4.3公式法(2)教案

4.3公式法（第1课时运用平方差公式因式分解）教学目标1.理解平方差公式，弄清平方差公式的形式和特点；2.掌握运用平方差公式分解因式的方法，能正确运用平方差公式把多项式分解因式，培养学生多步骤分解因式的能力.教学重点难点重点：掌握运用平方差公式分解因式的方法.难点：能会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解.教学过程复习巩固1.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解.因式分解也可称为分解因式.2.平方差公式：(a+b)(a-b)＝a2-b2.导入新课活动1（学生交流，教师点评）【问题1】填空：（1）（x+5）（x-5）＝；（2）（3x+y）（3x-y）＝；（3）（3m+2n）（3m–2n）＝.它们的结果有什么共同特征？答案：（1）x2–25；（2）9x2–y2；（3）9m2–4n2学生：以上都是用平方差公式：(a+b)(a-b)＝a2-b2计算得出来的.【问题2】根据问题1中等式填空：（1）x2-25＝；（2）9x2−y2＝；（3）9m2-4n2＝.答案：（1）（x+5）（x-5）（2）（3x+y）（3x-y）；（3）（3m+2n）（3m–2n）.教师总结：公共特点：是两个数（式）的和与这两个数（式）的差的积，等于这两个数（式）的平方差，反过来，两个数（式）的平方差就可以化成这两个数（式）的和与这两个数（式）的差的积的形式，这种变形就是我们今天学习的内容，引出课题.探究新知探究点一用平方差公式因式分解(a+b)(a-b)＝a2-b2反过来，a2-b2＝(a+b)(a-b).两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.【注意】公式中的a,b既可以是单项式，也可以是多项式活动2（学生交流，教师点评）【问题3】（师生互动）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是()A.a2+(-b)2B.5m2-20mnC.-x2-y2D.-x2+9解析：A中a2+(-b)2符号相同，不能用平方差公式分解因式，错误；B中5m2-20mn两项都不是平方项，不能用平方差公式分解因式，错误；C中-x2-y2符号相同，不能用平方差公式分解因式，错误；D中-x2+9＝-x2+32，两项符号相反，能用平方差公式分解因式，正确.故选D.【方法总结】能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反.【互动】(小组交流)下列各式中，能运用平方差公式分解的多项式是.(填序号)①x2+y2；②1-x2；③-x2-y2；④x2-xy.答案：②.活动3小组讨论(师生互学)【例1】因式分解：(1)a4-116b4；(2)x3y2-xy4.【探索思路】(引发学生思考)观察各式的特点，运用平方差公式进行因式分解.解：(1)a4-116b 4＝⎝⎛⎭⎫a2＋14b2⎝⎛⎭⎫a2－14b2＝⎝⎛⎭⎫a2＋14b2⎝⎛⎭⎫a－12b⎝⎛⎭⎫a＋12b.(2)x3y2-xy4＝xy2(x2-y2)＝xy2(x+y)(x-y).【总结】(学生总结，老师点评)因式分解前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式.分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止.【例2】分解因式：9(m+n)2-(m-n)2.解：原式＝[3(m+n)]2-(m-n)2＝[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)]＝(3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n)＝(4m+2n)(2m+4n)＝4(2m+n)(m+2n).【总结】1.如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差的形式，那么就可以用平方差公式分解因式，将多项式分解成两个整式的和与差的积.2.当多项式各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，然后再进一步因式分解.【注意】多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.【即学即练】 (学生独学)因式分解：(1)(a +b )2-4a 2； (2) x 4-y 4.