Probability Distributions

目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key words (1)引言 (1)1 几种常见的具有可加性的分布 (1)1.1 二项分布 (2)1.2 泊松分布（Possion分布） (3)1.3 正态分布 (4)1.4 伽玛分布 (6)1.5 柯西分布 (7)1.6 卡方分布 (7)2 具有可加性的概率分布间的关系 (8)2.1 二项分布的泊松近似 (8)2.2 二项分布的正态近似 (9)2.3 正态分布与泊松分布间的关系 (10)2.4 正态分布与柯西分布、卡方分布及卡方分布与伽玛分布的关系 (11)3 小结 (12)参考文献 (12)致谢 (13)概率论中几种具有可加性的分布及其关系概率论中几种具有可加性的分布及其关系摘要 概率论与数理统计中概率分布的可加性是一个十分重要的内容.所谓分布的可加性指的是同一类分布的独立随机变量和的分布仍属于此类分布.结合其特点，这里给出了概率论中几种具有可加性的分布：二项分布，泊松分布，正态分布，柯西分布，卡方分布以及伽玛分布.文章讨论了各类分布的性质及其可加性的证明，这里给出了证明分布可加性的两种方法，即利用卷积公式和随机变量的特征函数.除此之外，文章就可加性分布之间的各种关系，如二项分布的泊松近似，棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理等，进行了不同层次的讨论. 关键词 概率分布 可加性 相互独立 特征函数Several Kinds of Probability Dstribution and its Relationshipwith AdditiveAbstract Probability and mathematical statistics in the probability distribution of additivity is a very important content.The distribution of the so-called additivity refers to the distribution of the same kind of independent random variables and distribution are still belong to this kind of bined with its characteristics, here given several has additivity distribution in probability theory: the binomial distribution, poisson distribution and normal distribution and cauchy distribution, chi-square distribution and gamma distribution.Article discusses the nature of all kinds of distribution and its proof of additivity, additive of proof distribution are also given two methods, namely using convolution formula and characteristic function of a random variable. In addition, this paper the relationships between the additive property distribution, such as the binomial distribution of poisson approximation, Di mo - Laplace's central limit theorem, and so on,has carried on the different levels of discussion. Key Words probability distribution additivity property mutual independence characteristic function引言 概率论与数理统计是研究大量随机现象的统计规律性的学科，在概率论与数理统计中，有时候我们需要求一些随机变量的和的分布，在这些情形中，有一种求和类型比较特殊，即有限个相互独立且同分布的随机变量的和的分布类型不变，这一求和过程称为概率分布的“可加性”.概率分布中随机变量的可加性是一个相当重要的概念，本文给出了概率论中常见的六种具有可加性的分布，包括二项分布，泊松分布，正态分布，伽玛分布，柯西分布和卡方分布.文章最后讨论了几项分布之间的关系，如二项分布的泊松近似，正态近似等等.1 几种常见的具有可加性的分布在讨论概率分布的可加性之前，我们先来看一下卷积公式和随机变量的特征函数,首先来看卷积公式[1]：①离散场合的卷积公式 设离散型随机变量ξζ,彼此独立，且它们的分布列分别是n k a k P k ,1,0,)(⋅⋅⋅===ζ和.,,1,0,)(n k b k P k ⋅⋅⋅===ξ则ξζϑ+=的概率分布列可表示为.2,1,0,)()()(0⋅⋅⋅==-====-==∑∑k b a i k P i P k P i k ki i ki ξζϑ②连续场合的卷积公式 设连续型随机变量ξζ,彼此独立，且它们的密度函数分别是)(),(y f x f ξζ，则它们的和ξζϑ+=的密度函数如下.)()()(dx x z f x f f f z f -⋅=⋅=⎰+∞∞-ξζξζϑ )2(其证明如下：ξζϑ+=的分布函数是dxdy y f x f z f z F zy x )()()()(ξζϑξζ⎰⎰≤+=≤+={}dx x f dy y f xz )()(ζξ⎰⎰+∞∞--∞-=.)()(dx x f x z F ζξ-=⎰+∞∞-其中)(x F ζ为ζ的分布函数，对上式两端进行求导，则可得到ξζϑ+=的密度函数： .)()()(dx x z f x f f f z f -⋅=⋅=⎰+∞∞-ξζξζϑ 即证.在概率分布可加性的证明中，除了卷积公式，我们常用的证明方法还有利用随机变量的特征函数.下面我们来讨论一下这几种具有可加性的分布及其可加性证明的过程中卷积公式和特征函数的应用. 1.1 二项分布1.1.1 二项分布),(p n B 的概念如果记ζ为n 次伯努利试验中成功（记为事件A ）的次数，则ζ的可能取值为0，1，2，……，n.记p 为事件A 发生的概率，则,)(p A p =(p A ),1p -=记为.q 即.1p q -=因n 次伯努利试验的基本结果可以记作 ѡ=（w 1,w 2，…ѡn ），w i 或为A 或为A ,这样的w 共有2n 个，这2n 个样本点w 组成了样本空间Ω.下求ζ的分布列，即求事件{ζk =}的概率.