2014-2015学年上海师大二附中高一(下)期中数学试卷(Word版含解析)

2014-2015学年上海师大二附中高二（下）期中数学试卷一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1．（3分）“直线l与平面α相交于点P”用集合语言表示为．2．（3分）倾斜角为且经过点P（1，﹣2）的直线l的方程为．3．（3分）等轴双曲线＝1（b＞0）的焦距为．4．（3分）已知圆柱的侧面积为3π，底面周长为2π，则它的体积为．5．（3分）用一个平面去截球所得的截面面积为2πcm2，已知球心到该截面的距离为1cm，则该球的体积为cm3．6．（3分）已知定点A（3，2），若点P为抛物线y2＝2x上的动点，则当P到抛物线的焦点F的距离|PF|与|P A|之和最小时，点P的坐标为．7．（3分）已知定点A（4，2）和圆（x+2）2+y2＝1上的动点B，则线段AB的中点P的轨迹方程为．8．（3分）已知F1、F2是双曲线x2﹣＝1（b＞0）的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，若∠PF1F2＝，则双曲线的渐近线方程为．9．（3分）不论a为何实数，直线ax+y+1＝0与椭圆+＝1总有公共点，则实数m的取值范围是．10．（3分）圆锥底面半径为3，母线长为12，B是母线P A的中点，则点A绕圆锥一周到达点B的最短距离为．11．（3分）设A、B、C、D是半径为1的球面上的四个不同点，且满足•＝0，•＝0，•＝0，用S1、S2、S3分别表示△ABC、△ACD、△ABD 的面积，则S1+S2+S3的最大值为．12．（3分）在棱长为6的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是A1B、CC1的中点，设过D、M、N三点的平面与B1C1交于点P，则PM+PN的值为．二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写选项，选对得3分，否则一律得零分.13．（3分）已知a、b为异面直线，若c∥a，则c与b的位置关系是（）A．相交B．异面C．平行D．相交或异面．14．（3分）若点P的坐标为（x0，y0），曲线C的方程为F（x，y）＝0，则“F （x0，y0）＝0”是“点P在曲线C上”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件15．（3分）若要做一个正六棱锥形的铁皮烟囱帽，底口边长为0.4m，高为0.5m，则下列各数中与所需要的铁皮面积数最接近的是（）A．0.73 m2B．1.62 m2C．1.78 m2D．2.63 m2．16．（3分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为1，E、F为线段B1D1的两个动点，且EF＝，给出下列四个命题：①AC⊥BE；②EF∥平面ABCD；③点B到平面AEF的距离为定值；④异面直线AE与BF所成的角为定值．其中真命题的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个．三、解答题（本大题满分52分）本大题共有6题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（6分）已知直线l：5x+2y+3＝0．（1）求直线：5x+2y﹣1＝0与直线l的距离；（2）求直线l2：3x+7y﹣13＝0与直线l的夹角的大小．18．（6分）如图，已知圆锥的轴截面SAB是等腰直角三角形，且该圆锥体积为π，求该圆锥的表面积．19．（8分）如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，P A＝AB＝2．（1）求该正四棱锥的体积V；（2）设E为侧棱PB的中点，求异面直线AE与PC所成角θ的大小．20．（8分）已知双曲线，P为C上的任意点．（1）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；（2）设点A的坐标为（3，0），求|P A|的最小值．21．（12分）如图，AB是圆柱OO′的一条母线，BC过底面圆心O，D是圆O＝2πrh＝100π．上一点．已知AB＝BC＝10，S侧（1）求该圆柱的表面积；（2）将四面体ABCD绕母线AB所在的直线旋转一周，求△ACD的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积；（3）求点B到平面ACD的距离．22．（12分）已知椭圆E经过点A（2，3），对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x 轴上，焦距与长轴长的比为．（1）求椭圆E的方程；（2）求∠F1AF2的角平分线所在直线l的方程；（3）在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由．2014-2015学年上海师大二附中高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1．（3分）“直线l与平面α相交于点P”用集合语言表示为l∩α＝P．【解答】解：直线l与平面α相交于点P，用集合语言表示为l∩α＝P；故答案为：l∩α＝P．2．（3分）倾斜角为且经过点P（1，﹣2）的直线l的方程为x+y+1＝0．【解答】解：斜率k＝＝﹣1．∴直线l的方程为y+2＝﹣（x﹣1），化为x+y+1＝0；故答案为：x+y+1＝0．3．（3分）等轴双曲线＝1（b＞0）的焦距为．【解答】解：由双曲线的标准方程知道b＝，c＝，∴该双曲线的焦距．故答案为：．4．（3分）已知圆柱的侧面积为3π，底面周长为2π，则它的体积为．【解答】解：由圆柱的侧面积为3π，底面周长为2π，故圆柱的高h＝，圆柱的底面半径r＝1，故圆柱的体积V＝πr2h＝；故答案为：．5．（3分）用一个平面去截球所得的截面面积为2πcm2，已知球心到该截面的距离为1cm，则该球的体积为4πcm3．【解答】解：用一平面去截球所得截面的面积为2πcm2，所以小圆的半径为：cm；已知球心到该截面的距离为1cm，所以球的半径为：＝所以球的体积为：＝4π（cm3）故答案为：4π．6．（3分）已知定点A（3，2），若点P为抛物线y2＝2x上的动点，则当P到抛物线的焦点F的距离|PF|与|P A|之和最小时，点P的坐标为（2，2）．