2019版高考数学(文)高分计划一轮狂刷练：第10章概率 10-1a Word版含解析

[重点保分 两级优选练]A 级一、选择题1．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)等于( )A ．0 B.12 C.13 D.23 答案 C解析 P (X ＝1)＝2P (X ＝0)，且P (X ＝1)＋P (X ＝0)＝1.所以P (X ＝0)＝13.故选C.2．若某一随机变量X 的概率分布如下表，且m ＋2n ＝1.2，则m －n2的值为( )A ．－0.2B ．0.2C ．0.1D ．－0.1 答案 B解析 由m ＋n ＋0.2＝1，又m ＋2n ＝1.2，可得m ＝n ＝0.4，m －n2＝0.2.故选B.3．袋中有大小相同的红球6个、白球5个，从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球时为止，所需要的取球次数为随机变量ξ，则ξ的可能值为( )A ．1,2，…，6B ．1,2，…，7C ．1,2，…，11D ．1,2,3，…答案 B解析 除白球外，其他的还有6个球，因此取到白球时取球次数最少为1次，最多为7次．故选B.4．设X 是一个离散型随机变量，其分布列为：则q 等于( )A ．1B ．1±22C ．1－22D ．1＋22 答案 C解析 由分布列的性质得⎩⎪⎨⎪⎧0≤1－2q <1，0≤q 2<1，0.5＋(1－2q )＋q 2＝1⇒⎩⎨⎧0<q ≤12，q ＝1±22，∴q ＝1－22，故选C.5．已知某一随机变量X 的概率分布如下，且E (X )＝6.9，则a 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8 答案 B解析 因为在分布列中，各变量的概率之和为1，所以m ＝1－(0.2＋0.5)＝0.3，由数学期望的计算公式，可得4×0.3＋a ×0.2＋9×0.5＝6.9，a ＝6，故选B.6．已知离散型随机变量X 的分布列为则P (X ∈Z )＝( )A ．0.9B ．0.8C ．0.7D ．0.6 答案 A解析 由分布列性质得0.5＋1－2q ＋13q ＝1，解得q ＝0.3， ∴P (X ∈Z )＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝0.5＋1－2×0.3＝0.9，故选A.7．(2017·泰安模拟)若P (X ≤x 2)＝1－β，P (X ≥x 1)＝1－α，其中x 1<x 2，则P (x 1≤X ≤x 2)等于( )A ．(1－α)(1－β)B ．1－(α＋β)C ．1－α(1－β)D ．1－β(1－α)答案 B解析 显然P (X ＞x 2)＝β，P (X <x 1)＝α.由概率分布列的性质可知P (x 1≤X ≤x 2)＝1－P (X >x 2)－P (X <x 1)＝1－α－β.故选B.8．(2018·潍坊模拟)若随机变量X 的分布列为则当P (X <a )＝0.8时，实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．[1,2] C ．(1,2] D ．(1,2) 答案 C解析 由随机变量X 的分布列，知P (X <－1)＝0.1，P (X <0)＝0.3，P (X <1)＝0.5，P (X <2)＝0.8，则当P (X <a )＝0.8时，实数a 的取值范围是(1,2]．故选C.9．(2017·烟台模拟)一只袋内装有m 个白球，n －m 个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了ξ个白球，下列概率等于(n －m )A 2mA 3n的是( )A ．P (ξ＝3)B ．P (ξ≥2)C ．P (ξ≤3)D ．P (ξ＝2) 答案 D解析 依题意知，(n －m )A 2mA 3n是取了3次，所以取出白球应为2个．故选D.10．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．若η＝aξ－2，E (η)＝1，则a 的值为( )A ．2B ．－2C ．1.5D ．3 答案 A解析 由题意知ξ的可能取值为0,1,2,3,4，则ξ的分布列为∴E (ξ)＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝32，∵η＝aξ－2，E (η)＝1，∴aE (ξ)－2＝1，∴32a －2＝1，解得a ＝2.故选A.二、填空题11．设随机变量X 等可能取值1,2,3，…，n ，如果P (X <4)＝0.3，那么n ＝________.答案 10解析 由于随机变量X 等可能取1,2,3，…，n .所以取到每个数的概率均为1n .∴P (X <4)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝3n ＝0.3，∴n ＝10. 12．(2018·临汾联考)口袋中有5只球，编号为1,2,3,4,5，从中任意取3只球，以X 表示取出的球的最大号码，则X 的分布列为________．答案解析 X 的取值为3,4,5.又P (X ＝3)＝1C 35＝110，P (X ＝4)＝C 23C 35＝310，P (X ＝5)＝C 24C 35＝35.∴随机变量X 的分布列为13．已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．设ξ为取出的4个球中红球的个数，则P (ξ＝2)＝________.答案 310解析 ξ可能取的值为0,1,2,3，P (ξ＝0)＝C 23C 24C 24C 26＝15，P (ξ＝1)＝C 13C 24＋C 23C 12C 14C 24C 26＝715，又P (ξ＝3)＝C 13C 24C 26＝130，∴P (ξ＝2)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)－P (ξ＝3)＝1－15－715－130＝310. 14．如图所示，A ，B 两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为ξ，则P (ξ≥8)＝________.答案 45解析 解法一：由已知，ξ的取值为7,8,9,10，∵P (ξ＝7)＝C 22C 12C 35＝15，P (ξ＝8)＝C 22C 11＋C 12C 22C 35＝310， P (ξ＝9)＝C 12C 12C 11C 35＝25，P (ξ＝10)＝C 22C 11C 35＝110，∴ξ的概率分布列为∴P (ξ≥8)＝P (ξ＝8)＋P (ξ＝9)＋P (ξ＝10) ＝310＋25＋110＝45.