若某个样本点 ѡ=（w 1,w 2，…ѡn ）∈{k =ζ}，意味着w 1,w 2，…ѡn 中有k 个A ，k n -个A ，由独立性即可得:P (ζ).)1(k n k p p --=而事件{ζ=k }中这样的w 共有⎪⎭⎫⎝⎛n k 个，所以ζ的分布列为)(k P =ζ=⎪⎭⎫ ⎝⎛n k p k （1-p ）kn -，.,1,0n k ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=此分布即称为二项分布，记作),(~p n B ζ.且我们易验证其和恒为.1.也就是概率论中几种具有可加性的分布及其关系kn k nk n k p p -=-⎪⎭⎫ ⎝⎛∑)1(0=[]n p p )1(-+1=. n=1时，二项分布),(p n B 称为两点分布，有时也称之为10-分布. 二项分布的图像具有以下特点：①二项分布的图像形状取决于n 和p 的大小，随着p 的增加，分布图高峰逐渐右移. ②当5.0=p 时，图像是对称的. 1.1.2 二项分布的可加性定理 1.1.1设),,(~),,(~p m B p n B ξζ而且ξζ,相互独立，记,ξζϑ+=则有).,(~p m n B +ϑ证明 因,ξζϑ+=所以易知ϑ可以取m n +⋅⋅⋅2,1,0等1++m n 个值.根据卷积公式)1(，事件{}k =ϑ的概率可以表示为 )()()(0i k P i P k P ki -====∑=ξζϑi k m i k mi k i n i ki n i p p p p +----=-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑)1()1(0.)1(0⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-+∑m i k ki n i km n k p p 又因.0⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=∑m n k m i k ki n i 所以.,1,0,)1()(m n k p p k P k m n km n k +⋅⋅⋅=-⎪⎭⎫ ⎝⎛==-++ϑ也就是说，).,(~p m n B +ϑ即证！ 1.2 泊松分布(Possion 分布)与二项分布一样，泊松分布也是一种离散分布，许多随机现象，特别是社会现象与物理学中的一些随机现象都服从于泊松分布.泊松分布可作为描述大量试验中稀有事件出现次数的概率分布的数学模型. 1.2.1 泊松分布的概率分布列泊松分布的概率分布如下所示： 2,1,0,!)(===-k e k k P kλλζ…，其中λ大于0，记作)(~λζP .对于泊松分布而言，它的参数λ即是期望又是它的方差：λλλλλλλλλλ==-==-+∞=---+∞=∑∑e e k eek kE k k k k11)!1(!)(.又因， λλλλλ-+∞=-+∞=∑∑-==e k kek kE k kkk 1022)!1(!)( =[]λλ-+∞=-+-∑e k k kk )!1(1)1(1=∑∑+∞=--+∞=---+-11222)!1()!2(k k k k k e k eλλλλλλ=λλ+2故ζ的方差为22))(()()(ζζζE E Var -==λλλλ=-+22 1.2.2泊松分布的可加性定理 1.2.1 设随机变量)(~),(~2211λζλζP P ，且21,ζζ相互独立，则).(~2121λλζζ++P 证明 此处⋅⋅⋅=====--,2,1,0,!)(,!)(212211k e k k P ek k P k k λλλζλζ根据卷积公式)1(，有 21)!(!)(2121λλλλζζ---=-⋅==+∑e i k ei k P i k ki iik i ki i k i k k e -=+-∑-=210)()!(!!!21λλλλ .,1,0,!)()(2121⋅⋅⋅=+=+-k e k k λλλλ 所以).(~)(2121λλζζ++P 即证！同样我们可以利用特征函数对其进行证明，此处不再赘述. 1.3 正态分布1.3.1 正态分布的定义[6]定义1.3 对于已经给定的两个常数μ和σ>0，定义函数222/)(,21)(σμσμπσ--=x e x p ),(+∞-∞∈x )1( 它含有两个参数μ和σ.显然的，)(,x p σμ取正值.我们称密度函数为)(,x p σμ的分布为正态分布，记作),(2σμN ，它的分布函数记为dt ex F xt ⎰∞---=222)(,21)(σμσμπσ ),(+∞-∞∈x正态分布的密度函数的图像是一条钟形曲线，中间高两边低，而且关于μ=x 对称，在此处)(,x p σμ取最大值.21πσ我们称μ为该正态分布的中心，在μ=x 附近取值的可能性比较大，在σμ±=x 处有拐点.若将μ固定，改变σ的取值，则σ越大，曲线峰顶越低，图像较为平坦；σ越小，曲线封顶越高，图像较为陡峭.因此正态密度函数的尺度由σ确定，故称σ为尺度参数.同样的，将σ固定，而去改变μ的值，会发现图像沿x 轴平移而并不改变形状，也就说明该函数的位置由μ决定，故称其为位置参数.当1,0==σμ时的正态分布称为标准正态分布，记作)1,0(N .它的密度函数记为)(u ϕ，分布函数记为)(u Φ.则有),(,21)(2/2+∞-∞∈=-u e u u πϕ概率论中几种具有可加性的分布及其关系),(,21)(2/2+∞-∞∈=Φ⎰∞--u dt e u ut π1.3.2 一般正态分布的标准化对于正态分布族{},0),,(;),(2>+∞-∞∈=℘σμσμN标准正态分布)1,0(N 只是其中一个成员.其实在应用中很少有随机变量恰好服从标准正态分布，可是一般正态分布均可以利用线性变换转变成标准正态分布.所以一切与正态变量有关的事件的概率均可通过标准正态分布分布求取.定理1.3.1 如果随机变量),(~σμN Y ，则)1,0(~/)(N Y X σμ-=，其中X 为标准正态变量.证明 记Y 与X 的分布函数分别为)(y F Y 和)(x F X ，易知).()()()(x F x Y P x Y P x X P x F Y X σμσμσμ+=+≤=⎩⎨⎧⎭⎬⎫≤-=≤=因为正态分布函数严格递增而且处处可导，所以如果记Y 和X 的密度函数分别是)(y p Y 和)(x p X ，会有,21)()()(2/2μπσσμσμ-=⋅+=+=e x p x F dx d x p Y Y X 由此即得，).1,0(~N Y X σμ-= 即证.对于标准正态随机变量),1,0(~N X X 的数学期望为,21)(2/2dx xe X E x ⎰+∞∞--=π因被积函数2/2)(x xe x h -=为奇函数，故上述积分值为0，也就是说.0)(=X E而对于一般正态变量),(~2σμN Y ，如果满足X Y σμ+=，由数学期望的线性性质则可得到.0)(μσμ=⨯+=Y E所以我们可以知道正态分布),(2σμN 的数学期望即为其参数μ. 因为dx e x X E X E X Var x ⎰+∞∞--=-=2/222221))(()()(π⎰+∞∞---=)(212/2x e xd π}{⎰+∞∞--∞+∞--+-=dx e xe x x 2/2/22|21π.1221212/2===⎰+∞∞--πππdx e x 且X Y σμ+=,由方差的性质.)