【解答】解：由题意得F（，0），准线方程为x＝﹣，设点P到准线的距离为d＝|PM|，则由抛物线的定义得|P A|+|PF|＝|P A|+|PM|，故当P、A、M三点共线时，|P A|+|PF|取得最小值为|AM|＝3﹣（﹣）＝．把y＝2代入抛物线y2＝2x得x＝2，故点P的坐标是（2，2），故答案为：（2，2）．7．（3分）已知定点A（4，2）和圆（x+2）2+y2＝1上的动点B，则线段AB的中点P的轨迹方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1．【解答】解：设P（x，y），B（a，b）由A（4，2），P是AB的中点，故有a＝2x﹣4，b＝2y﹣2又B为圆（x+2）2+y2＝1上一动点，∴（2x﹣2）2+（2y﹣2）2＝4，整理得（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1．故AB的中点P的轨迹方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1．故答案为：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1．8．（3分）已知F1、F2是双曲线x2﹣＝1（b＞0）的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，若∠PF1F2＝，则双曲线的渐近线方程为．【解答】解：把x＝c代入双曲线x2﹣＝1，可得|y|＝|PF2|＝b2，Rt△PF1F2中，tan∠PF1F2 ＝＝tan30°＝，∴b＝，∴渐近线方程为．故答案为：．9．（3分）不论a为何实数，直线ax+y+1＝0与椭圆+＝1总有公共点，则实数m的取值范围是[1，4）∪（4，+∞）．【解答】解：直线ax+y+1＝0恒过点（0，﹣1），由直线ax+y+1＝0与椭圆+＝1恒有公共点，所以（0，﹣1）在椭圆上或椭圆内，∴0+≤1，∴m≥1，又∵椭圆+＝1，∴m＞0且m≠4．∴实数m的取值范围是[1，4）∪（4，+∞）．故答案为：[1，4）∪（4，+∞）．10．（3分）圆锥底面半径为3，母线长为12，B是母线P A的中点，则点A绕圆锥一周到达点B的最短距离为．【解答】解：圆锥的展开图为扇形，扇形的圆心角为，母线长为12，B是母线P A的中点，则点A绕圆锥一周到达点B的最短距离为展开图中AB ＝＝＝；故答案为：6．11．（3分）设A、B、C、D是半径为1的球面上的四个不同点，且满足•＝0，•＝0，•＝0，用S1、S2、S3分别表示△ABC、△ACD、△ABD 的面积，则S1+S2+S3的最大值为2．【解答】解：设AB＝a，AC＝b，AD＝c，因为AB，AC，AD两两互相垂直，扩展为长方体，它的对角线为球的直径，所以a2+b2+c2＝4R2＝4+S△ACD+S△ADB＝（ab+ac+bc）≤（a2+b2+c2）＝2所以S△ABC即最大值为：2故答案为：2．12．（3分）在棱长为6的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是A1B、CC1的中点，设过D、M、N三点的平面与B1C1交于点P，则PM+PN的值为5+．【解答】解：延长D1C1，在D1C1的延长线上取点E，使C1E为6，延长D1A1，在D1A1的延长线上取点Q，使A1D为2，连结DQ，交AA1于R，连结EQ，交A1B1于M，交B1C1于P，连结PN，MR．∵NC1∥DD1，∴＝，∵PC1∥QD1，∴，∴PN∥DR，∴D，R，Q，M，P，N，E共面，又PN⊂平面BB1C1C，∴D，M，N点的平面与平面BB1C1C的交线为PN．同理，MR∥DN，∴D，R，Q，M，P，N，E共面，又MR⊂平面AA1B1B，∴过D，M，N点的平面与平面BB1C1C的交线为MR．∴过D，M，N三点的平面是△DQE，且PC1＝4，PB1＝2，C1N＝B1M＝3，∴PM+PN＝+5故答案为5+．二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写选项，选对得3分，否则一律得零分.13．（3分）已知a、b为异面直线，若c∥a，则c与b的位置关系是（）A．相交B．异面C．平行D．相交或异面．【解答】解：由a、b是异面直线，直线c∥a知c与b的位置关系是异面或相交，故选：D．14．（3分）若点P的坐标为（x0，y0），曲线C的方程为F（x，y）＝0，则“F （x0，y0）＝0”是“点P在曲线C上”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：由“F（x0，y0）＝0”可得点P（x0，y0）的坐标满足曲线F（x，y）＝0的方程，故“点P（x0，y0）在曲线F（x，y）＝0上”，故充分性成立．由“点P（x0，y0）在曲线F（x，y）＝0上”可得点P（x0，y0）的坐标满足曲线F（x，y）＝0的方程，故有“F（x0，y0）＝0”，故必要性成立．综上可得，“F（x0，y0）＝0”是“点P（x0，y0）在曲线C上”的充要条件，故选：C．15．（3分）若要做一个正六棱锥形的铁皮烟囱帽，底口边长为0.4m，高为0.5m，则下列各数中与所需要的铁皮面积数最接近的是（）A．0.73 m2B．1.62 m2C．1.78 m2D．2.63 m2．【解答】解：由题意，侧面三角形的高为＝，∴正六棱锥形的表面积为6×≈0.73m2．故选：A．16．（3分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为1，E、F为线段B1D1的两个动点，且EF＝，给出下列四个命题：①AC⊥BE；②EF∥平面ABCD；③点B到平面AEF的距离为定值；④异面直线AE与BF所成的角为定值．其中真命题的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个．【解答】解：①AC⊥BE，由题意及图形知，AC⊥面DD1B1B，故可得出AC⊥BE，此命题正确；②EF∥平面ABCD，由正方体ABCD﹣A1B1C1D1的两个底面平行，EF在其一面上，故EF与平面ABCD无公共点，故有EF∥平面ABCD，此命题正确；③三棱锥A﹣BEF的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到面DD1B1B距离是定值，故可得三棱锥A﹣BEF的体积为定值，又由△AEF的面积为定值，可得点B到平面AEF的距离为定值，此命题正确；④异面直线AE、BF所成的角为定值，由图知，当F与B1重合时，令上底面顶点为O，则此时两异面直线所成的角是∠A1AO，当E与D1重合时，此时点F 与O重合，则两异面直线所成的角是OBC1，此二角不相等，故异面直线AE、BF所成的角不为定值．