC =CD =1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB =60°，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且(01).AE AFAC AD λλ==<< （Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ；（Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD ？ (14分)D 1ODB AC 1B 1A 1CFEDBAC高一数学必修2立体几何测试题参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）ACDDD BCBDD DB二、填空题（每小题4分，共16分）13、小于 14、平行 15、菱形 16、1111AC B D 对角线与互相垂直三、解答题（共74分,要求写出主要的证明、解答过程）17、解:设圆台的母线长为l ,则 1分圆台的上底面面积为224S ππ=⋅=上 3分圆台的上底面面积为2525S ππ=⋅=下 5分 所以圆台的底面面积为29S S S π=+=下上 6分 又圆台的侧面积(25)7S l l ππ=+=侧 8分于是725l ππ= 9分 即297l =为所求. 10分 18、证明：,EH FG EH ⊄面BCD ，FG ⊂面BCDEH ∴面BCD 6分又EH ⊂面BCD ，面BCD 面ABD BD =，EH BD ∴ 12分19、证明：90ACB ∠= B C A C ∴⊥ 1分又SA ⊥面ABC S A B C ∴⊥ 4分BC ∴⊥面SAC 7分 BC AD ∴⊥ 10分 又,SC AD SCBC C ⊥=AD ∴⊥面SBC 12分20、解:如图,设所截等腰三角形的底边边长为xcm . 在Rt EOF 中,15,2EF cm OF xcm ==, 3分所以EO =6分于是13V x =10分 依题意函数的定义域为{|010}x x << 12分21、证明：（1）连结11A C ，设11111AC B D O =连结1AO ，1111ABCD A B C D -是正方体 11A ACC ∴是平行四边形11A C AC ∴且 11A C AC = 2分又1,O O 分别是11,A C AC 的中点，11O C AO ∴且11O C AO =11AOC O ∴是平行四边形 4分111,C O AO AO ∴⊂面11AB D ，1C O ⊄面11AB D∴1C O 面11AB D 6分（2）1CC ⊥面1111A B C D 11!C C B D ∴⊥ 7分 又1111A C B D ⊥， 1111B D A C C ∴⊥面 9分 111AC B D ⊥即 11分 同理可证11A C AB ⊥， 12分 又1111D B AB B =∴1A C ⊥面11AB D 14分22、证明：（Ⅰ）∵AB ⊥平面BCD ， ∴AB ⊥CD ，∵CD ⊥BC 且AB ∩BC=B ， ∴CD ⊥平面ABC. 3分 又),10(<<==λλADAF AC AE∴不论λ为何值，恒有EF ∥CD ，∴EF ⊥平面ABC ，EF ⊂平面BEF,∴不论λ为何值恒有平面BEF ⊥平面ABC. 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE ⊥EF ，又平面BEF ⊥平面ACD ，∴BE ⊥平面ACD ，∴BE ⊥AC. 9分 ∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°， ∴,660tan 2,2===AB BD 11分,722=+=∴BC AB AC 由AB 2=AE ·AC 得,76,76==∴=ACAE AE λ 13分故当76=λ时，平面BEF ⊥平面ACD. 14分。

高中数学必修2立体几何考题13．如图所示;正方体ABCD－A1B1C1D1中;M、N分别是A1B1;B1C1的中点．问：1AM和CN是否是异面直线说明理由；2D1B和CC1是否是异面直线说明理由．解析：1由于M、N分别是A1B1和B1C1的中点;可证明MN∥AC;因此AM与CN不是异面直线．2由空间图形可感知D1B和CC1为异面直线的可能性较大;判断的方法可用反证法．探究拓展：解决这类开放型问题常用的方法有直接法即由条件入手;经过推理、演算、变形等;如第1问;还有假设法;特例法;有时证明两直线异面用直线法较难说明问题;这时可用反证法;即假设两直线共面;由这个假设出发;来推证错误;从而否定假设;则两直线是异面的．解：1不是异面直线．理由如下：∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点;∴MN∥A1C1.又∵A1A∥D1D;而D1D綊C1C;∴A1A綊C1C;∴四边形A1ACC1为平行四边形．∴A1A∥AC;得到MN∥AC;∴A、M、N、C在同一个平面内;故AM和CN不是异面直线．2是异面直线．理由如下：假设D1B与CC1在同一个平面CC1D1内;则B∈平面CC1D1;C∈平面CC1D1.∴BC平面CC1D1;这与在正方体中BC⊥平面CC1D1相矛盾;∴假设不成立;故D1B与CC1是异面直线．14．如下图所示;在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中;M为AB的中点;N为BB1的中点;O为面BCC1B1的中心．1过O作一直线与AN交于P;与CM交于Q只写作法;不必证明；2求PQ的长不必证明．解析：1由ON∥AD知;AD与ON确定一个平面α.又O、C、M 三点确定一个平面β如下图所示．∵三个平面α;β和ABCD两两相交;有三条交线OP、CM、DA;其中交线DA与交线CM不平行且共面．∴DA与CM必相交;记交点为Q.∴OQ是α与β的交线．连结OQ与AN交于P;与CM交于Q;故OPQ即为所作的直线．2解三角形APQ可得PQ＝错误!.15．如图;在直三棱柱ABC－A1B1C1中;AB＝BC＝B1B＝a;∠ABC＝90°;D、E分别为BB1、AC1的中点．2证明：DE为异面直线BB1与AC1的公垂线；3求异面直线BB1与AC1的距离．解析：1由于直三棱柱ABC－A1B1C1中;AA1∥BB1;所以∠A1AC1就是异面直线BB1与AC1所成的角．又AB＝BC＝B1B＝a;∠ABC＝90°;所以A1C1＝错误!a;tan∠A1AC1＝错误!;即异面直线BB1与AC1所成的角的正切值为错误!.2证明：解法一：如图;在矩形ACC1A1中;过点E作AA1的平行线MM1分别交AC、A1C1于点M、M1;连结BM;B1M1;则BB1綊MM1.又D、E分别是BB1、MM1的中点;可得DE綊BM.在直三棱柱ABC－A1B1C1中;由条件AB＝BC得BM⊥AC;所以BM⊥平面ACC1A1;故DE⊥平面ACC1A1;所以DE⊥AC1;DE⊥BB1;即DE为异面直线BB1与AC1的公垂线．解法二：如图;延长C1D、CB交于点F;连结AF;由条件易证D是C1F的中点;B是CF的中点;又E是AC1的中点;所以DE∥AF.在△ACF中;由AB＝BC＝BF知AF⊥AC.在直三棱柱ABC－A1B1C1中;AA1⊥平面ABC;所以AF⊥AA1;故AF⊥平面ACC1A1;故DE⊥平面ACC1A1;所以DE⊥AC1;DE⊥BB1;即DE为异面直线BB1与AC1的公垂线．3由2知线段DE的长就是异面直线BB1与AC1的距离;由于AB ＝BC＝a;∠ABC＝90°;所以DE＝错误!a.反思归纳：两条异面直线的公垂线是指与两条异面直线既垂直又相交的直线;两条异面直线的公垂线是惟一的;两条异面直线的公垂线夹在两条异面直线之间的线段的长度就是两条异面直线的距离．证明一直线是某两条异面直线的公垂线;可以分别证明这条直线与两条异面直线垂直．本题的思路是证明这条直线与一个平面垂直;而这一平面与两条异面直线的位置关系是一条直线在平面内;另一条直线与这个平面平行．16．如图所示;在正方体ABCD－A1B1C1D1中;O;M分别是BD1;AA1的中点．1求证：MO是异面直线AA1和BD1的公垂线；3若正方体的棱长为a;求异面直线AA1与BD1的距离．解析：1证明：∵O是BD1的中点;∴O是正方体的中心;∴OA＝OA1;又M为AA1的中点;即OM是线段AA1的垂直平分线;故OM⊥AA1.连结MD1、BM;则可得MB＝MD1.同理由点O为BD1的中点知MO⊥BD1;即MO是异面直线AA1和BD1的公垂线．2由于AA1∥BB1;所以∠B1BD1就是异面直线AA1和BD1所成的角．在Rt△BB1D1中;设BB1＝1;则BD1＝错误!;所以cos∠B1BD1＝错误!;故异面直线AA1与BD1所成的角的余弦值等于错误!.3由1知;所求距离即为线段MO的长;由于OA＝错误!AC1＝错误!a;AM＝错误!;且OM⊥AM;所以OM ＝错误!a.13．如图所示;正方体ABCD－A1B1C1D1中;侧面对角线AB1;BC1上分别有两点E、F;且B1E＝C1F;求证：EF∥ABCD.证明：解法一：分别过E、F作EM⊥AB于M;FN⊥BC于N;连结MN.∵BB1⊥平面ABCD;∴BB1⊥AB;BB1⊥BC;∴EM∥BB1;FN∥BB1;∴EM∥FN.又B1E＝C1F;∴EM＝FN;故四边形MNFE是平行四边形;∴EF∥MN;又MN在平面ABCD中;所以EF∥平面ABCD.解法二：过E作EG∥AB交BB1于G;连结GF;则错误!