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2012高一第一学期早自习09——集合命题不等式知识点梳理

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东昌中学高一早自习系列08——集合、命题、不等式知识点
高一（_____） 学号_________ 姓名___________ 2012-11-06
1、 空集的定义：_____________________________。它有性质：_________________________
2、 集合的三大特性：
①确定性：_______________。②互异性：________________。③无序性：__________
3、 集合的表示方法
①列举法：_____________________________________________________
②描述法：_____________________________________________________
4、 点集和数集的区别：数学研究主要是研究数和形，而形是由点组成的，因此点集和数集成为了最重要的
两类集合。请分别写出点集与数集的例子___________________________________
5、 （1）子集：定义：________________________________么集合A叫做集合B的子集
（2）真子集：定义：__________________________，那么集合A叫做集合B的真子集

6、 （1）交集：{|_________________}ABx（2）并集：
{|_________________}ABx

（3）
补集{|,______}UCAxxUxA
7、 交、并，补运算的相关性质：
I）___AA II） ___AA III）uAA_____ð

___A ___A

u

AA___ð

____ABBA ____ABBA

uu
A___痧

____,_____ABAABB ____,____AABBAB
__________,,__________uuuuABAB痧
痧

_________ABA ________ABB
8、 命题有哪四种形式？_______________________________________________________________
9、 常见的否定形式
正数 ——___________ 偶数 ——___________
都是 ——___________ 都不是 ——___________
一定是 ——___________ a>1且a≤3 ——___________
至多有一个 ——___________ 至少有一个 ——___________
10、 等价命题：如果，是两个命题，若_________且_________，那么，叫做等价命题。记作
互为____________命题的两个命题是等价命题。
11、 充分条件，必要条件：
从命题角度：如果a,那么b这个命题为真时，
条件a是结论b的__________条件，结论b是条件a的_________条件
12、 设A、B是非空集合，A={x|x满足性质α}，B={x|x满足性质β}
α=>β与________________等价
1、 八条不等式基本性质
性质1（传递性）如果____________,那么a>c. 性质2（加法性质A）,_____________ab如果那么
性质3（加法性质B）,,abcdacbd如果那么
性质4（乘法性质A）,0,____________;,0,____________;abcabc如果那么如果那么
性质5（乘法性质B）_________,___________,acbd如果那么
性质6（倒数性质）0,____________ab如果那么
性质7（乘方性质）*___________,()nnabnN如果那么
性质8（开方性质）0,___________ab如果那么
2、 两个基本不等式
（1）______________________________________（2）_________________________________________
3、 在运用“基本不等式二”时，
一正：_______________________； 二定：_________________
三相等：_____________________； 四最值：积为定值，和为最小值；和为定值，积为最大值。

4、 若0,0ab，试讲222,,,1122abababab从小到大排序____________-”是真命题的吗？

5、 一元二次不等式的一般解法：归纳为三个步骤：
（1）____________________________________________________
（2）___________________________________________________
（3）_____________________________________________________

6、 分式不等式的定义：型如0xgxf或0xgxf（xgxf,为含有x的整式，且0xg）

分式不等式一般要通过_________、___________，转化为00fxgx或00fxgx

然后利用000____________fxfxgxgxfxgx等价性。
7、 和下列绝对值不等式同解的不等式是什么？
()0fxaa____________________ 
()0fxaa
____________________

()()fxgx
____________________

8、 证明不等式的常用方法
1、比较法：先作出所要证明不等式两边的_______，通过对这个差的变形，确定其值的______，从
而证明不等式成立。
2、分析法：从要证的_________出发，通过适当变形，分析出使这个________成立的________，把
证明结论转化为判定这些条件是否成立的问题，如果能够判定这些条件都成立，那么就可以判定原
结论成立。
3、综合法：从_______________出发，利用各种已知的命题和运算性质作为依据，推导出要求证的
结论。

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华东师范大学附属东昌中学2020——2021学年高一第一学期(早自习09——集合命题不等式知识点梳理)