综上知①②③正确故选：B．三、解答题（本大题满分52分）本大题共有6题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（6分）已知直线l：5x+2y+3＝0．（1）求直线：5x+2y﹣1＝0与直线l的距离；（2）求直线l2：3x+7y﹣13＝0与直线l的夹角的大小．【解答】解：（1）因为l1∥l，所以l1与l的距离为；…（3分）（2）直线l2与直线l的夹角的余弦值为，因为，所以，即直线l2与直线l的夹角的大小为．…（6分）18．（6分）如图，已知圆锥的轴截面SAB是等腰直角三角形，且该圆锥体积为π，求该圆锥的表面积．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高也为r．由，得：r＝2，故母线长．…（2分）圆锥的底面积，…（3分）圆锥的侧面积，…（5分）故圆锥的表面积．…（6分）19．（8分）如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，P A＝AB＝2．（1）求该正四棱锥的体积V；（2）设E为侧棱PB的中点，求异面直线AE与PC所成角θ的大小．【解答】解：（1）设O为底面正方形ABCD中心，则PO为该正四棱锥的高正方形ABCD中，，∴Rt△POA中，，…（4分）所以正四棱锥的体积为：．…（6分）（2）设F为BC中点，连接EF、AF，∵△PBC中，EF是中位线，∴EF∥PC由此可得：异面直线AE与PC所成角θ等于AE、EC所成的锐角或直角…（8分）等边三角形P AB中，边长为2，所以，△PBC中，EF＝PC＝1，Rt△ABE中，AF＝＝，…（3分）∴△AEF中，．…（10分）所以，异面直线AE与PC所成角．…（12分）20．（8分）已知双曲线，P为C上的任意点．（1）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；（2）设点A的坐标为（3，0），求|P A|的最小值．【解答】解：（1）设P（x1，y1）是双曲线上任意一点，该双曲的两条渐近线方程分别是x﹣2y＝0和x+2y＝0．点P（x1，y1）到两条渐近线的距离分别是和，它们的乘积是•．点P到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数．（2）设P的坐标为（x，y），则|P A|2＝（x﹣3）2+y2＝＝∵|x|≥2，∴当时，|P A|2的最小值为，即|P A|的最小值为．21．（12分）如图，AB是圆柱OO′的一条母线，BC过底面圆心O，D是圆O＝2πrh＝100π．上一点．已知AB＝BC＝10，S侧（1）求该圆柱的表面积；（2）将四面体ABCD绕母线AB所在的直线旋转一周，求△ACD的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积；（3）求点B到平面ACD的距离．【解答】解：（1）圆柱的底面半径r＝5，高h＝10，圆柱的侧面积S＝2πrh＝100π，…（2分）侧圆柱的表面积．…（3分）（2）由题意可知BD＝8．△ACD的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积是分别以AC、AD为母线的圆锥的体积之差，即．…（7分）（3）由AB ⊥平面BCD ，得AB ⊥CD ，而CD ⊥BD ，AB ∩BD ＝B ，则CD ⊥平面ABD ，故CD ⊥AD ．…（8分）而AD ＝2，所以Rt △ACD 的面积为S ＝＝6．…（9分）设点B 到平面ACD 的距离为h ，由V A ﹣BCD ＝V B ﹣ACD ，得：h ＝， 即点B 到平面ACD 的距离为．…（12分）22．（12分）已知椭圆E 经过点A （2，3），对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，焦距与长轴长的比为．（1）求椭圆E 的方程；（2）求∠F 1AF 2的角平分线所在直线l 的方程；（3）在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）设椭圆E 的方程为（a ＞b ＞0）， 由，得：a ＝2c ，∴b 2＝a 2﹣c 2＝3c 2， ∴椭圆方程具有形式． 将A （2，3）代入上式，得：，解得：c ＝2，∴椭圆E 的方程为；（2）解：由（1）知F 1（﹣2，0），F 2（2，0），∴直线AF1的方程为3x﹣4y+6＝0，直线AF2的方程为x＝2．由点A在椭圆E上的位置知，直线l的斜率为正数．设点P（x，y）为直线l上任意一点，则，化简得：x+2y﹣8＝0（斜率为负，舍）或2x﹣y﹣1＝0．∴∠F1AF2的角平分线所在直线l的方程为2x﹣y﹣1＝0；（3）假设存在B（x1，y1），C（x2，y2）两点关于直线l对称，则l⊥BC，∴设直线BC的方程为，代入椭圆E的方程，得：x2﹣mx+m2﹣12＝0．由△＝m2﹣4（m2﹣12）＞0，得：m∈（﹣4，4）．由根与系数的关系，得：x1+x2＝m，于是，∴线段BC的中点坐标为．又线段BC的中点在直线2x﹣y﹣1＝0上，∴，解得：m＝4∉（﹣4，4），∴不存在满足题设条件的相异两点．。

2014-2015学年上海市复旦附中高一（下）期中数学试卷一、填空题（每题4分，共48分）1．（4分）已知角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的正半轴上，其终边上有一点P（5，﹣12），则secα=．2．（4分）已知扇形的圆心角为2弧度，面积为9cm2，则该扇形的弧长为cm．3．（4分）若cosα=﹣，则=．4．（4分）若cosα=﹣，，则=．5．（4分）已知等腰三角形顶角的余弦值为，则这个三角形底角的正切值为．6．（4分）函数的单调递减区间为．7．（4分）函数的定义域为．8．（4分）函数y=的值域为．9．（4分）在△ABC，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=，则角B=．10．（4分）若动直线x=a与函数f（x）=sinx和g（x）=cosx的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为．11．（4分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则该函数的解析式为f（x）=．