＝错误!;∵B1E＝C1F;B1A＝C1B;∴错误!＝错误!;∴FG∥B1C1∥BC.又EG∩FG＝G;AB∩BC＝B;∴平面EFG∥平面ABCD;而EF平面EFG;∴EF∥平面ABCD.14．如下图;在四棱锥P－ABCD中;底面ABCD是正方形;侧棱PD⊥底面ABCD;PD＝DC.过BD作与P A平行的平面;交侧棱PC于点E;又作DF⊥PB;交PB于点F.1求证：点E是PC的中点；2求证：PB⊥平面EFD.证明：1连结AC;交BD于O;则O为AC的中点;连结EO.∵P A∥平面BDE;平面P AC∩平面BDE＝OE;∴P A∥OE.∴点E是PC的中点；2∵PD⊥底面ABCD且DC底面ABCD;∴PD⊥DC;△PDC是等腰直角三角形;而DE是斜边PC的中线;∴DE⊥PC;①又由PD⊥平面ABCD;得PD⊥BC.∵底面ABCD是正方形;CD⊥BC;∴BC⊥平面PDC.而DE平面PDC.∴BC⊥DE.②由①和②推得DE⊥平面PBC.而PB平面PBC;∴DE⊥PB;又DF⊥PB且DE∩DF＝D;所以PB⊥平面EFD.15．如图;l1、l2是互相垂直的异面直线;MN是它们的公垂线段．点A、B在l1上;C在l2上;AM＝MB＝MN.1求证AC⊥NB；2若∠ACB＝60°;求NB与平面ABC所成角的余弦值．证明：1如图由已知l2⊥MN;l2⊥l1;MN∩l1＝M;可得l2⊥平面ABN.由已知MN⊥l1;AM＝MB＝MN;可知AN＝NB且AN⊥NB.又AN为AC在平面ABN内的射影;∴AC⊥NB.2∵Rt△CNA≌Rt△CNB;∴AC＝BC;又已知∠ACB＝60°;因此△ABC为正三角形．∵Rt△ANB≌Rt△CNB;∴NC＝NA＝NB;因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC 的中心．连结BH;∠NBH为NB与平面ABC所成的角．在Rt△NHB中;cos∠NBH＝错误!＝错误!＝错误!.16．如图;在四面体ABCD中;CB＝CD;AD⊥BD;点E、F分别是AB、BD的中点．求证：1直线EF∥平面ACD；2平面EFC⊥平面BCD.命题意图：本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系;考查空间想象能力、推理论证能力．证明：1在△ABD中;∵E、F分别是AB、BD的中点;所以EF∥AD.又AD平面ACD;EF平面ACD;∴直线EF∥平面ACD.2在△ABD中;∵AD⊥BD;EF∥AD;∴EF⊥BD.在△BCD中;∵CD＝CB;F为BD的中点;∴CF⊥BD.∵EF平面EFC;CF平面EFC;EF与CF交于点F;∴BD⊥平面EFC.又∵BD平面BCD;∴平面EFC⊥平面BCD.13．如图;在四棱锥P－ABCD中;底面ABCD是边长为a的正方形;P A⊥平面ABCD;且P A＝2AB.1求证：平面P AC⊥平面PBD；2求二面角B－PC－D的余弦值．解析：1证明：∵P A⊥平面ABCD;∴P A⊥BD.∵ABCD为正方形;∴AC⊥BD.∴BD⊥平面P AC;又BD在平面BPD内;∴平面P AC⊥平面BPD.2在平面BCP内作BN⊥PC;垂足为N;连结DN;∵Rt△PBC≌Rt△PDC;由BN⊥PC得DN⊥PC；∴∠BND为二面角B－PC－D的平面角;在△BND中;BN＝DN＝错误!a;BD＝错误!a;∴cos∠BND＝错误!＝－错误!.14．如图;已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体;点E在AA1上;点F在CC1上;G在BB1上;且AE＝FC1＝B1G＝1;H是B1C1的中点．1求证：E、B、F、D1四点共面；2求证：平面A1GH∥平面BED1F.证明：1连结FG.∵AE＝B1G＝1;∴BG＝A1E＝2;∴BG綊A1E;∴A1G綊BE.∵C1F綊B1G;∴四边形C1FGB1是平行四边形．∴FG綊C1B1綊D1A1;∴四边形A1GFD1是平行四边形．∴A1G綊D1F;∴D1F綊EB;故E、B、F、D1四点共面．2∵H是B1C1的中点;∴B1H＝错误!.又B1G＝1;∴错误!＝错误!.又错误!＝错误!;且∠FCB＝∠GB1H＝90°;∴△B1HG∽△CBF;∴∠B1GH＝∠CFB＝∠FBG;∴HG∥FB.又由1知A1G∥BE;且HG∩A1G＝G;FB∩BE＝B;∴平面A1GH∥平面BED1F.15．在三棱锥P－ABC中;P A⊥面ABC;△ABC为正三角形;D、E分别为BC、AC的中点;设AB＝P A＝2.1求证：平面PBE⊥平面P AC；2如何在BC上找一点F;使AD∥平面PEF;请说明理由；3对于2中的点F;求三棱锥B－PEF的体积．解析：1证明：∵P A⊥面ABC;BE面ABC;∴P A⊥BE.∵△ABC是正三角形;E为AC的中点;∴BE⊥AC;又P A与AC相交;∴BE⊥平面P AC;∴平面PBE⊥平面P AC.2解：取DC的中点F;则点F即为所求．∵E;F分别是AC;DC的中点;∴EF∥AD;又AD平面PEF;EF平面PEF;∴AD∥平面PEF.3解：V B－PEF＝V P－BEF＝错误!S△BEF·P A＝错误!×错误!×错误!×错误!×2＝错误!.16．2009·天津;19如图所示;在五面体ABCDEF中;F A⊥平面ABCD;AD∥BC∥FE;AB⊥AD;M为CE的中点;AF＝AB＝BC＝FE＝错误!AD.1求异面直线BF与DE所成的角的大小；2求证：平面AMD⊥平面CDE；3求二面角A－CD－E的余弦值．解答：1解：由题设知;BF∥CE;所以∠CED或其补角为异面直线BF与DE所成的角．设P为AD的中点;连结EP;PC.因为FE綊AP;所以F A綊EP.同理;AB綊PC.又F A⊥平面ABCD;所以EP⊥平面ABCD.而PC;AD都在平面ABCD内;故EP⊥PC;EP⊥AD.由AB⊥AD;可得PC⊥AD.设F A＝a;则EP＝PC＝PD＝a;CD＝DE＝EC＝错误!a.故∠CED＝60°.所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°.2证明：因为DC＝DE且M为CE的中点;所以DM⊥CE.连结MP;则MP⊥CE.又MP∩DM＝M;故CE⊥平面AMD.而CE平面CDE;所以平面AMD⊥平面CDE.3设Q为CD的中点;连结PQ;EQ.因为CE＝DE;所以EQ⊥CD.因为PC＝PD;所以PQ⊥CD;故∠EQP为二面角A－CD－E的平面角．由1可得;EP⊥PQ;EQ＝错误!a;PQ＝错误!a.于是在Rt△EPQ中;cos∠EQP＝错误!＝错误!.所以二面角A－CD－E的余弦值为错误!.13．2009·重庆如图所示;四棱锥P－ABCD 中;AB⊥AD;AD⊥DC;P A⊥底面ABCD;P A＝AD＝DC＝错误!AB＝1;M 为PC的中点;N点在AB上且AN＝错误!NB.1求证：MN∥平面P AD；2求直线MN与平面PCB所成的角．解析：1证明：过点M作ME∥CD交PD于E点;连结AE.∵AN＝错误!NB;∴AN＝错误!AB＝错误!DC＝EM.又EM∥DC∥AB;∴EM綊AN;∴AEMN为平行四边形;∴MN∥AE;∴MN∥平面P AD.2解：过N点作NQ∥AP交BP于点Q;NF⊥CB于点F.连结QF;过N点作NH⊥QF于H;连结MH;易知QN⊥面ABCD;∴QN⊥BC;而NF⊥BC;∴BC⊥面QNF;∵BC⊥NH;而NH⊥QF;∴NH⊥平面PBC;∴∠NMH为直线MN与平面PCB所成的角．通过计算可得MN＝AE＝错误!;QN＝错误!;NF＝错误!错误!;∴NH＝错误!＝错误!＝错误!;∴sin∠NMH＝错误!＝错误!;∴∠NMH＝60°;∴直线MN与平面PCB所成的角为60°.14．2009·广西柳州三模如图所示;已知直平行六面体ABCD－A1B1C1D1中;AD⊥BD;AD＝BD＝a;E是CC1的中点;A1D⊥BE.1求证：A1D⊥平面BDE；2求二面角B－DE－C的大小．解析：1证明：在直平行六面体ABCD－A1B1C1D1中;∵AA1⊥平面ABCD;∴AA1⊥BD.又∵BD⊥AD;∴BD⊥平面ADD1A1;即BD⊥A1D.又∵A1D⊥BE且BE∩BD＝B;∴A1D⊥平面BDE.2解：如图;连B1C;则B1C⊥BE;易证Rt△BCE∽Rt△B1BC;∴错误!＝错误!;又∵E为CC1中点;∴BC2＝错误!BB错误!.BB1＝错误!BC＝错误!a.取CD中点M;连结BM;则BM⊥平面CC1D1C;作MN⊥DE于N;连NB;由三垂线定理知：BN⊥DE;则∠BNM是二面角B－DE－C的平面角．在Rt△BDC中;BM＝错误!＝错误!a;Rt△CED中;易求得MN＝错误!a;Rt△BMN中;tan∠BNM＝错误!＝错误!;则二面角B－DE－C的大小为arctan错误!.15．如图;已知正方体ABCD－A1B1C1D1中;E为AB的中点．1求直线B1C与DE所成的角的余弦值；2求证：平面EB1D⊥平面B1CD；3求二面角E－B1C－D的余弦值．解析：1连结A1D;则由A1D∥B1C知;B1C与DE所成的角即为A1D 与DE所成的角．连结A1E;由正方体ABCD－A1B1C1D1;可设其棱长为a;则A1D＝错误!a;A1E＝DE＝错误!a;∴cos∠A1DE＝错误!＝错误!.∴直线B1C与DE所成角的余弦值是错误!.2证明取B1C的中点F;B1D的中点G;连结BF;EG;GF.∵CD⊥平面BCC1B1;且BF平面BCC1B1;∴DC⊥BF.又∵BF⊥B1C;CD∩B1C＝C;∴BF⊥平面B1CD.