解：(1) (a +b )2-4a 2＝(a +b -2a )(a +b +2a )＝(b -a )(3a +b )；(2)x 4-y 4＝(x 2)2-(y 2)2＝(x 2+y 2)(x 2-y 2)＝(x 2+y 2)(x +y )(x -y ).活动4（合作探究，解决问题）探究点二 用平方差公式因式分解解决综合问题.（师生互动）【例2】 248-1可以被60和70之间某两个自然数整除，求这两个数.【探索思路】被自然数整除的含义是什么？248-1这个数比较大，怎样求出符合要求的两个数？解：248-1＝(224+1)(224-1)＝(224+1)(212+1)(212-1)＝(224+1)(212+1)(26+1)(26-1).∵26＝64，∴26-1＝63,26+1＝65，∴这两个数是65和63.【题后总结】(学生总结，老师点评)解决整除的基本思路就是将数化为整数乘积的形式，然后分析被哪些数整除.活动5 拓展延伸(学生对学)【例3】利用因式分解计算：(1)1012-992；(2)5722×14-4282×14. 【探索思路】观察式子特点，用提公因式法和平方差公式进行因式分解.解：(1)1012-992＝(101+99)(101-99)＝400.(2)5722×14-4282×14＝(5722-4282)×14＝(572+428)(572-428)×14＝1000×144×14＝36 000. 【题后总结】(学生总结，老师点评)对于一些比较复杂的计算，如果通过变形转化为平方差公式的形式，使运算简便.【即学即练】 (学生独学)求证：当n 为整数时，多项式(2n +1)2-(2n -1)2一定能被8整除.证明：原式＝(2n +1+2n -1)(2n +1-2n +1)＝4n ·2＝8n ，∵n 为整数，∴8n 被8整除，即多项式(2n +1)2-(2n -1)2一定能被8整除.课堂练习1下列多项式中能用平方差公式因式分解的是()A.a 2+(−b )2B.5m 2−20mnC.x 2−y 2D.x 2+92.因式分解(2x +3)2-x 2的结果是（ ）A.3(x 2+4x +3)B.3(x 2+2x +3)C.(3x +3)(x +3)D.3(x +1)(x +3)3若a +b ＝3，a -b ＝7，则b 2-a 2的值为（ ）A.-21B.21C.-10D.104.用平方差公式进行简便计算:（1）38²-37²； （2）213²-87²；（3）229²-171²； （4）91×89.5.已知x 2-y 2＝-1，x +y ＝12，求x -y 的值. 6.已知4m +n ＝40，2m -3n ＝5.求(m +2n )2-(3m -n )2的值.参考答案：1.C 解析：A.a 2+(−b )2中两项符号相同，不能用平方差公式因式分解，故A 选项错误；B.5m 2−20mn 两项不都是平方项，不能用平方差公式因式分解，故B 选项错误；C.x 2−y 2中两项符号相反，能用平方差公式因式分解，故C 选项正确；D.x 2+9中，两项符号相同，不能用平方差公式因式分解，故D 选项错误.选C.2.D 解析：(2x +3)2-x 2＝(2x +3+x )（2x +3-x )＝(3x +3)（x +3)＝3(x +1)(x +3)3.A 解析：b 2-a 2＝(b +a )(b -a )＝ 3×(−7)＝ −21.4.解：（1）38²−37²＝（38+37）（38−37）＝75.（2）213²-87²＝(213+87)(213-87)＝300×126＝37800.（3）229²-171²＝（229+171）（229-171）＝400×58＝23200.（4）91×89＝（90+1）（90−1）＝90²-1＝8100-1＝8099.5.解：∵x 2-y 2＝(x +y )(x -y )＝-1，x +y ＝12，∴x -y ＝-2. 6.解：原式＝(m +2n +3m −n )(m +2n −3m +n )＝(4m +n )(3n −2m )＝− (4m +n )（2m −3n ).当4m +n ＝40，2m −3n ＝5时，原式＝−40×5＝−200.课堂小结(学生总结，老师点评，当堂达标)一、运用平方差公式因式分解：a2-b2＝(a+b)(a-b).二、平方差公式的特点：能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反.布置作业教材第100页习题4.4板书设计3公式法第1课时运用平方差公式因式分解用平方差公式因式分解：a2-b2＝(a+b)(a-b).【问题1】例1因式分解：(1)a4-116b4；(2)x3y2-xy4.【问题2】例2248-1可以被60和70之间某两个自然数整除，求这两个数.。