12．（4分）为了使函数y=sinωx（ω＞0）在区间[0，1]上仅出现10次最大值，则ω的取值范围是．二、选择题（每题5分，共20分）13．（5分）下列函数中，既是奇函数，又是以π为周期的函数是（）A．y=x3tanx B．y=|sinx|C．y=﹣2sinxcosx D．y=tan|x|14．（5分）在△ABC中，下列命题中，真命题的个数为（）①∠A＞∠B是sinA＞sinB的充要条件；②∠A＞∠B是cosA＜cosB的充要条件；③∠A＞∠B是tanA＞tanB的充要条件；④∠A＞∠B是cotA＜cotB的充要条件．A．1B．2C．3D．415．（5分）要得到y=cos（2x﹣）的图象，只要将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位16．（5分）已知a是实数，则函数f（x）=1+asinax的图象不可能是（）A．B．C．D．三、解答题（共5题，共计52分）17．（8分）作出函数y=tanx+sinx﹣|tanx﹣sinx|，的图象，并写出函数的单调区间（不必证明）18．（10分）已知，求下列各式的值：（1）；（2）sin2α﹣2cos2α．19．（10分）已知函数f（x）=1﹣cos2（x﹣），g（x）=1+sin2x．（1）设x=x0是函数y=f（x）图象的一条对称轴，求g（x0）的值；（2）求函数h（x）=f（x）+g（x）在上的值域．20．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=2，．（1）若△ABC的面积为，求a，b；（2）若sinC+sin（B﹣A）=sin2A，求a，b．21．（12分）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（1+x）=f（1﹣x）对任意的x∈R恒成立，且当x∈[0，1]时，f（x）=x2．（1）求证：f（x）是以2为周期的函数（不需要证明2是f（x）的最小正周期）；（2）对于整数k，当x∈[2k﹣1，2k+1]时，求函数f（x）的解析式；（3）对于整数k，记M k={a|f（x）=ax在x∈[2k﹣1，2x+1]有两个不等的实数根}，求集合M2015．2014-2015学年上海市复旦附中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题4分，共48分）1．（4分）已知角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的正半轴上，其终边上有一点P（5，﹣12），则secα=．【解答】解：由题意可得x=5，y=﹣12，r=|OP|=13，∴cosα==，∴secα=．故答案为：．2．（4分）已知扇形的圆心角为2弧度，面积为9cm2，则该扇形的弧长为6cm．【解答】解：设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，扇形的面积为S，则：r2===9．解得r=3∴扇形的弧长为l=rα=3×2=6l=rα=3×2=6cm．故答案为：6．3．（4分）若cosα=﹣，则=．【解答】解：∵cosα=﹣，则=﹣cosα=，故答案为：．4．（4分）若cosα=﹣，，则=﹣．【解答】解：∵cosα=﹣，，∴sinα==，∴=cosαcos+sinαsin==﹣故答案为：﹣．5．（4分）已知等腰三角形顶角的余弦值为，则这个三角形底角的正切值为．【解答】解：设等腰三角形顶角为α，则这个三角形底角为=﹣，且cosα=﹣，∴α为钝角．再根据cosα=﹣=2﹣1，求得cos=，∴sin=，tan=，∴这个三角形底角的正切值为tan（﹣）=cot==，故答案为：．6．（4分）函数的单调递减区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．【解答】解：由题意可得：y=sin（﹣2x）=﹣sin（2x﹣），由正弦函数的单调性可知y=sin（2x﹣）的单调增区间为[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z即[kπ﹣，kπ+]，k∈Z所以y=sin（﹣2x）=﹣sin（2x﹣）的减区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，故答案为：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．7．（4分）函数的定义域为[﹣4，﹣π）∪（0，π）．【解答】解：∵函数，∴，解得，即﹣4≤x＜﹣π或0＜x＜π；∴y的定义域为[﹣4，﹣π）∪（0，π）．故答案为：[﹣4，﹣π）∪（0，π）．8．（4分）函数y=的值域为（﹣∞，]∪[3，+∞）．【解答】解法一：原函数变形为，∵|cosx|≤1，可直接得到：y≥3或．则函数的值域为（﹣∞，]∪[3，+∞）．解法一：原函数变形为，∵|cosx|≤1，∴，∴y≥3或．则函数的值域为（﹣∞，]∪[3，+∞）．故答案为：（﹣∞，]∪[3，+∞）．9．（4分）在△ABC，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=，则角B=．【解答】解：∵在△ABC，=，由正弦定理===2R得：=，∴=，∴sinBcosC=2sinAcosB﹣sinCcosB，∴sin（B+C）=2sinAcosB，又在△ABC，B+C=π﹣A，∴sin（B+C）=sinA≠0，∴cosB=，又B∈（0，π），∴B=．故答案为：．10．（4分）若动直线x=a与函数f（x）=sinx和g（x）=cosx的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为．【解答】解：设x=a与f（x）=sinx的交点为M（a，y1），x=a与g（x）=cosx的交点为N（a，y2），则|MN|=|y1﹣y2|=|sina﹣cosa|=|sin（a﹣）|≤．故答案为：．11．（4分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则该函数的解析式为f（x）=4sin（x﹣）．【解答】解：由图象知A=4，T=2[4﹣（﹣2）]=12，则T==12，即ω=，则f（x）=4sin（x+φ），由五点对应法得×4+φ=0，即φ=﹣，故f（x）=4sin（x﹣），故答案为：f（x）=4sin（x﹣）．12．（4分）为了使函数y=sinωx（ω＞0）在区间[0，1]上仅出现10次最大值，则ω的取值范围是[，）．