又∵GF綊错误!CD;BE綊错误!CD;∴GF綊BE;∴四边形BFGE是平行四边形;∴BF∥GE;∴GE⊥平面B1CD.∵GE平面EB1D;∴平面EB1D⊥平面B1CD.3连结EF.∵CD⊥B1C;GF∥CD;∴GF⊥B1C.又∵GE⊥平面B1CD;∴EF⊥B1C;∴∠EFG是二面角E－B1C－D的平面角．设正方体的棱长为a;则在△EFG中;GF＝错误!a;EF＝错误!a;∴cos∠EFG＝错误!＝错误!;∴二面角E－B1C－D的余弦值为错误!.16．2009·全国Ⅱ;18如图所示;直三棱柱ABC－A1B1C1中;AB⊥AC;D、E分别为AA1、B1C的中点;DE⊥平面BCC1.1求证：AB＝AC；2设二面角A－BD－C为60°;求B1C与平面BCD所成的角的大小．解析：1证明：取BC中点F;连结EF;则EF綊错误!B1B;从而EF綊DA.连结AF;则ADEF为平行四边形;从而AF∥DE.又DE⊥平面BCC1;故AF⊥平面BCC1;从而AF⊥BC;即AF为BC 的垂直平分线;所以AB＝AC.2解：作AG⊥BD;垂足为G;连结CG.由三垂线定理知CG⊥BD;故∠AGC为二面角A－BD－C的平面角．由题设知;∠AGC＝60°.设AC＝2;则AG＝错误!.又AB＝2;BC＝2错误!;故AF＝错误!.由AB·AD ＝AG·BD得2AD＝错误!·错误!;解得AD＝错误!;故AD＝AF.又AD⊥AF;所以四边形ADEF为正方形．因为BC⊥AF;BC⊥AD;AF∩AD＝A;故BC⊥平面DEF;因此平面BCD⊥平面DEF.连结AE、DF;设AE∩DF＝H;则EH⊥DF;EH⊥平面BCD.连结CH;则∠ECH为B1C与平面BCD所成的角．因ADEF为正方形;AD＝错误!;故EH＝1;又EC＝错误!B1C＝2;所以∠ECH＝30°;即B1C与平面BCD所成的角为30°.13．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中;底面边长为2错误!;侧棱长为4;E、F分别为棱AB、BC的中点．1求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1；2求点D1到平面B1EF的距离d.分析：1可先证EF⊥平面BDD1B1.2用几何法或等积法求距离时;可由B1D1∥BD;将点进行转移：D1点到平面B1EF的距离是B点到它的距离的4倍;先求B点到平面B1EF的距离即可．解答：1证明：错误!EF⊥平面BDD1B1平面B1EF⊥平面BDD1B1.2解：解法一：连结EF交BD于G点．∵B1D1＝4BG;且B1D1∥BG;∴D1点到平面B1EF的距离是B点到它的距离的4倍．利用等积法可求．由题意可知;EF＝错误!AC＝2;B1G＝错误!.S△B1EF＝错误!EF·B1G＝错误!×2×错误!＝错误!;S△BEF＝错误!BE·BF＝错误!×错误!×错误!＝1.∵VB－B1EF＝VB1－BEF;设B到面B1EF的距离为h1;则错误!×错误!×h1＝错误!×1×4;∴h1＝错误!.∴点D1到平面B1EF的距离为h＝4h1＝错误!.解法二：如图;在正方形BDD1B1的边BD上取一点G;使BG＝错误!BD;连结B1G;过点D1作D1H⊥B1G于H;则D1H即为所求距离．可求得D1H＝错误!直接法．14．如图直三棱柱ABC－A1B1C1中;侧棱CC1＝2;∠BAC＝90°;AB ＝AC＝错误!;M是棱BC的中点;N是CC1中点．求：1二面角B1－AN－M的大小；2C1到平面AMN的距离．解析：1∵∠BAC＝90°;AB＝AC＝错误!;M是棱BC的中点;∴AM⊥BC;BC＝2;AM＝1.∴AM⊥平面BCC1B1.∴平面AMN⊥平面BCC1B1.作B1H⊥MN于H;HR⊥AN于R;连结B1R;∴B1H⊥平面AMN.又由三垂线定理知;B1R⊥AN.∴∠B1RH是二面角B1－AN－M的平面角．由已知得AN＝错误!;MN＝错误!;B1M＝错误!＝B1N;则B1H＝错误!;又Rt△AMN∽Rt△HRN;错误!＝错误!;∴RH＝错误!.∴B 1R ＝错误!;∴cos ∠B 1RH ＝错误!＝错误!.∴二面角B 1－AN －M 的大小为arccos 错误!.2∵N 是CC 1中点;∴C 1到平面AMN 的距离等于C 到平面AMN 的距离．设C 到平面AMN 的距离为h ;由V C －AMN ＝V N －AMC得错误!×错误!·MN ·h ＝错误!×错误!AM ·MC .∴h ＝错误!.15．2009·北京海淀一模如图所示;四棱锥P －ABCD 中;P A ⊥平面ABCD ;底面ABCD 为直角梯形;且AB ∥CD ;∠BAD ＝90°;P A ＝AD ＝DC ＝2;AB ＝4.1求证：BC ⊥PC ；2求PB 与平面P AC 所成的角的正弦值；3求点A 到平面PBC 的距离．解析：1证明：如图;在直角梯形ABCD 中;∵AB ∥CD ;∠BAD ＝90°;AD ＝DC ＝2;∴∠ADC ＝90°;且AC ＝2错误!.取AB 的中点E ;连结CE ;由题意可知;四边形ABCD 为正方形;∴AE ＝CE ＝2.又∵BE ＝错误!AB ＝2.∴CE ＝错误!AB ;∴△ABC 为等腰直角三角形;∴AC ⊥BC .又∵P A ⊥平面ABCD ;且AC 为PC 在平面ABCD 内的射影; BC 平面ABCD ;由三垂线定理得;BC ⊥PC .2由1可知;BC ⊥PC ;BC ⊥AC ;PC ∩AC ＝C ;∴BC ⊥平面P AC .PC 是PB 在平面P AC 内的射影;∴∠CPB 是PB 与平面P AC 所成的角．又CB ＝2错误!;PB 2＝P A 2＋AB 2＝20;PB ＝2错误!;∴sin ∠CPB ＝错误!＝错误!;即PB 与平面P AC 所成角的正弦值为错误!.3由2可知;BC ⊥平面P AC ;BC 平面PBC ;∴平面PBC ⊥平面P AC .过A 点在平面P AC 内作AF ⊥PC 于F ;∴AF ⊥平面PBC ;∴AF 的长即为点A 到平面PBC 的距离．在直角三角形P AC中; P A＝2;AC＝2错误!;PC＝2错误!;∴AF＝错误!.即点A到平面PBC的距离为错误!.16．2009·吉林长春一模如图所示;四棱锥P－ABCD的底面是正方形;P A⊥底面ABCD;P A＝2;∠PDA＝45°;点E、F分别为棱AB、PD 的中点．1求证：AF∥平面PCE；2求二面角E－PD－C的大小；3求点A到平面PCE的距离．解析：1证明：如图取PC的中点G;连结FG、EG;∴FG为△PCD的中位线;∴FG＝错误!CD且FG∥CD.又∵底面四边形ABCD是正方形;E为棱AB的中点;∴AE＝错误!CD且AE∥CD;∴AE＝FG且AE∥FG.∴四边形AEGF是平行四边形;∴AF∥EG.又EG平面PCE;AF平面PCE;∴AF∥平面PCE.2解：∵P A⊥底面ABCD;∴P A⊥AD;P A⊥CD.又AD⊥CD;P A∩AD＝A;∴CD⊥平面P AD.又∵AF平面P AD;∴CD⊥AF.又P A＝2;∠PDA＝45°;∴P A＝AD＝2.∵F是PD的中点;∴AF⊥PD.又∵CD∩PD＝D;∴AF⊥平面PCD.∵AF∥EG;∴EG⊥平面PCD.又GF⊥PD;连结EF;则∠GFE是二面角E－PD－C的平面角．在Rt△EGF中;EG＝AF＝错误!;GF＝1;∴tan∠GFE＝错误!＝错误!.∴二面角E－PD－C的大小为arctan错误!.3设A到平面PCE的距离为h;由V A－PCE ＝V P－ACE;即错误!×错误!PC·EG·h＝错误!P A·错误!AE·CB;得h＝错误!;∴点A到平面PCE的距离为错误!.13．2009·陕西;18如图所示;在直三棱柱ABC－A1B1C1中;AB＝1;AC＝AA1＝错误!;∠ABC＝60°.1求证：AB⊥A1C；2求二面角A－A1C－B的大小．解析：1证明：∵三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱;∴AB⊥AA1;在△ABC中;AB＝1;AC＝错误!;∠ABC＝60°;由正弦定理得∠ACB＝30°;∴∠BAC＝90°;即AB⊥AC.∴AB⊥平面ACC1A1;又A1C平面ACC1A1;∴AB⊥A1C.2解：如图;作AD⊥A1C交A1C于D点;连结BD;由三垂线定理知BD⊥A1C;∴∠ADB为二面角A－A1C－B的平面角．在Rt△AA1C中;AD＝错误!＝错误!＝错误!;在Rt△BAD中;tan∠ADB＝错误!＝错误!;∴∠ADB＝arctan错误!;即二面角A－A1C－B的大小为arctan 错误!.14．如图;三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为a的正三角形;侧面ABB1A1是菱形且垂直于底面;∠A1AB＝60°;M是A1B1的中点．1求证：BM⊥AC；2求二面角B－B1C1－A1的正切值；3求三棱锥M－A1CB的体积．解析：1证明：∵ABB1A1是菱形;∠A1AB＝60°△A1B1B是正三角形;BM⊥平面A1B1C1.错误!BM⊥AC.错误!BE⊥B1C1;∴∠BEM为所求二面角的平面角;△A1B1C1中;ME＝MB1·sin60°＝错误!a;Rt△BMB1中;MB＝MB1·tan60°＝错误!a;∴tan∠BEM＝错误!＝2;∴所求二面角的正切值是2.3VM－A1CB＝错误!VB1－A1CB＝错误!VA－A1CB＝错误!VA1－ABC＝错误!×错误!×错误!a2·错误!a＝错误!a3.15．