公式法的教案范文一、教学目标：1. 让学生掌握公式的基本概念和应用。

2. 培养学生运用公式解决实际问题的能力。

3. 引导学生理解公式在数学及其它学科中的重要性。

二、教学内容：1. 公式的定义和特点2. 常见公式的记忆和运用3. 公式在实际问题中的应用三、教学重点与难点：1. 重点：公式的记忆和运用。

2. 难点：公式在实际问题中的应用。

四、教学方法：1. 讲授法：讲解公式的定义、特点和常见公式。

2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用公式解决问题。

3. 练习法：让学生通过练习巩固所学知识。

五、教学过程：1. 引入：通过生活中的实例，引导学生思考公式的重要性。

2. 讲解：讲解公式的定义、特点和常见公式。

3. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用公式解决问题。

4. 练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。

5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调公式的应用价值。

6. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。

六、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，以及小组讨论的表现。

2. 练习完成情况：检查学生练习题的完成质量，评估学生对知识的掌握程度。

3. 课后作业：批改课后作业，了解学生对课堂内容的巩固情况。

4. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，包括合作态度、问题解决能力等。

七、教学资源：1. 教材：公式法相关教材，用于引导学生学习。

2. PPT：制作精美的PPT，辅助讲解和展示实例。

3. 练习题库：准备一定量的练习题，用于课堂练习和课后作业。

4. 案例材料：收集相关的实际问题案例，用于分析讲解。

八、教学进度安排：1. 第一课时：介绍公式的定义、特点和常见公式。

2. 第二课时：讲解公式在实际问题中的应用，进行案例分析。

3. 第三课时：进行公式练习，巩固所学知识。

4. 第四课时：总结本单元内容，布置课后作业。

九、课后作业：1. 复习本节课所学的公式，并尝试举一反三。

2. 完成课后练习题，巩固公式应用能力。

(2) (x2＋16y2)2－64x2y2； ＝(x2＋16y2)2－(8xy)2 ＝(x2＋16y2＋8xy)(x2＋16y2－8xy) ＝(x＋4y)2(x－4y)2.
(3)a3－a＋2b－2a2b； ＝a(a2－1)＋2b(1－a2) ＝(a－2b)(a＋1)(a－1)．
(4)【2019·齐齐哈尔】a2＋1－2a＋4(a－1)．
(2)已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2＋b2＝10a＋ 12b－61，c是△ABC中最短边的长(三边长各不相等)， 且c为整数，那么c可能是哪几个数？
解：∵a2＋b2＝10a＋12b－61， ∴(a－5)2＋(b－6)2＝0， ∴a＝5，b＝6，∴1＜c＜11. ∵c 是△ABC 中最短边的长，且 c 为整数，∴c 可能是 2，3，4.
8．如图是一个正方形，分成四部分，其面积分别是a2，ab， ab，b2，其中a＞0，b＞0，则原正方形的边长是( ) A．a2＋b2 B．a＋b C．a－b D．a2－b2
【点拨】从图形的特征入手，利用面积公式求解． 【答案】B
9．【2019·哈尔滨】把多项式a3－6a2b＋9ab2分解因式 的结果是_a_(_a_－__3_b_)2___．
题．相信你也能很好地解决下面两个问题．请写出你的解题过程．
ห้องสมุดไป่ตู้
解决问题： (1)若x2－4xy＋5y2＋2y＋1＝0，求xy的值； 解：∵x2－4xy＋5y2＋2y＋1＝0， ∴x2－4xy＋4y2＋y2＋2y＋1＝0， ∴(x－2y)2＋(y＋1)2＝0，∴x－2y＝0，y＋1＝0， 解得 x＝－2，y＝－1，故 xy＝(－2)－1＝－12.
10．【中考·聊城】把8a3－8a2＋2a进行因式分解，结果正 确的是( C ) A．2a(4a2－4a＋1) B．8a2(a－1) C．2a(2a－1)2 D．2a(2a＋1)2 【点拨】8a3－8a2＋2a＝2a(4a2－4a＋1)＝2a(2a －1)2.故选C.

4
2
2
2
2
跟踪练习1
把下列各式因式分解.
1 2 2 − 2
解： 原式 =(ab)2-m2
=(ab+m)(ab-m)
(2)-16x2+81y2
原式 =81y2-16x2
=(9y)2-(4x)2
=(9y+4x)(9y-4x)
例题讲解
例2.把下列各式因式分解.
1 9 m n m n
2.会用平方差公式进行因式分解
3.使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再
考虑用平方差公式分解
教学重难点
1.重点：会用平方差公式进行因式分解
2.难点：发展学生的逆向思维，渗透数学的
“互逆”、换元整体的思想
学习目标
1.经历通过整式乘法公式的逆向变形得出公式
法因式分解的过程，发展逆向思维和推理能力.
2.会用平方差公式进行因式分解.
平方差公式
公式法
完全平方公式
问题引入
模块一
1.计算下列各式
观察这些式子，等式两边
分别有什么共同特征？
9x 2 y 2
9m2 4n2
2
2
a

b
a

b
=
a

b

两数或式的和与差的乘积
结果都是二项式，其中每一项都
是某数或式的平方，且两项符号
相反（一正一负）
模块二
例题讲解
例1.把下列各式因式分解.
1 2
2 9a b
4
1 25 16x
2
解：1 25 16x =52 - (4x)2 =(5 + 4x) (5 - 4x)