2019-2020学年高考数学一轮复习 第十一章概率与统计11.1事件与概率教学案 理 新人教A版.doc

2018版高考数学大一轮复习 第十一章 概率 11.1 随机事件的概率教师用书 文 新人教版1．概率和频率(1)在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A )＝n An为事件A 出现的频率． (2)对于给定的随机事件A ，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A 发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件A 发生的可能性大小，并把这个常数称为随机事件A 的概率，记作P (A )． 2．事件的关系与运算定义符号表示包含关系 如果事件A 发生，则事件B 一定发生，这时称事件B 包含事件A (或称事件A 包含于事件B )B ⊇A (或A ⊆B )相等关系 若B ⊇A 且A ⊇B A ＝B并事件(和事件) 若某事件发生当且仅当事件A 发生或事件B 发生，称此事件为事件A 与事件B 的并事件(或和事件) A ∪B (或A ＋B )交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件A 发生且事件B 发生，则称此事件为事件A 与事件B 的交事件(或积事件) A ∩B (或AB )互斥事件若A ∩B 为不可能事件(A ∩B ＝∅)，那么称事件A 与事件B 互斥A ∩B ＝∅对立事件若A ∩B 为不可能事件，A ∪B 为必然事件，那么称事件A 与事件B 互为对立事件P (A )＋P (B )＝13.概率的几个基本性质(1)概率的取值X围：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率P(E)＝1.(3)不可能事件的概率P(F)＝0.(4)概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(5)对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．【知识拓展】互斥事件与对立事件的区别与联系互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)事件发生频率与概率是相同的．( ×)(2)随机事件和随机试验是一回事．( ×)(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．( √)(4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．( ×)(5)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．( √)(6)两互斥事件的概率和为1.( ×)1．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a，从{1,2,3}中随机选取一个数b，则b>a的概率是( )A.45B.35C.25D.15答案 D解析 基本事件的个数有5×3＝15，其中满足b >a 的有3种，所以b >a 的概率为315＝15.2．(教材改编)将一枚硬币向上抛掷10次，其中“正面向上恰有5次”是( ) A ．必然事件 B ．随机事件 C ．不可能事件 D ．无法确定 答案 B解析 抛掷10次硬币正面向上的次数可能为0～10，都有可能发生，正面向上5次是随机事件．3．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm 的概率为0.2，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm 的概率为( ) A ．0.2 B ．0.3 C ．0.7 D ．0.8 答案 B解析 因为必然事件发生的概率是1，所以该同学的身高超过175 cm 的概率为1－0.2－0.5＝0.3，故选B.4．给出下列三个命题，其中正确的命题有________个．①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是37；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率． 答案 0解析 ①错，不一定是10件次品；②错，37是频率而非概率；③错，频率不等于概率，这是两个不同的概念．5．(教材改编)袋中装有9个白球，2个红球，从中任取3个球，则①恰有1个红球和全是白球；②至少有1个红球和全是白球；③至少有1个红球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个红球．在上述事件中，是对立事件的为________． 答案 ②解析 ①是互斥不对立的事件，②是对立事件，③④不是互斥事件．题型一事件关系的判断例1 (1)从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事件中，是对立事件的是( )A．① B．②④ C．③ D．①③(2)设条件甲：“事件A与事件B是对立事件”，结论乙：“概率满足P(A)＋P(B)＝1”，则甲是乙的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件(3)在5X卡中，有3X移动卡和2X联通卡，从中任取2X，若事件“2X全是移动卡”的概率是3 10，那么概率是710的事件是( )A．至多有一X移动卡 B．恰有一X移动卡C．都不是移动卡 D．至少有一X移动卡答案(1)C (2)A (3)A解析(1)③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从1～7中任取两个数根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件：“两个都是奇数”、“一奇一偶”、“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是对立事件．(2)若事件A与事件B是对立事件，则A∪B为必然事件，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1.设掷一枚硬币3次，事件A：“至少出现一次正面”，事件B：“3次出现正面”，则P(A)＝78，P(B)＝18，满足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不是对立事件．(3)至多有一X移动卡包含“一X移动卡，一X联通卡”，“两X全是联通卡”两个事件，它是“2X全是移动卡”的对立事件．思维升华(1)准确把握互斥事件与对立事件的概念①互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生．②对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生．