2009·广东汕头一模如图所示;已知△BCD中;∠BCD＝90°;BC ＝CD＝1;AB⊥平面BCD;∠ADB＝60°;E、F分别是AC、AD上的动点;且错误!＝错误!＝λ0<λ<1．1求证：不论λ为何值;总有EF⊥平面ABC；2若λ＝错误!;求三棱锥A－BEF的体积．解析：1证明：∵AB⊥平面BCD;∴AB⊥CD.又∵在△BCD中;∠BCD＝90°;∴BC⊥CD.∵又AB∩BC＝B;∴CD⊥平面ABC.又∵在△ACD中;E、F分别是AC、AD上的动点;且错误!＝错误!＝λ0<λ<1;∴不论λ为何值;都有EF∥CD;∴EF⊥平面ABC.2在△BCD中;∠BCD＝90°;BC＝CD＝1;∴BD＝错误!.又∵AB⊥平面BCD;∴AB⊥BC;AB⊥BD.又∵在Rt△ABD中;∠ADB＝60°;∴AB＝BD·tan60°＝错误!;由1知EF⊥平面ABC;∴V A－BEF ＝V F－ABE＝错误!S△ABE·EF＝错误!×错误!S△ABC·EF＝错误!×错误!×1×错误!×错误!＝错误!.故三棱锥A－BEF的体积是错误!.16．在四棱锥P－ABCD中;侧面PDC是边长为2的正三角形;且与底面垂直;底面ABCD是面积为2错误!的菱形;∠ADC为菱形的锐角．1求证：P A⊥CD；2求二面角P－AB－D的大小；3求棱锥P－ABCD的侧面积；解析：1证明：如图所示;取CD的中点E;由PE⊥CD;得PE⊥平面ABCD;连结AC、AE.∵AD·CD·sin∠ADC＝2错误!;AD＝CD＝2;∴sin∠ADC＝错误!;即∠ADC＝60°;∴△ADC为正三角形;∴CD⊥AE.∴CD⊥P A三垂线定理．2解：∵AB∥CD;∴AB⊥P A;AB⊥AE;∴∠P AE为二面角P－AB－D的平面角．在Rt△PEA中;PE＝AE;∴∠P AE＝45°.即二面角P－AB－D的大小为45°.3分别计算各侧面的面积：∵PD＝DA＝2;P A＝错误!;∴cos∠PDA＝错误!;sin∠PDA＝错误!.S△PCD＝错误!;S△P AB＝错误!AB·P A＝错误!·2·错误!·错误!＝错误!;S△P AD＝S△PBC＝错误!PD·DA·sin∠PDA＝错误!.∴S P＝错误!＋错误!＋错误!.－ABCD侧13．把地球当作半径为R的球;地球上A、B两地都在北纬45°;A、B两点的球面距离是错误!R;A点在东经20°;求B点的位置．解析：如图;求B点的位置即求B点的经度;设B点在东经α;∵A、B两点的球面距离是错误!R.∴∠AOB＝错误!;因此三角形AOB是等边三角形;∴AB＝R;又∵∠AO1B＝α－20°经度差问题转化为在△AO1B中借助AO1＝BO1＝AO cos45°＝错误!R;求出∠AO1B＝90°;则α＝110°;同理：B点也可在西经70°;即B点在北纬45°东经110°或西经70°.14．在球心同侧有相距9cm的两个平行截面;它们的面积分别为49πcm2和400πcm2;求球的表面积和体积．解析：如图;两平行截面被球大圆所在平面截得的交线分别为AO1、BO2;则AO1∥BO2.若O1、O2分别为两截面圆的圆心;则由等腰三角形性质易知OO1⊥AO1;OO2⊥BO2;设球半径为R;∵πO2B2＝49π;∴O2B＝7cm;同理O1A＝20cm.设OO1＝x cm;则OO2＝x＋9cm.在Rt△OO1A中;R2＝x2＋202;在Rt△OO2B中;R2＝x＋92＋72;∴x2＋202＝72＋x＋92;解得x＝15cm.∴R＝25cm;∴S球＝2500πcm2;V球＝错误!πR3＝错误!πcm3.15．设A、B、C是半径为1的球面上的三点;B、C两点间的球面距离为错误!;点A与B、C两点间的球面距离均为错误!;O为球心;求：1∠AOB、∠BOC的大小；2球心O到截面ABC的距离．解析：1如图;因为球O的半径为1;B、C两点间的球面距离为错误!;点A与B、C两点间的球面距离均为错误!;所以∠BOC＝错误!;∠AOB＝∠AOC＝错误!;2因为BC＝1;AC＝AB＝错误!;所以由余弦定理得cos∠BAC＝错误!;sin∠BAC＝错误!;设截面圆的圆心为O1;连结AO1;则截面圆的半径r＝AO1;由正弦定理得r＝错误!＝错误!;所以OO1＝错误!＝错误!.16．如图四棱锥A－BCDE中;AD⊥底面BCDE;AC⊥BC;AE⊥BE.1求证：A、B、C、D、E五点共球；2若∠CBE＝90°;CE＝错误!;AD＝1;求B、D两点的球面距离．解析：1证明：取AB的中点P;连结PE;PC;PD;由题设条件知△AEB、△ADB、△ABC都是直角三角形．故PE＝PD＝PC＝错误!AB＝P A＝PB.所以A、B、C、D、E五点在同一球面上．2解：由题意知四边形BCDE为矩形;所以BD＝CE＝错误!;在Rt△ADB中;AB＝2;AD＝1;∴∠DPB＝120°;D、B的球面距离为错误!π.17．本小题满分10分如图;四棱锥S—ABCD的底面是正方形;SA⊥底面ABCD;E是SC上一点．1求证：平面EBD⊥平面SAC；2假设SA＝4;AB＝2;求点A到平面SBD的距离；解析：1∵正方形ABCD;∴BD⊥AC;又∵SA⊥平面ABCD;∴SA⊥BD;则BD⊥平面SAC;又BD平面BED;∴平面BED⊥平面SAC.2设AC∩BD＝O;由三垂线定理得BD⊥SO.AO＝错误!AC＝错误!错误!AB＝错误!·错误!·2＝错误!;SA＝4;则SO＝错误!＝错误!＝3错误!;S△BSD＝错误!BD·SO＝错误!·2错误!·3错误!＝6.设A到面BSD的距离为h;则V S－ABD＝V A－BSD;即错误!S△ABD·SA＝错误!S△BSD·h;解得h＝错误!;即点A到平面SBD的距离为错误!.18．本小题满分12分如图;正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中;AA1＝2AB＝4;点E在C1C上且C1E＝3EC.1证明A1C⊥平面BED；2求二面角A1－DE－B的大小．解析：依题设知AB＝2;CE＝1;1证明：连结AC交BD于点F;则BD⊥AC.由三垂线定理知;BD⊥A1C.在平面A1CA内;连结EF交A1C于点G;由于错误!＝错误!＝2错误!;故Rt△A1AC∽Rt△FCE;∠AA1C＝∠CFE;∠CFE与∠FCA1互余．于是A1C⊥EF.A1C与平面BED内两条相交直线BD、EF都垂直．所以A1C⊥平面BED.2作GH⊥DE;垂足为H;连结A1H.由三垂线定理知A1H⊥DE;故∠A1HG是二面角A1－DE－B的平面角．EF＝错误!＝错误!;CG＝错误!＝错误!.EG＝错误!＝错误!.错误!＝错误!;GH＝错误!×错误!＝错误!.又A1C＝错误!＝2错误!;A1G＝A1C－CG＝错误!;tan∠A1HG＝错误!＝5错误!.所以二面角A1－DE－B的大小为arctan5错误!.19．本小题满分12分如图;四棱锥S－ABCD的底面是直角梯形;∠ABC＝∠BCD＝90°;AB＝BC＝SB＝SC＝2CD＝2;侧面SBC⊥底面ABCD.1由SA的中点E作底面的垂线EH;试确定垂足H的位置；2求二面角E－BC－A的大小．解析：1作SO⊥BC于O;则SO平面SBC;又面SBC⊥底面ABCD;面SBC∩面ABCD＝BC;∴SO⊥底面ABCD①又SO平面SAO;∴面SAO⊥底面ABCD;作EH⊥AO;∴EH⊥底面ABCD②即H为垂足;由①②知;EH∥SO;又E为SA的中点;∴H是AO的中点．2过H作HF⊥BC于F;连结EF;由1知EH⊥平面ABCD;∴EH⊥BC;又EH∩HF＝H;∴BC⊥平面EFH;∴BC⊥EF;∴∠HFE为面EBC和底面ABCD所成二面角的平面角．在等边三角形SBC中;∵SO⊥BC;∴O为BC中点;又BC＝2.∴SO＝错误!＝错误!;EH＝错误!SO＝错误!;又HF＝错误!AB＝1;∴在Rt△EHF中;tan∠HFE＝错误!＝错误!＝错误!;∴∠HFE＝arctan错误!.即二面角E－BC－A的大小为arctan错误!.20．本小题满分12分2010·唐山市高三摸底考试如图;在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中;AB＝1;AA1＝2;N是A1D的中点;M∈BB1;异面直线MN与A1A所成的角为90°.1求证：点M是BB1的中点；2求直线MN与平面ADD1A1所成角的大小；3求二面角A－MN－A1的大小．解析：1取AA1的中点P;连结PM;PN.∵N是A1D的中点;∴AA1⊥PN;又∵AA1⊥MN;MN∩PN＝N;∴AA1⊥面PMN.∵PM面PMN;∴AA1⊥PM;∴PM∥AB;∴点M是BB1的中点．2由1知∠PNM即为MN与平面ADD1A1所成的角．在Rt△PMN中;易知PM＝1;PN＝错误!;∴tan∠PNM＝错误!＝2;∠PNM＝arctan2.故MN与平面ADD1A1所成的角为arctan2.3∵N是A1D的中点;M是BB1的中点;∴A1N＝AN;A1M＝AM;又MN为公共边;∴△A1MN≌△AMN.在△AMN中;作AG⊥MN交MN于G;连结A1G;则∠A1GA即为二面角A－MN－A1的平面角．在△A1GA中;AA1＝2;A1G＝GA＝错误!;∴cos∠A1GA＝错误!＝－错误!;∴∠A1GA＝arccos－错误!;故二面角A－MN－A1的大小为arccos－错误!．21．2009·安徽;18本小题满分12分如图所示;四棱锥F－ABCD 的底面ABCD是菱形;其对角线AC＝2;BD＝错误!.AE、CF都与平面ABCD垂直;AE＝1;CF＝2.1求二面角B－AF－D的大小；2求四棱锥E－ABCD与四棱锥F－ABCD公共部分的体积．命题意图：本题考查空间位置关系;二面角平面角的作法以及空间几何体的体积计算等知识．