2017-2018学年宁夏固原市第一中学高三下学期第一次月考数学(理)(详细答案版)

2017-2018学年宁夏固原市第一中学高三下学期第一次月考数 学（理）

一、选择题：共12题

1．记集合𝑀={𝑥||𝑥|>2},𝑁={𝑥|𝑥2−3𝑥≤0},则𝑁∩𝑀=

A.{𝑥|2<𝑥≤3} B.{𝑥|𝑥>0或𝑥<−2}

C.{𝑥|0≤𝑥<2} D.{𝑥|−2<𝑥≤3}

【答案】A

【解析】本题考查集合的基本运算.由题意得𝑀={𝑥|𝑥>2或𝑥<−2},𝑁={𝑥|0≤𝑥≤3},所以𝑁∩𝑀={𝑥|2<𝑥≤3}.选A.

2．已知向量𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√32),𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,12),则∠𝐴𝐵𝐶=

A.45∘ B.60∘ C.30∘ D.120∘

【答案】C

【解析】本题考查平面向量的数量积.由题意得|𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ |=|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ |=1;所以cos∠𝐴𝐵𝐶=𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗

|𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ |=√32,所以∠𝐴𝐵𝐶=30∘.选C.

3．若a,b∈𝐑,命题𝑝:1𝑎>1𝑏,命题𝑞:𝑎<𝑏<0,则命题p是命题q成立的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】本题考查充要条件.对于命题𝑝:若𝑎>0,𝑏<0,满足1𝑎>1𝑏,但推不出命题𝑞,所以充分性不成立;若𝑎<𝑏<0,则1𝑎>1𝑏成立,所以必要性成立;所以命题p是命题q成立的必要不充分条件.选B.

4．一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

A.163 B.203 C.152 D.132

【答案】D

【解析】本题考查三视图,空间几何体的体积.还原出空间几何体,其为正方体切去两个三棱锥后剩余的部分,如图所示;所以该几何体的体积V=8−13×2×2−13×12×1=132.选D.

5．若𝑆𝑛是等差数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和,且𝑆8−𝑆3=20,则𝑆11的值为

A.44 B.22 C.2203 D.88

【答案】A

【解析】本题考查等差数列,数列求和.由题意得𝑎4+𝑎5+𝑎6+𝑎7+𝑎8=𝑆8−𝑆3=20,因为{𝑎𝑛}为等差数列,所以5𝑎6=20,即𝑎6=4;所以𝑆11=11(𝑎11+𝑎1)2=11×2𝑎62=11𝑎6=44.选A.

【备注】等差数列:𝑎𝑛=𝑎1+(𝑛−1)𝑑,𝑆𝑛=𝑛(𝑎𝑛+𝑎1)2=𝑛𝑎1+𝑛(𝑛−1)2𝑑

6．已知tan(𝛼+𝛽)=12,tan𝛽=13,则tan(𝛼−π4)=

A.34 B.−34 C.17 D.67

【答案】B

【解析】本题考查和角、差角公式.由题意得tan(𝛼+𝛽)=tan𝛼+tan𝛽1−tan𝛼tan𝛽=tan𝛼+131−13tan𝛼=12,解得tan𝛼=17;所以tan(𝛼−π4)=tan𝛼−11+tan𝛼=17−11+17=−34.

7．已知点O为坐标原点,A(-1,1),若点𝑀(𝑥,𝑦)为平面区域{𝑥+𝑦≥2𝑥≤1𝑦≤2上的一个动点,则𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为

A.[−1,0] B.[−1,2] C.[0,2] D.[0,1]

【答案】C

【解析】本题考查线性规划问题,平面向量的数量积.画出可行域,如图∆𝐵𝐶𝐷所示;𝐵(1,1),𝐶(1,2),𝐷(0,2).由题意得𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1),𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(𝑥,𝑦),所以𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−𝑥+𝑦;当过点𝐵时,𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值−0+0=0;当过点𝐷时,𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值−0+2=2;即0≤𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≤2,即𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为[0,2].选C.