解法二：P (ξ≥8)＝1－P (ξ＝7)＝45.B 级三、解答题15．(2018·太原模拟)根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如图所示．(1)已知[30,40)，[40,50)，[50,60)三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求a ，b 的值；(2)该电子商务平台将年龄在[30,50)内的人群定义为高消费人群，其他年龄段的人群定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放100元的代金券，现采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取10人，并在这10人中随机抽取3人进行回访，求此3人获得的代金券总和X (单位：元)的分布列与数学期望．解 (1)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ＋0.015，(0.01＋0.015×2＋b ＋a )×10＝1， 解得a ＝0.035，b ＝0.025.(2)利用分层抽样从样本中抽取10人，易知其中属于高消费人群的有6人，属于潜在消费人群的有4人．从该10人中抽取3人，此3人所获得的代金券的总和为X (单位：元)，则X 的所有可能取值为150,200,250,300.P (X ＝150)＝C 36C 310＝16，P (X ＝200)＝C 26C 14C 310＝12，P (X ＝250)＝C 16C 24C 310＝310，P (X ＝300)＝C 34C 310＝130.X 的分布列为E (X )＝150×16＋200×12＋250×310＋300×130＝210.16．一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n .如果n ＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n ＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X (单位：元)，求X 的分布列及数学期望．解 (1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A 1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A 2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B 1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B 2，这批产品通过检验为事件A ，依题意有A ＝(A 1B 1)∪(A 2B 2)，且A 1B 1与A 2B 2互斥，所以P (A )＝P (A 1B 1)＋P (A 2B 2)＝P (A 1)P (B 1|A 1)＋P (A 2)P (B 2|A 2) ＝416×116＋116×12＝364.(2)X 可能的取值为400,500,800，并且 P (X ＝400)＝1－416－116＝1116，P (X ＝500)＝116，P (X ＝800)＝14. 所以X 的分布列为E (X )＝400×1116＋500×116＋800×14＝506.25.17．(2018·广州测试)班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析．(1)如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？(写出算式即可，不必计算出结果)(2)如果随机抽取的7名同学的数学、物理成绩(单位：分)对应如下表：①若规定85分以上(包括85分)为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；②根据上表数据，求物理成绩y 关于数学成绩x 的线性回归方程(系数精确到0.01)；若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？附：线性回归方程y ＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝∑ni ＝1(x i －x )(y i －y )∑ni ＝1(x i －x )2，a ^＝y －－b ^x .解 (1)依据分层抽样的方法，24名女同学中应抽取的人数为742×24＝4名，18名男同学中应抽取的人数为742×18＝3名，故不同的样本的个数为C 424C 318.(2)①∵7名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为3名， ∴ξ的取值为0,1,2,3.∴P (ξ＝0)＝C 34C 37＝435，P (ξ＝1)＝C 24C 13C 37＝1835，P (ξ＝2)＝C 14C 23C 37＝1235，P (ξ＝3)＝C 33C 37＝135.∴ξ的分布列为∴E (ξ)＝0×435＋1×1835＋2×1235＋3×135＝97.②∵b ^＝526812≈0.65，a ^＝y －b ^x ＝83－0.65×76＝33.60. ∴线性回归方程为y ＝0.65x ＋33.60.当x ＝96时，y ＝0.65×96＋33.60＝96. 可预测该同学的物理成绩为96分．18．(2018·豫北十校联考)某高中在招高一新生时，有统一考试招生和自主招生两种方式．参加自主招生的同学必须依次进行“语文”“数学”“科学”三科的考试，若语文达到优秀，则得1分，若数学达到优秀，则得2分，若科学达到优秀，则得3分，若各科未达到优秀，则不得分．已知小明三科考试都达到优秀的概率为124，至少一科考试优秀的概率为34，数学考试达到优秀的概率为13，语文考试达到优秀的概率大于科学考试达到优秀的概率，且小明各科达到优秀与否相互独立．(1)求小明语文考试达到优秀的概率； (2)求小明三科考试所得总分的分布列和期望．解 (1)依题意，设小明语文考试达到优秀的概率为p 1，科学考试达到优秀的概率为p 2，且p 1>p 2，故⎩⎪⎨⎪⎧13p 1p 2＝124，1－(1－p 1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13(1－p 2)＝34，解得⎩⎪⎨⎪⎧p 1＝12，p 2＝14，则小明语文考试达到优秀的概率为12.(2)记小明三科的总得分为X ，则X 的可能取值为0,1,2,3,4,5,6. P (X ＝0)＝12×23×34＝14， P (X ＝1)＝12×23×34＝14，P (X ＝2)＝12×13×34＝18，P (X ＝3)＝12×23×14＋12×13×34＝524， P (X ＝4)＝12×23×14＝112， P (X ＝5)＝12×13×14＝124， P (X ＝6)＝12×13×14＝124. 则X 的分布列为E (X )＝0×14＋1×14＋2×18＋3×524＋4×112＋5×124＋6×124＝2312.。