(2)判断互斥、对立事件的方法判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．下列命题：①将一枚硬币抛两次，设事件M：“两次出现正面”，事件N：“只有一次出现反面”，则事件M与N互为对立事件；②若事件A与B互为对立事件，则事件A与B为互斥事件；③若事件A与B为互斥事件，则事件A与B为对立事件；④若事件A与B互为对立事件，则事件A∪B为必然事件．其中，真命题是( )A．①②④ B．②④C．③④ D．①②答案 B解析对①，将一枚硬币抛两次，共出现{正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}四种结果，则事件M与N是互斥事件，但不是对立事件，故①错；对②，对立事件首先是互斥事件，故②正确；对③，互斥事件不一定是对立事件，如①中两个事件，故③错；对④，事件A、B 为对立事件，则在一次试验中A、B一定有一个要发生，故④正确．题型二随机事件的频率与概率例2 (2016·全国甲卷)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：(1)记A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P (A )的估计值； (2)记B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P (B )的估计值；(3)求续保人本年度的平均保费的估计值．解 (1)事件A 发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为60＋50200＝0.55，故P (A )的估计值为0.55.(2)事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为30＋30200＝0.3，故P (B )的估计值为0.3.(3)由所给数据得调查的200名续保人的平均保费为0.85a ×0.30＋a ×0.25＋1.25a ×0.15＋1.5a ×0.15＋1.75a ×0.10＋2a ×0.05＝1.192 5a .因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a . 思维升华 (1)概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值．(2)随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．(2015·)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.商品顾客人数 甲乙丙丁100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200 √ √ √ × 300 √ × √ × 85 √ × × × 98×√××(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？ 解 (1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙， 所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001 000＝0.2.(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品．所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001 000＝0.3.(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001 000＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001 000＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001 000＝0.1.所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大． 题型三 互斥事件、对立事件的概率 命题点1 互斥事件的概率例3 袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是13，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率也是512，试求得到黑球、黄球和绿球的概率各是多少？解 方法一 从袋中选取一个球，记事件“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”分别为A ，B ，C ，D ，则有P (A )＝13，P (B ∪C )＝P (B )＋P (C )＝512，P (C ∪D )＝P (C )＋P (D )＝512，P (B ∪C ∪D )＝P (B )＋P (C )＋P (D )＝1－P (A )＝1－13＝23，解得P (B )＝14，P (C )＝16，P (D )＝14，因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是14，16，14. 方法二 设红球有n 个，则n12＝13，所以n ＝4，即红球有4个． 又得到黑球或黄球的概率是512，所以黑球和黄球共5个． 又总球数是12，所以绿球有12－4－5＝3(个)．又得到黄球或绿球的概率也是512，所以黄球和绿球共5个，而绿球有3个，所以黄球有5－3＝2(个)．所以黑球有12－4－3－2＝3(个)． 因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是 312＝14，212＝16，312＝14. 命题点2 对立事件的概率例4 某商场有奖销售中，购满100元商品得1X 奖券，多购多得.1 000X 奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1X 奖券中特等奖，一等奖，二等奖的事件分别为A ，B ，C ，求： (1)P (A )，P (B )，P (C )；(2)1X 奖券的中奖概率；(3)1X 奖券不中特等奖且不中一等奖的概率． 解 (1)P (A )＝11 000，P (B )＝101 000＝1100，P (C )＝501 000＝120. 故事件A ，B ，C 的概率分别为11 000，1100，120. (2)1X 奖券中奖包含中特等奖，一等奖，二等奖．设“1X 奖券中奖”这个事件为M ，则M ＝A ∪B ∪C .∵A ，B ，C 两两互斥，∴P (M )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C ) ＝1＋10＋501 000＝611 000.故1X 奖券的中奖概率为611 000.