中国地质大学北京高数期末考试卷

地大（北京）2005高数期末试卷（A卷）

一、 单选题（4X3=12分）

1. 极限limx→∞11+ex=( )

a. 0 b.1 c.不存在也不是∞ d. ∞

2. 设函数f(x)={x2sin1x x≠00 x=0，则在x=0处f(x) ( ).

a. 极限不存在 b.极限存在但不连续 c,连续但不可导 d.连续且可导

3. 若函数f(x)二阶可导，且f(-x)=f(x)，又当x∈(0,∞)时，f’(x)>0,f’’(x)>0则在(-∞.0)上曲线y=f(x)是:( )

a. 单调上升的凸曲线

b. 单调上升的凹曲线

c. 单调下降的凸曲线

d. 单调下降的凹曲线

4. 设I1=∫x3f(x2)a0dx (a>0)，I2=∫xf(x)a20dx则有: ( )a. I1

b. I1>I2

c. I1=I2

d. 2I1=I2

二、 填空题（5X3=15分）

1. 极限limx→0x−sinxx3=( )

2. 已知∫f′(lnx)xdx=x2+C，则f(x)=( )

3. 设f(x)=ddx(∫11+tdtx20)，则f(x)=( )

4. 定积分I=∫(x2sin3x+│x│)dx=1−1（ ）

5. 同时垂直于向量a=(1,1,1,) ，b=(1,1,0)的单位向量是（ ）。

三、 计算题(7X7=49分)

1. lim（2x+32x+1）x+1x→∞

2. 已知f(x)连续，求limx→ax∫f(t)x0dtx−a

3. 设{x=ln (1+t2)y=t−arctant，求dydx , d2ydx2

4. ∫x1+cos2xdx

5. ∫dxx2√1+x2√31

6. 若f(x)={x+1 x≤112x2 x>1，求∫f(x)dx20

7. ∫xe−xdx+∞0

四、 解答题（2X9=18分）

1. 设函数y=f(x)由方程siny+xey=0所确定，求dy和y=f(x)在(0,0)处的切线方程。

2. 设有曲线y=4x-x2。

（1） 在该曲线上求一点，使曲线在该点的切线L平行于X轴。

（2） 求该曲线与上述切线L及y轴所围成的平面图形A的面积。

（3） 求上述平面图形A绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。

五、 证明题（6分）

设函数f(x)在[1,2]上有二阶导数，且f(2)=0，又F(x)=x2f(x)，证明在区间(1,2)内有一点ξ使F’’(ξ)=0

地大（北京）2005高数期末试卷（B卷）

一、单选题（5X3=15分）

1当时x→0，变量1xsin1x是( )

A 无穷小量b 无穷大量c.有界但不是无穷小量d无界但不是无穷大量

2点x=0是函数f(x)=x arctan1x的 ( ).

a连续点 b.可去间断点 c,跳跃间断点 d.第二类间断点

3若函数f(x)二阶可导，且f(-x)=f(x)，又当x∈(0,∞)时，f’(x)>0,f’’(x)>0则在(-∞.0)上曲线y=f(x)是:( )

a单调上升的凸曲线

b单调上升的凹曲线

c单调下降的凸曲线

d单调下降的凹曲线

4设I1=∫x3f(x2)a0dx (a>0)，I2=∫xf(x)a20dx则有: ( )a I1

b I1>I2

c I1=I2

d 2I1=I2

5 设函数y=∫√sintdtx0 (0≤x≤π)，则曲线y的弧长是（ ）

A. 1 B.π c.π2 D. 4

二、填空题（4X3=12分）

1设limx→∞(1+2ax)x3，则a=( )

2已知f’(x0)存在，则limh→0f(x0+3h2)−f(x0)hsinh=( )

3定积分I=∫(2x2cos3x+│x│)dx=1−1（ ）

4 过点A(1,2,0)且与平面x+2y+3z-6=0垂直的直线方程为( )

三、计算题(7X7=49分)

1 limx−sinxx2sinxx→0

2 y=ln√ex1+ex，求y’

