中考数学考前终极冲刺练习 解直角三角形

一、选择题1．（2019·苏州）如同，小亮为了测量校园里教学楼AB 的高度．将测角仪CD 竖直放置在与教学楼水平距离为的地面上，若测角仪的高度是1.5m ，测得教学楼的顶部A 处的仰角为30°，则教学楼的高度是（ ） A ． 55.5 m B ．54 mC ．19. 5 mD ．18 m【答案】C【解析】过D 作DE ⊥AB ，∵在D 处测得旗杆顶端A 的仰角为30°，∴∠ADE ＝30°，∵BC ＝DE ＝18m ，∴AE ＝DE •tan30°＝18m ，∴AB ＝AE +BE ＝AE +CD ＝18+1.5＝19.5m ，故选C ．2．（2019·温州）某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB 的长为（ ） A ．95sin α米B ．95cos α米 C ．59sin α米 D ．59cos α米【答案】B【解析】如图，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为点D ，则BD=1.5+0.3=1.8(米).在Rt △ABD 中，∠ADB=90°，cosB=BD AB，所以AB =cos BD α= 1.8cos α=95cos α．故选B.D CBA知识点37——解直角三角形及其应用3．（2019·长沙）如图，一艘轮船从位于灯塔C 的北偏东60°方向，距离灯塔60 n mile 的小岛A 出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C 的南偏东45°方向上的B 处，这时轮船B 与小岛A 的距离是( )A ． n mileB ．60 n mileC ．120 n mileD ．(30+ n mile【答案】D【解析】过C 作CD ⊥AB 于D 点，∴∠ACD=30°，∠BCD=45°，AC=60．在Rt △ACD 中，cos ∠ACD=CDAC，∴CD=AC•cos ∠．在Rt △DCB 中，∵∠BCD=∠B=45°，∴CD=BD=30，∴答：此时轮船所在的B 处与灯塔P 的距离是（nmile ．故本题选：D ．4．（2019·益阳）南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动.如图1，在桥外一点A 测得大桥主架与水面的交汇点C 的俯角为α，大桥主架的顶端D 的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB ＝a ，则此时大桥主架顶端离水面的高CD 为（）A. asin α+asin β B. acos α +a cos β C. atan α+atan β D.tan αtan βaa +【答案】C【解析】在Rt △ABD 中，∵tan β=ABBD ，∴BD=atan β.在Rt △ABD 中，∵tan α=ABBC，∴BC=atan α.∴CD=BD+BC=atan α+atan β.5.(2019·泰安)如图,一艘船由A 港沿北偏东65°方向航行至B 港,然后再沿北偏西40°方向航行至C 港,C 港在A 港北偏东20°方向,则A,C 两港之间的距离为________km.【答案】B【解析】如图,由题中方位角可知∠A ＝45°,∠ABC ＝75°,∠C ＝60°,过点B 作BD ⊥AC 于点D,在Rt△ABD 中,∠A ＝45°,AB ＝,∴AD ＝ABcosA ＝30,BD ＝ABsinA ＝30,在Rt △BCD 中,∠C ＝60°,∴CD ＝tan BDC＝,∴AC ＝AD+CD ＝故选B.6.（2019·重庆B 卷）如图，AB 是垂直于水平面的建筑物，为测量AB 的高度，小红从建筑物底端B 出发，沿水平方向行走了52米到达点C ，然后沿斜坡CD 前进，到达坡顶D 点处，DC=BC.在点D 处放置测角仪，测角仪支架DE 高度为0.8米，在E 点处测得建筑物顶端A 点的仰角∠AEF 为27°（点A ,B ,C ,D 在同一平面内）.斜坡CD 的坡度（或坡比）i=1：2.4,那么建筑物AB 的高度约为（）【答案】B【解析】作EN ⊥AB 于N,EM ⊥BC 交BC 的延长线于M . ∵斜坡CD 的坡度（或坡比）i=1：2.4,DC=BC =52米，设DM =x 米，则CM =2.4x 米，在Rt △ECM 中，∵2DM + 2CM =2DC ，∴2x +()22.4x =252解得x =20 ∴CM =48米，EM =20+0.8=20.8米，BM =ED +DM =52+48=100米∵EN ⊥AB,EM ⊥BC ，AB ⊥BC ∴四边形ENBM 是矩形. ∴EN=BM=100米，BN=EM =20.8米. 在Rt △AEN 中，∵∠AEF =27°∴AN=EN ﹒tan 27°≈100×0.51=51米 ∴AB=AN +BN =51+20.8=71.8米.故选B ．7.（2019·重庆A 卷）为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度（或坡比）i ＝1:2.4的山坡AB 上发现有一棵古树CD ．测得古树底端C 到山脚点A 的距离AC ＝26米，在距山脚点A 水平距离6米的点E 处，测得古树顶端D 的仰角∠AED ＝48°（古树CD 与山坡AB 的剖面、点E 在同一平面上，古树CD 与直线AE 垂直），则古树CD 的高度约为（）（参考数据：sin 48°≈0.73，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）A ．17.0米B ．21.9米C ．23.3米D ．33.3米【答案】C ．【解析】如答图，延长DC 交EA 于点F ，则CF ⊥EA ．∵山坡AC 上坡度i ＝1:2.4，AC ＝26米，∴令CF ＝k ，则AF ＝2.4k ，由勾股定理，得k 2＋(2.4k )2＝262，解得k ＝10，从而AF ＝24，CF ＝10，EF ＝30．在Rt △DEF 中，tan E ＝DFEF，故DF ＝EF •tan E ＝30×tan48°＝30×1.11＝33.3，于是，CD ＝DF －CF ＝23.3，故选C ．二、填空题1.（2019·遂宁）汛期即将来临，为保证市民的生命和财产安全，市政府决定对一段长200米且横断面为梯形的大坝用土石进行加固，如图，加固前大坝背水坡坡面从A 至B 共有30级阶梯，平均每级阶梯高30cm ，斜坡AB 的坡度i=1:1，加固后坝顶宽度增加2米，斜坡EF 的坡度i=1:5,问工程完工后，共需土石多少立方米？（计算土石时忽略阶梯，结果保留根号）解：如图，分别过点A,E 作AN ⊥FC 于N,EM ⊥F 于M ， 则AN=EM,∵从A 至B 共有30级阶梯，平均每级阶梯高30cm ， ∴AN=9米=EM ，∵斜坡AB 的坡度i=1:1， ∴BN=AN=9米，∵斜坡EF 的坡度i=1:5， ∴FM=95，∴FB=FM+MN-BN=95+2-9=95-7,S 梯=EM BF AE ×+)21（=24552819)759221−=×−+（, ∴体积为200S 梯=81005-4500（m3) 答:共需土石81005-4500立方米.2．(2019·广元)如图,某海监船以60海里时的速度从A 处出发沿正西方向巡逻,一可疑船只在A 的西北方向的C 处,海监船航行1.5小时到达B 处时接到报警,需巡查此可疑船只,此时可疑船只仍在B 的北偏西30°方向的C 处,然后,可疑船只以一定速度向正西方向逃离,海监船立刻加速以90海里/时的速度追击,在D 处海监船追到可疑船只,D 在B 的北偏西60°方向.(以下结果保留根号)(1)求B,C 两处之间的距离;(2)求海监船追到可疑船只所用的时间.解：(1)过点C 作CE ⊥AB 于点E,在Rt △BEC 中,设BC ＝x,∵∠BCE ＝30°,∴BE ＝12BC ＝12x,CEx,在Rt △ACE 中,AE ＝CE ∴AB ＝AE －BE x －12x,已知AB ＝60×1.5＝90,x －12x ＝90,解之得,x ＝答:B,C 两处之间的距离海里;过点B作BF⊥DC于点F,在Rt△BDF中,∠DBF＝60°,由(1)得,BF＝CE＝CE＝∴BD＝2BF＝∴时间为(270+90)÷90＝.答:海监船追到可疑船只所用的时间为(3+小时.3．