17版：§2.1 函数及其表示(步步高)

1．函数与映射 函数 映射 两集合 A、B 设A，B是两个非空______ 设A，B是两个非空______

对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的______一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的______一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应

名称 称________为从集合A到集合B的一个函数 称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射 记法 y＝f(x)(x∈A) 对应f：A→B是一个映射 2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域 在函数y＝f(x)，x∈A中，其中所有x组成的集合A称为函数y＝f(x)的__________；将所有y组成的集合叫做函数y＝f(x)的________． (2)函数的三要素：______________、______________和________． (3)函数的表示法 表示函数的常用方法有____________、____________和____________． 3．分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因______________不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的________，其值域等于各段函数的值域的________，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 4．常见函数定义域的求法 类型 x满足的条件 2nfx，n∈N* f(x)≥0

1fx与[f(x)]0

logaf(x)(a>0，a≠1) logf(x)g(x) tan f(x) 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)对于函数f：A→B，其值域是集合B.( ) (2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．( ) (3)映射是特殊的函数．( ) (4)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射．( ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的．( )

1．下列函数中，不满足．．．f(2x)＝2f(x)的是( ) A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x| C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x

2．函数f(x)＝1log2x2－1的定义域为( )

A.0，12 B．(2，＋∞) C.0，12∪(2，＋∞) D.0，12∪[2，＋∞) 3．(2015·陕西)设f(x)＝ 1－x，x≥0，2x，x＜0，则f(f(－2))等于( ) A．－1 B.14C.12 D.32 4．(教材改编)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( ) 5．给出下列四个命题： ①函数是其定义域到值域的映射；②f(x)＝x－2＋2－x是函数；③函数y＝2x(x∈N)的图象是一条直线；④函数的定义域和值域一定是无限集合． 其中真命题的序号有________.

题型一 函数的概念 例1 有以下判断：

①f(x)＝|x|x与g(x)＝ 1 x≥0－1 x<0表示同一函数； ②函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个； ③f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数；

④若f(x)＝|x－1|－|x|，则ff12＝0. 其中正确判断的序号是________． 思维升华 函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数．值得注意的是，函数的对应关系是就结果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同)． (1)下列四组函数中，表示同一函数的是( )

A．y＝x－1与y＝x－12 B．y＝x－1与y＝x－1x－1

C．y＝4lg x与y＝2lg x2 D．y＝lg x－2与y＝lgx100 (2)下列所给图象是函数图象的个数为( )

A．1 B．2 C．3 D．4 题型二 函数的定义域 命题点1 求给定函数解析式的定义域

例2 (1)(2015·杭州模拟)函数f(x)＝1－2x＋1x＋3的定义域为( ) A．(－3,0] B．(－3,1] C．(－∞，－3)∪(－3,0] D．(－∞，－3)∪(－3,1]

(2)函数f(x)＝lgx＋1x－1的定义域是( ) A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞) C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．[－1,1)∪(1，＋∞) 命题点2 求抽象函数的定义域

例3 (1)若函数y＝f(x)的定义域是[1,2 016]，则函数g(x)＝fx＋1x－1的定义域是( ) A．[0,2 015] B．[0,1)∪(1,2 015] C．(1,2 016] D．[－1,1)∪(1,2 015]

(2)(2015·辽宁沈阳二中期中)若函数f(x)的定义域为(0,1]，则函数flg x2＋x2的定义域为( ) A．[－5,4] B．[－5，－2) C．[－5，－2]∪[1,4] D．[－5，－2)或(1,4] 命题点3 已知定义域求参数范围 例4 (2015·合肥模拟)若函数f(x)＝2x2＋2ax－a－1的定义域为R，则a的取值范围为________． 思维升华 简单函数定义域的类型及求法 (1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)抽象函数： ①无论是已知定义域还是求定义域，均是指其中的自变量x的取值集合； ②对应f下的范围一致． (3)已知定义域求参数范围，可将问题转化，列出含参数的不等式(组)，进而求范围．

(1)已知函数f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f(x＋12)＋f(x－12)的定义域是________． (2)函数y＝lnx＋1－x2－3x＋4的定义域为_________________________________________． 题型三 求函数解析式 例5 (1)已知f(2x＋1)＝lg x，则f(x)＝________. (2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则f(x)＝________. (3)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f(1x)·x－1，则f(x)＝________. 思维升华 函数解析式的求法 (1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法； (2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (3)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；

(4)消去法：已知f(x)与f1x或f(－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)． (1)已知f(x＋1)＝x＋2x，则f(x)＝________. (2)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________. (3)定义在(－1,1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，则f(x)＝__________________.

2．分类讨论思想在函数中的应用

典例 (1)(2014·课标全国Ⅰ)设函数f(x)＝113,1,1xexxx,则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________． (2)(2015·山东)设函数f(x)＝ 3x－1，x＜1，2x，x≥1，则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是( ) A.23，1 B．[0,1] C.23，＋∞ D．[1, ＋∞) 解析 (1)当x<1时，ex－1≤2，解得x≤1＋ln 2， ∴x<1.

当x≥1时，13x≤2，解得x≤8，∴1≤x≤8. 综上可知x∈(－∞，8]． (2)由f(f(a))＝2f(a)得，f(a)≥1.

当a<1时，有3a－1≥1，∴a≥23，∴23≤a<1. 当a≥1时，有2a≥1，∴a≥0，∴a≥1. 综上，a≥23，故选C. 答案 (1)(－∞，8] (2)C 温馨提醒 (1)求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，然后选定相应关系式代入求解． (2)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围． (3)当自变量含参数或范围不确定时，要根据定义域分成的不同子集进行分类讨论．

[方法与技巧] 1．在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同． 2．定义域优先原则：函数定义域是研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，必须在定义域上进行． 3．函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、消去法． 4．分段函数问题要分段求解． [失误与防范] 1．复合函数f[g(x)]的定义域也是解析式中x的范围，不要和f(x)的定义域相混． 2．分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论．

提醒：完成作业 第二章 §2.1