()(2σσμ=+=x Var Y Var也就是说，正态分布的方差即是其另一个参数.2σ 1.3.3 正态分布的可加性定理1.3.2 设随机变量而且X 和Y 彼此独立，且),,(~),,(~222211σμσμN Y N X 则有).,(~222121σσμμ+++N Y X证明 知Y X ,服从于正态分布，且它们的密度函数分别是).2exp(),2exp(22222211tt i t t i Y X σμϕσμϕ-=-=又因Y X ,彼此独立，所以)()()(t t t Y X Y X ϕϕϕ=+.)()(exp 2222121⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=t t i σσμμ这正是数学期望为,21μμ+方差为2221σσ+的正态分布的特征函数，即证！我们同样可以使用连续场合的卷积公式进行证明，详见文献[5]，此处不再赘述. 1.4 伽玛分布在讨论伽玛分布之前，我们先来看一下伽玛函数：我们称dx e x x -+∞-⎰=Γ01)(αα )0(>α为伽玛函数，α为其参数.它的性质如下：①;)21(,1)1(π=Γ=Γ②).()1(αααΓ=+Γα取自然数n 的时候，有 !.)()1(n n n n =Γ=+Γ 1.4.1 伽玛分布的定义定义1.4 如果随机变量X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≥Γ=--,0,0;0,)()(1x x e x x p xλαααλ 就称作X 服从伽玛分布，记为),,(~λαGa X 且λα,的值均大于0.α为伽玛分布的形状参数，λ为其尺度参数.当10<<α时，)(x p 为严格单调递减的函数，在0=x 处取得奇异点；当1=α时，)(x p 亦严格单调减，且0=x 时有;)0(λ=p 当21≤<α时，)(x p 为单峰函数，先上凸然后下凸；当2>α时，先下凸再上凸，最后下凸.而且随着α的增大，)(x p 逐渐接近于正态分布的密度函数.1.4.2 伽玛分布的可加性定理 1.4.1 设随机变量),,(~),,(~21λαλαGa Y Ga X 且X 和Y 彼此独立，则).,(~21λαα++Ga Y X证明 知 ,)1()(,)1()(21ααλϕλϕ---=-=itt it t Y X且X 与Y 彼此独立，所以,)1()()()()(21ααλϕϕϕ+-+-==itt t t Y X Y X此即为)(21αα+Ga 的特征函数，根据惟一性定理则可知).,(~21λαα++Ga Y X 结论得证！概率论中几种具有可加性的分布及其关系如正态分布，对于伽玛分布，我们同样可以利用连续场合的卷积公式对其可加性进行证明，详见文献[5]; 1.5 柯西分布[4]1.5.1 柯西分布的密度函数柯西分布是几个常见的连续分布之一.它的密度函数为).,(,)(1),,(22+∞-∞∈-+=x x x p μλλπμλ0,1==μλ时的柯西分布密度函数称为标准柯西分布密度函数，即).,(,111)(2+∞-∞∈+=x xx p π 为方便起见，往后我们分别记这两类密度函数为),(μλp 和).1,0(p 对于柯西分布的数学期望和方差，因.)(1),,(22+∞=-+⋅=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dx x x dx x p x μλλπμλ 所以dx x p x ),,(μλ⎰+∞∞-不收敛，故柯西分布的数学期望与方差均不存在.1.5.2 柯西分布的可加性定理 1.5.1 设随机变量),,(~),,(~2211μλμλp Y p X 且Y X ,彼此独立，则有).,(~2121μμλλ+++p Y X证明 因Y X ,均服从于柯西分布，且Y X ,的特征函数分别是 ,)(11tt i X e t λμϕ-=.)(22tt i Y et λμϕ-=又因Y X ,彼此独立，所以)()()(t t t Y X Y X ϕϕϕ⋅=+.)()(2121tt i e λλμμ+-+=这恰好就是参数为2121,μμλλ++的柯西分布的特征函数，所以).,(~2121μμλλ+++p Y X 即证！ 1.6 卡方分布（2χ分布）1.6.1卡方分布（2χ分布）的定义及密度函数定义 1.6[7] 设n X X X ⋅⋅⋅,,21独立同分布与标准正态分布分布),1,0(N 则称222212nX X X +⋅⋅⋅++=χ所服从的分布为自由度为n 的卡方分布，记为).(~22n χχ 卡方分布的密度函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>Γ=--.0,0;0,)2(21)(1222x x x e nx p n x n1.6.2 卡方分布可加性卡方分布密度函数的图像是一个只取非负值的偏态图像.它的图像随着自由度的增加而逐渐趋于对称，当自由度∞→n 时，其图像趋于正态分布的图像.这也从另一个侧面告诉我们，卡方分布是由其自由度决定的，不同的自由度对应了不同的卡方分布.由1.6.1，我们可以知道卡方分布即伽玛分布的一个特例，所以由伽玛分布的可加性我们易知卡方分布亦满足可加性定理，即定理1.6.1[5]设),(~),(~22221n m χχχχ且2221,χχ彼此独立，则有).(~22221n m ++χχχ 证明 由卡方分布的定义，设,,22221222222121n m m m m X X X X X X ++++⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++=χχ 且,,,2,1),1,0(~n m i N X i +⋅⋅⋅=j i X X ,彼此独立.则有，,22221222212221n m m m m X X X X X X ++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++=+χχ从从卡方分布的定义，因此).(~22221n m ++χχχ即证！2 具有可加性的概率分布间的关系2.1 二项分布的泊松近似[4]当n 的取值很大时，二项分布),(p n B 的计算是令人头疼的.这里介绍了泊松分布的一个十分有用的特性，我们可利用泊松分布作为二项分布的一种特殊近似，即二项分布的泊松近似.下面我们来看泊松定理，当n 取值较大，而p 取值偏小的情况下使用泊松定理，可大大减小二项分布的计算量.定理 2.1[8]（Possion 定理) 在n 重伯努利试验中，记事件A 在每次试验中发生的概率为,n p 它与试验发生的次数n 有关，若当0>n 时，有,λ→n np 即,lim λ=+∞→n n np 则对任意给定的k （k 为非负整数），有.!)1(lim λλ--+∞→=-⎪⎭⎫ ⎝⎛e k p p kk n n kn n k n证明 设,n n np =λ则有,np nn λ=所以k n n k n k n kn n k n n k k n n n n p p ---+-⋅⋅⋅--=-⎪⎭⎫ ⎝⎛)1()(!)1()2)(1()1(λλ.)1(!)11()21)(11(k n n kn nk n k n n --⋅⋅--⋅⋅⋅--=λλ .)1()1(!)11()21)(11(k n n n kn nn k n k n n ---⋅⋅--⋅⋅⋅--=λλλ 由已知有，,lim λλ=+∞→n n 则对于给定的k 值，有;lim k kn n λλ=+∞→且+∞→n lim 1)11()21)(11(=--⋅⋅⋅--nk n n ； ;)1(lim )1(lim )(λλλλλ--⋅-+∞→+∞→=-=-e nnn nnnn nnn.1)1(lim =--+∞→k nn nλ所以有.!)1(lim λλ--+∞→=-⎪⎭⎫ ⎝⎛e k p p kk n n kn n k n 即证！