考查利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力．解答：1解：连接AC、BD交于菱形的中心O;过O作OG⊥AF;G为垂足;连接BG、DG.由BD⊥AC;BD⊥CF得BD⊥平面ACF;故BD⊥AF.于是AF⊥平面BGD;所以BG⊥AF;DG⊥AF;∠BGD为二面角B －AF－D的平面角．由FC⊥AC;FC＝AC＝2;得∠F AC＝错误!;OG＝错误!.由OB⊥OG;OB＝OD＝错误!;得∠BGD＝2∠BGO＝错误!.2解：连接EB、EC、ED;设直线AF与直线CE相交于点H;则四棱锥E－ABCD与四棱锥F－ABCD的公共部分为四棱锥H－ABCD.过H作HP⊥平面ABCD;P为垂足．因为EA⊥平面ABCD;FC⊥平面ABCD;所以平面ACEF⊥平面ABCD;从而P∈AC;HP⊥AC.由错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝1;得HP＝错误!.又因为S菱形ABCD＝错误!AC·BD＝错误!;故四棱锥H－ABCD的体积V＝错误!S菱形ABCD·HP＝错误!.22．2009·深圳调考一本小题满分12分如图所示;AB为圆O的直径;点E、F在圆O上;AB∥EF;矩形ABCD所在平面和圆O所在的平面互相垂直．已知AB＝2;EF＝1.1求证：平面DAF⊥平面CBF；2求直线AB与平面CBF所成角的大小；3当AD的长为何值时;二面角D－FE－B的大小为60°解析：1证明：∵平面ABCD⊥平面ABEF;CB⊥AB;平面ABCD∩平面ABEF＝AB;∴CB⊥平面ABEF.∵AF平面ABEF;∴AF⊥CB;又∵AB为圆O的直径;∴AF⊥BF;∴AF⊥平面CBF.∵AF平面DAF;∴平面DAF⊥平面CBF.2解：根据1的证明;有AF⊥平面CBF;∴FB为AB在平面CBF上的射影;因此;∠ABF为直线AB与平面CBF所成的角．∵AB∥EF;∴四边形ABEF为等腰梯形;过点F作FH⊥AB;交AB于H.AB＝2;EF＝1;则AH＝错误!＝错误!.在Rt△AFB中;根据射影定理AF2＝AH·AB;得AF＝1;sin∠ABF＝错误!＝错误!;∴∠ABF＝30°;∴直线AB与平面CBF所成角的大小为30°.3解：过点A作AM⊥EF;交EF的延长线于点M;连结DM.根据1的证明;DA⊥平面ABEF;则DM⊥EF;∴∠DMA为二面角D－FE－B的平面角;∠DMA＝60°.在Rt△AFH中;∵AH＝错误!;AF＝1;∴FH＝错误!.又∵四边形AMFH为矩形;∴MA＝FH＝错误!.∵AD＝MA·tan∠DMA＝错误!·错误!＝错误!.因此;当AD的长为错误!时;二面角D－FE－B的大小为60°.。

面面垂直与二面角一．选择题（共12小题）1．如图梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD：BC：AB=2：3：4，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折，给出四个结论：①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面DBF⊥平面BFC；④平面DCF⊥平面BFC．则在翻折过程中，可能成立的结论的个数为（）A．1B．2C．3D．42．如图，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，E为MC的中点，则下列结论不正确的是（）A．平面BCE⊥平面ABNB．MC⊥ANC．平面CMN⊥平面AMND．平面BDE∥平面AMN3．下列命题中错误的是（）A．如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面βB．如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面βC．如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面βD．如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，那么l⊥γ4．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点，则下列结论中正确的个数为（）①DC1⊥D1P ②平面D1A1P⊥平面A1AP③∠APD1的最大值为90°④AP+PD1的最小值为⑤C1P与平面A1B1B所成角正弦值的取值范围是[，]A．1B．2C．3D．45．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BC1的中点，则DE与平面ABC1D1所成角的正弦值为（）A．B．C．D．6．二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB=2，AC=3，BD=4，CD=，则该二面角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．120°7．正四棱锥（顶点在底面的射影是底面正方形的中心）的体积为12，底面对角线的长为2，则侧面与底面所成的二面角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°8．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是AC的中点，AB1⊥BC1，则平面DBC1与平面CBC1所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°9．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，，AA1=1，则二面角C﹣B1D﹣C1的大小的余弦值为（）A．B．C．D．10．如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB．已知AB=4，AC=6，BD=8，则CD的长为（）A．B．7C．2D．911．如图，M，N是圆锥底面圆O上不同两点，且M，N，O不共线，设AN与底面所成角为α，二面角A﹣MN﹣O的平面角为β，ON与平面AMN所成角为γ，则（）A．β＞α＞γB．β＞γ＞αC．α＞β＞γD．α＞γ＞β12．如图，P是△ABC边AB上一点，将△ACP沿CP折成直二面角A'﹣CP﹣B，要使|A'B|最短，则CP是（）A．△ABC中AB边上的中线B．△ABC中AB边上的高线C．△ABC中∠ACB的平分线D．要视△ABC的具体情况而定二．解答题（共18小题）13．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，△PAD为等边三角形，E，M分别是AD，PD的中点，PB=2．（Ⅰ）求证：平面PBE⊥平面ABCD；（Ⅱ）求点P到平面ACM的距离．14．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB=BC，D为线段AC的中点，E为线段PC 上一点．〔Ⅰ）求证：PA⊥BD；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面PAC．15．如图，BD是圆O的直径，C是圆周上不同于B，D的任意一点，AB⊥平面BCD，E为AB 的中点．（1）求证：OE∥平面ACD；（2）求证：平面ACD⊥平面ABC．16．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为CC1的中点．（1）求证：平面AA1CC1⊥平面BDB1D1；（2）求直线BE与平面ACC1A1所成角的余弦值．17．如图1，梯形ABCD满足：AB∥CD，AD⊥AB，AD=DC=2AB=2，E是BA延长线上一点，AE=2．现将△EDA沿直线DA翻折，记翻折后的点E为点P．若PC=2，M为PC的中点，如图2．（Ⅰ）求证：平面ABM⊥平面PBD；（Ⅱ）求直线BC与平面PBD所成的角的正弦值．18．已知三棱锥A﹣BCD中，△BCD是等腰直角三角形，且BC⊥CD，BC=4，AD⊥平面BCD，AD=2．（Ⅰ）求证：平面ABC⊥平面ADC（Ⅱ）若E为AB的中点，求点A到平面CDE的距离．19．如图（1）在直角梯形ABCD中，∠BAD=90°，AB∥CD，CD=2AB=2AD=4，E为CD中点，现将△CEB沿BE折起，使得AC=4，得到如图（2）几何体，记线段CB的中点为F．（1）求证：平面CED⊥平面ABED（2）求点F到平面ACD的距离．20．如图所示，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EF∥AB，EF⊥FB，∠BFC=90°，BF=FC，H为BC的中点．（1）求证：FH∥平面BDE；（2）求证：平面BDE⊥平面ACF．21．如图，在正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）ABC﹣A1B1C1中，已知AB=AA1=2，点Q为BC的中点．（Ⅰ）求证：平面AQC1⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）求点B到平面AQC1的距离．22．