高考数学第七章不等式4第4讲基本不等式练习理(含解析)

第4讲 基本不等式

[基础题组练]

1．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( )

A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2ab

C. 1a＋1b>2ab D. ba＋ab≥2

解析：选D.因为a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，所以A错误．对于B，C，当a<0，b<0时，明显错误．

对于D，因为ab>0，

所以ba＋ab≥2 ba·ab＝2.

2．下列不等式一定成立的是( )

A．lgx2＋14>lg x(x>0)

B．sin x＋1sin x≥2(x≠kπ，k∈Z)

C．x2＋1≥2|x|(x∈R)

D.1x2＋1>1(x∈R)

解析：选C.对于选项A，当x>0时，x2＋14－x＝x－122≥0，所以lgx2＋14≥lg x；

对于选项B，当sin x<0时显然不成立；

对于选项C，x2＋1＝|x|2＋1≥2|x|，一定成立；

对于选项D，因为x2＋1≥1，

所以0<1x2＋1≤1.故选C.

3．已知f(x)＝x2－2x＋1x，则f(x)在12，3上的最小值为( )

A. 12 B. 43

C．－1 D．0

解析：选D.f(x)＝x2－2x＋1x＝x＋1x－2≥2－2＝0，当且仅当x＝1x，即x＝1时取等号．又1∈12，3，所以f(x)在12，3上的最小值是0.

4．若实数a，b满足1a＋2b＝ab，则ab的最小值为( )

A.2 B．2

C．22 D．4

解析：选C.因为1a＋2b＝ab，所以a＞0，b＞0，

由ab＝1a＋2b≥21a×2b＝22ab，

所以ab≥22(当且仅当b＝2a时取等号)，

所以ab的最小值为22.

5．已知x>0，y>0，lg 2x＋lg 8y＝lg 2，则1x＋13y的最小值是( )

A．2 B．22

C．4 D．23

解析：选C.因为lg 2x＋lg 8y＝lg 2，

所以lg(2x·8y)＝lg 2，

所以2x＋3y＝2，

所以x＋3y＝1.

因为x>0，y>0，

所以1x＋13y＝(x＋3y)1x＋13y＝2＋3yx＋x3y≥2＋23yx·x3y＝4，当且仅当x＝3y＝12时取等号．所以1x＋13y的最小值为4.故选C.

6．若正实数x，y满足x＋y＝2，且1xy≥M恒成立，则M的最大值为________．

解析：因为正实数x，y满足x＋y＝2，

所以xy≤（x＋y）24＝224＝1，

所以1xy≥1；

又1xy≥M恒成立，

所以M≤1，即M的最大值为1.

答案：1

7．已知a>0，b>0，a＋2b＝3，则2a＋1b的最小值为________．

解析：由a＋2b＝3得13a＋23b＝1，

所以2a＋1b＝13a＋23b2a＋1b

＝43＋a3b＋4b3a≥43＋2a3b·4b3a＝83.

当且仅当a＝2b＝32时取等号．

答案：83

8．已知正数x，y满足x＋22xy≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为________．

解析：依题意得x＋22xy≤x＋(x＋2y)＝2(x＋y)，即x＋22xyx＋y≤2(当且仅当x＝2y时取等号)，即x＋22xyx＋y的最大值为2.又λ≥x＋22xyx＋y恒成立，因此有λ≥2，即λ的最小值为2.

答案：2

9．(1)当x<32时，求函数y＝x＋82x－3的最大值；

(2)设0

解：(1)y＝12(2x－3)＋82x－3＋32

＝－3－2x2＋83－2x＋32.

当x<32时，有3－2x>0，

所以3－2x2＋83－2x≥23－2x2·83－2x＝4，

当且仅当3－2x2＝83－2x，

即x＝－12时取等号．

于是y≤－4＋32＝－52，

故函数的最大值为－52.

(2)因为00，

所以y＝x（4－2x）＝2·x（2－x）≤2·x＋2－x2＝2，当且仅当x＝2－x，

即x＝1时取等号，

所以当x＝1时，函数y＝x（4－2x）的最大值为2.