[基础送分提速狂刷练]一、选择题1．有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有() A．21种B．315种C．143种D．153种答案 C解析可分三类：一类：语文、数学各1本，共有9×7＝63种；二类：语文、英语各1本，共有9×5＝45种；三类：数学、英语各1本，共有7×5＝35种；∴共有63＋45＋35＝143种不同选法．故选C.2．如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有________个．()A．8 B．12 C．14 D．9答案 B解析由题意知本题是一个分类计数问题．当组成的数字有三个1，三个2，三个3，三个4共有4种情况，当有三个1时：2111,3111,4111,1211,1311,1411,1121,1131,1141，有9种，当有三个2,3,4时：2221,3331,4441，有3种，根据分类计数原理得到共有12种结果，故选B.3．高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有()A．16种B．18种C．37种D．48种答案 C解析自由选择去四个工厂有43种方法，甲工厂不去，自由选择去乙、丙、丁三个工厂有33种方法，故不同的分配方案有43－33＝37种．故选C.4．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目．如要将这2个节目插入原节目单中，那么不同插法的种类为()A．42 B．30 C．20 D．12答案 A解析将新增的2个节目分别插入原定的5个节目中，插入第一个有6种插法，插入第2个时有7个空，共7种插法，所以共6×7＝42(种)．故选A.5．(2017·石家庄模拟)教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有()A．10种B．25种C．52种D．24种答案 D解析每相邻的两层之间各有2种走法，共分4步．由分步乘法计数原理，共有24种不同的走法．故选D.6．如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是() A．60 B．48 C．36 D．24答案 B解析长方体的6个表面构成的“平行线面组”个数为6×6＝36，另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”个数为6×2＝12，故符合条件的“平行线面组”的个数是36＋12＝48.故选B.7．(2017·山东模拟)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()A．243 B．252 C．261 D．279答案 B解析由分步乘法计数原理知：用0,1，…，9十个数字组成三位数(可有重复数字)的个数为9×10×10＝900，组成没有重复数字的三位数的个数为9×9×8＝648，则组成有重复数字的三位数的个数为900－648＝252，故选B.8．(2018·南宁调研)我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2013是“六合数”)，则“六合数”中首位为2的“六合数”共有()A．18个B．15个C．12个D．9个答案 B解析依题意，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4,0,0组成3个数，分别为400,040,004；由3,1,0组成6个数，分别为310,301,130,103,013,031；由2,2,0组成3个数，分别为220,202,022；由2,1,1组成3个数，分别为211,121,112，共计3＋6＋3＋3＝15(个)．故选B.9．有A，B两种类型的车床各一台，现有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种车床，丙只会操作A种车床，若从三名工人中选2名分别去操作以上车床，则不同的选派方法有() A．6种B．5种C．4种D．3种答案 C解析若选甲、乙2人，则包括甲操作A车床，乙操作B车床或甲操作B车床，乙操作A车床，共有2种选派方法；若选甲、丙2人，则只有甲操作B车床，丙操作A车床这1种选派方法；若选乙、丙2人，则只有乙操作B车床，丙操作A车床这1种选派方法．∴共有2＋1＋1＝4种不同的选派方法．故选C.10．(2018·湖南长沙模拟)若两条异面直线所成的角为60°，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有()A．12对B．18对C．24对D．30对答案 C解析依题意，注意到在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与直线AC构成异面直线且所成的角为60°的直线有BC1，BA1，A1D，DC1，注意到正方体ABCD－A1B1C1D1中共有12条面对角线，可知所求的“黄金异面直线对”共有4×122＝24对，故选C.二、填空题11．已知集合M＝{1,2,3,4}，集合A，B为集合M的非空子集，若对∀x∈A，y∈B，x＜y恒成立，则称(A，B)为集合M的一个“子集对”，则集合M的“子集对”共有________个．答案17解析当A＝{1}时，B有23－1＝7种情况；当A＝{2}时，B有22－1＝3种情况；当A＝{3}时，B有1种情况；当A＝{1,2}时，B有22－1＝3种情况；当A＝{1,3}，{2,3}，{1,2,3}时，B均有1种情况．