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长和侧棱长都是4，D是CC1的中点，求：（1）三棱锥D﹣ABC的体积；（2）二面角D﹣AB﹣C的大小．23．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）求二面角P﹣AB﹣D的大小．24．三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面ABC是等边三角形，BC的中点为O，A1O⊥底面ABC，AA1与底面ABC所成的角为，点D在棱AA1上，且AD=，AB=2．（1）求证：OD⊥平面BB1C1C；（2）求二面角B﹣B1C﹣A1的平面角的余弦值．25．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形且∠ABC=120°，点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（1）求证：EF∥CD；（2）若PA=PD=AD=2，且平面PAD⊥平面ABCD，求锐二面角P﹣AF﹣E的余弦值．26．四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，BC=2AB，∠ABC=60°，PA=PB，点M为AB 的中点．（Ⅰ）在棱PD上作点N，使得AN∥平面PMC（Ⅱ）若PB⊥AC，且直线PC与平面PAB所成的角是45°，求二面角M﹣PC﹣A的余弦值27．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E、F分别为A1C1、BC的中点AB=BC=2，C1F⊥AB．（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；（2）若直线C1F和平面ACC1A1所成角的正弦值等于，求二面角A﹣BE﹣C的平面角的正弦值．28．已知PA⊥菱形ABCD所在平面，PA=，G为线段PC的中点，E为线段PD上一点，且=2．（1）求证：BG∥平面AEC；（2）若AB=2，∠ADC=60°，求二面角G﹣AE﹣C的余弦值．29．在多面体ABCDEF中，底面ABCD是梯形，四边形ADEF是正方形，AB∥DC，AB=AD=1，CD=2，AC=EC=．（1）求证：平面EBC⊥平面EBD；（2）设M为线段EC上一点，3=，求二面角M﹣BD﹣E的平面角的余弦值．30．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD是边长为的正方形，，PC=4，点E为PA中点，AC与BD交于点O．（Ⅰ）求证：OE⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角B﹣PA﹣D的余弦值．参考答案一．选择题（共12小题）1．解：因为BC∥AD，AD与DF相交不垂直，所以BC与DF不垂直，则①错误；设点D在平面BCF上的射影为点P，当BP⊥CF时就有BD⊥FC，而AD：BC：AB=2：3：4，可使条件满足，所以②正确；当点P落在BF上时，DP⊂平面BDF，从而平面BDF⊥平面BCF，所以③正确；因为点D的投影不可能在FC上，所以平面DCF⊥平面BFC不成立，即④错误．故选：B．2．解：分别过A，C作平面ABCD的垂线AP，CQ，使得AP=CQ=1，连接PM，PN，QM，QN，将几何体补成棱长为1的正方体．∵BC⊥平面ABN，BC⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面ABN，故A正确；连接PB，则PB∥MC，显然PB⊥AN，∴MC⊥AN，故B正确；取MN的中点F，连接AF，CF，AC．∵△AMN和△CMN都是边长为的等边三角形，∴AF⊥MN，CF⊥MN，∴∠AFC为二面角A﹣MN﹣C的平面角，∵AF=CF=，AC=，∴AF2+CF2≠AC2，即∠AFC≠，∴平面CMN与平面AMN不垂直，故C错误；∵DE∥AN，MN∥BD，∴平面BDE∥平面AMN，故D正确．故选：C．3．解：如果α⊥β，则α内与两平面的交线平行的直线都平行于面β，故可推断出A命题正确．B选项中α内与两平面的交线平行的直线都平行于面β，故B命题错误．C根据平面与平面垂直的判定定理可知C命题正确．D根据两个平面垂直的性质推断出D命题正确．故选：B．4．解：对于①，∵A1D1⊥DC1，A1B⊥DC1，∴DC1⊥面A1BCD1，D1P⊂面A1BCD1，∴DC1⊥D1P，①正确对于②，∵平面D1A1P即为平面D1A1BC，平面A1AP 即为平面A1ABB1，切D1A1⊥平面A1ABB1，∴平面D1A1BC，⊥平面A1ABB1，∴平面D1A1P⊥平面A1AP，∴②正确；对于③，当0＜A1P＜时，∠APD1为钝角，∴③错；对于④，将面AA1B与面A1BCD1沿A1B展成平面图形，线段AD1即为AP+PD1的最小值，在△D1A1A中，∠D1A1A=135°利用余弦定理解三角形得AD1=，即AP+PD1≥，∴④不正确．对于⑤，C1P与平面A1B1B所成角正弦值为，∵，∴C1P与平面A1B1B所成角正弦值的取值范围是[，]，故⑤正确．故选：C．5．解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCDA1B1C1D1中棱长为2，D（0，0，0），E（1，2，1），A（2，0，0），B（2，2，0），C1（0，2，2），=（1，2，1），=（0，2，0），=（﹣2，2，2），设平面ABC1D1的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，1），设DE与平面ABC1D1所成角为θ，则sinθ===，∴DE与平面ABC1D1所成角的正弦值为．故选：D．6．解：由已知可得：，，，∴=+2=32+22+42+2×3×4cos＜，＞=，∴cos＜＞=﹣，即＜＞=120°，∴二面角的大小为60°，故选：C．7．解：正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2，底面边长为2，底面积为12，所以正四棱锥的高为3，则侧面与底面所成的二面角的正切tanα==，则二面角等于60°，故选：C．8．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是AC的中点，AB1⊥BC1，则平面DBC1与平面CBC1所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°解：以A为坐标原点，、的方向分别为y轴和z轴的正方向建立空间直角坐标系．设底面边长为2a，侧棱长为2b，则A（0，0，0），C（0，2a，0），D（0，a，0），B（a，a，0），C1（0，2a，2b），B1（a，a，2b）．=（），=（﹣，a，2b），=（，0，0），=（0，a，2b），由AB1⊥BC1，得•=2a2﹣4b2=0，即2b2=a2．设=（x，y，z）为平面DBC1的一个法向量，则•=0，•=0．即，又2b2=a2，令z=1，解得=（0，﹣，1）．同理可求得平面CBC1的一个法向量为=（1，，0）．设平面DBC1与平面CBC1所成的角为θ，则cos θ==，解得θ=45°．∴平面DBC1与平面CBC1所成的角为45°．故选：B．9．解：建立空间直角坐标系，如图所示；长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，，AA1=1，∴A（0，0，0），C（2，，0），D（0，，0），B1（2，0，1），C1（2，，1）；∴=（﹣2，，﹣1），=（﹣2，0，0），=（0，，0）；设平面CB1D的法向量为=（x，y，z），则，即，令y=1得=（0，1，）；同理，设平面C1B1D的法向量为=（x，y，z），则，即，令x=1，则=（1，0，﹣2）；∴cos＜，＞===﹣，∴二面角C﹣B1D﹣C1的余弦值为﹣cos＜，＞=．故选：A．10．解：∵CA⊥AB，BD⊥AB，∴，．∵，∴=+++2+2+2═62+42+82+2×6×8cos120°=68，∴CD=2故选：C．11．解：连接OA，OM，取MN的中点H，连接OH，AH，过O作OD⊥AH，垂足为D，连接ND，由AO⊥底面，可得∠ANO=α，由OH⊥MN，AO⊥底面，由三垂线定理可得MN⊥AH，可得∠AHO=β，由OD⊥AH，MN⊥平面AHO，可得OD⊥MN，OD⊥平面AMN，可得∠OND=γ，且α，β，γ均为锐角，则sinα=，sinβ=＞=sinα，即β＞α；=•=＞1，即有β＞γ，tanα=，tanγ=，设AO=h，ON=r，OH=d，可得OD=，DN=，则tanα=，tanγ=，tan2α﹣tan2γ=＞0，可得tanα＞tanγ，即有α＞γ，即为β＞α＞γ．故选：A．12．解：如图所示，作A′E⊥CP，垂足为E．∵直二面角A'﹣CP﹣B，∴A′E⊥平面BCP．时AC=b，BC=a，∠ACB=α．设∠ACP=θ．则A′E=bsinθ，CE=bcosθ．BE2=b2cos2θ+a2﹣2abcosθcos（α﹣θ），∴A′B2=（A′E）2+BE2=b2sin2θ+b2cos2θ+a2﹣2abcosθcos（α﹣θ）=b2+a2﹣2abcosθcos（α﹣θ），∵cosθcos（α﹣θ）=cosθ（cosαcosθ+sinαsinθ）=cosαcos2θ+sinαsin2θ=c osα+sinαsin2θ=+cos（α﹣2θ）．