(3)设“1X 奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N ，则事件N 与“1X 奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件， ∴P (N )＝1－P (A ∪B )＝1－⎝⎛⎭⎪⎫11 000＋1100＝9891 000.故1X 奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000.思维升华 求复杂事件的概率的两种方法求概率的关键是分清所求事件是由哪些事件组成的，求解时通常有两种方法： (1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率； (2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”．它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率．经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：排队人数 0 1 2 3 4 5人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排队等候的概率；(2)至少3人排队等候的概率．解记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A、B、C、D、E、F彼此互斥．(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A＋B＋C，所以P(G)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)方法一记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D＋E＋F，所以P(H)＝P(D＋E＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.方法二记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.22．用正难则反思想求互斥事件的概率典例(12分)某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x 3025y 10结算时间(分钟/1 1.52 2.5 3人)已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x ，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均数；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过．．．2分钟的概率．(将频率视为概率)思想方法指导 若某一事件包含的基本事件多，而它的对立事件包含的基本事件少，则可用“正难则反”思想求解． 规X 解答解 (1)由已知得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45， 所以x ＝15，y ＝20.[2分]该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均数可用样本平均数估计，其估计值为1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟)．[6分](2)记A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A 1，A 2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得P (A 1)＝20100＝15，P (A 2)＝10100＝110.[9分]P (A )＝1－P (A 1)－P (A 2)＝1－15－110＝710.[11分]故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.[12分]1．(2016·某某)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为( ) A.56 B.25 C.16 D.13 答案 A解析 事件“甲不输”包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件，所以甲不输的概率为12＋1 3＝5 6.2．(教材改编)袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球．在上述事件中，是对立事件的为( )A．① B．② C．③ D．④答案 B解析至少有1个白球和全是黑球不同时发生，且一定有一个发生．∴②中两事件是对立事件．3．(2016·某某模拟)从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为( )A．0.7 B．0.65 C．0.35 D．0.5答案 C解析“抽到的产品不是一等品”与事件A是对立事件，∴所求概率P＝1－P(A)＝0.35.4．(2016·襄阳模拟)有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向．事件“甲向南”与事件“乙向南”是( ) A．互斥但非对立事件 B．对立事件C．相互独立事件 D．以上都不对答案 A解析由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件，故选A.5．(2016·某某模拟)从一篮子鸡蛋中任取1个，如果其重量小于30克的概率为0.3，重量在[30,40]克的概率为0.5，那么重量不小于30克的概率为( )A．0.8 B．0.5 C．0.7 D．0.3答案 C解析由互斥事件概率公式知重量大于40克的概率为1－0.3－0.5＝0.2，又∵0.5＋0.2＝0.7，∴重量不小于30克的概率为0.7.6．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上的为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上的为二等品，在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为( )A．0.09 B．0.20 C．0.25 D．0.45答案 D解析设区间[25,30)对应矩形的高为x，则所有矩形面积之和为1，即(0.02＋0.04＋0.06＋0.03＋x)×5＝1，解得x＝0.05.产品为二等品的概率为0.04×5＋0.05×5＝0.45. 7．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品；②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品；③在这200件产品中任意选出9件，不全是二级品．其中________是必然事件；________是不可能事件；________是随机事件．