2014-2015年湖北省部分重点中学高二(上)期中数学试卷和参考答案(文科)

2014-2015学年湖北省部分重点中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为（）A．25 B．30 C．31 D．612．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，，在区间（﹣3，3）上任取一实数x，则x∈A∩B的概率为（）A．B．C．D．3．（5分）某人忘记了电话号码的最后一个数字，随意拨号，则拨号不超过3次而接通电话的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）对某同学的6次数学测试成绩（满分100分）进行统计，作出的茎叶图如图所示，给出关于该同学数学成绩的以下说法：①中位数为84；②众数为85；③平均数为85；④极差为12．其中，正确说法的序号是（）A．①②B．③④C．②④D．①③5．（5分）为了研究高中学生对乡村音乐的态度（喜欢和不喜欢两种态度）与性别的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K2=8.01，则认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”的把握性约为（）P（K2≥k0）0.1000.0500.0250.0100.001k0 2.706 3.841 5.024 6.63510.828A．0.1% B．1% C．99% D．99.9%6．（5分）执行如图的程序框图，若输入的x∈[0，1]，则输出的x的范围是（）A．[1，3]B．[3，7]C．[7，15] D．[15，31]7．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．8．（5分）设A、B、C、D是球面上的四点，AB、AC、AD两两互相垂直，且AB=3，AC=4，AD=，则球的表面积为（）A．36πB．64πC．100πD．144π9．（5分）如表是一位母亲给儿子作的成长记录：年龄/周岁3456789身高/cm94.8104.2108.7117.8124.3130.8139.1根据以上样本数据，她建立了身高y（cm）与年龄x（周岁）的线性回归方程为=7.19x+73.93，给出下列结论：①y与x具有正的线性相关关系；②回归直线过样本的中心点（6，117.1）；③儿子10岁时的身高是145.83cm；④儿子年龄增加1周岁，身高约增加7.19cm．其中，正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．410．（5分）设点P是函数y=﹣图象上的任意一点，点Q（2a，a﹣3）（a∈R），则|PQ|的最小值为（）A．﹣2 B．C．﹣2 D．﹣2二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．（5分）某单位有职工200名，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1﹣200编号，并按编号顺序平均分为40组（1﹣5号，6﹣10号，…，196﹣200号）．若第5组抽出的号码为22，则第10组抽出的号码应是．12．（5分）已知P是△ABC所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是．13．（5分）过点（1，2）引圆x2+y2=1的两条切线，则这两条切线与x轴，y轴所围成的四边形的面积是．14．（5分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论中正确的是．（把你认为正确的结论都填上）①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥平面CB1D1；③AC1与底面ABCD所成角的正切值是；④二面角C﹣B1D1﹣C1的正切值是；⑤过点A1与异面直线AD与CB1成70°角的直线有2条．15．（5分）已知圆：（x+cosθ）2+（y﹣sinθ）2=1，直线l：y=kx．给出下面四个命题：①对任意实数k和θ，直线l和圆M有公共点；②对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l和圆M相切；③对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l和圆M相切；④存在实数k和θ，使得圆M上有一点到直线l的距离为3．其中正确的命题是（写出所以正确命题的编号）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）在一个盒子中装有6枝圆珠笔，其中3枝一等品，2枝二等品和1枝三等品，从中任取3枝，求：（Ⅰ）取出的3枝中恰有1枝一等品的概率；（Ⅱ）取出的3枝中一、二、三等品各一枝的概率；（Ⅲ）取出的3枝中没有三等品的概率．17．（12分）已知圆C：x2+（y﹣1）2=5，直线l：mx﹣y+1﹣m=0，且直线l与圆C交于A、B两点．（1）若|AB|=，求直线l的倾斜角；（2）若点P（1，1），满足2=，求直线l的方程．18．