因Possion 定理的条件之一为,lim λ=+∞→n n np 所以在二项分布的计算中，若n 值很大，p的值却很小，且λ=np 的大小适中时（一般认为当,1.0,100≤≥p n 且10≤=np λ时），二概率论中几种具有可加性的分布及其关系项分布),(p n B 可以使用参数为λ的泊松分布来做近似，即有,2,1,0,!)1(⋅⋅⋅=≈-⎪⎭⎫ ⎝⎛--k e k p p np kk n n kn n k λ此即为二项分布),(p n B 的泊松近似，而且n 的值应尽可能的大，这样计算结果才能更精确.二项分布),(p n B 的泊松近似经常被用于稀有事件（即每次试验中事件发生的概率很小）的研究中，大量实例表明，一般情况下概率1.0<p 时，泊松近似非常好用，甚至n 的取值不必很大. 2.2 二项分布的正态近似定理 2.2[7]（棣莫佛-拉普拉斯（De Laplace Moivre -）极限定理） 设随机变量),(~p n B X （⋅⋅⋅=<<,2,1,0,10n p ），则对任意的实数x ，有()).(211lim 2/2x dt e x p np np X P x t n Φ==⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤--⎰∞--+∞→π 证明 因随机变量X 服从二项分布),(p n B ，所以X 可看做是n 个相互独立的且服从于同一参数p 的两点分布的随机变量n X X X ,,,21⋅⋅⋅的和，即,1∑==ni i X X 而且⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-==,2,1),1()(,)(i p p X Var p X E i i 根据Levy Lindeberg -中心极限定理，有).(21)1(lim 2/12x dt e x p np np X P x t n i i n Φ==⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤--⎰∑∞--=+∞→π 定理得证！ De Laplace Moivre -中心极限定理说明，n 相当大时，服从二项分布),(p n B 的随机变量X 的概率的计算服从正态分布))1(,(p np np N -的随机变量的计算.也就是说，二项分布可以用正态分布来近似计算.比如k n kn k p p k X P --⎪⎭⎫ ⎝⎛==)1()(，在n 比较大的时候的计算量时十分大的.根据De Laplace Moivre -中心极限定理，因 )1(np np npX --近似服从于标准正态分布，或者说是X 近似服从于))1(,(p np np N -分布，也就是说k n k nk p p k X P --⎪⎭⎫⎝⎛==)1()(≈.)1()1(1)1(21)1(2)(2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=----p np np k p np ep np p np np x ϕπ 对于,)1()(k n kb k a n k p p b X a P -≤≤-⎪⎭⎫ ⎝⎛=≤≤∑有))1()1()1(()(2121p np npa p np np X p np np a P a X a P --≤--≤--=≤≤ ))1(())1((12p np npa p np np a --Φ---Φ≈ )(* 我们只需查一下标准正态分布表，就可以求出我们需要的相当精确的值.但是，当p 较大或者较小时近似效果可能差一些，利用公式时p 的值最好满足9.01.0≤≤p .另外，因二项分布是离散分布，正态分布是连续分布，所以在我们实际的应用中，为减小误差， 常常使用≈≤≤)(21a X a P ))1(5.0())1(5.0(12p np npa p np np a --+Φ---+Φ来替换)(*式.2.3 正态分布与泊松分布之间的关系[9]由上面的定理2.1和定理2.2我们可以知道，二项分布),(p n B 可以用泊松分布来做近似，同样也可以用正态分布来近似.所以，从某个方面来说，泊松分布与正态分布也具有某种近似的关系，首先我们来看特征函数的连续性定理.定理 2.3.1[11] 分布函数列{})(x F n 弱收敛于分布函数)(x F 的充分必要条件是它的相应的特征函数列{})(t n ϕ收敛于)(x F 的特征函数).(t ϕ定理2.3.2[11] 设随机变量),(~λλP X 则有.21lim 22dt ex X P xt ⎰∞--∞→=⎪⎭⎫⎝⎛<-πλλλλ证明 知λX 服从泊松分布，则λX 的特征函数为.)()1(-=it e e t λλϕ所以λλμλλ-=X 的特征函数是.)(1t i e ti et λλλλψ-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=对于任何一个,t 我们有.,1!212∞→⎪⎭⎫⎝⎛+-+=λλολλλt ite ti所以有.,212122∞→-→⎪⎭⎫⎝⎛⋅+-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-λλολλλλt t t i eti因此对于任意的点列,∞→n λ有.)(lim 22t et n n -∞→=λλψ又知22t e-是标准正态分布)1,0(N 的特征函数，因此由连续性定理可以得到，.21lim 22dt ex X P xt n n nn ⎰∞--∞→=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-πλλλλ由n λ的任意性，所以有dt ex X P xt ⎰∞--∞→=⎪⎭⎫⎝⎛<-2221lim πλλλλ成立.我们来看泊松分布的正态逼近. 定理2.3.3[8] 对于任意的,21a a <有,21!lim2122/⎰∑-<<-+∞→=a a x k k dx ek e βαλλπλ其中.,21λλβλλα-=-=a a 其证明见文献[8].由前可知，),(p n B 的正态近似与泊松近似的条件是不同的，当p 的取值特别小时，哪怕n 的值不是太大，用泊松分布来近似二项分布也是可以的.但在这种情况下，用正态近似却是不合理的.我们可以想象，若p 值很小，但n 的值也不是太大，则np =λ的值概率论中几种具有可加性的分布及其关系肯定不会很大，而由定理2.3.1，我们可知，此时正态分布就不可能很好的进行泊松近似.2.4 正态分布与柯西分布、卡方分布及卡方分布与伽玛分布之间的关系 首先来看正态分布与柯西分布的关系.定理 2.4.1 设).1,0(~),1,0(~N Y N X 且X 与Y 独立同分布，记Y X Z /=,则)1,0(~N Z .