10．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求

(1)xy的最小值；

(2)x＋y的最小值．

解：(1)由2x＋8y－xy＝0，

得8x＋2y＝1，

又x>0，y>0，

则1＝8x＋2y≥2 8x·2y＝8xy.

得xy≥64，

当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．

所以xy的最小值为64.

(2)由2x＋8y－xy＝0，得8x＋2y＝1，

则x＋y＝8x＋2y·(x＋y)

＝10＋2xy＋8yx≥10＋2 2xy·8yx＝18.

当且仅当x＝12，y＝6时等号成立，

所以x＋y的最小值为18.

[综合题组练]

1．(应用型)已知a＞0，b＞0，若不等式3a＋1b≥ma＋3b恒成立，则m的最大值为( )

A．9 B．12

C．18 D．24

解析：选B.由3a＋1b≥ma＋3b，

得m≤(a＋3b)3a＋1b＝9ba＋ab＋6.

又9ba＋ab＋6≥29＋6＝12，

当且仅当9ba＝ab，

即a＝3b时等号成立，

所以m≤12，所以m的最大值为12.

2．(应用型)若正数a，b满足a＋b＝2，则1a＋1＋4b＋1的最小值是( )

A．1 B.94

C．9 D．16

解析：选B.1a＋1＋4b＋1

＝1a＋1＋4b＋1·（a＋1）＋（b＋1）4

＝141＋4＋b＋1a＋1＋4（a＋1）b＋1

≥145＋2b＋1a＋1·4（a＋1）b＋1

＝94，

当且仅当b＋1a＋1＝4（a＋1）b＋1，即a＝13，b＝53时取等号，故选B.

3．(创新型)规定：“⊗”表示一种运算，即a⊗b＝ab＋a＋b(a，b为正实数)．若1⊗k＝3，则k的值为________，此时函数f(x)＝k⊗xx的最小值为________．

解析：由题意得1⊗k＝k＋1＋k＝3，即k＋k－2＝0，解得k＝1或k＝－2(舍去)，所以k＝1，故k的值为1，

又f(x)＝1⊗xx＝x＋x＋1x＝1＋x＋1x≥1＋2＝3，

当且仅当x＝1x，即x＝1时取等号，

故函数f(x)的最小值为3.

答案：1 3

4．已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.

求：(1)u＝lg x＋lg y的最大值；

(2)1x＋1y的最小值．

解：(1)因为x>0，y>0，

所以由基本不等式，得2x＋5y≥210xy.

因为2x＋5y＝20，

所以210xy≤20，xy≤10，

当且仅当2x＝5y时，等号成立．

因此有2x＋5y＝20，2x＝5y，解得x＝5，y＝2，

此时xy有最大值10.

所以u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1.

所以当x＝5，y＝2时，u＝lg x＋lg y有最大值1.

(2)因为x>0，y>0，

所以1x＋1y＝1x＋1y·2x＋5y20

＝1207＋5yx＋2xy≥1207＋2 5yx·2xy＝7＋21020.

当且仅当5yx＝2xy时，等号成立．

由2x＋5y＝20，5yx＝2xy，

解得x＝1010－203，y＝20－4103.

所以1x＋1y的最小值为7＋21020.

5．某厂家拟定在2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3－km＋1(k为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．

(1)将2019年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；

(2)该厂家2019年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？

解：(1)由题意知，当m＝0时，x＝1(万件)，

所以1＝3－k⇒k＝2，所以x＝3－2m＋1(m≥0)，

每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx(元)，

所以2019年的利润y＝1.5x×8＋16xx－8－16x－m

＝－16m＋1＋（m＋1）＋29(m≥0)．

(2)因为m≥0时，16m＋1＋(m＋1)≥216＝8，

所以y≤－8＋29＝21，当且仅当16m＋1＝m＋1⇒m＝3(万元)时，ymax＝21(万元)．

故该厂家2019年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．