初中函数复习专题 适合初三学生

初中函数复习 一、基本概念 1、常量和变量：在变化过程中，数值保持不变的量叫做常量，可以取不同数值的量叫做变量。 2、函数：⑴定义：一般的，设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于变量x的每一个值，变量y都有唯一．．的值与它对应，我们称y是x的函数。其中x是自变量，y是因变量。

⑵函数的表示方法：列表法、图象法和解析法。 ⑶自变量取使函数关系式有意义的值，叫做自变量的取值范围。 ①函数的解析式是整式时，自变量可以取全体实数； ②函数的解析式是分式时，自变量的取值要使分母不为0； ③函数的解析式是二次根式时，自变量的取值要使被开方数是非负数； ④对实际问题中的函数关系，要使实际问题有意义。 二、初中所学的函数 1、正比例函数：

（1）、正比例函数的定义：形如)0(kkxy的形式。自变量与函数之间是k倍的关系 一般情况下，x当作自变量，y作为函数 （2）、正比例函数的性质 ①正比例函数y=kx的图象是经过（0，0），（1，k）的一条直线。

②当0k时，图象从左到右是上升的趋势，也即是y随x的增大而增大。过一、三象限。

③当0k时，图象从左到右是下降的趋势，也即是y随x的增大而减小。过二、四象限。 k>0 k<0

注意：因为正比例函数y=kx (k≠0)中的待定系数只有一个k，因此确定正比例函数的解析式只需x、

y一组条件，列出一个方程，从而求出k值。

2、一次函数 （1）、一次函数的定义：形如)0,,(kbkbkxy且为常数的形式；自变量与常量的乘积，再加上一个常量的形式。 （2）、一次函数与正比例函数的关系

)0(kkxy )0,,(kbkbkxy且为常数

属于 正比例 一次函数 不属于

y x o y

x o （3）、一次函数的图象性质 ①一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）(—k/b，0)的一条直线，也可由y=kx平移得到 ② 当k>0时，y随x的增大而增大，b>0时，图象过第一、二、三象限，b<0时，图象过一、三、四象限 ③当k<0时，y随x的增大而减小，b>0时，图象过第一、二、四象限，b<0时，图象过二、三、四象限 注意：一次函数y=kx+b(k≠0)中的待定系数有两个k和b，因此要确定一次函数的解析式需x、y的两组

条件，列出一个方程组，从而求出k和b。

3、反比例函数 （1）、反比例函数的定义：形如y=kx（k为常数，0k）的形式；x的取值范围是x≠0，y的取值范围是y≠0． （2）、反比例函数的性质

①反比例函数y=kx的图像是双曲线（两个分支） ② 当k>0时，图像的两个分支分别在第一，三象限内；在每个象限内，y随x的增大而减小 ③当k<0时，图像的两个分支分别在第二，四象限内；在每个象限内，y随x的增大而增大

k>0 k<0

④对 称 性：反比例函数y=kx的图像是轴对称图形，对称轴是直线y=x或直线y= —x，也是中心

对称图形，对称中心是原点 ⑤在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x、轴，y轴的平行线，与坐标轴围

成的矩形面积为S1，S2，则S1＝S2 =|k|。设R是双曲线上任意一点，过P作x轴的垂线，垂足为A，则

OAPSk

2

1

注意：因为反比例函数y=kx (k≠0)中的待定系数只有一个k，因此确定反比例函数的解析式只需x、y一

组条件，列出一个方程，从而求出k值

b=0 b<0

b>0 y

x o b<0

b>0

b=0 y

x o 4、二次函数 （1）、二次函数的定义：形如y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的函数称为二次函数，其定义域是R。 （2）、二次函数的解析式： ①一般式：y＝ax2＋bx＋c（a≠0）；对称轴为2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，．

②顶点式：2()yaxhk（0a）；对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k） ③零点式（两根式）：y＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0），其中，x1、x2是函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的零点（或是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根）。 （3）、二次函数的图像：二次函数的图像是一条抛物线. （4）、二次函数的图像的性质： ①开口方向：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下；

②顶点坐标：；

③对称轴方程：； ④当0a时，当2bxa时，y随x的增大而减小；当2bxa时，y随x的增大而增大；

当2bxa时，y有最小值244acba；当0a时，当2bxa时，y随x的增大而增大；当2bxa

时，y随x的增大而减小；当2bxa时，y有最大值244acba．

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即240bac时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

（5）、二次函数图象的平移

①保持抛物线2yax的形状不变，将其顶点平移到hk，处，具体平移方法如下：

向右(h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位

向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位

向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】

平移|k|个单位

向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位

向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位

y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax2

②平移规律 在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”．一定要记住！ (6)、二次函数的图象与各项系数之间的关系 ①二次项系数a；二次函数2yaxbxc中，a作为二次项系数，显然0a．

⑴ 当0a时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大； ⑵ 当0a时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大． 总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小． ② 一次项系数b； 在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a的前提下，当0b时，02ba，即抛物线的对称轴在y轴左侧； 当0b时，02ba，即抛物线的对称轴就是y轴； 当0b时，02ba，即抛物线对称轴在y轴的右侧． ⑵ 在0a的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b时，02ba，即抛物线的对称轴在y轴右侧；

当0b时，02ba，即抛物线的对称轴就是y轴； 当0b时，02ba，即抛物线对称轴在y轴的左侧． 总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置． ③ 常数项c ⑴ 当0c时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置． 总之，只要abc，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． ④二次函数解析式的确定： 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况： （1）. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； （2）. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； （3）. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； （4）. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．

（7）、二次函数图象的对称，当成结论重点记忆。 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 ①. 关于x轴对称 2yaxbxc关于x轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc； 2yaxhk关于x轴对称后，得到的解析式是2yaxhk；

②. 关于y轴对称 2yaxbxc关于y轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc； 2yaxhk关于y轴对称后，得到的解析式是2yaxhk；

③. 关于原点对称 2yaxbxc关于原点对称后，得到的解析式是2yaxbxc； 2yaxhk关于原点对称后，得到的解析式是2yaxhk； ④. 关于顶点对称 2yaxbxc关于顶点对称后，得到的解析式是222byaxbxca； 2yaxhk关于顶点对称后，得到的解析式是2yaxhk．