（2019·温州）图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC=OD=10分米，展开角∠COD=60°，晾衣臂OA=OB=10分米，晾衣臂支架HG=FE=6分米，且HO=FO=4分米．当∠AOC=90°时，点A离地面的距离AM 为分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO 延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′-BE为分米．【答案】4【解析】（1）过点O分别作OL⊥MD、ON⊥AM，垂足分别为点L、N，则∠LON=90°，四边形NMLO是矩形，∴MN=LO. ∵OC=OD=10分米，∠COD=60°，∴∠COL=30°，CL=12CD=5，∵∠AOC=90°，∴∠AON=30°，∴AN=12AO=5，∴AM=5+5；（2）过点F分别作FQ⊥OB、FP⊥OC，垂足分别为点Q、N. 在Rt△OPQ中，∠OQP=90°，∠BOD=60°，∴OQ=2，在Rt△EFQ中，∠EQF=90°，EF=6，∴，；同理可得PE′，∴B′E′，∴B′E′)=4. 故填：FE4．（2019·盐城）如图，在△ABC 中，BC ＝∠C ＝45°，AB ＝，则AC 的长为________.【答案】2【解析】如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，又∠C ＝45°，故sin ADCAC==tan 1ADCCD==，设AD x =，则AC =，CD=x，2AB x =，在Rt △ACD 中，∠ADB=90°，由勾股定理可得：AD 2+BD 2=AB 2，得BD =，所以BC BD CD x =+=1）x =,故AC =2.5.(2019·枣庄)如图,小明为了测量校园里旗杆AB 的高度,将测角仪CD 竖直放在距旗杆底部B 点6m 的位置,在D 处测得旗杆顶端A 的仰角为53°,若测角仪的高度是1.5m,则旗杆AB 的高度约为________m(精确到0.1m).(参考数据:sin53°≈0.80,cos53°≈0.60,tan53°≈1.33)BCBC【答案】【解析】由题可知BC＝6m,CD＝1.5m,过D作DE∥BC交AB于点E,易知四边形BCDE是矩形,∴DE＝BC＝6m,在Rt△ADE中,AE＝DE·tan53°＝7.98m,EB＝CD＝1.5m,∴AB＝AE+EB＝9.48m≈9.5m.6.（2019·湖州）有一种落地晾衣架如图①所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度．图②是支撑杆的平面示意图．AB和CD分别是两根不同的支撑杆，夹角∠BOD＝α．若AO＝85cm，BO＝DO＝65cm．问：当α＝74°时，较长支撑杆的端点A离地面的高度h约为________cm．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）【答案】120．【解析】如图，过点A作AE⊥BD于点E，则∠AEB＝90°．∵AO＝85cm，BO＝DO＝65cmα＝74°，∴∠ODB＝∠B＝53°，AB＝150cm．在Rt△ABE中，sin B＝h AB，故h＝AB•sin B＝150×sin53°≈150×0.8＝120．7.（2019·金华）如图，在量角器的圆心O处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪，量角器的0刻度线AB对准楼顶时，铅垂线对应的度数是50°，则此时观察楼顶的仰角度数是___________．【答案】40°．【解析】量角器的0刻度线AB 对准楼顶时，铅垂线对应的度数是50°，则过AB 中点的水平线对应的是140°，所以此时观察楼顶的仰角度数是40°．8.（2019·金华）图2，图3是某公共汽车双开门的俯视示意图，ME 、EF 、FN 是门轴的滑动轨道，∠E =∠F =90°，两门AB 、CD 的门轴A 、B 、C 、D 都在滑动轨道上，两门关闭时（图2），A 、D 分别在E 、F 处，门缝忽略不计（即B 、C 重合）；两门同时开启，A 、D 分别沿E→M ，F →N 的方向匀速滑动，带动B 、C 滑动；B 到达E 时，C 恰好到达F ，此时两门完全开启，已知AB =50cm ，CD =40cm.（1）如图3，当∠ABE =30°时，BC =_______cm.（2）在（1）的基础上，当A 向M 方向继续滑动15cm 时，四边形ABCD 的面积为_______cm 2.【答案】（1）（90－；（2）2256．【解析】（1）利用直角三角形的性质先求得EB ，CF ，然后进行线段加减即可； （2）根据题意，得S 四边形ABCD ＝S 梯形AEFD －S △ABE －S △CDF ，计算可得. 解：(1)∵ AB =50，CD =40，∴AB ＋CD = EB ＋CF ＝EF =90. 在Rt △ABE 中，∵∠E =90°，∠ABE =30°，∴EB ＝同理可得CF ＝∴BC =90－cm ）.（2）根据题意，得AE ＝40, DF =32, EB30，CF24, ∴S 四边形ABCD ＝S 梯形AEFD －S △ABE －S △CDF＝12(AE ＋DF )·EF －12AE ·EB －12CF ·DF＝12(40＋32)×90－12×40×30－12×24×32＝2256.图3图2图1D )9. (2019·宁波)如图,某海防哨所O 发现在它的西北方向,距离哨所400米的A 处有一艘船向正东方向航行,航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B 处,则此时这艘船与哨所的距离OB 约为________米.【答案】566【解析】在Rt △AOH 中,OH ＝AOcos45°＝,在Rt △BOH 中,BO ＝566cos60OH=≈.10.（2019·衢州）如图，人字梯AB ，AC 的长都为2米，当α=50°时，人字梯顶端离地面的高度AD 是米_________（结果精确到0.1m 参考数据；sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）.【答案】1.5【解析】由三角函数的定义得:sin α= sin50°=AD AC =2AD≈0.77，所以AD ≈2×0.77=1.54≈1.5米. 三、解答题1.（2019年浙江省绍兴市，第20题，8分 如图1为放置在水平桌面l 上的台灯，底座的高AB 为5cm ，长度均为20cm 的连杆BC ，CD 与AB 始终在同一平面上．（1）转动连杆BC ，CD ，使∠BCD 成平角，∠ABC ＝150°，如图2，求连杆端点D 离桌面l 的高度DE ．（2）将（1）中的连杆CD 再绕点C 逆时针旋转，使∠BCD ＝165°，如图3，问此时连杆端点D 离桌面l 的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？（精确到0.1cm ，参考数据：73.13,41.12≈≈）【解题过程】2．（2019·嘉兴）某挖掘机的底座高AB ＝0.8米，动臂BC ＝1.2米，CD ＝1.5米，BC 与CD 的固定夹角∠BCD ＝140°．初始位置如图1，斗杆顶点D 与铲斗顶点E 所在直线DE 垂直地面AM 于点E ，测得∠CDE ＝70°（示意图2）．工作时如图3，动臂BC 会绕点B 转动，当点A ，B ，C 在同一直线时，斗杆顶点D升至最高点（示意图4）．（1）求挖掘机在初始位置时动臂BC与AB的夹角∠ABC的度数．（2）问斗杆顶点D的最高点比初始位置高了多少米（精确到0.1米）？（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34， 1.73）【解题过程】（1）如图2-1，过点C作CG⊥AM于点G，∵AB⊥AM，DE⊥AM，∴AB//DE//CG ∴∠DCG=180°-∠CDE=110°.∴∠BCG=∠BCD -∠DCG=30°.∴∠ABC=180°-∠BCG=150°.∴动臂BC与AB的夹角为150°.（2）如图2-2，过点C作CP⊥DE于点P，过点BQ⊥DE于点Q交CG于点N.在Rt△CPD中，DP=CD×cos70°=0.51（米）在Rt△BCN中，CN=BC×sin60°≈1.04（米）∴DE=DP+PQ+QE=DP+CN+AB≈2.35（米）如图3，过点D作DH⊥AM于点H，过点C作CK⊥DH于点K.