证明 易知Z 的取值范围是),(+∞-∞，所以对于),(+∞-∞∈z ，我们利用商的公式，可以得到⎰⎰∞+∞+∞-⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-==0222)1(exp 1)()()(dt z t t dt t t p zt p z p Y X Z π .)1(12z +=π 这正是1,0==μλ时的柯西分布的密度函数，所以结论得证！正态分布与卡方分布的关系如下：定理2.4.2 若随机变量),1,0(~N X 则).1(~22χX定理证明见文献[10].这说明了标准正态分布与自由度为1的卡方分布之间的关系.若().,2,1,1,0~n i N X i ⋅⋅⋅=且i X 彼此独立，记222212nX X X +⋅⋅⋅++=χ，根据卡方分布的定义，我们知2χ服从自由度为n 的卡方分布.对于伽玛分布，当其参数21,2==λαn 时即为自由度为n 的卡方分布，记为).()21,2(2n n Ga χ=3 小结文章第一部分我们讨论了六种具有可加性的分布以及它们的简单性质，上述分布的可加性均可利用卷积公式或者特征函数进行证明.正态分布是概率论中最重要的分布，一般地，如果某个数量指标受到大量随机因素影响，而每一因素起的作用很小，则这个数量指标就近似服从正态分布.在第二部分里研究了二项分布、正态分布与泊松分布的关系，从此处我们可以知道二项分布不仅可以用泊松分布近似，同样也可由正态分布来近似. 参考文献[1] 罗建华.卷积公式的应用注记[J].中南林业科技大学学报，2007年，第27卷，第1期：152页. 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《概率论与数理统计》基本名词中英文对照表英文中文Probability theory 概率论mathematical statistics 数理统计deterministic phenomenon 确定性现象random phenomenon 随机现象sample space 样本空间random occurrence 随机事件fundamental event 基本事件certain event 必然事件impossible event 不可能事件random test 随机试验incompatible events 互不相容事件frequency 频率classical probabilistic model 古典概型geometric probability 几何概率conditional probability 条件概率multiplication theorem 乘法定理Bayes's formula 贝叶斯公式Prior probability 先验概率Posterior probability 后验概率Independent events 相互独立事件Bernoulli trials 贝努利试验random variable 随机变量probability distribution 概率分布distribution function 分布函数discrete random variable 离散随机变量distribution law 分布律hypergeometric distribution 超几何分布random sampling model 随机抽样模型binomial distribution 二项分布Poisson distribution 泊松分布geometric distribution 几何分布probability density 概率密度continuous random variable 连续随机变量uniformly distribution 均匀分布exponential distribution 指数分布numerical character 数字特征mathematical expectation 数学期望variance 方差moment 矩central moment 中心矩n-dimensional random variable n-维随机变量two-dimensional random variable 二维离散随机变量joint probability distribution 联合概率分布joint distribution law 联合分布律joint distribution function 联合分布函数boundary distribution law 边缘分布律boundary distribution function 边缘分布函数exponential distribution 二维指数分布continuous random variable 二维连续随机变量joint probability density 联合概率密度boundary probability density 边缘概率密度conditional distribution 条件分布conditional distribution law 条件分布律conditional probability density 条件概率密度covariance 协方差dependency coefficient 相关系数normal distribution 正态分布limit theorem 极限定理standard normal distribution 标准正态分布logarithmic normal distribution 对数正态分布covariance matrix 协方差矩阵central limit theorem 中心极限定理Chebyshev's inequality 切比雪夫不等式Bernoulli's law of large numbers 贝努利大数定律statistics 统计量simple random sample 简单随机样本sample distribution function 样本分布函数sample mean 样本均值sample variance 样本方差sample standard deviation 样本标准差sample covariance 样本协方差sample correlation coefficient 样本相关系数order statistics 顺序统计量sample median 样本中位数sample fractiles 样本极差sampling distribution 抽样分布parameter estimation 参数估计estimator 估计量estimate value 估计值unbiased estimator 无偏估计unbiassedness 无偏性biased error 偏差mean square error 均方误差relative efficient 相对有效性minimum variance 最小方差asymptotic unbiased estimator 渐近无偏估计量uniformly estimator 一致性估计量moment method of estimation 矩法估计maximum likelihood method of estimation 极大似然估计法likelihood function 似然函数maximum