二项式定理导学案

1.3 二项式定理导学案（两课时）
一、你知道本节课你要达到的要求吗？请看学习目标：
掌握二项式定理有其推导方法以及二项展开式的有关特征，并能用它们计算和论证一些简单问题. 二、温故而知
1、()()()112233a b a b a b +++新展开式中一共多少项？
2、写出()3
a b +的展开式：（什么是展开式：先分解因式在合并同类项再按某个字母的降幂或升幂排列）
(a+b)3=________________________
这种只有两个元素的展开叫做二项展开式。

三、自学能力培养从这里开始，反复阅读课本完成下列问题 问题:4()a b +的二项展开式是什么？
研究：()()()()a b a b a b a b ++++展开式中：
（1）全展开（每一项系数为1）共几项？
（2）展开式中会出现哪些项？（展开式中每一项的系数都等于二项式的系数）
则：4432234)(a b a a b a b ab b +=++++问题：每一项前面的系数各是什么？
类比：(a+b)3
=322333a a b ab b +++
计算：2a b 在3()a b +的展开式中出现了几次？以b 来计算，2a b 中只有一个b 则出现
的次数是1
3C 。

则404132223344
4
4444()a b C a C a b C a b C ab C b +=++++ =_______________________________
一般的，对于任意正整数*()n n N ∈，
(a+b)n =____________________________________
这个式子展开称为二项式展开，此公式所表示的定理称为二项式定理，右边展开后
的式子称为是二项展开式。

其中各项的系数,(0,1,2)r
n
C r n =⋅⋅⋅称为是此项的二项式系数。

式子中r n r r n
C a b -成为是二项展开式的通项，用1r T +表示，即1r n r r
r n T C a b -+=。

在二项式定理中，
令a=1,b=x 则(a+b)n =________________________ 令a=1,b=-x 则(a+b)n =______________________ 注：1、二项式展开后共有1n +项
2、二项式展开后通常是以前面一个元素的降幂排列
3、注意通项中第1r +项和指数r 的关系（如：777
871n n
T T C a b -+==） 四、学习研究本节例题,尝试探究下列例题的解法
例1、（利用二项式定理展开）
（1
）展开3
2x ⎫⎪⎭
（详细写过程）
（2
）展开(5
1
例2、（求展开式中的某一项） （1）求()4
21x -展开式中的第3项
（2
）若2n
x ⎛
⎝
展开式中的第5项是常数项，求n 并写出这个常数项
例3、（求某项的二项式系数与项的系数）
（1
）求7
23x ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭展开式中第5项的二项式系数，第4项的系数，5x 前的系数。

(2)在4111n
x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭展开式中，第5项与第12项的系数的绝对值相等，求n
五、达标训练，看看第一节课你学到了什么？ 1.求()6
23a b +的展开式的第3项.
2.求()632b a +的展开式的第3项.
3.写出n 33)x
21x (-的展开式的第r+1项.
4.求()7
32x x +的展开式的第4项的二项式系数，并求第4项的系数.
5.化简：（1）5
5)x 1()x 1(-++；（2）42
12
14
2
12
1)x 3x 2()x 3x 2(-
-
--+ 6．()5
lg x x x +展开式中的第3项为6
10
，求x ．
第二课时例题（灵活运用二项式定理） 例四、求42)43(-+x x 的展开式中x 的系数
例五、已知n 的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，
（1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项
练一练，看看第二节课你学到了什么？ 1．6
)x
2x (+
展开式中常数项是 （ ）
A.第4项
B.464C 2
C.4
6C D.2
2．(x －1)11展开式中x 的偶次项系数之和是（ ） A.-2048 B.-1023 C.-1024 D.1024
3．7)21(+展开式中有理项的项数是 （ ） A.4 B.5 C.6 D.7
4．设(2x-3)4=44332210x a x a x a x a a ++++，则a 0+a 1+a 2+a 3的值为（ ） A.1 B.16 C.-15 D.15
5．113)x
1
x (-展开式中的中间两项为 （ ）
A.51251211
11,C x C x - B.695101111,C x C x - C. 513591111,C x C x - D.5175131111,C x C x -
6．在7)y 3
1
x 2(-展开式中，x 5y 2的系数是
7．=++++n
n n 2n 21n 0n C 3C 3C 3C
8. 20
3)5
15(+的展开式中的有理项是展开式的第几项？
9．(2x-1)5展开式中各项系数绝对值之和是多少？
10．求1032)x x 3x 31(+++展开式中系数最大的项.
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
一、你知道本节课你要达到的要求吗？请看学习目标：
了解“杨辉三角”的内容，会用二项式系数的性质解决有关问题。

二、温故知新
1、写出（u+v ）5的展开式
2、求（1+2x ）7的展开式的第4项的系数及二项式系数
三、自学能力培养从这里开始，反复阅读课本完成下列问题 1．“杨辉三角”的来历及规律
..........
)(...............)(.....................)(..............................)(....................................)(..............................................)(6543
21b a b a b a b a b a b a ++++++
你能借助上面的表示形式发现一些新的规律吗？ (1) （2） （3） （4）
从函数角度进行分析又能得到那些内容呢? 1、定义域 2、值域 3、图像
4、对称性
5、增减性与最大值
6、各二项式系数的和
四、学习研究本节例题,尝试探究下列例题的解法
例1 证明在（a+b ）n 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．
例2 已知 （3x -x
2）n 的展开式中，第4项的二项式系数是倒数第2项的二
项式系数的7倍，求展开式中x 的一次项
五、达标训练，看看本节课你学到了什么？ 1、填空：
（1）（a+b ）n 的各二项式系数的最大值是___________________
（2)=+++1111311111C C C ________________
(3)=+++++++++++++1
121110
1210n n n n n n
n
n n n C C C C C C C C ______________ 2、证明14202-=++++n n
n n n n
C C C C （n 是偶数）
3、写出n 从1到10的二项式系数表.。