15-16学年初二上册数学期中考试知识点总结：角平分线的性质

1 专题12.3角平分线的性质（测试）

一、单选题

1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若BD＝2CD，点D到AB的距离为4，则BC的长是（ ）

A．4 B．8 C．12 D．16

【答案】C

【解析】解：如图，过D作DE⊥AB于E，

∵∠C=90°，

∴CD⊥AC，

∵AD平分∠BAC，

∴CD=DE，

∵D到AB的距离等于4，

∴CD=DE=4，

又∵BD=2CD，

∴BD=8，

∴BC=4+8=12，

故选：C．

2．如图，图中直线表示三条相互交叉的路，现要建一个货运中转站，要求它到三条公路的距离相等，则选择的地址有（ ）

A．4处 B．3处 C．2处 D．1处

2 【答案】A

【解析】解：∵△ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，

∴△ABC内角平分线的交点满足条件；

如图：点P是△ABC两条外角平分线的交点，

过点P作PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥AC，

∴PE=PF，PF=PD，

∴PE=PF=PD，

∴点P到△ABC的三边的距离相等，

∴△ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个；

综上，到三条公路的距离相等的点有4个，

∴可供选择的地址有4个．

故选：A．

3．如图，在ABC中，90C,10AB,AD是ABC的一条角平分线.若3CD，则ABD的面积为( )

A．3 B．10 C．12 D．15

【答案】D

【解析】解：如图，作DE⊥AB于E，

3

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，

∴DE=CD=3．

∴△ABD的面积为12×3×10=15．

故选：D．

4．△ABC中，AB＝7，BC＝24，AC＝25．在△ABC内有一点P到各边的距离相等，则这个距离为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】解：∵△ABC中，AB＝7，BC＝24，AC＝25，

1 专题12.3角平分线的性质（讲练）

一、知识点

1、角的平分线的作法：课本第19页；

2、角的平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；

3、证明一个几何中的命题，一般步骤：

①明确命题中的已知和求证；

②根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；

③经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程；

4、性质定理的逆定理：角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上；（利用三角形全等来解释）

三角形的三条角平分线相交于一点，该点为内心；

二、标准例题：

例1：如图，OC为AOB的平分线，CMOB于M，5OC，4OM，则点C到射线OA的距离为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【解析】解：如图，过C作CF⊥AO于F

∵OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，

∴CM=CF，

∵OC=5，OM=4，

2 ∴CM=3，

∴CF=3，

故选：B．

总结：此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

例2：如图，在三角形ABC中，90C∠，AD平分BAC交BC于点D，且2BDCD，6BCcm，则点D到AB的距离为（ ）

A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm

【答案】C

【解析】如图，过点D作DE⊥AB于E，

∵BD：DC=2：1，BC=6，

∴DC=112×6=2，

∵AD平分∠BAC，∠C=90∘，

∴DE=DC=2．

故选：C．

总结：本题考查角平分线的性质和点到直线的距离，解题的关键是掌握角平分线的性质.

例3：如图，在RtABC中，90B∠，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交ABAC、于点,DE，再分别以点DE、为圆心，大于12DE为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点1,4BGAC，则ACG的面积是（ ）

3

A．1 B．32 C．2 D．52

【答案】C

角平分线与全等三角形结合

1．如图 A B两点分别在射线OM ON上 点C在MON的内部且CACB CDOM

CEON 垂足分别为D E 且ADBE．

(1)求证：OC平分MON；

(2)如果10AO 4BO 求OD的长．

【答案】(1)见解析

(2)7

【解析】

【分析】

（1）证明Rt△ACD≌Rt△BCE（HL） 得CD=CE．再由角平分线的判定即可得出结论；OC平分∠MON；

（2）证Rt△ODC≌Rt△OEC（HL） 得OD=OE 设BE=AD=x．则OE=OD=4+x 再由AO=OD+AD=4+2x=10 得x=3．即可得出答案．

(1)

证明：∵CDOM CEON

∴90CDACEB．

在RtACD△与RtBCE中 CACBADBE

∴RtACD△≌RtBCE（HL）

∴CDCE．

又∵CDOM CEON

∴OC平分MON．

(2) 解：在RtODC△与RtOEC△中 CDCEOCOC

∴RtODC△≌RtOEC△（HL）

∴ODOE

设BEADx．

∵4BO ∴4OEODx

∵ADBEx ∴4210AOODADx

∴3x ∴437OD．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定等知识 证明Rt△ACD≌Rt△BCE和Rt△ODC≌Rt△OEC是解题的关键．

2．已知∠MAN AC平分∠MAN D为AM上一点 B为AN上一点．

（1）如图①所示 若∠MAN＝120° ∠ABC＝∠ADC＝90° 求证：AB+AD＝AC；

（2）如图②所示 若∠MAN＝120° ∠ABC+∠ADC＝180° 则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）成立 见解析

内外角平分线问题

类型一 一内一外求角

1．如图∠ACD是△ABC的外角 ∠A＝40° BE平分∠ABC CE平分∠ACD 且BE CE交于点E．

（1）求∠E的度数；

（2）请猜想∠A与∠E之间的数量关系 不用说明理由．

【答案】（1）∠E=20°；（2）∠A=2∠E．

【解析】

【分析】

（1）根据角平分线的定义 三角形内角和定理 三角形外角的性质进行解答即可；

（2）根据（1）中的推导过程进行推论即可．

【详解】

（1）∠BE平分∠ABC CE平分∠ACD

∠∠ABC=2∠CBE ∠ACD=2∠DCE

由三角形的外角性质得

∠ACD=∠A+∠ABC

∠DCE=∠E+∠CBE

∠∠A+∠ABC=2（∠E+∠CBE）, ∠∠A=2∠E

∠∠A=40°

∠∠E=20°.

（2）∠A=2∠E.

理由如下：∠BE平分∠ABC CE平分∠ACD

∠∠ABC=2∠CBE ∠ACD=2∠DCE

由三角形的外角性质得

∠ACD=∠A+∠ABC

∠DCE=∠E+∠CBE

∠∠A+∠ABC=2（∠E+∠CBE）,

∠∠A=2∠E

【点睛】

本题考查了角平分线的定义 三角形内角和定理 三角形外角的性质 熟练掌握以上知识点是解本题的关键．

2．如图 在∠ABC中 ∠A＝30° E为BC延长线上一点 ∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D 则∠D等于（ ）

A．10° B．15° C．20° D．30°

【答案】B

【解析】

【分析】

先根据角平分线的定义得到12 34 再根据三角形外角性质得1234A

13D 则2123A 利用等式的性质得到12DA 然后把A的度数代入计算即可．

【详解】

解答：解：∠ABC的平分线与ACE的平分线交于点D