答案③②①8．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________． 答案 0.25解析 20组随机数中表示三次投篮恰好有两次命中的是191,271,932,812,393，其频率为520＝0.25，以此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为0.25.9．若随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且P (A )＝2－a ，P (B )＝4a －5，则实数a 的取值X 围是________________． 答案 (54，43]解析 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧0<P A <1，0<P B <1，P A ＋P B ≤1⇒⎩⎪⎨⎪⎧0<2－a <1，0<4a －5<13a －3≤1，⇒⎩⎪⎨⎪⎧1<a <2，54<a <32，a ≤43⇒54<a ≤43.10．若A ，B 互为对立事件，其概率分别为P (A )＝4x，P (B )＝1y，且x >0，y >0，则x ＋y 的最小值为________． 答案 9解析 由题意可知4x ＋1y ＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )(4x ＋1y )＝5＋(4y x ＋x y)≥9，当且仅当4y x＝xy，即x＝2y 时等号成立．11．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额(元) 0 1 000 2 000 3 000 4 000 车辆数(辆)500130100150120(1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．解 (1)设A 表示事件“赔付金额为3 000元”，B 表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P (A )＝1501 000＝0.15，P (B )＝1201 000＝0.12. 由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000元，所以其概率为P (A )＋P (B )＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C 表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为24100＝0.24，由频率估计概率得P (C )＝0.24.12．国家射击队的队员为在射击世锦赛上取得优异成绩，正在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中7～10环的概率如下表所示：求该射击队员射击一次： (1)射中9环或10环的概率； (2)命中不足8环的概率．解 记事件“射击一次，命中k 环”为A k (k ∈N ，k ≤10)，则事件A k 之间彼此互斥． (1)记“射击一次，射中9环或10环”为事件A ，那么当A 9，A 10之一发生时，事件A 发生，由互斥事件的加法公式得P (A )＝P (A 9)＋P (A 10)＝0.28＋0.32＝0.6.(2)设“射击一次，至少命中8环”的事件为B ，则B 表示事件“射击一次，命中不足8环”． 又B ＝A 8∪A 9∪A 10，由互斥事件概率的加法公式得P (B )＝P (A 8)＋P (A 9)＋P (A 10)＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78.故P(B)＝1－P(B)＝1－0.78＝0.22.因此，射击一次，命中不足8环的概率为0.22.*13.一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．解方法一(利用互斥事件求概率)记事件A1＝{任取1球为红球}，A2＝{任取1球为黑球}，A3＝{任取1球为白球}，A4＝{任取1球为绿球}，则P(A1)＝512，P(A2)＝412＝13，P(A3)＝212＝16，P(A4)＝112.根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得(1)取出1球为红球或黑球的概率为P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝512＋412＝34.(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝512＋412＋212＝1112.方法二(利用对立事件求概率)(1)由方法一知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1∪A2的对立事件为A3∪A4，所以取出1球为红球或黑球的概率为P(A1∪A2)＝1－P(A3∪A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－212－112＝34.(2)因为A1∪A2∪A3的对立事件为A4，所以P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－112＝1112.。

域用A表示(A⊆Ω),则P(A)= A的几何度量.
Ω的几何度量
考法一 古典概型概率的求法 1.求解古典概型概率的步骤
2.基本事件个数的确定方法 1)列举法:此法适合于基本事件个数较少的古典概型. 2)列表法:此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验,也可看成坐标 法.
3)画树状图法:画树状图法是进行列举的一种常用方法,适用于有顺序的 问题及较复杂问题中基本事件个数的探求. 4)运用排列组合知识计算.
A39 7
答案 D
创新 生活中的概率问题 1.概率问题常与生活实际或数学文化相结合,主要考查学生的逻辑推 理、数据分析、数学抽象等核心素养. 2.解决这类问题的关键:①认真审题,把握信息;②弄清提供的问题情境的 意义;③抽象转化成数学问题,应用熟悉的数学知识解决.
例1 (2021湖南湘潭一模,7)德国心理学家艾宾浩斯研究发现,遗忘在学习 之后立即开始,而且遗忘的进程并不是均匀的.最初遗忘速度很快,以后逐 渐减慢.他认为“保持和遗忘是时间的函数”.他用无意义音节(由若干音 节字母组成,能够读出,但无内容意义,即不是词的音节)作为记忆材料,用 节省法计算保持和遗忘的数量,并根据试验结果绘成描述遗忘进程的曲 线,即著名的艾宾浩斯遗忘曲线(如图所示).若一名学生背了100个英语单 词,一天后,该学生在这100个英语单词中随机听写2个英语单词,以频率代 替概率,不考虑其他因素,则该学生恰有1个单词不会的概率大约为 ( )
m=5+4+3+2+1=15,则取到的整数十位数字比个位数字大的概率P= m =15
n 25
=3.