在Rt△CKD中，DK=CD×sin5°≈1.16（米）∴DH=DK+KH≈3.16（米）∴DH-DE≈0.8（米）.所以斗杆顶点D的最高点比初始位置高了约0.8米.3.（2019浙江省杭州市，23，12分）(本题满分12分)如图，已知锐角三角形ABC内接于⊙O，OD⊥BC于点D.连接0A.(1)若∠BAC=60°，①求证：OD=12OA.②当OA=1时，求△ABC面积的最大值.(1)点E在线段0A上.OE=OD.连接DE，设∠ABC=m∠OED.∠ACB=n∠OED(m，n是正数).若∠ABC＜∠ACB.求证:m-n+2=0【解题过程】（1）①连接OB、OC，则∠BOD=BOC=∠BAC=60°，∴∠OBC=30°，∴OD=12OB=12OA；②∵BC长度为定值，∴△ABC面积的最大值，要求BC边上的高最大，当AD过点O时，AD最大，即：AD=AO+OD=3 2，△ABC面积的最大值=12×BC×AD=12×2OBsin60°×32（2）如图2，连接OC，设∠OED=x，则∠ABC=mx，∠ACB=nx，则∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-mx-nx=12∠BOC=∠DOC，∵∠AOC=2∠ABC=2mx，∴∠AOD=∠COD+∠AOC=180°-mx-nx+2mx=180°+mx-nx，∵OE=OD，∴∠AOD=180°-2x，即：180°+mx-nx=180°-2x，化简得：m-n+2=0．4．（2019山东烟台，23，10分）如图所示，一种适用于笔记本电脑的铝合金支架，边OA，OB可绕点O开合，在OB边上有一固定点P，支柱PQ可绕点P转动，边OA上有六个卡孔，其中离点O最近的卡孔为M，离点O最远的卡孔为N．当支柱端点Q放入不同卡孔内，支架的傾斜角发生変化．将电脑放在支架上，电脑台面的角度可达到六档调节，这样更有利于工作和身体健康．现测得OP的长为12 cm ，OM为10cm，支柱PQ为8cm．(1)当支柱的端点Q放在卡孔M处时，求∠AOB的度数．(2)当支柱的端点Q放在卡孔N处时，∠AOB=20.5°，若相邻两孔的距离相等，求此间距．（结果精确到十分位）．【解题过程】（1）解：当支柱的端点Q放在卡孔M处时，作出该支架的截面图如图（1），过点P 作，垂足为E ，此时，12OP =，10OM OQ ==，8PQ =， 因为PE OA ⊥，所以90OEP PEQ ∠=∠=°，设OE x =，所以10EQ OQ OE x =−=−， 在Rt △OPE 中，由勾股定理得，222PE OP PE =−2212x −，在Rt △PEQ 中，由勾股定理得，222PE PQ EQ =−228(10)x =−−，所以2222128(10)x x −=−−，解得9x =，所以9OE =,在Rt △OPE 中，9cos 0.4512OE AOB OP ∠===, 由参考数据表，可得，41AOB ∠=°． （2）解：当支柱的端点Q 放在卡孔N 处时，作出该支架的截面图如图（2），过点P 作PE OA ⊥，垂足为F ，OAOA此时，OP =，ON OQ =，PQ =，AOB ∠=°，因为PE OA ⊥，所以90OEP PEQ ∠=∠=°， 在Rt △OPE 中，sin PEAOB OP∠=， 所以sin sin 20.5120.45 4.2PEOP AOB OP =×∠=×°=×=， 在Rt △PEQ 中，由勾股定理得，6.8FQ =，在Rt △OPE 中，由勾股定理得，11.24OF ====2212x −，所以11.24 6.818.04ON OF FQ =+=+=，所以18.0410 1.655ON OM d−−=≈,【解题过程】∵BH ＝0.6，sinα＝， ∴AB ＝＝1， ∴AH ＝0.8，∵AF ＝FC ＝2，∴BF ＝1，作FQ ⊥BG 于点Q ，作EP ⊥FQ 于点P ，∵EF ＝FB ＝AB ＝1，∠EPF ＝∠FQB ＝∠AHB ＝90°，∠EFP ＝∠FBQ ＝∠ABH ，所以相邻两孔的距离为1.6cm ．5.（2019山东威海，22，9分）如图是把一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货厢的示意图．已知汽车货厢高度BG ＝2米，货厢底面距地面的高度BH ＝0.6米，坡面与地面的夹角∠BAH ＝α，木箱的长（FC ）为2米，高（EF ）和宽都是1.6米．通过计算判断：当sinα＝，木箱底部顶点C 与坡面底部点A 重合时，木箱上部顶点E 会不会触碰到汽车货厢顶部．35350.63sin 5BH α=∴△EFP≌△FBQ≌△ABH，∴EP＝FQ＝AH，BQ＝BH，∴BQ＋EP＝0.6＋0.8＝1.4（米）＜2米，∴木箱上部顶点E不会触碰到汽车货厢顶部．6．（2019江西省，20，8分）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B—A—O表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于点O，点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量：AO＝6.8cm，CD＝8cm，AB＝30cm，BC＝35cm.(结果精确到01)(1)如图2，∠ABC＝70°，BC∥OE.①填空：∠BAO＝°；②求投影探头的端点D到桌面OE的距离.(2)如图3，将(1)中的BC向下旋转，当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6cm时，求∠ABC的大小.(参考数：sin70°≈0.94，cos20°≈0.94，sin36.8°≈0.60，cos53.2°≈0.60)【解题过程】解：（1）①如图所示，延长OA交BC于点F，∵BC∥OE，OA⊥OE，∴∠BFA=∠AOE=90°，∴∠BAO=∠BFA+∠ABC=90°+70°=160°.答案：160②∵∠BFA=90°，∠ABC=70°，AB＝30cm，sin70°≈0.94，∴AF=AB·sin70°≈30×0.94=28.2（cm）.∵OA=6.8cm，∴OF=AF+OA=28.2+6.8=35（cm）.又∵CD始终垂直于水平桌面OE，且CD＝8cm，∴点D 到桌面OE 的距离为：OF-CD=35-8=27（cm ）. （2）如图所示，作BH ⊥CD 于点H ，∵D 到桌面OE 的距离为6cm ，H 到桌面OE 的距离为35cm ，CD ＝8cm ， ∴CH=35-8-6=21（cm ）， 又∵BC ＝35cm ，∠H=90°， ∴sin ∠CBH=6.0533521===BC CH ，∵sin36.8°≈0.60，∴∠CBH=36.8°.又∵∠ABH=70°,∴∠ABC=∠ABH-∠CBH=70°-36.8°=33.2°.7．（2019·山西）某"综合与实践"小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动.他们制定了测量方案,并利用课余时间完成了实地测量.他们在该旗杆底部所在的平地上,选取两个不同测点,分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离.为了减小测量误差,小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时,都分别测量了两次并取他们的平均值作为测量结果,测量数据如下表(不完整).课题 测量旗杆的高度成员 组长:××× 组员:×××,×××,×××测量工具测量角度的仪器,皮尺等测量 示意图说明:线段GH 表示旗杆,测量角度的仪器的高度AC ＝BD ＝1.5m,测点A,B 与H 在同一条水平直线上,A,B 之间的距离可以直接测得,且点G,H,A,B,C,D 都在同一竖直平面内.点C,D,E 在同一直线上,点E 在GH 上. 测量数据测量项目第一次 第二次 平均值 ∠GCE 的度数 25.6° 25.8° 25.7° ∠GDE 的度数 31.2° 30.8° 31° A,B 之间的距离5.4m5.6m…………任务一:两次测量A,B 之间的距离的平均值是______m.任务二:根据以上测量结果,请你帮助该"综合与实践"小组求出学校旗杆GH的高度.