《等差数列》参考课件1

当堂达标
1．数列{an}的通项公式为 an＝5－3n，则此数列( ) A．是公差为－3 的等差数列 B．是公差为 5 的等差数列 C．是首项为 5 的等差数列 D．是公差为 n 的等差数列
A [等差数列的通项公式 an＝a1＋(n－1)d 可以化成 an＝dn＋(a1－ d)．对比 an＝－3n＋5.故公差为－3.故选 A.]
从函数角度认识等差数列{an}
若数列{an}是等差数列，首项为 a1，公差为 d， 则 an＝f (n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)． (1)点(n，an)落在直线 y＝dx＋(a1－d)上；
(2)这些点的横坐标每增加 1，函数值增加_d_.
小试牛刀
2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数， 则这个数列是等差数列． ( ) (2)等差数列{an}的单调性与公差d有关． ( ) (3)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．( )
后一项的等差中项．(√ )
思考2：教材上推导等差数列的通项公式采用了不完全归纳法，还有其它 方法吗？如何操作？
[提示] 还可以用累加法，过程如下： ∵a2－a1＝d， a3－a2＝d， a4－a3＝d， …
an－an－1＝d(n≥2)， 将上述(n－1)个式子相加得 an－a1＝(n－1)d(n≥2)， ∴an＝a1＋(n－1)d(n≥2)， 当 n＝1 时，a1＝a1＋(1－1)d，符合上式， ∴an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)．
归纳总结
求通项公式的方法 (1)通过解方程组求得a1，d的值，再利用an＝a1＋(n－1)d写出通项 公式，这是求解这类问题的基本方法． (2)已知等差数列中的两项，可用d＝直接求得公差， 再利用an＝am＋(n－m)d写出通项公式． (3)抓住等差数列的通项公式的结构特点，通过an是关于n的一次函 数形式，列出方程组求解．

1.在等差数列 an 中， 若 a5 a，a10 b 求 a15
2.在等差数列an
中，若
a3
a8
(2b-a)
m
求 a5 a6
3.在等差数列 an 中若
a6 a7 a10 80
a1 a2 a5 3，0 求 a11 a12 a15
思考与交流：
思考2：在数列中抽出等距离的项构成一个新数列， 这个数列是什么数列？如果是等差数列，公差是 多少？
问题探究：
如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b 成等差数列数列，那么A应满足什么条件？
A a b a,b,成等差数列 2
定义：若a,A,b成等差数列，那么A叫做a与b 的等差中项
思考与交流：在一个等差数列中，那些项是 那些项的等差中项？并举例说明。
如数列：1，3，5，7，9，11，13…中
an1 an d an 等差数列；
an1 an an an1 n 2 an 等差数列；
从函数的角度研究等差数
1、由 an dn a1 d
当d>0时，{a n}为递增数列
当d<0时，{a n}为递减数列 当d=0时，{a n}为常数列
an
a1-d 0
1 234
例题探究： 例5 已知(1，1)，(3，5)是等差数列图像上的两点 (1) 求这个数列的通项公式 (2) 画出这个数列的图像 (3) 判断这个数列的单调性。
例7 等差数列{ an}中， a1 + a3 + a5 =－12, 且 a·1 a3·a5=80. 求通项 an
练习：等差数列{an }中，bn
1 2
an
，
21
1
已知：b1 b2
求数列的通项

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1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)常数列是等差数列．( ) (2)－1，－2，－3，－4，－5 不是等差数列．( ) (3)若数列{an}是等差数列，则其公差 d＝a7－a8.( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× [提示] (1)正确，(2)不正确，数列－1，－2，－3，－4，－5 是 公差为－1 的等差数列；(3)不正确，公差 d＝a8－a7.
2．等差数列的判定关键是看 an＋1－an(或 an－an－1(n≥2))是否为一 个与 n 无关的常数．
3．对于通项公式的理解． an＝a1＋(n－1)d⇒an＝nd＋(a1－d)，所以，当 d≠0 时，an 是关于 n 的一次函数，一次项系数就是等差数列的公差，当 d＝0 时，等差数 列{an}为常数列：a1，a1，a1，…，a1，…
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谢谢大家
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思考：(1)数列{an}的各项为：n,2n,3n,4n，…，数列{an}是等差数 列吗？
[提示] 不是，该数每一项与其前一项的差都是 n，不是常数， 所以不是等差数列．
(2)若一个数列从第二项起每一项与它前一项的差都是常数，这个 数列一定是等差数列吗？
[提示] 不一定，当一个数列从第二项起每一项与它前一项的差 都是同一个常数时，这个数列才是等差数列．
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4．已知等差数列{an}中，d＝－13，a7＝8，则 a1＝________. 10 [由 a7＝a1＋6d＝8 且 d＝－13代入解得 a1＝8－6d＝8＋2＝ 10.]
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【例 1】 判断下列数列是否为等差数列： (1)an＝3－2n；(2)an＝n2－n. [解] (1)因为 an＋1－an＝[3－2(n＋1)]－(3－2n)＝－2，是常数， 所以数列{an}是等差数列． (2)因为 an＋1－an＝[(n＋1)2－(n＋1)]－(n2－n)＝2n，不是常数，所 以数列{an}不是等差数列．

【解析】 因为2S3 = 3S2 + 6,所以2 a1 + a2 + a3 = 3 a1 + a2 + 6，即2 3a1 + 3d = 3 2a1 + d + 6,化简得
3d = 6，得d = 2.
3.［人A选必二P23例9变式］已知等差数列{an }的前n项和为Sn ，a1 = 19,S10 = 10，则Sn 的最大值为(
C.20
D.15
【解析】解法一设等差数列{an }的公差为d，则由a2 + a6 = 10，可得a1 + 3d = 5①，由a4 a8 = 45，可得
a1 + 3d a1 + 7d = 45②，由①②可得a1 = 2，d = 1，所以S5 = 5a1 +
5×4
×
2
d = 20，故选C.
解法二 由a2 + a6 = 10，可得2a4 = 10，（等差数列的性质）所以a4 = 5，又a4 a8 = 45，所以a8 = 9.设等差数列
等差数列
目
录
壹
等差数列基本量的计算
贰
等差数列的判定与证明
叁
等差数列的性质
壹
等差数列基本量
的计算
教材知识萃取
已知等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则
通项公式
an=a1+(n-1)d,可推广为an=am+(n-m)d(n,m∈N*).
(1 + )
(−1)
=na
+
d.
1
2
2
前n项和公式
2.［多选］［人A选必二P25习题4.2第7题变式］已知数列{an }是等差数列，Sn 是其前n项和，则以下数列一定是等