5
答案 B
考法二 几何概型概率的求法
例2 (2021辽宁辽南协作体联考,9)1876年4月1日,加菲尔德在《新英格兰 教育日志》上发表了勾股定理的一种证明方法,即在如图的直角梯形 ABCD中,利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之 和等于直角梯形的面积”,可以简洁明了地推证出勾股定理.1881年加菲 尔德就任美国第二十任总统.后来,人们为了纪念他对勾股定理直观、易 懂的证明,就把这一证明方法称为“总统证法”.如图,设∠ECB=60°,在梯 形ABCD中随机取一点,则此点取自等腰直角△CDE(阴影部分)中的概率 是() A.2(2- 3 ) B.2- 3 C. 3 -1 D.2( 3-1)

专题^一概率与统计挖命题【真题典例】（20VW标II, 18,论井）誨水祚硝扬遊轩慕水产品的新，旧阿箱养瞪方达的产量对比.收载时存闊机抽収了I时网箱.测■各藉水产品的产量（单仏kgb英豹率分布直方图加“»㈣能⑴设跑种界殖方法的箱产址相互独k 冲斗"I日养毬法的箱产量低J 50kn.新莽冏法的緡产龜不低于50 ks"、怙比1的槪率；Q再国下面列联表.并梶堀列莊憲铀韓•AW认为第产牡与养殖方法有£「箱产S<50kg旧养禎蚩新弄殖法粧国祈产捷的频率分布直/i RL MMMM MM MMM汁俏-荷佛到si -P區】知讥附：-----------U.051) 0JH0 0.U)]3.841 6.635 10.828❶核心考点I.魏率价布厲Zr阳-n IfiTfik立事PHW植耶公式，'4Jfl样拳的載宇转征怙忡息侔的敢宇特证. ❷再路分析（iHUUtWWii PUJ-HBT.厂円和鬥口■竹別求命缶G发生的斬帕即卫牒册的VE胳必克成1x2弭联拳..与11：報,即可求得的辭的把握队为箱产垦与养晴方法有戈；M盟桝箱华分曲自方图即可♦朮得打中位数的怙计伯.❸思维拓展第3问解袪二；植堀已如数掘分折可鶴中位柱一定幣苻命泗爼50, 55）巾’设巾位純是A M" 1-iJM^x^n-^h -ft.rwt-a5.解騎■"也班HP新那殖却产蜀的巾位数的怙计恆为323强升❹方法总结解决统计图蒯f 应正确理解图表屮齐量的專史・通过圉表章握信息是槨決谏英冋JV的关锥，超率井布立方图立网砒表示了畀布0勺椅卓分布.❺储普知识廉宰分布肚古剧的特征I"喑牛申惬的血枳和甘1.J （2朗轴的富丈为輛判fl距*小矩棉的血ffU组距惓*门》样年数躬的平闵疏的侑汁佰尊丁-衬㈣廊整的西稅秒応■ f J'打点的厲览樟之和.|输庆数的佔的小胞股的庇逊中“ 1的播坐拆.⑶中也栽是祀畅率井布止方出划分为左Ti- 说个面祀啊苦的耶甘的分外哉吩袖童点的附上标.@侖题规律L童苇幽容:春种统卄离表与相唱相结舎戒与轨计塞例郴苗;t2弩弁肮代：口榊客理沟卞.帶览计苟用牢皿翊舍起电号也工外值；网g❼能力要求I強列翼率分射表*会EW率分带方方圈,全用样肚的礫率井布怙计总律骨布*金HI忙生的戢字粋iE怙叶总体的敢字特征*J5 斛甘样峑估计剽本的患虬匕了解軸立性检楡［只號求2 *2列联衰］的荃木囲魁・方&^KS5单的戎鼎@赠答过程-容峯就P4W,11.1 随机事件、古典概型与几何概型挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.随机事件的概率①了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别.②了解两个互斥事件的概率加法公式.③理解古典概型及其概率计算公式.④会计算一些随机事件所2014课标1,5,5 分利用等可能事件概率公式求随机事件的概率★★★2018 课标II ,8,5 分古典概型组合2.古典概型2018 课标I ,10,5 分与面积有关的几何概型圆的面积和三角形的面积分析解读本节是高考的热点，常以选择题和填空题的形式出现，主要考查利用频率估计随机事件的概率，常涉及对立事件、互斥事件，古典概型及与长度、面积有关的几何概型，有时也与其他知识进行交汇命题,以解答题的形式出现,如概率与统计和统计案例的综合,主要考查学生的逻辑思维能力和数学运算能力破考点【考点集训】考点一随机事件的概率1. （2018湖南郴州第二次教学质量监测，3）甲、乙、丙三人站成一排照相,甲排在左边的概率是（）A. 1B._C.-D._答案D2. （2017福建泉州高考考前适应性模拟（一）,3）从含有质地均匀且大小相同的2个红球、n个白球的口袋中随机取出一球，若取到红球的概率是-,则取得白球的概率等于（）A.—B.—C.—D.-答案C考点二古典概型1. （2018湖南（长郡中学、衡阳八中）、江西（南昌二中）等十四校第二次联考，9）已知某地春 天下雨的概率为 40%.现采用随机模拟的方法估计未来三天恰有一天下雨的概率：先由计算 器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4 表示下雨，5,6,7,8,9,0表示不下雨；再 每三个随机数作为一组，代表未来三天是否下雨的结果 .经随机模拟产生了如下20组随机 数:907,966,191,925,271,932,812,458,569,683,431,257,393,027,556,488,730,113,537, 989.据此估计，该地未来三天恰有一天下雨的概率为（ ）A.0.2B.0.25C.0.4D.0.35 答案 C2.（2018江西重点中学盟校第一次联考 ,14）从左至右依次站着甲、乙、丙 3个人，从中随机抽取2个人进行位置调换，则经过两次这样的调换后，甲在乙左边的概率是 ____________ .答案-考点三几何概型（2018安徽安庆二模,4）中国人民银行发行了 2018中国戊戌（狗）年金银纪念币一套，如图所示是一枚3克圆形金质纪念币，直径为18 mm 小米同学为了测算图中装饰狗的面积，他用1 积大约是（ ） 枚针向纪念币投掷 500次,其中针尖恰有150次落在装饰狗的身体上,据此可估计装饰狗的面 2 A.