(参考数据:sin25.7°≈0.43,cos25.7°≈0.90,tan25.7°≈0.48,sin31°≈0.52,cos31°≈0.86,tan31°≈0.60) 任务三:该"综合与实践"小组在制定方案时,讨论过"利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度"的方案,但未被采纳.你认为其原因可能是什么?(写出一条即可)【解题过程】任务一:平均值＝(5.4+5.6)÷2＝5.5m任务二:由题意可得,四边形ACDB,ACEH都是矩形,∴EH＝AC＝1.5,CD＝AB＝5.5,设EG＝xm,在Rt△DEG中,∠DEG＝90°,∠GDE＝31°,∵tan31°＝EGDE,∴DE＝tan31x,在Rt△CEG中,∠CEG＝90°,∠GCE＝25.7°,∵tan25.7°＝EGCE,∴CE＝tan25.7x,∵CD＝CE－DE,∴tan25.7x－tan31x＝5.5,∴x＝13.2,∴GH＝GE+EH＝13.2+1.5＝14.7.答:旗杆GH的高度为14.7m.任务三:答案不唯一:没有太阳光,旗杆底部不可到达,测量旗杆影子的长度遇到困难等.8．（2019·娄底）如图（11），某建筑物CD高96米，它的前面有一座小山，其斜坡AB的坡度为i＝1:1．为了测量山顶A的高度，在建筑物顶端D处测得山顶A和坡底B的俯角分别为α，β．已知tanα=2，tanβ=4，求山顶A的高度AE（C、B、E在同一水平面上）．解：如图（11－1），设DA与CB的交点为O．∵96tan tan2DCOOC OCα∠====，∴48OC=同理，∵96tan tan4DCDBCBC BCβ∠====∴24BC=．∴482424OB OC BC=−=−=．设AE x=米,则则由i＝1:1得BE x=,12OE x=；∴1242x x +=， ∴16x =∴山顶A 的高度AE 为16米．9．（2019·衡阳）如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面D 处测得楼房顶部A 的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚C 处，然后向楼房方向继续行走10米到达E 处，测得楼房顶部A 的仰角为60°，已知坡面CD ＝10米，山坡的坡度i ＝1(坡度i 是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)，求楼房AB 高度.（结果精确到0.1≈1.73≈1041）解：设楼房AB 的高为x 米，则EBx ， ∵坡度i ＝1: ，∴坡面CD 的铅直高度为5米，坡面的水平宽度为米，∴105)+x =x −，解得x ＝15＋（米）.所以楼房AB 的高度约为237米.10．(2019·泰州,21题,10分)某体育看台侧面的示意图如图所示,观众区AC 的坡度i 为1∶2,顶端C 离水平地面AB 的高度为10m,从顶棚的D 处看E 处的仰角α＝18°30′,竖直的立杆上C 、D 两点间的距离为4m,E处到观众区底端A处的水平距离AF为3m,求:⑴观众区的水平宽度AB;⑵顶棚的E处离地面的高度EF.(sin18°30′≈0.32,tan18°30′≈0.33,结果精确到0.1m)【解题过程】(1)因为AC的坡度i为1∶2,所以12CBAB=,因为BC＝10m,所以AB＝20m;(2)在Rt△DEG中,∠EDG＝18°30′,tan∠EDG＝EGGD,GD＝FB＝FA+AB＝23m,所以EG＝7.59m,所以EF＝EG+GF＝EG+DB＝EG+DC+CB＝21.59≈21.6m,顶棚的E处离地面的高度EF为21.6m.第10题答图11.（2019·黄冈）如图，两座建筑物的水平距离BC为40m，从A点测得D点的俯角α为45°，测得C点的俯角β为60°.求这两座建筑物AB，CD的高度.≈1.414）【解题过程】12．（2019·陇南）图①是放置在水平面上的台灯，图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂AC ＝40cm ，灯罩CD ＝30cm ，灯臂与底座构成的∠CAB ＝60°．CD 可以绕点C 上下调节一定的角度．使用发现：当CD 与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳．现测得点D 到桌面的距离为49.6cm ．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据：取1.73）．解：如图，作CE ⊥AB 于E ，DH ⊥AB 于H ，CF ⊥DH 于F ．∵∠CEH＝∠CFH＝∠FHE＝90°，∴四边形CEHF是矩形，∴CE＝FH，在Rt△ACE中，∵AC＝40cm，∠A＝60°，∴CE＝AC•sin60°＝34.6（cm），∴FH＝CE＝34.6（cm）∵DH＝49.6cm，∴DF＝DH﹣FH＝49.6﹣34.6＝15（cm），在Rt△CDF中，sin∠DCF＝＝＝，∴∠DCF＝30°，∴此时台灯光线为最佳．13．（2019·株洲）小强的爸爸准备驾车外出．启动汽车时，车载报警系统显示正前方有障碍物，此时在眼睛点A处测得汽车前端F的俯角为α，且tanα＝13，若直线AF与地面l1相交于点B，点A到地面l1的垂线段AC的长度为1.6米，假设眼睛A处的水平线l2与地面l1平行．（1）求BC的长度；（2）假如障碍物上的点M正好位于线段BC的中点位置（障碍物的横截面为长方形，且线段MN 为此长方形前端的边），MN⊥l1，若小强的爸爸将汽车沿直线l1后退0.6米，通过汽车的前端F点恰好看见障碍物的顶部N点（点D为点A的对应点，点F1为点F的对应点）．求障碍物的高度．【解题过程】(1) 如图，∵l 1∥l 2∴∠ABC=α∴tan ∠ABC=ACBC =tan α＝13，∴BC=3AC==×3 1.64.8(米）∴BC 的长度为4.8米。

2020中考冲刺练习11-解直角三角形的应用解答题1、今年“五一”假期．某数学活动小组组织一次登山活动．他们从山脚下A 点出发沿斜坡AB 到达B 点．再从B 点沿斜坡BC 到达山顶C 点，路线如图所示．斜坡AB 的长为1040米，斜坡BC 的长为400米，在C 点测得B 点的俯角为30°．已知A 点海拔121米．C 点海拔721米．（1）求B 点的海拔；（2）求斜坡AB 的坡度．2、如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC =0.60米，底座BC 与支架AC 所成的角∠ACB =75°，支架AF 的长为2.50米米，篮板顶端F 点到篮框D 的距离FD =1.35米，篮板底部支架HF 与支架AF 所成的角∠FHE =60°，求篮框D 到地面的距离（精确到0.01米）．（参考数据：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732 1.732≈ 1.414≈）3、某数学社团成员想利用所学的知识测量某广告牌的宽度（图中线段MN 的长），直线MN 垂直于地面，垂足为点P ．在地面A 处测得点M 的仰角为58°、点N 的仰角为45°，在B 处测得点M 的仰角为31°，AB ＝5米，且A 、B 、P 三点在一直线上．请根据以上数据求广告牌的宽MN 的长．（参考数据：sin58°＝0.85，cos58°＝0.53，tan58°＝1.60，sin31°＝0.52，cos31°＝0.86，tan31°＝0.60．）4、如图，某数学小组在水平空地上对无人机进行测高实验，在E 处测得无人机C 的仰角45CAB ∠=︒，在D 处测得无人机C 的仰角30CBA ∠=︒，已知测角仪的高1m AE BD ==，E 、D 两处相距50m ，根据所给数据计算无人机C 的高度．（结果精确到0.1 1.41≈ 1.73≈）5、如图，某风景区内有一瀑布，AB 表示瀑布的垂直高度，在与瀑布底端同一水平位置的点D 处测得瀑布顶端A 的仰角β为45°，沿坡度i ＝1：3的斜坡向上走100米，到达观景台C ，在C 处测得瀑布顶端A 的仰角α为37°，若点B 、D 、E 在同一水平线上．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75≈1.41≈3.16）（1）观景台的高度CE 为______米（结果保留准确值）；（2）求瀑布的落差AB （结果保留整数）．6、如图，在大楼AB 正前方有一斜坡CD ，坡角∠DCE =30°，楼高AB =60米，在斜坡下的点C 处测得楼顶B 的仰角为60°，在斜坡上的D 处测得楼顶B 的仰角为45°，其中点A ，C ，E 在同一直线上．