likelihood estimator 极大似然估计值interval estimation 区间估计hypothesis testing 假设检验statistical hypothesis 统计假设simple hypothesis 简单假设composite hypothesis 复合假设rejection region 拒绝域acceptance domain 接受域test statistics 检验统计量linear regression analysis 线性回归分析1 概率论与数理统计词汇英汉对照表Aabsolute value 绝对值accept 接受acceptable region 接受域additivity 可加性adjusted 调整的alternative hypothesis 对立假设analysis 分析analysis of covariance 协方差分析analysis of variance 方差分析arithmetic mean 算术平均值association 相关性assumption 假设assumption checking 假设检验availability 有效度average 均值Bbalanced 平衡的band 带宽bar chart 条形图beta-distribution 贝塔分布between groups 组间的bias 偏倚binomial distribution 二项分布binomial test 二项检验Ccalculate 计算case 个案category 类别center of gravity 重心central tendency 中心趋势chi-square distribution 卡方分布chi-square test 卡方检验classify 分类cluster analysis 聚类分析coefficient 系数coefficient of correlation 相关系数collinearity 共线性column 列compare 比较comparison 对照components 构成，分量compound 复合的confidence interval 置信区间consistency 一致性constant 常数continuous variable 连续变量control charts 控制图correlation 相关covariance 协方差covariance matrix 协方差矩阵critical point 临界点critical value 临界值crosstab 列联表cubic 三次的，立方的cubic term 三次项cumulative distribution function 累加分布函数curve estimation 曲线估计Ddata 数据default 默认的definition 定义deleted residual 剔除残差density function 密度函数dependent variable 因变量description 描述design of experiment 试验设计deviations 差异df.(degree of freedom) 自由度diagnostic 诊断dimension 维discrete variable 离散变量discriminant function 判别函数discriminatory analysis 判别分析distance 距离distribution 分布D-optimal design D-优化设计Eeaqual 相等effects of interaction 交互效应efficiency 有效性eigenvalue 特征值equal size 等含量equation 方程error 误差estimate 估计estimation of parameters 参数估计estimations 估计量evaluate 衡量exact value 精确值expectation 期望expected value 期望值exponential 指数的exponential distributon 指数分布extreme value 极值Ffactor 因素，因子factor analysis 因子分析factor score 因子得分factorial designs 析因设计factorial experiment 析因试验fit 拟合fitted line 拟合线fitted value 拟合值fixed model 固定模型fixed variable 固定变量fractional factorial design 部分析因设计frequency 频数F-test F检验full factorial design 完全析因设计function 函数Ggamma distribution 伽玛分布geometric mean 几何均值group 组Hharmomic mean 调和均值heterogeneity 不齐性histogram 直方图homogeneity 齐性homogeneity of variance 方差齐性hypothesis 假设hypothesis test 假设检验Iindependence 独立independent variable 自变量independent-samples 独立样本index 指数index of correlation 相关指数interaction 交互作用interclass correlation 组内相关interval estimate 区间估计intraclass correlation 组间相关inverse 倒数的iterate 迭代Kkernal 核Kolmogorov-Smirnov test柯尔莫哥洛夫-斯米诺夫检验kurtosis 峰度Llarge sample problem 大样本问题layer 层least-significant difference 最小显著差数least-square estimation 最小二乘估计least-square method 最小二乘法level 水平level of significance 显著性水平leverage value 中心化杠杆值life 寿命life test 寿命试验likelihood function 似然函数likelihood ratio test 似然比检验linear 线性的linear estimator 线性估计linear model 线性模型linear regression 线性回归linear relation 线性关系linear term 线性项logarithmic 对数的logarithms 对数logistic 逻辑的lost function 损失函数Mmain effect 主效应matrix 矩阵maximum 最大值maximum likelihood estimation 极大似然估计mean squared deviation(MSD) 均方差mean sum of square 均方和measure 衡量media 中位数M-estimator M估计minimum 最小值missing values 缺失值mixed