2018届河北省武邑中学高三下学期第一次质量检测数学(理)试题Word版含解析

河北武邑中学2018届高三年级第二学期第一次质量检测考试

数学试题（理）

第Ⅰ卷 选择题（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，则等于（ ）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】,故选.

2. 设复数满足，则 （ ）

A. B. 2 C. D.

【答案】D

【解析】,故选.

3. 《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】依题意知斜边为,设内切圆半径为,由三角形面积公式得,解得,故落在圆外的概率为,所以选.

4. 执行如右图所示的程序框图，则输出的的值是（ ）

A. 7 B. 6 C. 5 D. 3 【答案】B

【解析】,,判断否,,,判断否,,判断是,输出,故选.

5. 已知直线的方程为，则“直线平分圆的周长”是“”的（ ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】因为的圆心为，总在直线，所以对任意实数，直线都平分圆的周长，所以“直线平分圆的周长”是“”的必要不充分条件，故选B.

6. 已知，点为斜边的中点，，则等于 （ ）

A. -14 B. -9 C. 9 D. 14

【答案】C

【解析】以为原点分别为轴建立平面直角坐标系,则,所以.故选.

7. 已知，则展开式中的系数为（ ）

A. 24 B. 32 C. 44 D. 56

【答案】A

【解析】,中系数为.故选.

8. 定义运算：，将函数的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是 （ ）

A. B. C. D. 【答案】D

【解析】函数 ，的的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为 ，又因为函数为偶函数，，解得，当时，取得最小值是，故选D.

9. 设满足约束条件，若目标函数仅在点处取得最小值，则的取值范围为（ ）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

作出约束条件表示的可行域如图所示，将化成，当时，仅在点处取得最小值，即目标函数仅在点处取得最小值，解得，故选A.

【方法点晴】本题主要考查可行域、含参数约束条件，属于难题.含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度， 此类问题的存在增加了探索问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求最优解的关键.

10. 已知双曲线的实轴长为16，左焦点为，是双曲线的一条渐近线上的点，且为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（ ）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】由于焦点到渐近线的距离为,故,依题意有,所以离心率为.

【点睛】本小题主要考查直线和双曲线的位置关系,考查双曲线渐近线的几何性质,考查三角形的面积公式和双曲线离心率的求法.设双曲线的焦点为,双曲线的渐近线为,故双曲线焦点到渐近线的距离为,故焦点到渐近线的距离为.

11. 某简单凸多面体的三视图如图所示，其中俯视图和左视图都是直角三角形，主视图是直角梯形，则其所有表面（含底面和侧面）中直角三角形的个数为（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】A

【解析】

由三视图可知，该凸多面体是如图所示的三棱锥 ，由图可知，三棱锥的三个面中，只有 是直角三角形，即直角三角形的个数为 ，故选A.

12. 已知函数的定义域为，且满足，其导函数，当时，，且，则不等式的解集为 （ ）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】构造函数,,当时,,所以当时,,则在上递增. 由于所以函数关于点中心对称.所以函数关于原点中心对称,为奇函数.令,则是上的偶函数,且在上递增,在上递减.,故原不等式等价于,等价于,解得或.故选.

【点睛】本小题主要考查函数单调性与奇偶性,考查函数图像的对称性的表示形式,考查构造函数法判断函数的单调性与奇偶性.首先构造函数,利用上题目所给含有导数的不等式可以得到函数的单调性.对于题目所给条件由于,所以函数图象是关于中心对称的.

第Ⅱ卷 非选择题（共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上

13. 已知的内角的对边分别为，若，则的面积 为__________．

【答案】

14. 已知公差不为0的等差数列满足成等比数列，为数列的前项和，则的值为__________．

【答案】2

【解析】根据等比中项有即,化简得..

15. 已知，不等式恒成立，则的取值范围是__________．（答案写成集合或区间格式）

【答案】

【解析】因为，，，则，（当且仅当时取等号），，不等式恒成立，即：只需，则，则的取值范围是.

【点睛】关于利用基本不等式求最值问题，需要掌握一些基本知识和基本方法，利用基本不等式求最值要注意“一正、二定、三相等”，当两个正数的积为定值时，这两个数的和取得最小值；当两个正数的和为定值时，这两个数的积取得最大值；利用基本不等式求最值的技巧方法有三种：第一是“１的妙用”，第二是“做乘法”，第三是“等转不等”.

16. 在四面体中，，二面角的大小为150°，则四面体外接球的半径为__________．

【答案】

【解析】画出图象如下图所示,其中为等边三角形边的中点,为等边三角形的中心(等边三角形四心合一);球心在点的正上方,也在点的正上方.依题意知,在中,所以外接圆半径.

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知等比数列的公比，且成等比数列.

（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】【试题分析】(1)根据基本元的思想,将已知条件转化为 ,列方程组解出,由此得到数列的通项公式.(2)利用错位相减法求得数列的前项和.

【试题解析】

（1）∵，∴，∴，又成等差数列，∴，

∴，∴，∴； （2），

①

②

-②：，

，∴.

18. 如图所示，该几何体是由一个直三棱柱和一个四棱锥组合而成，其中.

（1）证明：平面；

（2）若四棱锥的高2，求二面角的余弦值.

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】【试题分析】(1)根据直棱柱的性质有,结合已知可得平面.(2) 以为原点，方向为轴建立空间直角坐标系,通过计算平面和平面的法向量来求得面面角的余弦值.

【试题解析】

（1）证明：直三棱柱中，平面，所以，

又，所以平面；

（2）

由（1）知平面，以为原点，方向为轴建立空间直角坐标系（如图所示），，则，，，，，，，设平面的一个法向量，

则，取，则，所以.

设平面的一个法向量，则，取，则.

所以，所以，

因为二面角的平面角是锐角，所以所求二面角的余弦值为.

19. 2017年9月，国务院发布了《关于深化考试招生制度改革的实施意见》.某地作为高考改革试点地区，从当年秋季新入学的高一学生开始实施，高考不再分文理科.每个考生，英语、语文、数学三科为必考科目，并从物理、化学、生物、政治、历史、地理六个科目中任选三个科目参加高考.物理、化学、生物为自然科学科目，政治、历史、地理为社会科学科目.假设某位考生选考这六个科目的可能性相等.

（1）求他所选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率；

（2）已知该考生选考的三个科目中有一个科目属于社会科学科目，两个科目属于自然科学科目.若该考生所选的社会科学科目考试的成绩获等的概率都是0.8，所选的自然科学科目考试的成绩获等的概率都是0.75，且所选考的各个科目考试的成绩相互独立.用随机变量表示他所选的三个科目中考试成绩获等的科目数，求的分布列和数学期望.

【答案】（1）；（2）见解析.

【解析】试题分析：

(1)由题意结合对立事件计算公式可知该位考生选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率为；

(2)由题意可知，随机变量的所有可能取值有0, 1，2，3.计算相应的概率值为,，，，据此可得分布列，然后计算数学期望为.

试题解析：

（1）记“某位考生选考的三个科目中至少有一个科目是自然科学科目”为事件，

则，