（1）求坡底C 点到大楼距离AC 的值；（2）求斜坡CD 的长度．7、如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB 的高度，沿旗杆正前方C出发，沿斜面坡度i =CD 前进4米到达点D ，在点D 处安置测角仪，测得旗杆顶部A 的仰角为37°，量得仪器的高DE 为1.5米．已知A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内，AB⊥BC，AB//DE.求旗杆AB的高度．（参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34.计算结果保留根号）8、在某飞机场东西方向的地面l上有一长为1km的飞机跑道MN（如图），在跑道MN 的正西端14.5千米处有一观察站A．某时刻测得一架匀速直线降落的飞机位于点A的北偏西30°，且与点A相距15千米的B处；经过1分钟，又测得该飞机位于点A的北偏东60°，且与点A相距千米的C处．（1）该飞机航行的速度是多少千米/小时？（结果保留根号）（2）如果该飞机不改变航向继续航行，那么飞机能否降落在跑道MN之间？请说明理由．9、太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业，如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢AB的长度相同，均为300cm，AB的倾斜角为，BE=CA=50cm，支撑角钢CD，EF与底座地基台面接触点分别为D，F，CD垂直于地面，于点E．两个底座地基高度相同（即点D，F到地面的垂直距离相同），均为30cm，点A到地面的垂直距离为50cm，求支撑角钢CD和EF的长度各是多少cm（结果保留根号）10、如图，甲、乙只捕捞船同时从A港出海捕鱼，甲船以每小时km的速度沿北偏西60°方向前进，乙船以每小时15km 的速度沿东北方向前进．甲船航行2h 到达C 处，此时甲船发现渔具丢在了乙船上，于是甲船快速（匀速）沿北偏东75°的方向追赶乙船，结果两船在B 处相遇．问：（1）甲船从C 处出发追赶上乙船用了多少时间？（2）甲船追赶乙船的速度是每小时多少千米？11、如图，BC 是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD 的顶端D 处有一探射灯，射出的边缘光线DA 和DB 与水平路面AB 所成的夹角∠DAN 和∠DBN 分别是37°和60°（图中的点A 、B 、C 、D 、M 、N 均在同一平面内，CM ∥AN ）．（1）求灯杆CD 的高度；（2）求AB 的长度（结果精确到0.1米）．（=1.73．sin37°≈060，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）12、如图，某学校甲楼的高度AB 是18.6m ，在甲楼楼底A 处测得乙楼楼顶D 处的仰角为40，在甲楼楼顶B 处测得乙楼楼顶D 的仰角为19，求乙楼的高度DC 及甲乙两楼之间的距离AC （结果取整数）.参考数据：cos190.95≈，tan190.34≈，cos400.77≈，tan 400.84≈．13、如图，某公园内有一座古塔AB ，在塔的北面有一栋建筑物，某日上午9时太阳光线与水平面的夹角为32°，此时塔在建筑物的墙上留下了高3米的影子CD ．中午12时太阳光线与地面的夹角为45°，此时塔尖A 在地面上的影子E 与墙角C 的距离为15米（B 、E 、C 在一条直线上），求塔AB 的高度．（结果精确到0.01米）参考数据：sin32°≈0.5299，cos32°≈0.8480，tan32°≈0.6249 1.4142．14、某地一人行天桥如图所示，天桥高6m，坡面BC的坡比为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡比，使新坡面AC的坡比为1（1）求新坡面的坡角α；（2）原天桥底部正前方8m处（PB的长）的文化墙PM是否需要拆除．请说明理由．15、某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）．16、高淳固城湖大桥采用H型塔型斜拉桥结构（如甲图），图乙是从图甲抽象出的平面图．测得拉索AB与水平桥面的夹角是45°，拉索CD与水平桥面的夹角是65°，两拉索顶端的距离AC为2米，两拉索底端距离BD为10米，请求出立柱AH的长（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）17、风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成（如图1），图2是从图1引出的平面图．假设你站在A处测得塔杆顶端C的仰角是55°，沿HA方向水平前进43米到达山底G处，在山顶B处发现正好一叶片到达最高位置，此时测得叶片的顶端D（D、C、H在同一直线上）的仰角是45°．已知叶片的长度为35米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计），山高BG为10米，BG⊥HG，CH⊥AH，求塔杆CH的高．（参考数据：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，sin35°≈0.6）18、如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=120°，BD=520m，∠D=30°．那么另一边开挖点E离D多远正好使A，C，E 1.732，结果取整数）？19、如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED=60°，在离电线杆9m的B处安置高为1.5m的测角仪AB，在A处测得电线杆上C 处的仰角为30°，求拉线CE的长．（结果保留根号）20、如图，建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距40m的D处观测旗杆顶部A的仰角为50°，观测旗杆底部B的仰角为45°，求旗杆AB的高度．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）21、“C919”大型客机首飞成功，激发了同学们对航空科技的兴趣，如图是某校航模兴趣小组获得的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸，图中AB∥CD，AM∥BN∥ED，AE⊥DE，请根据图中数据，求出线段BE和CD的长．（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，结果保留小数点后一位）22、如图，一艘渔船位于灯塔A的南偏西75°方向的B处，距离A处30海里，渔船沿北偏东30°方向追寻鱼群，航行一段时间后，到达位于A处北偏西20°方向的C处，渔船出现了故障立即向正在灯塔A处的巡逻船发出求救信号．巡逻船收到信号后以40海里每小时的速度前往救助，请问巡逻船多少分钟能够到达C处？≈1.4，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，最后结果精确到1分钟）．23、如图，为了将货物装入大型的集装箱卡车，需要利用传送带AB将货物从地面传送到高1.8米（即BD=1.8米）的操作平台BC上．已知传送带AB与地面所成斜坡的坡角∠BAD=37°．（1）求传送带AB的长度；（2）因实际需要，现在操作平台和传送带进行改造，如图中虚线所示，操作平台加高0.2米（即BF=0.2米），传送带与地面所成斜坡的坡度i=1：2．求改造后传送带EF的长度．（精确到0.1米）（参考数值：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75≈1.41≈2.24）24、如图，一居民楼底部B与山脚P位于同一水平线上，小李在P处测得居民楼顶A 的仰角为60°，然后他从P处沿坡角为45°的山坡向上走到C处，这时，PC=30m，点C 与点A恰好在同一水平线上，点A、B、P、C在同一平面内．（1）求居民楼AB的高度；（2）求C、A之间的距离．