第二章
2-1 试证明图P2-1中周期性信号可以展开为 （图略）
04(1)()cos(21)21n
n s t n t n ππ∞
=-=++∑ 证明：因为
()()s t s t -=
所以
000022()cos cos cos 2k k k k k k kt kt s t c c c kt T πππ∞
∞∞
======∑∑∑
101()00s t dt c -=⇒=⎰ 1
1112
21111224()cos ()cos cos sin 2
k k c s t k tdt k tdt k tdt k πππππ----==-++=⎰⎰⎰⎰ 0,24(1)21(21)n k n k n n π=⎧⎪=⎨-=+⎪+⎩
所以 04(1)()cos(21)21n
n s t n t n ππ∞
=-=++∑
2-2设一个信号()s t 可以表示成
()2cos(2)s t t t πθ=+-∞<<∞
试问它是功率信号还是能量信号，并求出其功率谱密度或能量谱密度。 解：功率信号。
2
22
()cos(2)sin (1)sin (1)[]2(1)(1)j ft j j s f t e dt f f e e f f τπττθθπθτπτπτπτπτ
---=+-+=+-+⎰ 21()lim P f s τττ
→∞= 2222222222sin (1)sin (1)sin (1)sin (1)lim 2cos 24(1)(1)(1)(1)f f f f f f f f ττπτπτπτπτθπτπτπτ
→∞-+-+=++-+-+ 由公式
22sin lim ()t xt x tx δπ→∞= 和 sin lim ()t xt x x
δπ→∞= 有
()[(1)][(1)]44
1[(1)(1)]4P f f f f f π
πδπδπδδ=-++=++-
或者
001()[()()]4
P f f f f f δδ=-++
2-3 设有一信号如下：
2exp()
0()00t t x t t -≥⎧=⎨<⎩
试问它是功率信号还是能量信号，并求出其功率谱密度或能量谱密度。 解：
220()42t x t dx e dt ∞
∞
--∞==⎰⎰ 是能量信号。
2(12)0()()22
12j ft j f t S f x t e dt e dt j f
πππ∞
-∞∞
--===-⎰⎰ 222
24()1214G f j f f ππ==-+
2-4 试问下列函数中哪一些满足功率谱密度的性质：
（1）2()cos 2f f δπ+
（2）()a f a δ+-
（3）exp()a f -
解：
功率谱密度()P f 满足条件：()P f df ∞
-∞⎰为有限值
（3）满足功率谱密度条件，（1）和（2）不满足。
2-5 试求出()cos s t A t ω=的自相关函数，并从其自相关函数求出其功率。 解：该信号是功率信号，自相关函数为
2221()lim cos cos ()cos 2
T T T R A t t T A τωωτωτ-→∞=⋅+=⎰
21(0)2
P R A ==
2-6 设信号()s t 的傅里叶变换为()sin S f f f π=，试求此信号的自相关函数()s R τ。 解： 22222()()sin 1,11
j f s j f R P f e df f e df f πτπττππττ∞
-∞∞
-∞===--<<⎰⎰
2-7 已知一信号()s t 的自相关函数为
()2
k s k R e ττ-=， k 为常数 （1）试求其功率谱密度()s P f 和功率P ；
（2）试画出()s R τ和()s P f 的曲线。
解：（1）
20(2)(2)02
222()()224j f s s k j f k j f P f R e d k k e d e d k k f πτπτπτττττπ∞
--∞∞-+--∞
==
+=+⎰⎰⎰ 2
222
42k P df k f k π∞
-∞=+=⎰ （2）略
2-8 已知一信号()s t 的自相关函数是以2为周期的周期函数： ()1R ττ=-， 11τ-<<
试求功率谱密度()s P f ，并画出其曲线。
解：()R τ的傅立叶变换为， （画图略）
222
21222121()1sin (1)2sin T j f T j f R e d T f e d f
c f
πτπτττπττππ----=-==⎰⎰ 2022()sin ()
sin ()sin ()2P f c f f nf n c f f T n c f f πδπδπδ∞
-∞∞-∞
∞-∞=-=-=-∑∑∑
2-9 已知一信号()s t 的双边功率谱密度为
4210,1010()0
f kHz f kHz P f -⎧-<<=⎨⎩其他
试求其平均功率。
解： 4
41042108
()102103
P P f df f df ∞
-∞--===⨯⎰⎰