故满足题意的“子集对”共有7＋3＋1＋3＋3＝17个．12．(2018·湖南十二校联考)若m，n均为非负整数，在做m＋n 的加法时各位均不进位(例如：134＋3802＝3936)，则称(m，n)为“简单的”有序对，而m＋n称为有序对(m，n)的值，那么值为1942的“简单的”有序对的个数是________．答案300解析第1步，1＝1＋0,1＝0＋1，共2种组合方式；第2步，9＝0＋9,9＝1＋8,9＝2＋7,9＝3＋6，…，9＝9＋0，共10种组合方式；第3步，4＝0＋4,4＝1＋3,4＝2＋2,4＝3＋1,4＝4＋0，共5种组合方式；第4步，2＝0＋2,2＝1＋1,2＝2＋0，共3种组合方式．根据分步乘法计数原理，值为1942的“简单的”有序对的个数为2×10×5×3＝300.13．已知数列{a n}是公比为q的等比数列，集合A＝{a1，a2，…，a10}，从A中选出4个不同的数，使这4个数成等比数列，这样得到4个数的不同的等比数列的个数为________．答案24解析当公比为q时，满足题意的等比数列有7种，当公比为1q时，满足题意的等比数列有7种，当公比为q2时，满足题意的等比数列有4种，当公比为1q2时，满足题意的等比数列有4种，当公比为q3时，满足题意的等比数列有1种，当公比为1q3时，满足题意的等比数列有1种，因此满足题意的等比数列共有7＋7＋4＋4＋1＋1＝24(种)．14．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，若要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________种(用数字作答)．答案72解析解法一：区域1有C14种着色方法；区域2有C13种着色方法；区域3有C12种着色方法；区域4,5有3种着色方法(4与2同色有2种，4与2不同色有1种)．∴共有4×3×2×3＝72种不同着色方法．解法二：区域1与其他四个区域都相邻，宜先考虑．区域1有4种涂法．若区域2,4同色，有3种涂色，此时区域3,5均有两种涂法，涂法总数为4×3×2×2＝48种；若区域2,4不同色，先涂区域2有3种方法，再涂区域4有2种方法．此时区域3,5也都只有1种涂法，涂法总数为4×3×2×1×1＝24种．因此涂法共有48＋24＝72种．三、解答题15．编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A球不能放在1,2号，B球必须放在与A球相邻的盒子中，则不同的放法有多少种？解根据A球所在位置分三类：(1)若A球放在3号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C，D，E，则根据分步乘法计数原理得，3×2×1＝6种不同的放法．(2)若A球放在5号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C，D，E，则根据分步乘法计数原理得，3×2×1＝6种不同的放法．(3)若A球放在4号盒子内，则B球可以放在2号，3号，5号盒子中的任何一个，余下的三个盒子放球C，D，E有3×2×1＝6种不同的放法，根据分步乘法计数原理得，3×6＝18种不同的放法．综上所述，由分类加法计数原理得不同的放法共有6＋6＋18＝30种．16．(2018·江阴模拟)用n(n∈N*)种不同颜色给如图的4个区域涂色，要求相邻区域不能用同一种颜色．(1)当n＝6时，图①、图②各有多少种涂色方案？(要求：列式或简述理由，结果用数字作答)(2)若图③有180种涂色法，求n的值．解(1)当n＝6时，图①A有6种方法，B有5种方法，C有4种方法，D有5种方法，共有涂色方法6×5×4×5＝600种．图②若A，C相同，则A有6种方法，B有5种方法，D有4种方法，共有6×5×4＝120种．若A，C不同，则A有6种方法，B有5种方法，C有4种方法，D有3种方法，共有6×5×4×3＝360种．∴共有涂色方法120＋360＝480种．(2)A有n种方法，B有n－1种方法，C有n－2种方法，D有n －2种方法，共有涂色方法n(n－1)(n－2)·(n－2)种，由n(n－1)(n－2)(n－2)＝180，解得n＝5.。

[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2018·广东测试)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－12x 6的展开式中，常数项是( )A ．－54 B.54 C ．－1516 D.1516 答案 D 解析T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ⎝⎛⎭⎪⎫－12x r ＝⎝⎛⎭⎪⎫－12r C r 6x 12－3r ，令12－3r ＝0，解得r ＝4.∴常数项为⎝ ⎛⎭⎪⎫－124C 46＝1516.故选D.2．(2018·福建厦门联考)在⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x ＋1x 201810的展开式中，x 2的系数为( )A ．10B ．30C ．45D ．120 答案 C解析 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x ＋1x 201810＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋x )＋1x 201810＝(1＋x )10＋C 110(1＋x )91x2018＋…＋C 1010⎝ ⎛⎭⎪⎫1x201810，所以x 2只出现在(1＋x )10的展开式中，所以含x 2的项为C 210x 2，系数为C 210＝45.故选C.3．已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( ) A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－1 答案 D解析 由二项式定理得(1＋x )5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5·x r ，所以当r ＝2时，(1＋ax )(1＋x )5的展开式中相应x 2的系数为C 25，当r ＝1时，相应x 2的系数为C 15·a ，所以C 25＋C 15·a ＝5，a ＝－1，故选D. 4．