model 混合模型mode 众数model 模型Monte Carle method 蒙特卡罗法moving average 移动平均值multicollinearity 多元共线性multiple comparison 多重比较multiple correlation 多重相关multiple correlation coefficient 复相关系数multiple correlation coefficient 多元相关系数multiple regression analysis 多元回归分析multiple regression equation 多元回归方程multiple response 多响应multivariate analysis 多元分析Nnegative relationship 负相关nonadditively 不可加性nonlinear 非线性nonlinear regression 非线性回归noparametric tests 非参数检验normal distribution 正态分布null hypothesis 零假设number of cases 个案数Oone-sample 单样本one-tailed test 单侧检验one-way ANOVA 单向方差分析one-way classification 单向分类optimal 优化的optimum allocation 最优配制order 排序order statistics 次序统计量origin 原点orthogonal 正交的outliers 异常值Ppaired observations 成对观测数据paired-sample 成对样本parameter 参数parameter estimation 参数估计partial correlation 偏相关partial correlation coefficient 偏相关系数partial regression coefficient 偏回归系数percent 百分数percentiles 百分位数pie chart 饼图point estimate 点估计poisson distribution 泊松分布polynomial curve 多项式曲线polynomial regression 多项式回归polynomials 多项式positive relationship 正相关power 幂P-P plot P-P概率图predict 预测predicted value 预测值prediction intervals 预测区间principal component analysis 主成分分析proability 概率probability density function 概率密度函数probit analysis 概率分析proportion 比例Qqadratic 二次的Q-Q plot Q-Q概率图quadratic term 二次项quality control 质量控制quantitative 数量的，度量的quartiles 四分位数Rrandom 随机的random number 随机数random number 随机数random sampling 随机取样random seed 随机数种子random variable 随机变量randomization 随机化range 极差rank 秩rank correlation 秩相关rank statistic 秩统计量regression analysis 回归分析regression coefficient 回归系数regression line 回归线reject 拒绝rejection region 拒绝域relationship 关系reliability 可靠性repeated 重复的report 报告，报表residual 残差residual sum of squares 剩余平方和response 响应risk function 风险函数robustness 稳健性root mean square 标准差row 行run 游程run test 游程检验Ssample 样本sample size 样本容量sample space 样本空间sampling 取样sampling inspection 抽样检验scatter chart 散点图S-curve S形曲线separately 单独地sets 集合sign test 符号检验significance 显著性significance level 显著性水平significance testing 显著性检验significant 显著的，有效的significant digits 有效数字skewed distribution 偏态分布skewness 偏度small sample problem 小样本问题smooth 平滑sort 排序soruces of variation 方差来源space 空间spread 扩展square 平方standard deviation 标准离差standard error of mean 均值的标准误差standardization 标准化standardize 标准化statistic 统计量statistical quality control 统计质量控制std. residual 标准残差stepwise regression analysis 逐步回归stimulus 刺激strong assumption 强假设stud. deleted residual 学生化剔除残差stud. residual 学生化残差subsamples 次级样本sufficient statistic 充分统计量sum 和sum of squares 平方和summary 概括，综述Ttable 表t-distribution t分布test 检验test criterion 检验判据test for linearity 线性检验test of goodness of fit 拟合优度检验test of homogeneity 齐性检验test of independence 独立性检验test rules 检验法则test statistics 检验统计量testing function 检验函数time series 时间序列tolerance limits 容许限total 总共，和transformation 转换treatment 处理trimmed mean 截尾均值true value 真值t-test t检验two-tailed test 双侧检验Uunbalanced 不平衡的unbiased estimation 无偏估计unbiasedness 无偏性uniform distribution 均匀分布Vvalue of estimator 估计值variable 变量variance 方差variance components 方差分量variance ratio 方差比various 不同的vector 向量Wweight 加权，权重weighted average 加权平均值within groups 组内的ZZ score Z分数。