【解答】解：若函数y=sinωx（ω＞0）在区间[0，1]上仅出现10次最大值，则满足9T+≤1，且10T+＞1，即T且T＞，即＜T≤，＜≤，解得≤ω＜，故答案为：[，），二、选择题（每题5分，共20分）13．（5分）下列函数中，既是奇函数，又是以π为周期的函数是（）A．y=x3tanx B．y=|sinx|C．y=﹣2sinxcosx D．y=tan|x|【解答】解：由于y=x3tanx为偶函数，故排除A；由于y=|sinx|是偶函数，故排除B；由于y=﹣2sinxcosx=﹣sin2x是奇函数，且还是以π为周期的函数，故满足条件；由于y=tan|x|是偶函数，故排除D，故选：C．14．（5分）在△ABC中，下列命题中，真命题的个数为（）①∠A＞∠B是sinA＞sinB的充要条件；②∠A＞∠B是cosA＜cosB的充要条件；③∠A＞∠B是tanA＞tanB的充要条件；④∠A＞∠B是cotA＜cotB的充要条件．A．1B．2C．3D．4【解答】解：①∠A＞∠B⇔a＞b⇔sinA＞sinB，故①∠A＞∠B是sinA＞sinB的充要条件成立，故①正确，；②y=cosx在（0，π）上为减函数，∴∠A＞∠B⇒cosA＜cosB，反之也成立，故②正确；③若∠A=120°，∠B=45°，满足∠A＞∠B，但tanA＞tanB不成立，即充分性不成立，故③错误；④y=cotx在（0，π）上为减函数，∴∠A＞∠B⇒cotA＜cotB，反之也成立，故④正确；故真命题的个数为3，故选：C．15．（5分）要得到y=cos（2x﹣）的图象，只要将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【解答】解：∵y=cos（2x﹣）=sin[（2x﹣）+]=sin（2x+），∴若函数y=sin2x=f（x），则函数g（x）=sin（2x+）=sin[2（x+）]=f（x+）．因此，将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，可得y=sin（2x+）的图象，即函数y=sin2x的图象向左平移个单位，得到y=cos（2x﹣）的图象．故选：A．16．（5分）已知a是实数，则函数f（x）=1+asinax的图象不可能是（）A．B．C．D．【解答】解：对于振幅大于1时，三角函数的周期为：，∵|a|＞1，∴T＜2π，而D不符合要求，它的振幅大于1，但周期小于2π．对于选项A，a＜1，T＞2π，满足函数与图象的对应关系，故选：D．三、解答题（共5题，共计52分）17．（8分）作出函数y=tanx+sinx﹣|tanx﹣sinx|，的图象，并写出函数的单调区间（不必证明）【解答】解：作函数y=tanx+sinx﹣|tanx﹣sinx|，的图象如下，结合图象可知，函数y=tanx+sinx﹣|tanx﹣sinx|在（，π）上单调递增，在（π，）上单调递减．18．（10分）已知，求下列各式的值：（1）；（2）sin2α﹣2cos2α．【解答】解：∵由=3得tanα=，于是：（1）====3；（2）sin2α﹣2cos2α=2sinαcosα﹣2cos2α===﹣．19．（10分）已知函数f（x）=1﹣cos2（x﹣），g（x）=1+sin2x．（1）设x=x0是函数y=f（x）图象的一条对称轴，求g（x0）的值；（2）求函数h（x）=f（x）+g（x）在上的值域．【解答】解：（1）f（x）=cos2（x+）=+，由2x+=kπ，k∈Z得所以函数的对称轴为x=﹣，k∈Z．因为x=x0是函数y=f（x）图象的一条对称轴，所以x0=﹣，k∈Z．所以g（x0）=1+sin2（﹣）=1+sin（kπ﹣），若k是偶数，则g（x0）=1+sin（﹣）=，若k是奇数，则g（x0）=1+sin（）=．（2）h（x）=f（x）+g（x）=+cos（2x）+1+sin2x=+sin（2x+）．因为，所以：2x+∈（﹣，），sin（2x+）∈[﹣1，），所以：h（x）∈[1，）．20．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=2，．（1）若△ABC的面积为，求a，b；（2）若sinC+sin（B﹣A）=sin2A，求a，b．【解答】解：（1）∵c=2，．∴由余弦定理可得：4=a2+b2﹣ab，①∵△ABC的面积为=absinC=ab，解得：ab=4，②∴②代入①可得：a2+b2=8，从而（a+b）2=a2+b2+2ab=16，解得：a+b=4，③∴由②③可解得：b=2，a=2．（2）∵sinC+sin（B﹣A）=sin2A，sinC=sin（A+B）∴sinAcosB+cosAsinB+sinBcosA﹣cosBsinA=2sinAcosA，整理可得：cosA（sinB﹣sinA）=0，∴可得：cosA=0或sinB=sinA，∴当cosA=0时，由0＜A＜π，可得A=，又c=2，，可得：b=，a=，当sinB=sinA时，由正弦定理可得：a=b，又c=2，，由余弦定理可得：4=2a2﹣a2，解得：a=b=2．21．（12分）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（1+x）=f（1﹣x）对任意的x∈R恒成立，且当x∈[0，1]时，f（x）=x2．（1）求证：f（x）是以2为周期的函数（不需要证明2是f（x）的最小正周期）；（2）对于整数k，当x∈[2k﹣1，2k+1]时，求函数f（x）的解析式；（3）对于整数k，记M k={a|f（x）=ax在x∈[2k﹣1，2x+1]有两个不等的实数根}，求集合M2015．【解答】解：（1）因为f（x+2）=f[（x+1）+1]=﹣f（x+1）=﹣[﹣f（x）]=f（x）所以：f（x）是以2为周期的函数；（2）∵当x∈[0，1]时，f（x）=x2，函数f（x）是定义在R上的偶函数∴当x∈[﹣1，0]时，f（x）=x2，∴x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，∵f（x）是以2为周期的函数，即f（x﹣2k）=f（x），k∈Z设x∈[2k﹣1，2k+1]，则x﹣2k∈[﹣1，1]，∴f（x﹣2k）=（x﹣2k）2，即f（x）=（x﹣2k）2，x∈[2k﹣1，2k+1]（k∈Z），（3）当k∈N*，且x∈I k时，方程f（x）=ax化简为x2﹣（4k+a）x+k2=0，设g（x）=x2﹣（4k+a）x+k2，使方程f（x）=ax在I k上有两个不相等的实数根，则，解得0＜a≤，当k=2015时，∴集合M2015=（0，]。