8．有三对师徒共6个人,站成一排照相,每对师徒相邻的站法共有

A.72 B.54 C.48 D.8

【答案】C

【解析】本题考查排列组合.由题意得每对师徒相邻的站法共有𝐴22𝐴22𝐴22𝐴33=48种.选C.

【备注】有序排列,无序组合.

9．设m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y﹣2=0与圆(x﹣1)2+(y﹣1)2=1相切,则m+n的取值范围是

A.(﹣∞,2﹣2√2]∪[2+2√2,+∞) B.(﹣∞,2√2]∪[2√2,+∞)

C.[2﹣2√2,2+2√2] D.(﹣∞,﹣2]∪[2,+∞)

【答案】A

【解析】本题考查距离公式,直线与圆的位置关系,基本不等式.因为直线与圆相切,所以𝑑=|(𝑚+1)+(𝑛+1)﹣2|√(𝑚+1)2+(𝑛+1)2=|𝑚+𝑛|√(𝑚+1)2+(𝑛+1)2=1,整理得𝑚𝑛=𝑚+𝑛+1;因为𝑚𝑛≤(𝑚+𝑛)24,所以𝑚+𝑛+1≤(𝑚+𝑛)24,解得𝑚+𝑛≤2﹣2√2或𝑚+𝑛≥2+2√2,即m+n的取值范围是(﹣∞,2﹣2√2]∪[2+2√2,+∞).选A.

10．若双曲线E:𝑥29−𝑦216=1的左、右焦点分别为𝐹1,𝐹2,点P在双曲线E上,且|𝑃𝐹1|=7,则|𝑃𝐹2|等于

A.1 B.13 C.1或13 D.15

【答案】B

【解析】本题考查双曲线的几何性质.由题意得𝑎=3,𝑐=5,||𝑃𝐹1|−|𝑃𝐹2||=6,而|𝑃𝐹1|=7,解得|𝑃𝐹2|=13或1;而|𝑃𝐹2|≥𝑐−𝑎=2,所以|𝑃𝐹2|=13.选B.

【备注】双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1,𝑎2+𝑏2=𝑐2,渐近线为𝑦=±𝑏𝑎𝑥.

11．过椭圆C:𝑥25+𝑦2=1的右焦点F作直线l交椭圆C于A,B两点,交y轴于点M,若𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =𝜆1𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ ,𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =𝜆2𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ ,则𝜆1+𝜆2＝

A.10 B.5 C.－10 D.－5

【答案】C

【解析】本题考查直线与椭圆的位置关系.由题意得𝐹(2,0),令𝐴(𝑥1,𝑦1),𝐵(𝑥2,𝑦2);而直线l过点F,令直线l:𝑦=𝑘𝑥−2𝑘,令𝑥=0,可得𝑦=−2𝑘,即点M(0,−2𝑘);求得𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(𝑥1,𝑦1+2𝑘),𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−𝑥1,−𝑦1),𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(𝑥2,𝑦2+2𝑘),𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−𝑥2,−𝑦2);因为𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =𝜆1𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ ,𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =𝜆2𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以{𝑥1=𝜆1(2−𝑥1)𝑥2=𝜆2(2−𝑥2);联立{𝑥25+𝑦2=1𝑦=𝑘𝑥−2𝑘,可得(1+5𝑘2)𝑥2−20𝑘2𝑥+(20𝑘2−5)=0,所以𝑥1+𝑥2=20𝑘21+5𝑘2，𝑥1𝑥2=20𝑘2−51+5𝑘2;所以𝜆1+𝜆2＝𝑥12−𝑥1+𝑥22−𝑥2=2(𝑥1+𝑥2−𝑥1𝑥2)4−2(𝑥1+𝑥2)+𝑥1𝑥2=2(20𝑘21+5𝑘2−20𝑘2−51+5𝑘2)4−40𝑘21+5𝑘2+20𝑘2−51+5𝑘2=－10.选C.

【备注】椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0),离心率𝑒=𝑐𝑎,𝑎2−𝑏2=𝑐2,焦点(𝑐,0).