— mmB. —mmC. —mm2 D. — mm炼技法【方法集训】方法1 古典概型概率的求法1.（2017山西吕梁孝义高考热身试题，5）大厦一层有A,B,C,D 四部电梯,3人在一层乘坐电梯 上楼,则其中2人恰好乘坐同一部电梯的概率为 （ ）A.—B.—C.—D.-答案 A2.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等 则甲或乙被录用的概率为 （ ）A.-B.-C.-D.- 答案 D方法2几何概型概率的求法1. （2017湖南长沙四县3月联考,4）如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无 底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切 ，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上 ，现在向鱼缸内随机投入一粒鱼食 ，则 鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到 "的概率是（ ）答案 B A.1--B.—C.-D.1--答案A2. （20 18河南安阳二模，7）在区间［-1,1］上任选两个数x和y,则x2+y2》的概率为（）A.1- ■B.・-・C.1-.D..-.答案A过专题【五年高考】A组统一命题课标卷题组考点一随机事件的概率（2014课标I ,5,5分）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A. 一B. 一C.一D.-答案D考点二古典概型（2018课标II ,8,5分）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）A.—B.—C- D.—答案C考点三几何概型1.（2018课标I ,10,5分）下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC. △ ABC的三边所围成的区域记为i ,黑色部分记为n ,其余部分记为川.在整个图形中随机取一点I, n ,川的概率分别记为 p i ,p 2,p 3,则（）B.p 1 = p 3C.p 2=p 3D.p i = p 2+p 32.（2017课标I ,2,5分）如图，正方形ABC 呐的图形来自中国古代的太极图 .正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称 .在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A.-B.—C.-D.-答案 B3. （2016课标I ,4,5 分）某公司的班车在7:30,8:00,8:30 发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10分钟的概率是（ ） A.-B.-C.-D.-答案 B,此点取自A.p i = p 2答案 AB组自主命题省（区、市）卷题组考点一随机事件的概率（2015江苏,5,5 分）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球,1只红球,2只黄球.从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为____________ .答案-考点二古典概型1. （2017山东,8,5分）从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张.则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（）A.—B._C._D.-答案C2. （2018江苏,6,5分）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为___________ .答案一考点三几何概型1. （2017江苏,7,5分）记函数f（x）= -的定义域为 D.在区间［-4,5］上随机取一个数X,则x€ D的概率是_________ .答案-2. （2016山东,14,5分）在［-1,1］上随机地取一个数k,则事件直线y=kx与圆（x-5）2+y2=9相交”发生的概率为________ .答案-3. （2015福建,13,4分）如图，点A的坐标为（1,0）,点C的坐标为（2,4）,函数f（x）=x .若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 _________ .答案一C组教师专用题组考点一随机事件的概率（2016北京,16,13分）A,B,C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）：（1）试估计C班的学生人数；（2）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人,A班选出的人记为甲,C班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；⑶再从A,B,C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7,9,8.25（单位:小时）.这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为卩1,表格中数据的平均数记为卩0,试判断卩0和（1 1的大小.（结论不要求证明）解析（1）由题意知，抽出的20名学生中，来自C班的学生有8名.