（结果保留根号）25、某学生为测量一棵大树AH及其树叶部分AB的高度，将测角仪放在F处测得大树顶端A的仰角为30°，放在G处测得大树顶端A的仰角为60°，树叶部分下端B的仰角为45°，已知点F、G与大树底部H共线，点F、G相距15米，测角仪高度为1.5米．求该树的高度AH和树叶部分的高度AB．26、某中学广场上有旗杆如图1所示，在学习解直角三角形以后，数学兴趣小组测量了旗杆的高度．如图2，某一时刻，旗杆AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC为4米，落在斜坡上的影长CD为3米，AB⊥BC，同一时刻，光线与水平面的夹角为72°，1米的竖立标杆PQ在斜坡上的影长QR为2米，求旗杆的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）27、如图，海面上甲、乙两船分别从A ，B 两处同时出发，由西向东行驶，甲船的速度为24nmile /h ，乙船的速度为15nmile /h ，出发时，测得乙船在甲船北偏东50°方向，且AB =10nmile ，经过20分钟后，甲、乙两船分别到达C ，D 两处．（参考值：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）（1）求两条航线间的距离；（2）若两船保持原来的速度和航向，还需要多少时间才能使两船的距离最短？（精确到0.01）28、某校数学兴趣小组的同学测量一架无人飞机P 的高度，如图，A ，B 两个观测点相距300m ，在A 处测得P 在北偏东71°方向上，同时在B 处测得P 在北偏东35°方向上．求无人飞机P 离地面的高度．（结果精确到1米，参考数据：sin350.57︒≈，tan350.70︒≈，sin71°≈0.95，tan71°≈2.90）29、如图，小东在楼AB 的顶部A 处测得该楼正前方旗杆CD 的顶端C 的俯角为42∘，在楼AB 的底部B 处测得旗杆CD 的顶端C 的仰角为30∘，已知旗杆CD 的高度为12m ，根据测得的数据，计算楼AB 的高度．（结果保留整数，参考数据：sin42∘≈0.7，cos42∘≈0.7，tan42∘≈0.9≈1.7）30、如图，旗杆AB 的顶端B 在夕阳的余辉下落在一个斜坡上的点D 处，某校数学课外兴趣小组的同学正在测量旗杆的高度，在旗杆的底部A 处测得点D 的仰角为15°，AC ＝10米，又测得∠BDA ＝45°．已知斜坡CD 的坡度为i ＝1求旗杆AB 的高度 1.7≈，结果精确到个位）．答案第1页，共18页参考答案1、【答案】（1）521（米）；（2）1：2.4．【分析】本题考查了解直角三角形的应用．【解答】解：如图，过C 作CF ⊥AM ，F 为垂足，过B 点作BE ⊥AM ，BD ⊥CF ，E 、D 为垂足．在C 点测得B 点的俯角为30°，∴∠CBD =30°，又BC =400米，∴CD =400×sin30°=400×12=200（米）． ∴B 点的海拔为721-200=521（米）．（2）∵BE =DF =521-121=400米，又∵AB =1040米，AE=960米，∴AB 的坡度i AB =BE AE =400960=512． 故斜坡AB 的坡度为1：2.4．2、【答案】3.05米．【分析】本题考查了解直角三角形的应用．【解答】延长FE 交CB 的延长线于M ，过A 作AG ⊥FM 于G ，在Rt △ABC 中，tan ∠ACB =AB BC， ∴AB =BC •tan75°=0.60×3.732=2.2392，∴GM =AB =2.2392，在Rt △AGF 中，∵∠FAG =∠FHD =60°，sin ∠FAG =FG AF， ∴sin60°=2.5FG =，∴FG =2.165，∴DM =FG +GM -DF ≈3.05米．答：篮框D 到地面的距离是3.05米．3、【答案】1.8米【分析】本题考查了解直角三角形的应用．【解答】在Rt △APN 中，∠NAP =45°，∴PA =PN ，在Rt △APM 中，tan MP MAP AP ∠=， 设PA =PN =x ，∵∠MAP =58°，∴tan MP AP MAP =⋅∠=1.6x ，在Rt △BPM 中，tan MP MBP BP ∠=， ∵∠MBP =31°，AB =5， ∴ 1.60.65x x=+， ∴x =3，∴MN=MP -NP =0.6x =1.8（米），答：广告牌的宽MN 的长为1.8米．4、【答案】19.3m ．【分析】本题考查了解直角三角形的应用．【解答】解：如图，过点C 作点CH AB ⊥于H ．∵45CAB ∠=︒，∴AH CH =．设CH x =，则AH x =．∵30CBA ∠=︒，∴BH ==．由题意知：50AB ED ==，答案第3页，共18页∴50x =． 解得：5018.32.73x =≈． 18.3119.3+=．答：计算得到的无人机的高约为19.3m ．5、【答案】（1）；（2）瀑布的落差约为411米．【分析】本题考查了解直角三角形的应用．【解答】（1）∵tan ∠CDE ＝13CE CD = ∴CD ＝3CE ．又CD ＝100米，∴100==∴CE ＝．故答案是：．（2）作CF ⊥AB 于F ，则四边形CEBF 是矩形．∴CE ＝BF ＝，CF ＝BE ．在直角△ADB 中，∠DB ＝45°．设AB ＝BD ＝x 米． ∵CE CD ＝13， ∴DE ＝．在直角△ACF 中，∠ACF ＝37°，tan ∠ACF 0.75AF CF ==≈ 解得x ≈411．答：瀑布的落差约为411米．6、【答案】（1）坡底C 点到大楼距离AC 的值为（2）斜坡CD 的长度为-120米．【分析】本题考查了解直角三角形的应用．【解答】（1）在直角△ABC 中，∠BAC =90°，∠BCA =60°，AB =60米，则AC =60AB tan ==︒答：坡底C 点到大楼距离AC 的值是（2）过点D 作DF ⊥AB 于点F ，则四边形AEDF 为矩形，∴AF =DE ，DF =AE ．设CD =x 米，在Rt △CDE 中，DE =12x 米，CE 米 在Rt △BDF 中，∠BDF =45°，∴BF =DF =AB -AF =60-12x （米） ∵DF =AE =AC +CE ，∴=60-12x解得：x 120（米）故斜坡CD 的长度为（120）米．7、【答案】【分析】本题考查了解直角三角形的应用．【解答】如图，延长ED 交BC 延长线于点F ，则∠CFD =90°，∵tan ∠DCF =i，答案第5页，共18页∴∠DCF =30°，∵CD =4，∴DF =12CD =2，CF =CD cos ∠DCF∴BF =BC +CF过点E 作EG ⊥AB 于点G ，则GE =BFGB =EF =ED +DF =1.5+2=3.5，又∵∠AED =37°，∴AG =GE tan ∠AEG，则AB =AG +BG，故旗杆AB 的高度为（+3.5）米．8、【答案】（1）/h ；（2）能，见解答【分析】本题考查了解直角三角形的应用．【解答】解：（1）由题意，得90BAC ∠︒＝，15,AB AC ==BC ∴==∴飞机航行的速度为：160=km /h ） （2）能；作CE l ⊥于点 E ，设直线 BC 交 l 于点 F ．在Rt ABC中，BC AC ==，∴30ABC ∠︒＝，即60BCA ∠︒＝，又∵30CAE ∠︒＝，∴60ACE ∠︒＝，18060FCE ACB ACE ∠=∠-∠=︒∴-，即ACE FCE ∠=∠ACE FCE ∴≅AE EF ∴= 又152AE AC cos CAE =⋅∠＝ 152AE EF ∴==15AF ∴=14.5,15.5AM AN ==∴AM AF AN ＜＜∴飞机不改变航向继续航行，可以落在跑道 M N 之间．9、【答案】3cm 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．【解答】过点A 作AG CD ⊥，垂足为G ．则30CAG ∠=︒，在Rt ACG 中， ()1sin 3050252CG AC cm =︒=⨯=， 由题意，得()GD 503020cm =-=，∴()252045CD CG GD cm =+=+=，连接FD 并延长与BA 的延长线交于点H ．由题意，得30H ∠=︒．在Rt CDH 中，()290sin 30CD CH CD cm ===︒， ∴()300505090290EH EC CH AB BE AC CH cm =+=--+=--+=．在Rt EFH 中，()tan 3029033EF EH cm =︒=⨯=．答：支角钢CD的长为45cm，EF的长为3cm．