(2018·河南百校联盟模拟)(3－2x －x 4)(2x －1)6的展开式中，含x 3项的系数为 ( )A ．600B ．360C ．－600D ．－360答案 C解析 由二项展开式的通项公式可知，展开式中含x 3项的系数为3×C 3623(－1)3－2×C 2622(－1)4＝－600.故选C.5．若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为( )A ．－40B ．－20C ．20D ．40 答案 D解析 令x ＝1，得(1＋a )(2－1)5＝2，∴a ＝1.∴⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的通项为T r ＋1＝C r 5·(2x )5－r ·⎝⎛⎭⎪⎫－1xr ＝(－1)r ·25－r ·C r 5·x 5－2r. 令5－2r ＝1，得r ＝2.令5－2r ＝－1，得r ＝3.∴展开式的常数项为(－1)2×23·C 25＋(－1)3·22·C 35＝80－40＝40.故选D.6．在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x2－13x n 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )A ．－7B ．7C ．－28D ．28 答案 B解析 由题意知n ＝8，T r ＋1＝C r 8·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 28－r ·⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x r ＝(－1)r ·C r8·x 8－r28－r ·＝(－1)r ·C r 8·，由8－r －r3＝0，得r ＝6.∴T 7＝C 68·122＝7，即展开式中的常数项为T 7＝7.故选B.7．(2018·石家庄模拟)若⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1ax 9(a ∈R )的展开式中x 9的系数是－212，则⎠⎛0a sin x d x 的值为( )A ．1－cos2B ．2－cos1C ．cos2－1D ．1＋cos2 答案 A 解析 由题意得T r ＋1＝C r 9·(x 2)9－r ·(－1)r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax r ＝(－1)r ·C r 9·x 18－3r ·1ar ，令18－3r ＝9，得r ＝3，所以－C 39·1a 3＝－212，解得a ＝2.所以⎠⎛0asin x d x ＝(－cos x )20＝－cos2＋cos0＝1－cos2.故选A .8．设a ∈Z ，且0≤a <13，若512018＋a 能被13整除，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．11 D ．12 答案 D解析 512018＋a ＝(52－1)2018＋a ＝522018＋C 12018·522017·(－1)＋…＋C 20172018×52×(－1)2017＋1＋a ， ∵522018能被13整除，∴只需a ＋1能被13整除即可，∴a ＝12.故选D.9．(2018·合肥质检)若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2·(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为( )A ．1或－3B ．－1或3C ．1D ．－3 答案 A解析 令x ＝0，得到a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2＋m )9，令x ＝－2，得到a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9＝m 9，所以有(2＋m )9m 9＝39，即m 2＋2m ＝3，解得m ＝1或m ＝－3.故选A.10．(2017·淮北模拟)已知在⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －123x n的展开式中，第6项为常数项，则展开式中所有的有理项共有( )A ．5项B ．4项C ．3项D ．2项 答案 C解析 T r ＋1＝C r n x n －r 3⎝⎛⎭⎪⎪⎫－123xr ＝C r n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r x ，由第6项为常数项 ，得当r ＝5时，n －2r 3＝0，得n ＝10.令10－2r3＝k ∈Z ，则10－2r ＝3k ，即r ＝5－32k ，故k 应为偶数．又0≤r ≤10，故k 可取2,0，－2，即r 可取2,5,8.故第3项，第6项与第9项为有理项，故选C.二、填空题11．(2014·安徽高考)设a ≠0，n 是大于1的自然数，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x a n 的展开式为a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n .若点A i (i ，a i )(i ＝0,1,2)的位置如图所示，则a ＝________.答案 3解析 根据题意知a 0＝1，a 1＝3，a 2＝4，结合二项式定理得⎩⎪⎨⎪⎧C 1n ·1a ＝3，C 2n ·1a 2＝4，即⎩⎨⎧n －1＝83a ，n ＝3a ，解得a ＝3.12．若⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋b x 6的展开式中x 3的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为________．答案 2解析 因为二项式⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋b x 6展开后第k 项为C k －16·(ax 2)7－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫b x k －1＝C k －16a 7－kb k －1x 15－3k ，所以当k ＝4时，可得x 3的系数为20a 3b 3，即20a 3b 3＝20，得ab ＝1.