华东师范大学附属东昌中学2020——2021学年高一第一学期(早自习09——集合命题不等式知识点梳理)

东昌中学高一早自习系列08——集合、命题、不等式知识点高一（_____） 学号_________ 姓名___________1、 空集的定义：不含任何元素的集合叫空集。

它有性质：空集是任何集合的子集2、 集合的三大特性：①确定性：元素与集合的关系要么是“属于”，要么是“不属于”，是唯一确定的。

②互异性：每个元素各不相同。

③无序性：元素的出现与顺序无关 3、 集合的表示方法①列举法：将集合的元素列举在大括号中，中间用逗号隔开。

②描述法：{}X X P 满足性质4、 点集和数集的区别：数学研究主要是研究数和形，而形是由点组成的，因此点集和数集成为了最重要的两类集合。

请分别写出点集与数集的例子。

数集：{}21,y y x x R =+∈；点集：(){}2,1,,x y y xx R y R =+∈∈5、 （1）子集：定义：如果集合A 中的任何一个元素都属于集合B ，那么集合A 叫做集合B 的子集（2）真子集：定义：如果集合A 中的任何一个元素都属于集合B ，且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 叫做集合B 的真子集 6、 （1）交集：{|}x A AB x x B =∈∈且（2）并集： {|}x A A B x x B =∈∈或（3）补集{|,}U C A x x U x A ∈∉= 7、 交、并，补运算的相关性质：I ）A A A =II ） A A A =III ）A A UU =A ∅∅=A A ∅=AA U=∅A B BA =A B BA =()A A UU=,A B A A B B ⊆⊆,A A B B A B ⊆⊆()(),UUU UUU A B A B AB AB ==AB A A B =⇔⊆A B B A B =⇔⊆8、 命题有哪四种形式？ 9、 常见的否定形式正数——小于或等于0的数 偶数——非偶数都是——不都是 都不是——至少有一个是 一定是——（一定）不是 a>1且a ≤3——a ≤1或a>3 至多有一个——至少有两个 至少有一个——没有10、等价命题：如果α，β是两个命题，若αβ⇒且βα⇒，那么α，β叫做等价命题。

高中不等式知识点总结

高中不等式知识点总结

1．不等式的解法（1）同解不等式（同解；（2）与同解，（3； 2．一元一次不等式3．一元二次不等式或分4．分式不等式分式不等式的等价变形：)()(x g x f >0⇔f(x)·g(x)>0，)()(x g x f ≥0⇔⎩⎨⎧≠≥⋅0)(0)()(x g x g x f 。

5．简单的绝对值不等式解绝对值不等式常用以下等价变形：|x|<a ⇔x 2<a 2⇔－a<x<a(a>0)， |x|>a ⇔x 2>a 2⇔x>a 或x<－a(a>0)。

一般地有：|f(x)|<g(x)⇔－g(x)<f(x)<g(x)，|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g (x)或f(x)<g(x)。

67．对数不等式（1）当时，（2 8．线性规划（1）平面区域一般地，二元一次不等式0Ax By C ++>在平面直角坐标系中表示0Ax By C ++=某一侧所有点组成的平面区域。

我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线。

当我们在坐标系中画不等式0A x B y C ++≥所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把直线画成实线。

说明：由于直线0Ax By C ++=同侧的所有点的坐标(,)x y 代入Ax By C ++，得到实数符号都相同，所以只需在直线某一侧取一个特殊点00(,)x y ，从00Ax By C ++的正负即可判断0Ax By C ++>表示直线哪一侧的平面区域。

特别地，当0C ≠时，通常把原点作为此特殊点。

（2）有关概念引例：设2z x y =+，式中变量,x y 满足条件4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，求z 的最大值和最小值。

由题意，变量,x y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域。

由图知，原点(0,0)不在公共区域内，当0,0x y ==时，20z x y =+=，即点(0,0)在直线0l ：20x y +=上，作一组平行于0l 的直线l ：2x y t +=，t R ∈，可知：当l 在0l 的右上方时，直线l 上的点(,)x y 满足20x y +>，即0t >，而且，直线l 往右平移时，t 随之增大。