根据分层抽样方法,C班的学生人数估计为100X —=40.⑵设事件A为甲是现有样本中A班的第i个人”=1,2, •••,5,事件C为乙是现有样本中C班的第j个人”，j=1,2， (8)由题意可知，P（A i）=-,i=1,2,…,5;P（C j）=-, j=1,2,…8.i j设事件E为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”由题意知，E=A i C U A1C2U A e O U A2C2U A2G U AC U AG U AQU AC U A4C2U AGU A5C U A5C2U A5G U A5C4因此P(E)=P(A Q)+P(AQ)+P(A 2C)+P(A e C2)+P(A eG)+P(A3C)+P(A s C e)+P(A S C3)+P(A 4C)+P(A 4C2)+P(A4G)+P(A5C)+P(A 5C2)+P(A5C B)+P(A 5C4)=15 X _ =.(3) 卩1< 0.解后反思本题第(2)问事件繁多，但注意到互斥”相互独立”及等概率”计算量并不大.第(3)问观察到从A班、B班中抽取的样本数据恰好是该班的平均数，而C班中抽取的样本数据小于该班的平均数，自然有卩i<卩o.评析本题考查抽样方法，互斥事件、相互独立事件的概率，平均数.属中档题.考点二古典概型1. (2014陕西，6,5分)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为()A.-B.-C.-D.-答案C2. (2016江苏，7,5分)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有123,4,5,6 个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是______________ .答案-3. (2014江苏,4,5分)从1,2,3,6 这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是________ .答案-4. (2014江西,12,5分)10件产品中有7件正品、3件次品，从中任取4件,则恰好取到1件次品的概率是_________ .答案-5. (2014广东,11,5分)从0,123,4,5,6,7,8,9 中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为_________ .答案-6. (2016天津,16,13分)某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(1) 设A为事件选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；(2) 设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望解析(1)由已知，有P(A)= ----------- 二.所以，事件A发生的概率为-.(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.P(X=0)= ---------- =—,P(X=1)=P(X=2)= 一=一.所以，随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望E(X)=0 X - + 1X—+2X—=1.考点三几何概型1. (2016课标n ,10,5分)从区间［0,1］随机抽取2n个数X1,X2,…,x n,y 1,y 2,…,y n,构成n个数对（x I,y 1）,（X 2,y 2）, ［（x n,y n）,其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率n的近似值为（）A._B._C.—D.—答案C2. （2015 陕西,11,5 分）设复数z=（x-1）+yi（x,y € R）,若|z| <1,则y 汰的概率为（）A. -+—B._ - —C._--D._+-答案B3. （2015湖北,7,5分）在区间［0,1］上随机取两个数x,y,记p为事件x+y二”的概率,p 2为事件|x-y| w"的概率,p 3为事件xy 的概率，则（）A.p1<p2<p3B.p 2<p3<p1C.P3<P1<P2D.P3<P2<P1答案B4.(2014湖北,7,5分）由不等式组确定的平面区域记为Q 1,不等式组确定的平面区域记为Q 2,在Q 1中随机取一点,则该点恰好在Q 2内的概率为（）A.-B.-C.-D.-答案D5.(2014福建,14,4分）如图,在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆则它落到阴影部分的概率为答案一【三年模拟】一、选择题（每小题5分，共35分）1. （2019届云南师范大学附属中学高三第二次月考，8）学校足球赛决赛计划在周三、周四、周五三天中的某一天进行，如果这一天下雨则推迟至后一天，如果这三天都下雨则推迟至下一周，已知这三天中每一天下雨的概率都为-，则这周能进行决赛的概率为（）A.-B.-C.-D.-答案D2. （2019届全国I卷高三五省优创名校联考，10）用0与1两个数字随机填入如图所示的5个格子里，每个格子填一个数字，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总是1的个数不少于0 的个数，则这样填法的概率为（）A. —B. —C.—D.