（12分）为了分析某次考试数学成绩情况，用简单随机抽样从某班中抽取25名学生的成绩（百分制）作为样本，得到频率分布表如下：分数[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]频数239a1频率0.080.120.36b0.04（Ⅰ）求样本频率分布表中a，b的值，并根据上述频率分布表，在下表中作出样本频率分布直方图；（Ⅱ）计算这25名学生的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅲ）从成绩在[50，70）的学生中任选2人，求至少有1人的成绩在[60，70）中的概率．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2CD，E为PB的中点．（Ⅰ）证明：CE⊥AB；（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A为45°，求直线CE与平面PAB所成角的正切值．（Ⅲ）若PA=kAB，求平面PCD与平面PAB所成的锐二面角的余弦值．20．（13分）已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．（Ⅰ）设集合A={﹣1，1，2，3，4，5}和B={﹣2，﹣1，1，2，3，4}，分别从集合A，B中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．（Ⅱ）设点（a，b）是区域内的随机点，求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M过坐标原点O且圆心在曲线上．（Ⅰ）若圆M分别与x轴、y轴交于点A、B（不同于原点O），求证：△AOB的面积为定值；（Ⅱ）设直线与圆M 交于不同的两点C，D，且|OC|=|OD|，求圆M的方程；（Ⅲ）设直线与（Ⅱ）中所求圆M交于点E、F，P为直线x=5上的动点，直线PE，PF与圆M的另一个交点分别为G，H，求证：直线GH过定点．2014-2015学年湖北省部分重点中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为（）A．25 B．30 C．31 D．61【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数y=的函数值．当x=60时，则y=25+0.6（60﹣50）=31，故选：C．2．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，，在区间（﹣3，3）上任取一实数x，则x∈A∩B的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵A={x|x2﹣x﹣2＜0}=（﹣1，2），=（﹣2，1），所以A∩B={x|﹣1＜x＜1}，所以在区间（﹣3，3）上任取一实数x，则“x∈A∩B”的概率为，故选：A．3．（5分）某人忘记了电话号码的最后一个数字，随意拨号，则拨号不超过3次而接通电话的概率为（）A．B．C．D．【解答】解；∵数值为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，共10个数字，∴每次拨对号码的概率为，∴拨号不超过3次而接通电话的概率为=，故选：B．4．（5分）对某同学的6次数学测试成绩（满分100分）进行统计，作出的茎叶图如图所示，给出关于该同学数学成绩的以下说法：①中位数为84；②众数为85；③平均数为85；④极差为12．其中，正确说法的序号是（）A．①②B．③④C．②④D．①③【解答】解：将各数据按从小到大排列为：78，83，83，85，90，91．可见：中位数是=84，∴①是正确的；众数是83，②是不正确的；=85，∴③是正确的．极差是91﹣78=13，④不正确的．故选：D．5．（5分）为了研究高中学生对乡村音乐的态度（喜欢和不喜欢两种态度）与性别的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K2=8.01，则认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”的把握性约为（）P（K2≥k0）0.1000.0500.0250.0100.001k0 2.706 3.841 5.024 6.63510.828A．0.1% B．1% C．99% D．99.9%【解答】解：∵K2=8.01＞6.635，对照表格：P（k2≥k0）0.1000.0500.0250.0100.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.63510.828∴有99%的把握说学生性别与支持该活动有关系．故选：C．6．（5分）执行如图的程序框图，若输入的x∈[0，1]，则输出的x的范围是（）A．[1，3]B．[3，7]C．[7，15] D．[15，31]【解答】解：执行程序框图，有x∈[0，1]，n=1满足条件n≤3，有x∈[1，3]，n=2满足条件n≤3，有x∈[3，7]，n=3满足条件n≤3，有x∈[7，15]，n=4不满足条件n≤3，输出x的值．故选：C．7．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．