2 11、设 a R ，若 x 0 时，均有 a 1 x 1 x ax 1 0 成立，则实数 a 的取值集合为
_________.
3 【答案】 2
3 3 【解析】可以取特殊值 x 2 代入，得 a 0 ，所以 a ，存在且唯一. 2 2
a 2 0 ，解之 2 a 2 ；综合①②，则实数 a 的取值范围为 2, 2. 0
1 8、若关于 x 不等式 ax 2 bx c 0 的解集为 , 2 , ，则关于 x 不等式 2 2 cx bx a 0 的解集为_______. 1 【答案】 , 2 ; 2 1 【解析】由不等式 ax 2 bx c 0 的解集为 , 2 , ，可得 2 5 1 ax 2 bx c a x x 2 0 a 0 ，所以 b a ， c a ，所以 cx 2 bx a 0 可转化 2 2
k2 k 4 ； k 2
k2 k 4 ；（2） 0,3 ； k 2
x 1 2x 4 1 k x 1 k 2 2 x 4 ，即有 k 2 x k 2 k 4 ，所以 k k2
①当 k 2 时，不等式的解为 R ； ②当 k 2 时，不等式的解为 x
k 5n k n Z， k 0,1, 2,3, 4 .给出下列四个结论：
① 2015 0 ；② 3 3 ；③ Z 0 1 2 3 4；④“整数 a, b 属于同一‘类’ ” 的充要条件是“ a b 0”.其中，正确结论的个数是_______. 【答案】3 个； 【解析】①正确，由于 2015 能够被 5 整除；②错误， 3 1 5 2 ，故 3 2；③正确，

2014-2015学年青海师大二附中高一（下）期中数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符是合题目要求的．）1．在一个△ABC中，若a=2，b=2，A=30°，那么B等于( )A．60°B．60°或120°C．30°D．30°或150°2．已知{a n}为等差数列，且a7﹣2a4=﹣1，a3=0，则公差d=( )A．﹣2 B．﹣C．D．23．在△ABC中，已知，则∠C=( )A．30°B．150°C．45°D．135°4．数列{a n}的前n项和为S n，若，则S5=( )A．1 B．C．D．5．设0＜b＜a＜1，则下列不等式成立的是( )A．ab＜b2＜1 B．C．2b＜2a＜2 D．a2＜ab＜16．不等式（1﹣x）（2+x）＞0的解集为( )A．（﹣2，1）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D．（﹣1，2）7．已知x＞2，则x+的最小值为( )A．6 B．4 C．3 D．28．对任意的实数x，不等式mx2﹣mx﹣1＜0恒成立，则实数m的取值范围是( ) A．（﹣4，0）B．（﹣4，0]C．[﹣4，0]D．[﹣4，0）9．已知非负实数x、y满足2x+3y﹣8≤0且3x+2y﹣7≤0，则x+y的最大值是( ) A．B．C．3 D．210．不等式组表示的区域为D，点P （0，﹣2），Q （0，0），则( )A．P∉D，且Q∉D B．P∉D，且Q∈D C．P∈D，且Q∉D D．P∈D，且Q∈D 11．设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则+的最小值为( )A．4 B．6 C．2D．212．若关于x的方程x2+ax+a2﹣1=0有一正根和一负根，则实数a的取值范围是( ) A．﹣＜a＜﹣1 B．﹣2＜a＜2 C．﹣1＜a＜1 D．1＜a＜二、填空题：（该题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．）13．a克糖水中含有b克塘（a＞b＞0），若在糖水中加入x克糖，则糖水变甜了．试根据这个事实提炼出一个不等式：__________．14．若S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2+a5=0，则S6：S3=__________．15．已知点P（x，y）的坐标x，y满足，则x2+y2﹣4x的最大值是__________．16．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，则下列命题正确的是__________（写出所有正确命题的编号）．①若ab＞c2，则C＜②若a+b＞2c，则C＜③若a3+b3=c3，则C＜④若（a+b）c＜2ab，则C＞⑤若（a2+b2）c2＜2a2b2，则C＞．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求cosA+sinC的取值范围．18．（Ⅰ）比较x2+y2+1与2（x+y﹣1）的大小；（Ⅱ）已知a，b∈R+，求证：（a+b）（a2+b2）（a3+b3）≥8a3b3．19．已知数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2=，n∈N*．（1）令b n=a n+1﹣a n，证明：{b n}是等比数列；（2）求{a n}的通项公式．20．（1）已知集合A={x|x2﹣x﹣6＞0}，B={x|0＜x+a＜4}，若A∩B=∅，求实数a的取值范围；（2）已知f（x）=﹣3x2+a（6﹣a）x+b．当不等式f（x）＞0的解集为（﹣1，3）时，求实数a，b的值．21．本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？22．若S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列．（1）求等比数列S1，S2，S4的公比；（2）若S2=4，求{a n}的通项公式；（3）设，T n是数列{b n}的前n项和，求使得对所有n∈N*都成立的最小正整数m．2014-2015学年青海师大二附中高一（下）期中数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符是合题目要求的．）1．在一个△ABC中，若a=2，b=2，A=30°，那么B等于( )A．60°B．60°或120°C．30°D．30°或150°考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：将已知代入正弦定理即可直接求值．解答：解：由正弦定理可得：sinB===．∵0＜B＜180°，∴B=60°或120°，故选：B．点评：本题主要考查了正弦定理的简单应用，属于基本知识的考查．2．已知{a n}为等差数列，且a7﹣2a4=﹣1，a3=0，则公差d=( )A．﹣2 B．﹣C．D．2考点：等差数列．专题：计算题；方程思想．分析：利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，求解即可．解答：解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由等差数列的通项公式以及已知条件得，即，解得d=﹣，故选B．点评：本题考查了等差数列的通项公式，熟记公式是解题的关键，同时注意方程思想的应用．3．在△ABC中，已知，则∠C=( )A．30°B．150°C．45°D．135°考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：利用余弦定理表示出cosC，将已知等式变形后代入求出cosC的值，即可确定出C的度数．解答：解：∵a2+b2=c2+ba，即a2+b2﹣c2=ab，∴由余弦定理得：cosC==，∴∠C=45°．故选：C．点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．4．数列{a n}的前n项和为S n，若，则S5=( )A．1 B．C．D．考点：数列的求和．专题：计算题．分析：由=，利用裂项求和法能求出S5．解答：解：∵=，∴S5=a1+a2+a3+a4+a5==1﹣=．故选D．点评：本题考查数列前n项和的求法，是基础题．