故a 2＋b 2≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立，此时a 2＋b 2取得最小值2.13．在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝________.答案 120解析 ∵(1＋x )6展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6x r ，(1＋y )4展开式的通项公式为T h ＋1＝C h 4y h ，∴(1＋x )6(1＋y )4展开式的通项可以为C r 6C h4x r y h .∴f (m ，n )＝C m 6C n4.∴f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝C 36＋C 26C 14＋C 16C 24＋C 34＝20＋60＋36＋4＝120.14．(2017·江西赣州十四县联考)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x n 的展开式中前三项的系数分别为A ，B ，C ，且满足4A ＝9(C －B )，则展开式中x 2的系数为________．答案 5627解析 易得A ＝1，B ＝n 3，C ＝C 2n9＝n (n －1)18，所以有4＝9⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2－n 18－n 3，即n 2－7n －8＝0，解得n ＝8或n ＝－1(舍)．在⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x 8中，因为通项T r ＋1＝C r 8x8－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x r ＝C r83r x 8－2r，令8－2r ＝2，得r ＝3，所以展开式中x 2的系数为5627.三、解答题15．(2018·三亚模拟)已知f n (x )＝(1＋x )n .(1)若f 2019(x )＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2019x 2019，求a 1＋a 3＋…＋a 2017＋a 2019的值；(2)若g (x )＝f 6(x )＋2f 7(x )＋3f 8(x )，求g (x )中含x 6项的系数． 解 (1)因为f n (x )＝(1＋x )n ， 所以f 2019(x )＝(1＋x )2019，又f 2019(x )＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2019x 2019， 所以f 2019(1)＝a 0＋a 1＋…＋a 2019＝22019，① f 2019(－1)＝a 0－a 1＋…＋a 2017－a 2019＝0，② ①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 2017＋a 2019)＝22019， 所以a 1＋a 3＋…＋a 2017＋a 2019＝22018. (2)因为g (x )＝f 6(x )＋2f 7(x )＋3f 8(x )， 所以g (x )＝(1＋x )6＋2(1＋x )7＋3(1＋x )8.g (x )中含x 6项的系数为C 66＋2C 67＋3C 68＝99.16．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x n， (1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．解 (1)因为C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ，所以n 2－21n ＋98＝0，得n ＝7或n＝14.当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5.∴T 4的系数为C 37⎝ ⎛⎭⎪⎫12423＝352，T 5的系数为C 47⎝ ⎛⎭⎪⎫12324＝70.当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T 8，∴T 8的系数为C 714⎝ ⎛⎭⎪⎫12727＝3432.(2)∵C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，∴n 2＋n －156＝0，∴n ＝12或n ＝－13(舍去)． 设T k ＋1项的系数最大，∵⎝⎛⎭⎪⎫12＋2x 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212(1＋4x )12， ∴⎩⎪⎨⎪⎧C k 124k ≥C k －1124k －1，C k 124k ≥C k ＋1124k ＋1， 解得475≤k ≤525.∵k ∈N ，∴k ＝10，∴展开式中系数最大的项为T 11，T 11＝C 1012·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·210·x 10＝16896x 10.。

第二节古典概型[考纲传真](教师用书独具)1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会用列举法计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率．(对应学生用书第149页)[基础知识填充]1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．2．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．(2)每个基本事件出现的可能性相等．3．如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝m n.4．古典概型的概率公式P(A)＝A包含的基本事件的个数基本事件的总数.[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．()(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．