12．抛物线𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝>0)的焦点为𝐹,已知点𝐴,𝐵为抛物线上的两个动点,且满足∠𝐴𝐹𝐵=120°.过弦𝐴𝐵的中点𝑀作抛物线准线的垂线𝑀𝑁,垂足为𝑁,则|𝐴𝐵||𝑀𝑁|的最小值为

A.√3 B.√33 C.1 D.2

【答案】A

【解析】本题考查抛物线的标准方程与几何性质.画出草图,如图所示,令|𝐴𝐹|=𝑎,|𝐵𝐹|=𝑏,由抛物线的定义得|𝐴𝑄|=|𝐴𝐹|=𝑎,|𝐵𝑃|=|𝐵𝐹|=𝑏;在直角梯形𝐴𝐵𝑃𝑄中,因为弦𝐴𝐵的中点为𝑀,所以2|𝑀𝑁|=|𝐴𝑄|+|𝐵𝑃|=𝑎+𝑏,即|𝑀𝑁|=𝑎+𝑏2;在∆𝐴𝐹𝐵中,∠𝐴𝐹𝐵=120°,由余弦定理得|𝐴𝐵|2=𝑎2+𝑏2−2𝑎𝑏cos120°=(𝑎+𝑏)2−𝑎𝑏;由基本不等式得𝑎𝑏≤(𝑎+𝑏)24,所以|𝐴𝐵|2≥3(𝑎+𝑏)24,即|𝐴𝐵|≥√32(𝑎+𝑏);所以|𝐴𝐵||𝑀𝑁|=|𝐴𝐵|𝑎+𝑏2≥√32(𝑎+𝑏)𝑎+𝑏2=√3.即|𝐴𝐵||𝑀𝑁|的最小值为√3.

二、填空题：共4题

13．设𝑎∈(0,π2],则当𝑓(𝑎)=∫(cos𝑥−sin2𝑥)d𝑥𝑎0取最大值时,则𝑎= .

【答案】π6

【解析】本题考查定积分,二倍角公式.由题意得𝑓(𝑎)=∫(cos𝑥−sin2𝑥)d𝑥𝑎0=(sin𝑥+12cos2𝑥)|𝑎0=(sin𝑎+12cos2𝑎)−(sin0+12cos0)=sin𝑎+12cos2𝑎−12=−sin2𝑎+sin𝑎=−(sin𝑎−12)2+14≤14;因为𝑎∈(0,π2],所以当𝑎=π6,𝑓(𝑎)取最大值14.所以𝑎=π6.

14．将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是__________.

【答案】96

【解析】本题考查排列组合.分给同一人的2张参观券连号有4种情况;再将参观券分给4人,共𝐴44=24种情况;所以不同的分法种数是4𝐴44=96.

15．定义在R上的函数𝑓(𝑥)满足𝑓(𝑥+2)=3𝑓(𝑥),当𝑥∈[0,2]时,𝑓(𝑥)=𝑥2−2𝑥,则𝑥∈[−4,−2]时,𝑓(𝑥)的最小值是 .

【答案】−19

【解析】本题考查函数的性质与最值.当𝑥∈[−2,0]时,𝑥+2∈[0,2],所以𝑓(𝑥)=13𝑓(𝑥+2)=(𝑥+2)2−2(𝑥+2)3=𝑥2+2𝑥3;当𝑥∈[−4,−2]时,𝑥+2∈[−2,0],所以𝑓(𝑥)=13𝑓(𝑥+2)=(𝑥+2)2+2(𝑥+2)9=𝑥2+6𝑥+89,其对称轴为𝑥=−3∈[−4,−2],所以𝑓(𝑥)𝑚𝑖𝑛=𝑓(−3)=9−18+89=−19

16．下列关于圆锥曲线的命题:其中真命题的序号____.(写出所有真命题的序号).

①设A,B为两个定点,若|PA|-|PB|=2,则动点P的轨迹为双曲线;

②设A,B为两个定点,若动点P满足|PA|=10-|PB|,且|AB|=6,则|PA|的最大值为8;

③方程2𝑥2−5𝑥+2=0的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率;

④双曲线𝑥225−𝑦29=1与椭圆𝑥2+𝑦235=1有相同的焦距.