10、【答案】（1）2h；（2）15（1）千米．【分析】本题考查了解直角三角形的应用．【解答】（1）如图，过A作AD⊥BC于点D．作CG∥AE交AD于点G．∵乙船沿东北方向前进，∴∠HAB=45°，∵∠EAC=30°，∴∠CAH=90°-30°=60°∴∠CAB=60°+45°=105°．∵CG∥EA，∴∠GCA=∠EAC=30°．∵∠FCD=75°，∴∠BCG=15°，∠BCA=15°+30°=45°，∴∠B=180°-∠BCA-∠CAB=30°．在直角△ACD中，∠ACD=45°，AC．AD=AC×2=30千米．CD=AC•cos45°=30千米．在直角△ABD中，∠B=30°．则AB=2AD=60千米．则甲船从C处追赶上乙船的时间是：60÷15-2=2小时；（2）BC=CD+BD则甲船追赶乙船的速度是每小时（÷2=15（）千米/小时．答：甲船从C处追赶上乙船用了2小时，甲船追赶乙船的速度是每小时15（）千米．11、【答案】（1）10米；（2）11.4米答案第7页，共18页【分析】本题考查了解直角三角形的应用．【解答】（1）如图，延长DC 交AN 于H ，∵∠DBH =60°，∠DHB =90°，∴∠BDH =30°，∵∠CBH =30°，∴∠CBD =∠BDC =30°，∴BC =CD =10（米）；（2）在Rt △BCH 中，CH =12BC =5，BH ≈8.65， ∴DH =15，在Rt △ADH 中，AH =tan 37DH ︒≈150.75=20， ∴AB =AH -BH =20-8.65=11.4（米）．12、【答案】乙楼的高度DC 约为31m ，甲乙两楼之间的距离AC 约为37m ．【分析】本题考查了解直角三角形的应用．【解答】解：过点B 作BE CD ⊥，垂足为点E ，可知BAC ACE BEC 90∠∠∠===︒．∴四边形ACEB 是矩形．∴AB CE =，AC BE =．设甲乙两楼之间的距离为x m ．则BE AC x ==，在Rt DBE 中，DBE 19∠=︒，DE tan DBE BE∠=． ∴DE BE tan DBE x tan19∠=⋅=⋅︒．答案第9页，共18页在Rt DAC 中，DAC 40∠=︒，DC tan DAC AC∠=． ∴DC AC tan DAC x tan DAC x tan40∠∠=⋅=⋅=⋅︒．∵DC DE CE -=，∴x tan40x tan1918.6⋅︒-⋅︒=．∴0.84x 0.34x 18.6-≈．解得x 37.2≈．∴AC 37≈．DE x tan4037.2.8431=⋅︒≈⨯≈．答：乙楼的高度DC 约为31m ，甲乙两楼之间的距离AC 约为37m ． 13、【答案】塔高AB 约为32.99米．【分析】本题考查了解直角三角形的应用．【解答】解：过点D 作DH ⊥AB ，垂足为点H ．由题意，得HB =CD =3，EC =15，HD =BC ，∠ABC =∠AHD =90°， ∠ADH =32°．设AB =x ，则AH =x –3．在Rt △ABE 中，由∠AEB =45°，得tan tan451AB AEB EB ∠=︒==． ∴EB =AB =x ．∴HD =BC =BE +EC =x +15．在Rt △AHD 中，由∠AHD =90°，得tan AH ADH HD∠=． 即得3tan3215x x -︒=+． 解得15tan32332.991tan32x ⋅︒+=≈-︒． ∴塔高AB 约为32.99米．14、【答案】（1）α＝30°；（2）文化墙PM 不需要拆除，理由见解答．【分析】本题考查了解直角三角形的应用．【解答】（1）∵新坡面的坡度为1，∴tan α=tan ∠CAB， ∴∠α=30°．答：新坡面的坡角a 为30°；（2）文化墙PM 不需要拆除．过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则CD =6，∵坡面BC 的坡度为1：1，新坡面的坡度为1，∴BD =CD =6，AD∴AB =AD -BD 6＜8，∴文化墙PM 不需要拆除．15、【答案】【分析】本题考查了解直角三角形的应用．【解答】解：作AD ⊥BC 于D ， ∵∠EAB =30°，AE ∥BF ，∴∠FBA =30°，又∠FBC =75°，∴∠ABD =45°，又AB =60，∴AD =BD = ∵∠BAC =∠BAE +∠CAE =75°，∠ABC =45°，∴∠C =60°，在Rt △ACD 中，∠C =60°，AD =则tan C =ADCD ，∴CD =BC =故该船与B 港口之间的距离CB 的长为 16、【答案】17【分析】本题考查了解直角三角形的应用．【解答】解：设AH 的长为x 米，则CH 的长为（x -2）米．答案第11页，共18页在Rt △ABH 中，AH ＝BH tan45°，则BH ＝x ，所以DH ＝BH -BD ＝x -10在Rt △CDH 中，CH ＝DH tan65°，即x -2＝2.14（x -10），解得：x ＝17.01≈17.0答：立柱AH 的长为17米．17、【答案】63米．【分析】本题考查了解直角三角形的应用．【解答】解：如图，作BE ⊥DH 于点E ，则GH =BE 、BG =EH =10，设AH =x ，则BE =GH =GA +AH =43+x ，在Rt △ACH 中，CH =AH tan ∠CAH =tan55°•x ，∴CE =CH -EH =tan55°•x -10，∵∠DBE =45°，∴BE =DE =CE +DC ，即43+x =tan55°•x -10+35，解得：x ≈45，∴CH =tan55°•x =1.4×45=63．答：塔杆CH 的高为63米．18、【答案】450m ．【分析】本题考查了解直角三角形的应用．【解答】解：ABD 120∠=︒，D 30∠=︒，AED 1203090∠∴=︒-︒=︒，在Rt ΔBDE 中，BD 520m =，D 30∠=︒，1BE BD 260m 2∴==，()DE 450m ∴==≈．答：另一边开挖点E 离D450m ，正好使A ，C ，E 三点在一直线上．19、【答案】拉线CE 的长约为（【分析】本题考查了解直角三角形的应用．【解答】解：过点A 作AH ⊥CD ，垂足为H ，由题意可知四边形ABDH 为矩形，∠CAH =30°，∴AB =DH =1.5，BD =AH =9，在Rt △ACH 中，tan ∠CAH =CH AH ， ∴CH =AH •tan ∠CAH ，∴CH =AH •tan ∠CAH =9tan =， ∵DH =1.5，∴CD ，在Rt △CDE 中，∵∠CED =60°，sin ∠CED =CD CE ，∴CE CD 6sin 60︒==+，答：拉线CE 的长约为（）米20、【答案】7.6m ．【分析】本题考查了解直角三角形的应用．【解答】解：由题意，∠BDC ＝45°，∠ADC ＝50°，∠ACD ＝90°，CD ＝40m ． ∵在Rt △BDC 中，tan ∠BDC ＝BC CD =1． ∴BC ＝CD ＝40m ．∵在Rt △ADC 中，tan ∠ADC ＝=BC AB BC CD CD +． ∘tan50°=4040AB +≈1.19． ∴AB ≈7.6（m ）．答：旗杆AB 的高度约为7.6m ．21、【答案】线段BE 的长约等于18.8cm ，线段CD 的长约等于10.8cm ．【分析】本题考查了解直角三角形的应用．【解答】∵BN ∥ED ，∴∠NBD =∠BDE =37°，答案第13页，共18页∵AE ⊥DE ，∴∠E =90°，∴BE =DE •tan ∠BDE ≈18.75（cm ），如图，过C 作AE 的垂线，垂足为F ，∵∠FCA =∠CAM =45°，∴AF =FC =25cm ，∵CD ∥AE ，∴四边形CDEF 为矩形，∴CD =EF ，∵AE =AB +EB =35.75（cm ），∴CD =EF =AE -AF ≈10.8（cm ），答：线段BE 的长约等于18.8cm ，线段CD 的长约等于10.8cm ．22、【答案】巡逻船大约41分钟能够到达C 处．【分析】本题考查了解直角三角形的应用．【解答】解：过A 作AD BC ⊥，如下图所示：由图知：753045ABC ︒︒︒∠=-=180752085BAC ︒︒︒︒∠=--=在Rt ADB 中45ABC ︒∠=30AB =海里sin sin 452AD ABC AB ︒∠===∴302AD ==（海里） ∵854540DAC ︒︒︒∠=-=在Rt ADC 中40DAC ︒∠=cos cos 40AD DAC AC︒∠==∴27.27cos 400.77AD AC ︒==≈（海里） 27.27400.68÷≈（小时）0.68小时≈41分钟∴巡逻船大约41分钟能够到达C 处23、【答案】（1）3米；（2）4.5米．