()(3)从－3，－2，－1,0,1,2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同．()(4)利用古典概型的概率可求“在边长为2的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于1”的概率．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．(教材改编)下列试验中，是古典概型的个数为()①向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率；②向正方形ABCD内，任意抛掷一点P，点P恰与点C重合；③从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率；④在线段[0,5]上任取一点，求此点小于2的概率．A．0B．1C．2D．3B[由古典概型的意义和特点知，只有③是古典概型．]3．(2016·全国卷Ⅲ)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是() 【导学号：79170351】A．815B．18C．115D．130C[∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，∴事件总数有15种．∵正确的开机密码只有1种，∴P＝1 15.]4．(2015·全国卷Ⅰ)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为()A．310B．15C．110D．120C[从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为110.故选C．]5．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．13[甲、乙两名运动员选择运动服颜色的情况为(红，红)，(红，白)，(红，蓝)，(白，白)，(白，红)，(白，蓝)，(蓝，蓝)，(蓝，白)，(蓝，红)，共9种．而同色的有(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共3种．所以所求概率P＝39＝13.](对应学生用书第149页)1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为()A．110B．15C．310D．25(2)(2016·全国卷Ⅰ)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是()A．13B．12C．23D．56(1)D(2)C[(1)从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：基本事件总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，∴所求概率P＝1025＝25.故选D.(2)从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下2种颜色的花种在另一个花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共4种，故所求概率为P＝46＝23，故选C．][规律方法] 1.计算古典概型事件的概率可分三步，(1)计算基本事件总个数n；(2)计算事件A所包含的基本事件的个数m；(3)代入公式求出概率P. 2．用列举法写出所有基本事件时，可借助“树状图”列举，以便做到不重、不漏．[变式训练1](1)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于．．．该正方形边长的概率为()A．15B．25C．35D．45(2)(2016·江苏高考)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．(1)C(2)56[(1)设正方形的四个顶点分别是A，B，C，D，中心为O，从这5个点中，任取两个点的事件分别为AB，AC，AD，AO，BC，BD，BO，CD，CO，DO，共有10种，其中只有顶点到中心O的距离小于正方形的边长，分别是AO，BO，CO，DO，共有4种．所以所求事件的概率P＝1－410＝35.(2)将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，所有等可能的结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,6)，共36种情况．设事件A＝“出现向上的点数之和小于10”，其对立事件A＝“出现向上的点数之和大于或等于10”，A包含的可能结果有(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共6种情况．所以由古典概型的概率公式，得P(A)＝636＝16，所以P(A)＝1－16＝56.](2016·参加活动的儿童需转动如图10-2-1所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：图10-2-1①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶．假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.【导学号：79170352】[解]用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应．因为S中元素的个数是4×4＝16，所以基本事件总数n＝16. 3分(1)记“xy≤3”为事件A，则事件A包含的基本事件数共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)．所以P(A)＝516，即小亮获得玩具的概率为516. 5分(2)记“xy≥8”为事件B，“3<xy<8”为事件C．则事件B包含的基本事件数共6个，即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，所以P(B)＝616＝38. 8分事件C包含的基本事件数共5个，即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1). 