∴A′B2=b2+a2﹣abcosα﹣abcos（α﹣2θ），当且仅当cos（α﹣2θ）=1时，即α=2θ时，即CP为∠ACB的平分线时，|A'B|最短．故选：C．二．解答题（共18小题）13．（Ⅰ）证明：由题意知，正△PAD边长为2，∵E为AD的中点，∴PE⊥AD，PE=，在正方形ABCD中，E为AD的中点，边长为2，则BE=，在△PBE中，BE2+PE2=8=PB2，∴PE⊥BE，又BE∩AD=E，∴PE⊥平面ABCD，∵PE⊂P平面ABCDM，∴平面PBE⊥平面ABCD；（Ⅱ）由题意知V P﹣ACM=V C﹣APM，△PAD为等边三角形，则AM=，∴S△APM=，∵PE⊥平面ABCD，∴PE⊥CD，∵CD⊥AD．∴CD⊥平面PAD，故CD为三棱锥C﹣PAB的高，∴CD⊥PD，在正方形ABCD中，AC=2，则在△ACM中，满足8=AC2=AM2+CM2，∴△ACM为直角三角形，∴AM⊥MC，∴S△ACM=|AM|•|CM|=，设点P到平面ACM的距离为d，由V P﹣ACM=V C﹣APM，得×d×S△ACM=×CD×S△APM，解得d=14．证明：（Ⅰ）∵在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC=B，∴PA⊥平面ABC，∵D为线段AC的中点，∴BD⊂平面ABC，∴PA⊥BD．（Ⅱ）∵AB=BC，D为线段AC的中点，∴BD⊥AC，∵PA⊥BD，PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，∵BD⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面PAC．15．．证明：（1）∵BD是圆O的直径，E为AB的中点，∴OE∥AD，∵OE⊄平面ACD，AD⊂平面ACD，∴OE∥平面ACD．（2）∵BD是圆O的直径，∴BC⊥DC，∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD，∵AB∩BC=B，∴平面ACD⊥平面ABC．16．证明：（1）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，有AA1⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，∴AA1⊥BD，又由正方形ABCD，可知AC⊥BD，AA1∩AC=A，∴BD⊥平面ACC1A1，又BD⊂平面BDD1B1，∴平面AA1C1C⊥平面BDD1B1．（6分）解：（2）记AC与BD交点为O，连接OE，∵BD⊥平面ACC1A1，∴∠OEB即为直线BE与平面ACC1A1所成角，设正方体棱长AB=2，则OB=，BE=，OE=，则有cos=，直线BE与平面ACC1A1所成角的余弦值为．（12分）17．（Ⅰ）证明：在△ADE中，AD=AE=2，得DE=2，即PD=．在△PDC中，DC=2，PC=2，可得PC2=PD2+DC2，∴∠CDP=90°，即CD⊥PD．又CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD．取PD中点N，则MN是△PCD的中位线，∴MN∥CD，MN=．又AB∥CD，AB=，∴AB∥MN，AB=MN，即四边形ABMN为平行四边形．又AN是等腰直角三角形PAD斜边PD的中线，∴PD⊥AN，又CD⊥平面PAD，∴AB⊥平面PAD，AB⊥PD．∴PD⊥平面ABM，又PD⊂平面PBD，∴平面ABM⊥平面PBD；（Ⅱ）解：在△MNB中，作MH⊥NB于H，则MH⊥平面PBD，由已知可得MN=1，MB=，又NB=，∴，即点M到平面PDB的距离为．又由于M是PC的中点，∴点C到平面PBD的距离h=．求得BC=，设直线BC与平面PBD所成的角为θ，则s inθ=．18．（Ⅰ）证明：∵AD⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，∴AD⊥BC，又∵BC⊥CD，CD∩AD=D，∴BC⊥平面ACD，又BC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ACD．…（5分）（Ⅱ）解：由已知可得，取CD中点为F，连结EF，∵，∴△ECD为等腰三角形，∴，，…（8分）由（Ⅰ）知BC⊥平面ACD，∴E到平面ACD的距离为：，∴S△ACD=4，…（10分）设A到平面CED的距离为d，有，解得，∴A到平面CDE的距离是．…（12分）19．（1）证明：由条件可知BA=DE，BA∥DE，∠BAD=90°，∴四边形ABED为正方形，∴BE⊥EC，BE⊥ED，EC⊥ED=E，⇒BE⊥平面DEC．又BE⊂平面ABCD，所以平面CED⊥平面ABCD．（2）AD∥BE，∴AD⊥平面DEC，∴∠ADC=90°，∴∠CED=120°，△CED为等腰三角形．过点E作EM⊥CD，∴M为CD中点⇒ME=1 ∴ME⊥CD，ME⊥AD⇒ME⊥平ACD．又F为BC的中点，∴．20．证明：（1）设BD与AC交于点O，连接OE、OH．∵O、H分别为AC，BC中点，∴OH∥AB，OH=AB，∴EF∥AB，EF=AB，∴OH=EF，OH∥EF，∴四边形OEFH为平行四边形，∴FH∥OE，又∴FH⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，∴FH∥平面BDE．（2）∵EF∥AB，EF⊥FB，AB∩FB=B，∴EF⊥平面ABF，∵FB⊂平面ABF，∴AB⊥FB，∵AB⊥BC，BC∩FB=B，∴AB⊥平面BCF，∵FH⊂BCF，∴AB⊥FH，∵FH⊥BC，AB∩BC=B，∴FH⊥平面ABCD，又FH∥OE，∴OE⊥平面ABCD，∵AC⊂平面ABCD，∴OE⊥AC，∵AC⊥BD，AC∩BD=O，∴AC⊥平面BDE，又AC⊂平面ACF，∴平面BDE⊥平面ACF．21．解：（I）证明：由题意知，AB=AC，Q为BC的中点，∴AQ⊥BC；由B1B⊥平面ABC，得B1B⊥AQ；∵BC，B1B⊂平面B1BCC1，且BC∩B1B=B，∴AQ⊥平面B1BCC1，又∵AQ⊂平面AC1Q，∴平面AC1Q⊥平面B1BCC1；……（6分）（II）设点B到平面AQC1的距离为d，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABQ，∴CC1为三棱锥C1﹣ABQ的高；由（I）知，AQ⊥平面B1BCC1，则AQ⊥QC1，∴；∴，；又，∴，即，解得．……（12分）22．解：（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为正三棱柱，且底面边长和侧棱长都是4，D是CC1的中点，∴，三棱锥D﹣ABC的高为DC=2．∴三棱锥D﹣ABC的体积V=；（2）取AB中点G，连接DG，CG，则AB⊥平面DGC，∴∠DGC为二面角D﹣AB﹣C的平面角，在Rt△DCG中，DC=2，CG=，∴tan∠DGC=，则．即二面角D﹣AB﹣C的大小为．23．证明：（1）∵四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．∴AB⊥AD，AB⊥PD，又AD∩PD=D，∴AB⊥平面PAD，∵AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD．解：（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，设PD=DC=DP=2，则A（2，0，0），P（0，0，2），D（0，0，0），B（2，2，0），=（﹣2，0，2），=（0，2，0），设平面PAB的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，1），平面ABD的法向量=（0，0，1），设二面角P﹣AB﹣D的大小为θ，则cosθ===，θ=45°，∴二面角P﹣AB﹣D的大小为45°．24．（1）证明：连接AO，∵A1O⊥底面ABC，AO，BC⊂底面ABC，∴BC⊥A1O，A1O⊥AO，且AA1与底面ABC 所成的角为∠A1AO，即．在等边三角形ABC中，易求得AO=．在△AOD中，由余弦定理，得，∴OD2+AD2=3=OA2，即OD⊥AA1．又∵AA1∥BB1，∴OD⊥BB1．∵AB=AC，OB=OC，∴AO⊥BC，又∵BC⊥A1O，AO∩A1O=O，∴BC⊥平面AA1O，又∵OD⊂平面AA1O，∴OD⊥BC，又BC∩BB1=B，∴OD⊥平面BB1C1C．（2）如下图所示，以O为原点，分别以OA，OB，OA1所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则故由（1）可知，∴可得点D的坐标为，∴平面BB1C1C的一个法向量是．设平面A1B1C的法向量=（x，y，z），由得，令，则y=3，z=﹣1，则，∴，易知所求的二面角为钝二面角，∴二面角B﹣B1C﹣A1的平面角的余弦角值是．25．解：（1）∵底面ABCD是菱形，∴AB∥CD，又∵AB⊄面PCD，CD⊂面PCD，∴AB∥面PCD，…（2分）又∵A，B，E，F四点共面，且平面ABEF∩平面PCD=EF，∴AB∥EF，即可得EF∥CD…（5分）（2）取AD中点G，连接PG，GB，∵PA=PD，∴PG⊥AD，又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥GB，在菱形ABCD中，∵AB=AD，∠DAB=60°，G是AD中点，∴AD⊥GB，…（6分）如图，建立空间直角坐标系G﹣xyz，设PA=PD=AD=2，则G（0，0，0），A（1，0，0），B（0，，0），C（﹣2，，0），D（﹣1，0，0），P（0，0，）又∵AB∥EF，点E是棱PC中点，∴点F是棱PD中点，E（﹣1，，），F（﹣，0，），，，设平面AFE的法向量为=（x，y，z），则有⇒，不妨令x=3，则平面AFE的一个法向量为．