高一基本不等式知识点涵盖

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高一基本不等式知识点涵盖在高中数学学习中，不等式是一个非常重要的概念。

掌握不等式的基本知识点对于解决各类数学问题至关重要。

本文将对高一基本不等式知识点进行全面涵盖，帮助同学们更好地理解和应用不等式。

1. 不等式的定义不等式是数学中用不等号表示的一种关系。

常见的不等号包括大于号（>）、小于号（<）、大于等于号（≥）、小于等于号（≤）。

例如，a > b表示a大于b，a < b表示a小于b。

2. 不等式的性质（1）等号两侧加（减）相同的数，不等式的关系不变。

例如，如果a > b，则a + c > b + c。

（2）等号两侧乘（除）相同的正数，不等式的关系不变。

例如，如果a > b，则ac > bc（c > 0）。

（3）等号两侧乘（除）相同的负数，不等式的关系改变。

例如，如果a > b，则ac < bc（c < 0）。

（4）两个不等式相加（减），不等式的关系保持不变。

例如，如果a > b 且 c > d，则a + c > b + d。

（5）两个不等式相乘（除），不等式的关系无法确定。

例如，如果a > b 且 c > d，则ac和bd的大小关系无法确定。

3. 不等式的解集表示一元不等式的解集通常用数轴上的区间表示。

例如，对于不等式x > 3，其解集为x属于（3, +∞）。

4. 不等式的图像表示（1）一元不等式的图像表示是数轴上的一段区间。

例如，对于不等式x > 3，其图像表示为一个在数轴上从3开始的箭头。

（2）二元不等式的图像表示是二维平面上的一部分。

例如，对于不等式y > x，其图像表示为一条斜线，线上方的点属于不等式的解集。

5. 不等式的求解方法（1）根据不等式的性质进行变形求解。

例如，对于不等式2x - 3 > 5，我们可以先将其变形为2x > 8，然后得出x > 4。

完整版高中数学不等式知识点总结

完整版高中数学不等式知识点总结

完整版高中数学不等式知识点总结高中数学中的不等式是学习数学中非常重要的一部分，在中高考中，不等式占据了较多的分数比重。

本文将对高中数学中的不等式进行全面的总结，内容涵盖了不等式的概念、基础知识、理论与定理、解题思路、常用不等式以及与其他章节的联系等方面。

一、不等式的概念与基础知识不等式是指含有不等关系的算式，一般表示成 a<b 或a>b，其中 a、b 可以是实数、分数或代数式等。

当 a<b 时，称 a 小于 b，也可以写成 b 大于 a；当 a>b 时，称 a 大于b，也可以写成 b 小于 a。

在不等式中，表示关系的符号“<”和“>”称为不等号。

解不等式可以用图像法、正推反证法和直接法等方法。

图像法：绘制不等式所代表的曲线或图形，在图形中表示不等关系所代表的区域，最终得出解不等式的集合。

正推反证法：通过推理判断得出不等式的解，其中正推法是根据不等式的性质进行推导和运算，而反证法则是通过推翻假设得出结论。

直接法：对不等式进行变形、化简和运算，得出解的过程。

不等式的基础知识：1. 加减法原则：若 a<b，则 a+c<b+c，a-c<b-c（c 为任意实数）。

2. 乘除法原则：若 a<b 且 c>0，则 ac<bc，a/c<b/c；若 a<b 且 c<0，则 ac>bc，a/c>b/c。

3. 平均值不等式：对于任意两个正数 a 和 b，有(a+b)/2>=√ab，等号当且仅当 a=b 时取到。

二、不等式的理论与定理1. 不等式传递性：若 a<b，b<c，则 a<c。

2. 柯西-施瓦茨不等式：对于任意两个实数序列a1,a2,...,an 和 b1,b2,...,bn，有(a1b1+a2b2+...+anbn)^2<=((a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^ 2+...+bn^2))，等号当且仅当 a1/b1=a2/b2=...=an/bn 时取到。