【解答】解：三视图复原的几何体是一个半圆锥和圆柱的组合体，它们的底面直径均为2，故底面半径为1，圆柱的高为1，半圆锥的高为2，故圆柱的体积为：π×12×1=π，半圆锥的体积为：×=，故该几何体的体积V=π+=，故选：B．8．（5分）设A、B、C、D是球面上的四点，AB、AC、AD两两互相垂直，且AB=3，AC=4，AD=，则球的表面积为（）A．36πB．64πC．100πD．144π【解答】解：∵A、B、C、D是球面上的四点，AB、AC、AD两两互相垂直，且AB=3，AC=4，AD=，∴可以判断：以AB、AC、AD为棱长的长方体，∴体对角线长为==6，外接球的直径为6，半径为3，∴球的表面积为4π×32=36π，故选：A．9．（5分）如表是一位母亲给儿子作的成长记录：年龄/周岁3456789身高/cm94.8104.2108.7117.8124.3130.8139.1根据以上样本数据，她建立了身高y（cm）与年龄x（周岁）的线性回归方程为=7.19x+73.93，给出下列结论：①y与x具有正的线性相关关系；②回归直线过样本的中心点（6，117.1）；③儿子10岁时的身高是145.83cm；④儿子年龄增加1周岁，身高约增加7.19cm．其中，正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解；线性回归方程为=7.19x+73.93，①7.19＞0，即y随x的增大而增大，y与x具有正的线性相关关系，①正确；②回归直线过样本的中心点为（6，117.1），②正确；③当x=10时，=145.83，此为估计值，所以儿子10岁时的身高的估计值是145.83cm而不一定是实际值，③错误；④回归方程的斜率为7.19，则儿子年龄增加1周岁，身高约增加7.19cm，④正确，故选：C．10．（5分）设点P是函数y=﹣图象上的任意一点，点Q（2a，a﹣3）（a∈R），则|PQ|的最小值为（）A．﹣2 B．C．﹣2 D．﹣2【解答】解：由函数y=﹣得（x﹣1）2+y2=4，（y≤0），对应的曲线为圆心在C（1，0），半径为2的圆的下部分，∵点Q（2a，a﹣3），∴x=2a，y=a﹣3，消去a得x﹣2y﹣6=0，即Q（2a，a﹣3）在直线x﹣2y﹣6=0上，过圆心C作直线的垂线，垂足为A，则|PQ|min=|CA|﹣2=，故选：C．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．（5分）某单位有职工200名，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1﹣200编号，并按编号顺序平均分为40组（1﹣5号，6﹣10号，…，196﹣200号）．若第5组抽出的号码为22，则第10组抽出的号码应是47．【解答】解：根据系统抽样方法的特征，知；第5组抽出的号码为22，即（5﹣1）×5﹣x=22，∴x=2，即第1组抽出的号码是2；∴第10组抽出的号码应是（10﹣1）×5+2=47．故答案为：47．12．（5分）已知P是△ABC所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是．【解答】解：以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，则，∵，∴，得：，由此可得，P是△ABC边BC上的中线AO的中点，点P到BC的距离等于A到BC的距离的．∴S△PBC =S△ABC．将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为P==故答案为：13．（5分）过点（1，2）引圆x2+y2=1的两条切线，则这两条切线与x轴，y轴所围成的四边形的面积是．【解答】解：由题意易知x=1是圆的一条切线，设另一条切线斜率为k，则切线方程为：kx﹣y+2﹣k=0，那么切线为：3x﹣4y+5=0．当x=0时y=则这两条切线与x轴，y轴所围成的四边形的面积：（2+）×=故答案为：14．（5分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论中正确的是①②④．（把你认为正确的结论都填上）①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥平面CB1D1；③AC1与底面ABCD所成角的正切值是；④二面角C﹣B1D1﹣C1的正切值是；⑤过点A1与异面直线AD与CB1成70°角的直线有2条．【解答】解：如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，由于BD∥B1D1 ，由直线和平面平行的判定定理可得BD∥平面CB1D1 ，故①正确．由正方体的性质可得B1D1⊥A1C1，CC1⊥B1D1，故B1D1⊥平面ACC1A1，故B1D1⊥AC1．同理可得B1C⊥AC1．再根据直线和平面垂直的判定定理可得，AC1⊥平面CB1D1 ，故②正确．AC1与底面ABCD所成角的正切值为=，故③不正确．取B1D1的中点M，则∠CMC1即为二面角C﹣B1D1﹣C1的平面角，Rt△CMC1中，tan∠CMC1===，故④正确．