【分析】本题考查了解直角三角形的应用．【解答】（1）在直角△ABD 中，∵∠ADB =90°，∠BAD =37°，BD =1.8米，∴AB =BD sin 37︒≈1.80.60=3（米）． 答：传送带AB 的长度约为3米；（2）∵DF =BD +BF =1.8+0.2=2米，斜坡EF 的坡度i =1：2， ∴DF 1=DE 2， ∴DE =2DF =4米，∴EF （米）．答：改造后传送带EF 的长度约为4.5米．24、【答案】（1）；（2）152m ．【分析】本题考查了解直角三角形的应用．【解答】解：（1）过点C 作CE ⊥BP 于点E ，在Rt △PCE 中，∵PC =30m ，∠CPE =45°，答案第15页，共18页∴2sin 45301522CE PC m ，2cos 45301522PE PC m∵点C 与点A 恰好在同一水平线上，民楼底部B 与山脚P 位于同一水平线上， ∴152AB CE m ，（2）在Rt △ABP 中，∵∠APB =60°， ∴152tan 603AB BP BP ，即152563BP ， ∴56152BE BP PE m25、【答案】AH的高度是（）米，AB 的高度是1)米．【分析】本题考查了解直角三角形的应用．【解答】解：由题意可知∠AEC ＝30°，∠ADC ＝60°，∠BDC ＝45°，FG ＝15． 设CD ＝x 米，则在Rt △ACD 中，由tan ACADC DC ∠＝得AC ． 又Rt △ACE 中，由cot EC AEC AC ＝∠得EC ＝3x ． ∴3x ＝15＋x ．∴x＝7.5．∴AC ＝∴AH ＝ 1.5．∵在Rt △BCD 中，∠BDC ＝45°，∴BC ＝DC ＝7.5.∴AB ＝AC -BC ＝)7.51． 答：AH 的高度是（1.5）米，AB 的高度是)7.51米． 26、【答案】13.8．【分析】本题考查了解直角三角形的应用．【解答】如图作CM ∥AB 交AD 于M ，MN ⊥AB 于N ．由题意=，即=，CM =，在RT △AMN 中，∵∠ANM=90°，MN =BC =4，∠AMN =72°，∴tan72°=，∴AN≈12.3，∵MN∥BC，AB∥CM，∴四边形MNBC是平行四边形，∴BN=CM=，∴AB=AN+BN=13.8米．27、【答案】（1）两条航线间的距离为6.43（nmile）；（2）还需要0.52h才能使两船的距离最短【分析】本题考查了解直角三角形的应用．【解答】（1）过点A作AE⊥DB，交DB的延长线于E，在Rt△AEB中，∵∠AEB=90°，∠EAB=50°，AB=10，∴AE=AB•cos50°=10×0.643=6.43（nmile），答：两条航线间的距离为6.43（nmile）；（2）当甲乙两船的位置垂直时，两船之间的距离最短，过C作CF⊥BD于F．∵BE=AB•sin50°=7.66，AC=24×=8，BD=15×=5，∴DF=BD+BE-AC=4.66，设还需要t小时才能使两船的距离最短，则有：24t-15t=4.66，解得t=0.52（h），答：还需要0.52h才能使两船的距离最短．28、【答案】无人飞机P离地面的高度约为136米．【分析】本题考查了解直角三角形的应用．【解答】过点P作PC⊥AB交AB的延长线于点C，答案第17页，共18页根据题意，得AB ＝300m ，∠APC ＝71°，∠BPC ＝35°， 设PC ＝xm ，在Rt △PBC 中，BC ＝CP ×tan35°≈0.70x （m ），在Rt △PAC 中，AC ＝CP ×tan71°≈2.90x （m ），∴300+0.70x ＝2.90x ，∴x ＝3001362.2， 答：无人飞机P 离地面的高度约为136米．29、【答案】楼AB 的高度约为30m ．【分析】本题考查了解直角三角形的应用．【解答】∵在Rt △CBD 中，∠CBD =30∘，CD =12m ，∴DB = =12tan 30CD 过点C 作CE ∘AB 于点E ，则CE =DB =∵在A 处测得旗杆CD 的顶端C 的俯角为42∘，∴∠ACE =42∘，∴AE =CE ∘tan42∘≈≈18.4（m ）∘AB =BE +AE =CD +AE =12+18.4≈30（m ）．答：楼AB 的高度约为30m ．30、【答案】旗杆AB 的高度约为16米．【分析】本题考查了解直角三角形的应用．【解答】解：延长BD ，AC 交于点E ，过点D 作DF⊥AE 于点F ．∵i ＝tan ∠DCF3=， ∴∠DCF ＝30°． 又∵∠DAC ＝15°，∴∠ADC ＝15°．∴CD ＝AC ＝10．在Rt △DCF 中，DF ＝CD •sin30°＝10×12＝5（米）， CF ＝CD •cos30°＝=CDF ＝60°． ∴∠BDF ＝45°+15°+60°＝120°，∴∠E ＝120°-90°＝30°，在Rt △DFE 中，EF＝tan 3DF E == ∴AE ＝10+．在Rt △BAE 中，BA ＝AE •tan E＝（）≈16（米）． 答：旗杆AB 的高度约为16米．。

sin650≈0.9, cos650≈0.4, tan650〕〔 〕
A． B．3.9 米 C．4.7 米
D．5.4 米
【答案】C 【解析】 解：过点 O 作 OE⊥AC 于点 F, 延长 BD 交 OE 于点 F, 设 DF=x,
∵tan65°= ,
∴OF=xtan65°, ∴BD=3+x,
∵tan35°= ,
∴BC＝atanα, BD＝atanβ, ∴CD＝BC+BD＝atanα+atanβ．应选 C． 【点评】此题考查了解直角三角形---仰角俯角问题；由三角函数得出 BC 和 BD 是解题的 关键．
11．(2021•浙江丽水•3 分)如图, 矩形 ABCD 的对角线交于点 O．AB＝m, ∠BAC＝∠α, 那么
过 B 作 BE⊥AC 于 E,
∴∠AEB＝∠CEB＝90°,
在 Rt△ABE 中, ∵∠ABE＝45°, AB＝30 ,
∴AE＝BE＝ AB＝30km,
在 Rt△CBE 中, ∵∠ACB＝60°, ∴CE＝ BE＝10 km,
∴AC＝AE+CE＝30+10 , ∴A, C 两港之间的距离为〔30+10 〕km, 应选：B．
A．asinα+asinβ C．atanα+atanβ
B．acosα+acosβ
D．
+
【分析】在 Rt△ABD 和 Rt△ABC 中, 由三角函数得出 BC＝atanα, BD＝atanβ, 得出 CD＝ BC+BD＝atanα+atanβ 即可． 【解答】解：在 Rt△ABD 和 Rt△ABC 中, AB＝a, tanα＝ , tanβ＝ ,
A．asinα+asinβ

解:如图，过点D作DG⊥EF于点G,则A,D,G三点共线,BC=AD=20米,
AB=CD=FG=1.58米,设DG=x米,则AG=(20+x)米,
在Rt△DEG中,∠EDG=60°,tan

60°= = =

3,
解得EG= 3x,
在Rt△AEG中,∠EAG=30°,tan

3
3
30°= =
3 2 1 6+
+ × =
2 2
2
4
2
×
2
−
2
,则sin 15°的值为_________.

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第20讲 锐角三角函数及解直角三角形
挑战高分
基础全练
中考创新练
6.(2022·黑龙江牡丹江)如图，小明去爬山,在山脚看山顶角度为30°,小
明在坡比为5:12的山坡上走1 300米,此时小明看山顶的角度为60°,则
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第20讲 锐角三角函数及解直角三角形
挑战高分
基础全练
中考创新练


4.(2022·广东)sin 30°=________.
5.(2022·黑龙江绥化)定义一种运算:sin(α+β)=sin αcosβ+cos αsin β,sin(αβ)=sinαcosβ-cosαsinβ.例如:当α=45°,β=3时,sin(45°+30°)=
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第20讲 锐角三角函数及解直角三角形
基础全练