《流体力学》典型例题20111120精要

1 《流体力学》典型例题（9大类） 例1~例3——牛顿内摩擦定律（牛顿剪切公式）应用 例4~例5——流体静力学基本方程式的应用——用流体静力学基本方程和等压面计算某点的压强或两点之间的压差。 例6~例8——液体的相对平衡——流体平衡微分方程中的质量力同时考虑重力和惯性力（补充内容） （1）等加速直线运动容器中液体的相对平衡（与坐标系选取有关） （2）等角速度旋转容器中液体的平衡（与坐标系选取有关） 例9——求流线、迹线方程；速度的随体导数（欧拉法中的加速度）；涡量计算及流动有旋、无旋判断 例10~16——速度势函数、流函数、速度场之间的互求 例17——计算流体微团的线变形率、角变形率及旋转角速度 例18~20——动量定理应用（课件中求弯管受力的例子） 例21~22——总流伯努利方程的应用 例23——综合：总流伯努利方程、真空度概念、平均流速概念、流态判断、管路系统沿程与局部损失计算

例题1：如图所示，质量为m＝5 kg、底面积为S＝40 cm×60 cm的矩形平板，以U＝1 m/s的速度沿着与水平面成倾角＝30的斜面作等速下滑运动。已知平板与斜面之间的油层厚度＝1 mm，假设由平板所带动的油层的运动速度呈线性分布。

求油的动力粘性系数。

UG=mg



解：由牛顿内摩擦定律，平板所受的剪切应力duUdy＝ 又因等速运动，惯性力为零。根据牛顿第二定律：0mFa，即： gsin0mS 324gsin59.8sin301100.1021Nsm1406010mUS





粘性是流体在运动状态下，具有的抵抗产生剪切变形速率能力的量度；粘性是流体的一种固有物理属性；流体的粘性具有传递运动和阻滞运动的双重性。

例题2：如图所示，转轴的直径d＝0.36 m，轴承的长度l＝1 m，轴与轴承的缝隙宽度＝0.23 mm，缝隙中充满动力粘性系数0.73Pas的油，若轴的转速200rpmn。求克服油的粘性阻力所消耗的功率。

dl

n

解：由牛顿内摩擦定律，轴与轴承之间的剪切应力 60ddndu

y

＝

粘性阻力（摩擦力）：FSdl 2

克服油的粘性阻力所消耗的功率： 

3

2

232

23230230603.140.360.732001600.231050938.83(W)ddndnnlPMFdl









例题3：如图所示，直径为d的两个圆盘相互平行，间隙中的液体动力黏度系数为，若下盘固定不动，上盘以恒定角速度旋转，此时所需力矩为T，求间隙厚度的表达式。 ω

δd 解：由于圆盘不同半径处的线速度不同，在半径r处取径向宽度dr的微元面积环，根据牛顿内摩擦定律，可得该微元面积环上受到的切向力为：

dd2drrFArr

2dd2drTFrrr

4242

00

dd232dddTTrr

432dT



例题4：如图所示的双U型管，用来测定比水小的液体的密度，试用液柱高差来确定未知液体的密度（取管中水的密度水＝1000 kg/m3）。 3

h1h2h

3

h4

水

 h1h2h

3

h4

水

1122

解：经分析可知图中1-1和2-2为两组等压面。 根据等压面的性质和流体静力学基本方程0ppgh，采用相对压强可得：

左侧：112()pghh水， 右侧：243()pghh水 中间：1232()ppghh

联立可得：123243ggghhhhhh

水水

123432

hhhhhh

水

hz容器A容器B

h

z容器A容器B

22

111h

2h

例题5：如图所示，U型管中水银面的高差h＝0.32 m，其他流体为水。容器A和容器B中心的位置高差z＝1 m。求A、B两容器中心处的压强差（取管中水的重度水＝9810 N/m3，水银的重度水银＝133416 N/m3）。

解：图中1-1、2-2为2组等压面。根据等压面的性质和流体静力学基本方程0ppgh，可得： A11pph水，12pph水银，B22pph水



AB211334160.3298100.32129743.92Papphhhhhz

水银水水银水 4

例题6：如图所示，仅在重力场作用下的无盖水箱高H＝1.2m，长L＝3m，静止时盛水深度h=0.9m。现水箱以20.98msa

的加速度沿水平方向做直线运动。若取水的密度31000kgm，水箱中自由水面的压强0p＝98000Pa。试求： （1）水箱中自由水面的方程和水箱中的压强分布。 （2）水箱中的水不致溢出时的最大加速度maxa。

Hh

La

xzO

解：（1）如图所示，将固定在水箱上的运动坐标系的原点置于静止时自由水面的中点，z轴垂直向上，x轴与加速度的方向一致。则水箱运动时单位质量水受到的质量力和水的加速度分量分别为 0Xa,Y,Zg

代入非惯性坐标系中的压力全微分公式dddddpXxYyZzW，得 dddpaxgz ①

积分得 1paxgzc 利用边界条件确定积分常数1c：在坐标原点O（0xz）处，0pp，得10cp 由式①可得水箱内的压强分布 098000100009898980009809800ppaxgz.x.zxz

对于水箱中的等压面，有d0p，所以由式①可得等压面的微分方程 ddaxgz

积分得 2azxcg

上式给出了一簇斜率为ag的倾斜平面，就代表水箱加速运动的一簇等压面，自由水面是等压面中的一个，因自由水面通过坐标原点，可确定积分常数20c。因此自由水面方程为

0980198a.zxx.xg.

（2）假设水箱以加速度maxa运动时，其中的水刚好没有溢出，且此时水箱右侧水的深度为h，则根据加速前后水的体积不变的性质可得

()2hHLLh ②

又根据水箱作水平等加速直线运动时，自由表面的斜率与几何长度之间的关系 maxgaHhL



 ③

②和③式联立求解，得： 2

max

221.20.9g9.81.96ms3HhaL

例题7：有一盛水的旋转圆筒，直径D＝1 m，高H＝2 m，静止时水深为h＝1.5 m。求： （1）为使水不从筒边溢出，旋转角速度应控制在多大？ （2）当＝6 rad/s时，筒底G、C点处的相对压强（相对于自由水面）分别为多少？ 5

DHh

GC

解：（1）若将坐标原点放在筒底的中心位置，并假设自由表面最低点的高度为00,rzH，则由： 22,,ddddXxYyZgpXxYyZz





，可推出自由水面（为一等压面）的方程：2202grzH

根据在水没有溢出的情况下，旋转前后水的体积不变的性质，可得： 2222002d2g4DrD

rHrh





由此可求得：22016gDHh，带入自由表面方程得： 222

2g8

Dzhr



若使达到某一最大值而水不溢出，则有2rD时，zH，带入上式，得 

22

2g29.82.01.58.854rads114828HhDD







（2）旋转容器中任意一点的相对压强可表达为 222222

0gg2g2g16grrDpHzhz



将G点条件：0,0rz带入得： 2222G61g10009.81.512450Pa16g169.8Dph





同理，将C点条件：2,0rDz带入得： 222222C61g10009.81.516950Pa8g16g169.8DDph





例题8：如图所示为一圆柱形容器，直径为300mmd，高500mmH，容器内装水，水深为300mmh，使容器绕垂直轴做等角速旋转，试确定水正好不溢出来的转速n。