—答案B3. （2019届河北衡水中学高三第一次摸底，9）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了勾股圆方图”,亦称赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设DF=2AF=2若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（）A.—B.——C.—D.——答案 A4. （2018重庆九校联盟第一次联考，4）已知随机事件 A,B 发生的概率满足条件 P （A U B ）=_,某人猜测事件一门―发生，则此人猜测正确的概率为（ ）A.1B._C._D.0答案 C5. （2017山西大学附属中学第二次模拟 ,10）已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S,且a i =-20,在 区间（3,5）内任取一个实数作为数列 ｛a n ｝的公差，则S 的最小值仅为 S 的概率为（ ）A.-B._C.—D.-答案 D6. （2018齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学高考冲刺模拟（三）,6）在满足条件-的区域内任取一点 M （x,y ）,则点M （x,y ）满足（x-1） +y <1的概率为（ ）答案 B7.（2018江西宜春昌黎实验学校第二次段考，7）五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币.若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正 面朝下，则这个人继续坐着.那么,没有相邻的两个人站起来的概率为 （ ）答案 CA.-B.—C.1--D.1——A.-B.— D-、填空题（每小题5分,共10分）8. （2018河北石家庄二模，14）用1,2,3,4,5 组成无重复数字的五位数,若用a i,a 2,a 3,a 4,a 5分别表示五位数的万位、千位、百位、十位、个位数字，则出现a i<a2<a3>a4>a5的五位数的概率为________ .答案一9. （2018广东江门3月模拟（一模）,16）两位教师对一篇初评为优秀”的作文复评，若批改成绩都是两位正整数，且十位数字都是5,则两位教师批改成绩之差的绝对值不超过2的概率为________ .答案0.44三、解答题（共25分）10. （2019届广东汕头达濠华侨中学、东厦中学高三第一次联考,17）某学校有初级教师21人，中级教师14人，高级教师7人，现采用分层抽样的方法从这些教师中抽取6人对绩效工资情况进行调查.（1）求应从初级教师，中级教师，高级教师中分别抽取的人数；（2）若从抽取的6名教师中随机抽取2名做进一步数据分析，求抽取的2名均为初级教师的概率.解析（1）从初级教师、中级教师、高级教师中分别抽取的人数为3,2,1.（2）在抽取的6名教师中,3名初级教师分别记为A,A2,A3,2名中级教师分别记为A4,A5,1名高级教师记为A6,则抽取 2 名教师的所有可能结果为{A1 ,A2},{A 1 ,A 3},{A 1 ,A4},{A 1,A 5},{A 1,A 6},{A 2,A 3},{A 2,A4},{A 2,A 5},{A 2,A6},{A 3,A 4},{A 3,A 5},{ A,A6},{A 4,A5},{A 4,A6},{A 5,A6},共15 种.从6名教师中抽取的2名教师均为初级教师（记为事件B）的所有可能结果为{A1 ,A2},{A 1,A3},{A 2,A3},共 3 种.所以P（B）= —=.11. （2017安徽皖南地区一模,18）某港口有一个泊位，现统计了某月100艘轮船在该泊位停靠的时间（单位：小时）,如果停靠时间不足半小时按半小时计时，超过半小时不足1小时按1小时计时，依此类推，统计结果如下表：。

10
5
10
20
答案 C 从1,2,3,4,5中任取3个不同的数有10种取法:(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4, 5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),其中能构成一组勾股数的有1种:(3,4,5),故所求事件的概率P=
识的应用意识.
设两位男同学分别为A、B,两位女同学分别为a、b,则四位同学排成一列,所有可能的结果用
树状图表示为
共24种结果,其中两位女同学相邻的结果有12种,
∴P(两位女同学相邻)= 12 = 1 ,故选D.
24 2
技巧点拨 用树状图列举所有可能的结果是求解古典概型问题的基本方法之一.
3.(2018课标全国Ⅱ,5,5分)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都 是女同学的概率为 ( ) A.0.6 B.0.5 C.0.4 D.0.3
解析 (1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于25,
由表格数据知,最高气温低于25的频率为 2 16 36 =0.6,
90
所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6. (2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时, 若最高气温不低于25,则Y=6×450-4×450=900; 若最高气温位于区间[20,25), 则Y=6×300+2×(450-300)-4×450=300; 若最高气温低于20,则Y=6×200+2×(450-200)-4×450=-100. 所以,Y的所有可能值为900,300,-100. Y大于零当且仅当最高气温不低于20, 由表格数据知,最高气温不低于20的频率为
A. 7 B. 5 C. 3 D. 3