3 设{x= 2t+t2y=ln (1+t)，求dydx , d2ydx2

4 ∫x arc tanxdx

5 ∫x1+√xdx41

6 若f(x)={x2 x∈[0,)

x x∈[1,2] ，求ψ(x)=∫f(t)x0dt在[0,2]上的表达式。

7 ∫xe−xdx+∞0

四、解答题（2X9=18分）

1设f(x)={1x(e2x−1) x<0a+sinbx x≥0，试确定常数a,b的值，使f(x)在(-∞,+ ∞)上可导。

2求曲线y=1-x2，y=x2 ，y轴所围成的第I象限部分图形的面积，并求该图形绕x轴旋转所得旋转体的体积。

五、证明题（6分）

设函数f(x)在[0,3]上连续，在(0,3)可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1。试证明存在一点ξ∈（0,3）使f ’(ξ)=0

地大（北京）2007高数期末试卷（A卷）

一、 选择题（每题3分，共24分）

1. 下列结论中，正确是：（ ）

A. 若limn→∞x2n=a ，limn→∞x2n+1=a，则limn→∞x,n=a

B. 发散数列必然无界

C. 若limn→∞x3n−1=a，limn→∞x3n+1=a ，则limn→∞x,n=a

D. 有界数列必然收敛。

2. 当x→1时，无穷小量1-x是2(1-√x)的（ ）A. 高阶无穷小

B. 低阶无穷小 C. 等价无穷小

D. 通解但不等价无穷小3. f(x)=x(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)…(x-99)(x+100)，则f’(0)=( )a. -100

b. 101! c. 100

d. 100!4. 设函数y=(x)的导数为cosx，且y（0）=1，则y(x)=( )a. cosx

b. sinx c. cosx+x

d. sinx+x5. 函数f(x)=1-x2在区间[-1.3]上满足拉格朗日中值定理，定理中的ξ=( )a. 0

b. 1 c. -1

d. 26. 若∫f(x)dx=2ex2+C，则f(x)=( )a. 2ex2 b. 4ex2

c. ex2+C d. ex27. 设函数y=∫√sintπ0dt (0≤t≤π)，则曲线y的弧长是（ ）a. 1 b. πc. π4 d. 48. 下列关于广义积分∫dxxp+∞0的说法正确的是（ ）

a. 当且仅当p>1时收敛。

b. 当且仅当p=1时收敛。

c. 当且仅当p≦1时收敛。

d. 对任何p都不收敛。

二、 计算下列极限（每题6分，共12分）

1. limx→+∞(√4x2+3x−2x)

2. limx→0∫etdt−sinxx0x2sinx

三、 计算下列积分（每题7分，共24分）

1. ∫(x2+1)2dx

2. ∫x∙arctanx dx

3. ∫x+2√2x+1dx40

4. 已知f(x)={x2+1 x≥02e−x x<0，求∫f(x)2−1dx

四、 设f(x)={e1x−1 x>0ln(1+𝑥) −1＜𝑥≤ 0，求f(x)的间断点，并说明间断点的所属类型。

五 求过点(2.0.-3)且与直线{x−2y+4z−7=03x+5y−2z+1=0垂直的平面方程。

六、 设y(x)是由方程xy+ey=1所确定的隐函数，求y’及y’’(0)。

七、 求曲线y=√x 的一条切线l ，使该曲线与切线l及直线x=0，x=2所围成的平面图形的面积最小。

八、 证明方程∫√1+x4x0dx+∫e−x20cosxdx=0在[0,π2]内有且仅有一个实根。

九、 求曲线y=x2 的一条切线l ，使该曲线与切线l及直线x=0，x=2所围成的平面图形的面积最小。

十、 设f(x)在[a.b]上可微，在(a,b)内二阶导数存在，且f(a)=f(b),f+′(a)f−′(b)>0，证明存在ξ∈(a,b)使f’’(ξ)=0。

地大（北京）2007高数考研试卷

一 单选题（每题7分，共21分）

1、设f(x)=x2，ψ(x)=2x 则f(ψ(x))=( )

A．2x2 B. x2x C.x2x D.22x

2 当x→1时，与2arc tanx−x2等价的无穷小量是（ ）

A. 4(x-1) B. 2(x-1) C. x-1 D. (x−1)2

3 x=π是函数f(x)=xsinx的（ ）

A. 连续点 B 可去间断点 C 跳跃间断点 D 无穷间断点

4 设f(x)={x2+1 x≤2x2+4 x>2则在x=2处函数f(x) ( )

A 不连续 B 连续且可导 C 可导但导数不连续 D连续但不可导

5 当f’(x0)=0时，f’’(x0)>0是函数y=f(x)在点x=x0处有极小值的（ ）

A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D既不充分也不必要的条件

6 设函数f(x)连续，则ddx(∫f(x)dx)=( )