图1三线摆实验装置示意图
图2 三线摆原理图
实验五 用三线摆测量刚体的转动惯量
【实验目的】
1. 学会正确测量长度、质量和时间。
2. 学习用三线摆测量圆盘和圆环绕对称轴的转动惯量。
【实验器材】
三线摆仪、米尺、游标卡尺、数字毫秒计、气泡水平仪、物理天平和待测圆环等。
【实验原理】
转动惯量是刚体转动时惯性大小的量度，它与刚体的质量分布和转轴的位置有关。对于质量分布均匀、外形不复杂的刚体，测出其外形尺寸及质量，就可以计算出其转动惯量；而对于外形复杂、质量分布不均匀的刚体，其转动惯量就难以计算，通常利用转动实验来测定。三线摆就是测量刚体转动惯量的基本方法之一。
图1是三线摆实验装置示意图。三线摆是由上、下两个匀质圆盘，用三条等长的摆线（摆线为不易拉伸的细线）连接而成。上、下圆盘的系线点构成等边三角形，下盘处于悬挂状态，并可绕OO ‘
轴线作扭转摆动，称为摆盘。由于三线摆的摆动周期与摆盘的转动惯量有一定关
系，所以把待测样品放在摆盘上后，三线摆系统的摆动周期就要相应的随之改变。这样，根据摆动周期、摆动质量以及有关的参量，就能求出摆盘系统的转动惯量。
设下圆盘质量为0m ，当它绕OO ＇
扭转的最大角位移为o θ时，圆盘的中心位置升高h ，这时
圆盘的动能全部转变为重力势能，有：
gh m E P 0= （g 为重力加速度）
当下盘重新回到平衡位置时，重心降到最低点，这时最大角速度为0ω，重力势能被全部转变为动能，有：
2002
1ωI E K =
式中0I 是下圆盘对于通过其重心且垂直于盘面的OO ‘
轴的转动惯量。 如果忽略摩擦力，根据机械能守恒定律可得：
20002
1ωI gh m =
（1） 设悬线长度为l ，下圆盘悬线距圆心为R 0，当下圆盘转过一角度0θ时，从上圆盘B 点作下圆盘垂线，与升高h 前、后下圆盘分别交于C 和C 1，如图2所示，则：
1
2
!21)()(BC BC BC BC BC BC h +-=
-=
因为 2
2
2
2
2
)()()()(r R AC AB BC --=-=
所以 1
2
102sin 4)cos 1(2BC BC Rr BC BC Rr h +=+-=
θθ 在扭转角0θ很小，摆长l 很长时，sin
2
2
θθ≈
，而BC+BC 1≈2H ，其中
H=22)(r R l --
式中H 为上下两盘之间的垂直距离,则
H
Rr h 220θ=
（2）
由于下盘的扭转角度0θ很小（一般在5度以内），摆动可看作是简谐振动。则圆盘的角位移与时间的关系是
t T 0
02sin
π
θθ= 式中，θ 是圆盘在时间t 时的角位移，0θ是角振幅，0T 是振动周期，若认为振动初位相是零，则角速度为：
)cos 2()()()(022********θRr r R C A B A BC -+-=-=
t T T dt d 0
002cos 2ππθθω==
经过平衡位置时 00
02θπ
ωT =
（3） 将（2）、（3）式代入（1）式可得
2
02
004T H
gRr m I π=
（4） 实验时，测出0m 、H r R 、、及0T ，由（4）式求出圆盘的转动惯量0I 。在下盘上放上另一个质量为m ，转动惯量为I （对OO ′轴）的物体时，测出周期为T ，则有
2
2
004)(T H
gRr m m I I π+=
+ （5） 从（5）减去（4）得到被测物体的转动惯量I 为
])[(4200202
T m T m m H
gRr
I -+=
π （6） 在理论上，对于质量为m ，内、外直径分别为d 、D 的均匀圆环，通过其中心垂直轴线的转动惯量为
)(8
1
])2()2[(212222D d m D d m I +=+=
而对于质量为0m 、直径为0D 的圆盘，相对于中心轴的转动惯量为
20008
1
D m I =
【实验步骤】
测量下盘和圆环对中心轴的转动惯量
1. 调节上盘绕线螺丝使三根线等长（50cm 左右）；调节底脚螺丝，使上、下盘处于水平状态（水平仪放于下圆盘中心）。
2. 等待三线摆静止后，用手轻轻扭转上盘5°左右随即退回原处，使下盘绕仪器中心轴作小角度扭转摆动（不应伴有晃动）。用数字毫秒计测出50次完全振动的时间0t ，重复测量5
图3 下盘悬点示意图
次求平均值0t ，计算出下盘空载时的振动周期T 0。
3. 将待测圆环放在下盘上，使它们的中心轴重合。再用数字毫秒计测出50次完全振动的时间t ，重复测量5次求平均值，算出此时的振动周期T 。
4. 测出圆环质量（m ）、内外直径（d 、D ）及仪器有关参量（H r R m 和,,0等）。 因下盘对称悬挂，使三悬点正好联成一正三角形（见图3）。若测得两悬点间的距离为L ，则圆盘的有效半径R （圆心到悬点的距离）等于 L/3。
5.将实验数据填入下表中。先由（4）式推出0I 的相对不确定度公式，算出0I 的相对不确定度、绝对不确定度，并写出0I 的测量结果。再由（6）式算出圆环
对中心轴的转动惯量I ，并与理论值比较，计算出绝对不确定度、相对不确定度，写出I 的测量结果。
【数据处理】
1. 实验数据表格
下盘质量=0m g ， 圆环质量=m g
待 测 物 体
待 测 量
测 量 次 数
平均值
1
2 3 4 5 上 盘
半 径 R /m 下 盘
有效半径/cm
周 期50
t
T
=/S
上、下盘
垂直距离H /cm 圆 环
内 径 d /cm
外 径 D /cm
下盘加圆环
周 期50
t
T
=/S
2. 根据表中数据计算出相应量，并将测量结果表达为：