理解概率分布函数常见分布公式详解概率分布函数（Probability Distribution Function，简称PDF）是描述随机变量取值概率分布的函数，常用于统计学和概率论中。

在统计学中，常见的概率分布函数有众多的公式。

本文将详细解释几种常见的概率分布函数公式，包括均匀分布、正态分布、指数分布和泊松分布。

一、均匀分布均匀分布是最简单的概率分布函数之一，它在一个有限区间内的取值是均匀分布的。

均匀分布的概率密度函数公式为：f(x) = 1 / (b - a)，a ≤ x ≤ b其中，a和b分别是区间的上下界。

均匀分布的期望值（均值）为（a + b）/ 2，方差为（b - a）^2 / 12。

二、正态分布正态分布是自然界和社会现象中常见的概率分布函数。

它在统计学中有着重要的地位。

正态分布的概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）公式为：f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * exp(-((x - μ)^2/(2σ^2)))其中，μ是期望值（均值），σ是标准差。

正态分布的期望值和方差分别为μ和σ^2。

三、指数分布指数分布是描述事件发生的时间间隔的概率分布函数，常用于可靠性工程和排队论中。

指数分布的概率密度函数公式为：f(x) = λ * exp(-λx)，x ≥ 0其中，λ是事件发生率。

指数分布的期望值为1 / λ，方差为1 / λ^2。

四、泊松分布泊松分布是描述单位时间或空间内事件发生次数的概率分布函数，常用于描述稀有事件的发生情况。

泊松分布的概率质量函数（Probability Mass Function，简称PMF）公式为：P(X = k) = (λ^k * exp(-λ)) / k!其中，λ是单位时间或空间内事件的平均发生率。

泊松分布的期望值和方差均为λ。

以上是几种常见的概率分布函数公式的详细解释。

这些概率分布函数在不同领域的应用非常广泛，能够描述和解释各种随机现象的概率分布情况。

贝叶斯公式、逆概率公式
Bayes formula
后验概率
posterior probability
先验概率
prior probability
独立事件
independent event
独立随机事件
independent random event
独立实验
independent experiment
两两独立
classical probabilistic model
几何概率
geometric probability
乘法定理
product theorem
概率乘法
multiplication of probabilities
条件概率
conditional probability
全概率公式、全概率定理
formula of total probability
基本事件
elementary event
必然事件
certain event
不可能事件
impossible event
等可能事件
equally likely event
事件运算律
operational rules of events
事件的包含
implication of events
并事件
union events
似然方程
likelihood equation
似然函数
likelihood function
区间估计
interval estimation
置信区间
confidence interval
置信水平
confidence level