解题是要认真审题，注意裂项求法的灵活运用．5．设0＜b＜a＜1，则下列不等式成立的是( )A．ab＜b2＜1 B．C．2b＜2a＜2 D．a2＜ab＜1考点：基本不等式．专题：分析法．分析：首先对于这类选择题可以通过排除分析法作答．对于条件0＜b＜a＜1，然后根据基本不等式，各种函数的单调性的知识一个一个选项排除，即可得到答案．解答：解：对于A：ab＜b2＜1，因为0＜b＜a＜1，则乘以b不变号，即b2＜ab．故A错误．对于B：可直接根据对数函数在的单调性判断B错误．对于C：因为y=2x是单调递增函数，且0＜b＜a＜1，所以2b＜2a＜21，即2b＜2a＜2．故C 正确．对于D：因为0＜b＜a＜1，则乘以a不变号，即ab＜a2．故D错误．所以答案选C．点评：此题主要考查基本不等式的应用，其中涉及到函数单调性和函数在区间值域的知识．属于综合性的问题，需要一个一个选项去分析排除．此外这类题容易出错，做题时切忌谨慎．6．不等式（1﹣x）（2+x）＞0的解集为( )A．（﹣2，1）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D．（﹣1，2）考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：根据一元二次不等式的解集与方程根的关系，结合二次函数可得不等式的解集解答：解：不等式（1﹣x）（2+x）＞0，∴不等式（x﹣1）（x+2）＜0，∴方程（x﹣1）（x+2）=0的两根为﹣2，1，∴不等式（1﹣x）（2+x）＞0的解集为（﹣2，1），故选：A．点评：本题考查了一元二次不等式的解法，利用了因式分解法，找到与对应方程和二次函数的关系容易得到；属于基础题7．已知x＞2，则x+的最小值为( )A．6 B．4 C．3 D．2考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意可得x﹣2＞0，可得x+=x﹣2++2，由基本不等式可得．解答：解：∵x＞2，∴x﹣2＞0，∴x+=x﹣2++2，≥2+2=6，当且仅当x﹣2=即x=4时，x+取最小值6，故选：A．点评：本题考查基本不等式求最值，凑出可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属基础题．8．对任意的实数x，不等式mx2﹣mx﹣1＜0恒成立，则实数m的取值范围是( ) A．（﹣4，0）B．（﹣4，0]C．[﹣4，0]D．[﹣4，0）考点：函数恒成立问题．专题：计算题．分析：当m=0时，不等式显然成立；当m≠0时，根据二次函数图象的性质得到m的取值范围．两者取并集即可得到m的取值范围．解答：解：当m=0时，mx2﹣mx﹣1=﹣1＜0，不等式成立；设y=mx2﹣mx﹣1，当m≠0时函数y为二次函数，y要恒小于0，抛物线开口向下且与x轴没有交点，即要m＜0且△＜0得到：解得﹣4＜m＜0．综上得到﹣4＜m≤0．故选B．点评：本题以不等式恒成立为平台，考查学生会求一元二次不等式的解集．同时要求学生把二次函数的图象性质与一元二次不等式结合起来解决数学问题．9．已知非负实数x、y满足2x+3y﹣8≤0且3x+2y﹣7≤0，则x+y的最大值是( )A．B．C．3 D．2考点：简单线性规划．专题：数形结合．分析：①画可行域②z为目标函数纵截距③画直线0=x+y，平移直线过（1，2）时z有最大值解答：解：画可行域如图，z为目标函数z=x+y，可看成是直线z=x+y的纵截距，画直线0=x+y，平移直线过A（1，2）点时z有最大值3．故选C．点评：本题考查线性规划问题，难度较小．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．10．不等式组表示的区域为D，点P （0，﹣2），Q （0，0），则( )A．P∉D，且Q∉D B．P∉D，且Q∈D C．P∈D，且Q∉D D．P∈D，且Q∈D考点：二元一次不等式（组）与平面区域；元素与集合关系的判断．专题：综合题．分析：将两个点的坐标分别代入不等式组，判断点的坐标是否满足不等式组，若满足则点在区域内；若不满足说明点不在区域内．解答：解：将P的坐标代入不等式组得所以P的坐标满足不等式组，即P在区域D内同样将Q的坐标代入不等式组得，所以Q的坐标不满足不等式组，即Q不在区域D内故选C点评：本题考查判断点是否在区域内，只要判断点的坐标是否满足区域对应的不等式组即可．也可以画出区域及点，再判断点与区域的位置关系．11．设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则+的最小值为( )A．4 B．6 C．2D．2考点：基本不等式；等比数列的通项公式．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意易得正数a、b满足a+b=1，进而可得+=（+）（a+b）=2++，由基本不等式求最值可得．解答：解：a＞0，b＞0，是3a与3b的等比中项，∴3=3a•3b=3a+b，∴a+b=1，∴+=（+）（a+b）=2++≥2+2=4，当且仅当=即a=b=时取等号，故选：A．点评：本题考查基本不等式求最值，涉及等比数列的性质，属基础题．12．若关于x的方程x2+ax+a2﹣1=0有一正根和一负根，则实数a的取值范围是( ) A．﹣＜a＜﹣1 B．﹣2＜a＜2 C．﹣1＜a＜1 D．1＜a＜考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得△=a2﹣4（a2﹣1）＞0，且两根之积a2﹣1＜0，由此求得a的范围．解答：解：由题意可得△=a2﹣4（a2﹣1）＞0，且两根之积a2﹣1＜0，求得﹣1＜a＜1，故选：C．点评：本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，属于基础题．二、填空题：（该题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．）13．a克糖水中含有b克塘（a＞b＞0），若在糖水中加入x克糖，则糖水变甜了．试根据这个事实提炼出一个不等式：（a＞b＞0）．考点：不等关系与不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用糖水的浓度可得（a＞b＞0）即可．解答：解：由a克糖水中含有b克塘（a＞b＞0）可得糖水的浓度为；在糖水中加入x克糖，可得糖水的浓度为．∵糖水变甜了，于是可得＞；化为（a＞b＞0）．故答案为（a＞b＞0）．点评：本题考查了溶液的浓度，属于基础题．14．若S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2+a5=0，则S6：S3=﹣7．考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：根据等比数列的通项公式以及前n项和公式进行求解即可．解答：解：由8a2+a5=0得a5=﹣8a2，即，∴q=﹣2，则===1+q3=1﹣8=﹣7，故答案为：﹣7．点评：本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式的应用，根据条件求出公比是解决本题的关键．15．已知点P（x，y）的坐标x，y满足，则x2+y2﹣4x的最大值是12．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值Z=x2+y2﹣4x的最大表示动点到定点（2，0）点的距离的平方有关，只需求出可行域内的动点到该点的距离最大值即可．解答：解：作出可行域，如图：令z=x2+y2﹣4x=（x﹣2）2+y2﹣4，∵（x﹣2）2+y2所表示的几何意义是动点到定点（2，0）的距离的平方，作出可行域：易知当为A点时取得目标函数的最大值，可知A点的坐标为（﹣2，0），代入目标函数中，可得z max=12．故答案为：12．点评：本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与原点之间的距离问题．