∵BG⊥平面PAD，∴是平面PAF的一个法向量，cos==∴锐二面角P﹣AF﹣E的余弦值为．．…（12分）26．解：（Ⅰ）：点N为PD中点．下证：取PD中点N，PC中点Q，连结AN，QN，MQ，在△PCD中，N，Q分别是所在边PD，PC的中点，则NQ∥CD且．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）因为点M为AB中点，AB=CD，所以NQ∥AM且NQ=AM．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）所以四边形AMQN是平行四边形，所以AN∥MQ．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）又因为AN⊄平面PMC，MQ⊂平面PMC，所以AN∥平面PMC．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）在△ABC中，BC=2AB，∠ABC=60°，设AB=a，则BC=2a，由余弦定理有：，则BC2=AB2+AC2，由勾股定理的逆定理可得：AC⊥AB．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）又因为PB⊥AC，PB∩AB=B，PB，AB⊂平面PAB，所以AC⊥平面PAB．因为PM⊂平面PAB，所以AC⊥PM．因为PA=PB，点M为线段AB的中点，所以PM⊥AB，因此PM，AB，AC两两垂直．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）以A为原点，分别以AB，AC所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系．因为直线PC与平面PAB的所成角是45°，所以∠CPA=45°，所以Rt△CAP是等腰直角三角形，所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）则A（0，0，0），，，，，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）设平面PMC的一个法向量为=（x，y，z），则即得，同理可得，平面PAC的一个法向量为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）则．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）由图可得所求二面角的平面角为锐角，所以二面角M﹣PC﹣A的余弦值为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）27．（1）证明：在直三棱柱中，CC1⊥AB，又C1F⊥AB，且CC1∩C1F=C1，∴AB⊥平面B1BCC1，又∵AB⊂平面EBA，∴平面ABE⊥平面B1BCC1；（2）解：由（1）可知，AB⊥BC，以B点为坐标原点，为x轴正方向，为y轴正方向，为z轴正方向建立坐标系．设AA1=a，则B（0，0，0），C（2，0，0），A（0，2，0），B1（0，0，a），C1（2，0，a），A1（0，2，a），E （1，1，a），F（1，0，0）．直线FC1的方向向量，平面ACC1A1的法向量．可知||=，∴a=2．，，，设平面ABE的法向量，由，取z=﹣1，可得．设平面CBE的法向量，由，取z=﹣1，可得．记二面角A﹣BE﹣C的平面角为θ，∴|cosθ|=||=，则sin．故二面角A﹣BE﹣C的平面角的正弦值为．28．（1）证明：取PE的中点F，连接GF，BF，∵G为PC的中点，∴GF∥CE，∴GF∥平面AEC．连接BD交AC与点O，连接OE．∵E为DF的中点，∴BF∥OE，∴BF∥平面AEC．∵BF∩GF=F，∴平面BGF∥平面AEC．又BG⊄平面BGF，∴BG∥平面AEC；（2）解：如图，建立空间直角坐标系O﹣xyz．则则O（0，0，0），A（﹣1，0，0），C（1，0，0），P（﹣1，0，），D（0，，0），E（，，），G（0，0，2），∴=（，，），=（2，0，0），=（1，0，），设平面AEC的法向量为，则，∴，即，不妨设得=（0，，），设平面AEG的法向量为，则，∴，即，不妨设z2=1得=（，0，1），∴=．由图可知，二面角G﹣AE﹣C为锐角，则二面角G﹣AE﹣C的余弦值为．29．证明：（1）∵AD=1，CD=2，AC=，∴AD2+CD2=AC2，∴△ADC为直角三角形，且AD⊥DC，同理∵ED=1，CD=2，EC=，∴ED2+CD2=EC2，∴△EDC为直角三角形，且ED⊥DC，又四边形ADEF是正方形，∴AD⊥DE，又∵AB∥DC，∴DA⊥AB．在梯形ABCD中，过点作B作BH⊥CD于H，∴四边形ABHD是正方形，∴∠ADB=45°．在△BCH中，BH=CH=1，∴∠BCH=45°．BC=，∴∠BDC=45°，∴∠DBC=90°，∴BC⊥BD．∵ED⊥AD，ED⊥DC，AD∩DC=D．AD⊂平面ABCD，DC⊂平面ABCD．∴BD⊥平面ABCD，又∵BC⊂平面ABCD，∴ED⊥BC，因为BD∩ED=D，BD⊂平面EBD，ED⊂平面EBD．∴BC⊥平面EBD，BC⊂平面EBC，∴平面EBC⊥平面EBD．解：（2）以D为原点，DA，DC，DE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，D（0，0，0），E（0，0，1），B（1，1，0），C（0，2，0）．令M（0，y0，z0），则=（0，y0，z0﹣1），=（0，2，﹣1），∵3=，∴（0，3y0，3z0﹣3a）=（0，2，﹣1），∴M（0，，）．=（1，1，0），=（0，），∵BC⊥平面EBD，∴=（﹣1，1，0）是平面EBD的一个法向量．设平面MBD的法向量为=（x，y，z）．则．令y=1，得=（﹣1，1，1），∴cos＜＞===，∴二面角M﹣BD﹣E的平面角的余弦值为．30．证明：（I）底面四边形ABCD是边长为的正方形，，PC=4，在△PBC中，∵PB2=PC2+BC2，∴PC⊥BC，同理可得BC⊥CD，而BC∩CD=C，BC、CD⊂平面ABCD，∴PC⊥平面ABCD，在△PAC中，由题意知O、E分别为AC、PA中点，则OE∥PC，而PC⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD．解：（II）由（I）知：OE⊥平面ABCD，故可建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示，A（1，0，0），B（0，1，0），D（0，﹣1，0），P（﹣1，0，4），∴=（﹣2，0，4），=（﹣1，1，0），=（﹣1，﹣1，0），设、=（a，b，c）分别为平面PAB和平面PAD的一个法向量，则，，∴，，不妨设z=c=1，则=（2，2，1），=（2，﹣2，1），∴cos＜＞===，由图知二面角B﹣PA﹣D为钝二面角，∴二面角的B﹣PA﹣D的余弦值为﹣．。

高一数学复习题三〔立几部分1、如下图<3>,在四棱锥P ABCD -中,四边形ABCD 是平行四边形,,M N 分别是,AB PC 的中点,求证：MN PAD //平面 。

证明：如图,取PD 中点为E ,连接,AE EN ———1分,E N 分别是,PD PC 的中点12EN DC ∴//———————————————4分 M 是AB 的中点 12AM DC ∴// ——————7分EN AM ∴//∴四边形AMNE 为平行四边形 —9分 AE MN ∴// ———————————————11分又AE APD ⊂面MN APD ⊄面∴MN PAD //平面 。

————————12分2、〔本小题满分12分如图,在正方体1111ABCD A B C D -中, （1）画出二面角11A B C C --的平面角；并说明理由 〔2求证：面11BB DD ⊥面1AB C解：〔1如图,取1B C 的中点E ,连接1,AE EC 。

11,,AC AB B C 分别为正方形的对角线E 是1B C 的中点1AE B C ∴⊥ ——————————————2分又在正方形11BB C C 中11EC B C ∴⊥ ——————————————3分∴1AEC ∠为二面角11A B C C --的平面角。

—————————————————4分〔2 证明： 1D D ABCD ⊥面,AC ABCD ⊂面1D D AC ∴⊥ —————6分又在正方形ABCD 中 AC BD ∴⊥ —————————————————8分BCADM NP图<3>E1A 1B 1D 1C CABDDEB C A D M N P1D DBD D =11AC DD B B ∴⊥面 ———————————————10分又1AC AB C ⊂面∴面11BB DD ⊥面1AB C ——————————————12分3、如图,在边长为a 的菱形ABCD 中,E,F 是PA 和AB 的中点。