10分所以P(C)＝5 16.因为38>5 16，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率. 12分[规律方法] 1.本题易错点有两个：(1)题意理解不清，不能把基本事件列举出来；(2)不能恰当分类，列举基本事件有遗漏．2．求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型，必要时将所求事件转化成彼此互斥事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解．[变式训练2](2017·潍坊质检)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)(1)(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5,3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率. 【导学号：79170353】[解](1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，2分故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15人，所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P＝15 45＝13. 5分(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{A4，B1}，{A4，B2}，{A4，B3}，{A5，B1}，{A5，B2}，{A5，B3}，共15个. 8分根据题意，这些基本事件的出现是等可能的．事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有{A1，B2}，{A1，B3}，共2个. 10分因此A1被选中且B1未被选中的概率为P＝215. 12分B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表．A地区用户满意度评分的频率分布直方图图10-2-2①B地区用户满意度评分的频数分布表方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)．B地区用户满意度评分的频率分布直方图图10-2-2②(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：[解](1)如图所示．4分通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值；B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散. 6分(2)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大. 8分记C A表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”；C B表示事件：“B 地区用户的满意度等级为不满意”．由直方图得P(C A)的估计值为(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P(C B)的估计值为(0.005＋0.02)×10＝0.25. 11分所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大. 12分[规律方法] 1.本题求解的关键在于作出茎叶图，并根据茎叶图准确提炼数据信息，考查数据处理能力和数学应用意识．2．有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、分布直方图、茎叶图等给出信息，准确从题中提炼信息是关键．[变式训练3](2018·湘潭模拟)长沙某购物中心在开业之后，为了解消费者购物金额的分布情况，在当月的电脑消费小票中随机抽取n张进行统计，将结果分成6组，分别是[0,100)，[100,200)，[200,300)，[300,400)，[400,500)，[500,600]，制成如图10-2-3所示的频率分布直方图(假设消费金额均在[0,600]元的区间内)．(1)若按分层抽样的方法在消费金额为[400,600]元区间内抽取6张电脑小票，再从中任选2张，求这2张小票均来自[400,500)元区间的概率；(2)为做好五一劳动节期间的商场促销活动，策划人员设计了两种不同的促销方案．方案一：全场商品打八折．方案二：全场购物满100元减20元，满300元减80元，满500元减120元，以上减免只取最高优惠，不重复减免．利用直方图的信息分析：哪种方案优惠力度更大，并说明理由(直方图中每个小组取中间值作为该组数据的替代值)图10-2-3[解](1)由题意知，在[400,500)元区间内抽4张，分别记为a，b，c，d，在[500,600]元区间内抽2张，分别记为E，F，2分设“2张小票均来自[400,500)元区间”为事件A，从中任选2张，有以下选法：ab、ac、ad、aE、aF、bc、bd、bE、bF、cd、cE、cF、dE、dF、EF，共15种. 4分其中，2张小票均来自[400,500)元区间的有ab、ac、ad、bc、bd、cd，共6种，∴P(A)＝25. 6分(2)法一：由频率分布直方图可知，各组频率依次为0.1,0.2,0.25,0.3,0.1,0.05.方案一：购物的平均费用为0.8×(50×0.1＋150×0.2＋250×0.25＋350×0.3＋450×0.1＋550×0.05)＝0.8×275＝220(元). 8分方案二：购物的平均费用为50×0.1＋130×0.2＋230×0.25＋270×0.3＋370×0.1＋430×0.05＝228(元). 10分∵220＜228，∴方案一的优惠力度更大. 12分法二：由频率分布直方图可知，各组频率依次为0.1,0.2,0.25,0.3,0.1,0.05，方案一：平均优惠金额为0.2×(50×0.1＋150×0.2＋250×0.25＋350×0.3＋450×0.1＋550×0.05)＝0.2×275＝55(元). 8分方案二：平均优惠金额为20×(0.2＋0.25)＋80×(0.3＋0.1)＋120×0.05＝47(元). 10分∵55＞47.∴方案一的优惠力度更大. 12分。