16．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，则下列命题正确的是①②③（写出所有正确命题的编号）．①若ab＞c2，则C＜②若a+b＞2c，则C＜③若a3+b3=c3，则C＜④若（a+b）c＜2ab，则C＞⑤若（a2+b2）c2＜2a2b2，则C＞．考点：命题的真假判断与应用；余弦定理的应用．专题：证明题；压轴题．分析：①利用余弦定理，将c2放大为ab，再结合均值定理即可证明cosC＞，从而证明C ＜；②利用余弦定理，将c2放大为（）2，再结合均值定理即可证明cosC＞，从而证明C＜；③利用反证法，假设C≥时，推出与题设矛盾，即可证明此命题正确；④⑤只需举反例即可证明其为假命题，可举符合条件的等边三角形解答：解：①ab＞c2⇒cosC=＞=⇒C＜，故①正确；②a+b＞2c⇒cosC=＞=≥=⇒C＜，故②正确；③当C≥时，c2≥a2+b2⇒c3≥ca2+cb2＞a3+b3与a3+b3=c3矛盾，故③正确；④举出反例：取a=b=c=2，满足（a+b）c≤2ab得：C=＜，故④错误；⑤举出反例：取a=b=c=，满足（a2+b2）c2≤2a2b2，此时有C=，故⑤错误故答案为①②③点评：本题主要考查了解三角形的知识，放缩法证明不等式的技巧，反证法和举反例法证明不等式，有一定的难度，属中档题三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求cosA+sinC的取值范围．考点：正弦定理；正弦函数的定义域和值域．专题：计算题．分析：（1）先利用正弦定理求得sinB的值，进而求得B．（2）把（1）中求得B代入cosA+sinC中利用两角和公式化简整理，进而根据A的范围和正弦函数的性质求得cosA+sinC的取值范围．解答：解：（Ⅰ）由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以，由△ABC为锐角三角形得．（Ⅱ）===．由△ABC为锐角三角形知，0＜A＜，，所以．由此有≤，所以，cosA+sinC的取值范围为（，]．点评：本题主要考查了正弦定理得应用和三角函数中两角和公式的运用．涉及了正弦函数的性质，考查了学生对三角函数知识的把握．18．（Ⅰ）比较x2+y2+1与2（x+y﹣1）的大小；（Ⅱ）已知a，b∈R+，求证：（a+b）（a2+b2）（a3+b3）≥8a3b3．考点：不等式比较大小．专题：不等式．分析：（Ⅰ）作差配方即可比较出大小；（Ⅱ）利用基本不等式即可得到结论．解答：解：（Ⅰ）x2+y2+1﹣2（x+y﹣1）=（x﹣1）2+（y﹣1）2+1＞0，∴x2+y2+1＞2（x+y﹣1）；（Ⅱ）（a+b）（a2+b2）（a3+b3）≥2•2ab•2≥8a3b3，当且仅当a=b时取等号．问题得以证明．点评：本题考查了“作差法”、“配方法”“基本不等式”比较数的大小，属于基础题19．已知数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2=，n∈N*．（1）令b n=a n+1﹣a n，证明：{b n}是等比数列；（2）求{a n}的通项公式．考点：等比关系的确定；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）先令n=1求出b1，然后当n≥2时，求出a n+1的通项代入到b n中化简可得{b n}是以1为首项，为公比的等比数列得证；（2）由（1）找出b n的通项公式，当n≥2时，利用a n=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）++（a n﹣a n﹣1）代入并利用等比数列的前n项和的公式求出即可得到a n的通项，然后n=1检验也符合，所以n∈N，a n都成立．解答：解：（1）证b1=a2﹣a1=1，当n≥2时，所以{b n}是以1为首项，为公比的等比数列．（2）解由（1）知，当n≥2时，a n=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）++（a n﹣a n﹣1）=1+1+（﹣）+…+==1+[1﹣（﹣）n﹣1]=，当n=1时，．所以．点评：考查学生会确定一个数列为等比数列，会利用数列的递推式的方法求数列的通项公式．以及会利用等比数列的前n项和的公式化简求值．20．（1）已知集合A={x|x2﹣x﹣6＞0}，B={x|0＜x+a＜4}，若A∩B=∅，求实数a的取值范围；（2）已知f（x）=﹣3x2+a（6﹣a）x+b．当不等式f（x）＞0的解集为（﹣1，3）时，求实数a，b的值．考点：其他不等式的解法；交集及其运算．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：（1）利用二次不等式的解法求出集合A，不等式组求解集合B，通过A∩B=∅，列出关系式求解即可．（2）通过二次不等式的解，推出对应方程的根，利用韦达定理求解a，b的值即可．解答：解：（1）A={x|x＜﹣2或x＞3}，B={x|﹣a＜x＜4﹣a} …∵A∩B=φ，∴∴1≤a≤2 …．（2）∵f（x）＞0的解为﹣1＜x＜3，∴x=﹣1和x=3是﹣3x2+a（6﹣a）x+b=0的两根…∴，解得…．点评：本题考查二次不等式的解法，不等式组的求法，转化思想的应用，考查计算能力．21．本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？考点：简单线性规划的应用．分析：利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用．本题主要考查找出约束条件与目标函数，准确地描画可行域，再利用图形直线求得满足题设的最优解．解答：解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，由题意得目标函数为z=3000x+2000y．二元一次不等式组等价于作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域．如图，作直线l：3000x+2000y=0，即3x+2y=0．平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取得最大值．联立解得x=100，y=200．∴点M的坐标为（100，200）．∴z max=3000x+2000y=700000（元）答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．22．若S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列．（1）求等比数列S1，S2，S4的公比；（2）若S2=4，求{a n}的通项公式；（3）设，T n是数列{b n}的前n项和，求使得对所有n∈N*都成立的最小正整数m．考点：等差数列与等比数列的综合；数列与不等式的综合．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）利用数列{a n}为等差数列，S1，S2，S4成等比数列．可求出首项与公差的关系，即可求得公比；（2）由S2=4，结合（1）的结论，即可求{a n}的通项公式；（3）利用裂项法求数列{b n}的前n项和，确定T n＜，从而可得不等式，即可求得使得对所有n∈N*都成立的最小正整数m．解答：解：（1）∵数列{a n}为等差数列，∴S1=a1，S2=2a1+d，S4=4a1+6d，∵S1，S2，S4成等比数列，∴S1•S4=S22，∴，∴∵公差d不等于0，∴d=2a1∴；（2）∵S2=4，∴2a1+d=4，又d=2a1，∴a1=1，d=2，∴a n=2n﹣1．（3）∵∴…=要使对所有n∈N*恒成立，∴，∴m≥30，∵m∈N*，∴m的最小值为30．点评：本题考查等差数列与等比数列的结合，考查数列的通项与求和，考查恒成立问题，正确求和是关键．。