由于异面直线AD与CB1成45°的二面角，如图，过A1作MN∥AD、PQ∥CB1，设MN与PQ确定平面α，∠PA1M=45°，过A1在面α上方作射线A1H，则满足与MN、PQ 成70°的射线A1H有4条：满足∠MA1H=∠PA1H=70°的有一条，满足∠PA1H=∠NA1H=70°的有一条，满足∠NA1H=∠QA1H=70°的有一条，满足QA1H=∠MA1H=70°的有一条．故满足与MN、PQ 成70°的直线有4条，故过点A1与异面直线AD与CB1成70°角的直线有4条，故⑤不正确．故答案为①②④．15．（5分）已知圆：（x+cosθ）2+（y﹣sinθ）2=1，直线l：y=kx．给出下面四个命题：①对任意实数k和θ，直线l和圆M有公共点；②对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l和圆M相切；③对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l和圆M相切；④存在实数k和θ，使得圆M上有一点到直线l的距离为3．其中正确的命题是①②（写出所以正确命题的编号）【解答】解：∵圆：（x+cosθ）2+（y﹣sinθ）2=1恒过定点O（0，0）直线l：y=kx也恒过定点O（0，0），∴①正确；圆心M（﹣cosθ，sinθ）圆心到直线的距离d==≤1，∴对任意实数k和θ，直线l和圆M的关系是相交或者相切，∴②正确，③④都错误．故答案为：①②．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）在一个盒子中装有6枝圆珠笔，其中3枝一等品，2枝二等品和1枝三等品，从中任取3枝，求：（Ⅰ）取出的3枝中恰有1枝一等品的概率；（Ⅱ）取出的3枝中一、二、三等品各一枝的概率；（Ⅲ）取出的3枝中没有三等品的概率．【解答】解：记3枝一等品为A，B，C，2枝二等品为D，E，1枝三等品为F．从6枝圆珠笔中任取3枝的方法有20种（列举略）．（Ⅰ）取出的3枝中恰有1枝一等品的方法有9种（列举略），所以，所求概率．…（4分）（Ⅱ）取出的3枝中一、二、三等品各一枝的概率的方法有6种（列举略），所以，所求概率…（8分）（Ⅲ）取出的3枝中没有三等品的方法有10种（列举略），所以，所求概率．…（12分）17．（12分）已知圆C：x2+（y﹣1）2=5，直线l：mx﹣y+1﹣m=0，且直线l与圆C交于A、B两点．（1）若|AB|=，求直线l的倾斜角；（2）若点P（1，1），满足2=，求直线l的方程．【解答】解：（1）由于半径r=，|AB|=，∴弦心距d=，再由点到直线的距离公式可得d==，解得m=±．故直线的斜率等于±，故直线的倾斜角等于或．（2）设点A（x1，mx1﹣m+1），点B（x2，mx2﹣m+1 ），由题意2=，可得2（1﹣x1，﹣mx1+m ）=（x2﹣1，mx2﹣m ），∴2﹣2x1=x2﹣1，即2x1+x2=3．①再把直线方程y﹣1=m（x﹣1）代入圆C：x2+（y﹣1）2=5，化简可得（1+m2）x2﹣2m2x+m2﹣5=0，由根与系数的关系可得x1+x2=②．由①②解得x1=，故点A的坐标为（，）．把点A的坐标代入圆C的方程可得m2=1，故m=±1，故直线L的方程为x﹣y=0，或x+y﹣2=0．18．（12分）为了分析某次考试数学成绩情况，用简单随机抽样从某班中抽取25名学生的成绩（百分制）作为样本，得到频率分布表如下：分数[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]频数239a1频率0.080.120.36b0.04（Ⅰ）求样本频率分布表中a，b的值，并根据上述频率分布表，在下表中作出样本频率分布直方图；（Ⅱ）计算这25名学生的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅲ）从成绩在[50，70）的学生中任选2人，求至少有1人的成绩在[60，70）中的概率．【解答】解：（Ⅰ）∵频数总数是2+3+9+a+1=25，∴a=10；又∵成绩在[80，90）的频率是，∴b=0.4；画出频率分布直方图如下：；…（5分）（Ⅱ）这25名学生的平均数为；方差为+（85﹣77）2×10+（95﹣77）2×1]=；或s2=（﹣22）2×0.08+（﹣12）2×0.12+（﹣2）2×0.36+8×0.4+18×0.04=96；…（9分）（Ⅲ）成绩在[50，60）的学生共有2人，记为a，b，在[60，70）共有3人，记为c，d，e；从成绩在[50，70）的5名学生任选2人的方法有ab、ac、ad、ae、bc、bd、be、cd、ce、de，共10种，其中至少有1人的成绩在[60，70）中方法有ac、ad、ae、bc、bd、be、cd、ce、de，共9种，∴所求的概率为．…（12分）19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2CD，E为PB的中点．（Ⅰ）证明：CE⊥AB；（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A为45°，求直线CE与平面PAB所成角的正切值．（Ⅲ）若PA=kAB，求平面PCD与平面PAB所成的锐二面角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）如图，取AB的中点F，连结EF，FC；则EF∥PA，CF∥AD；∵PA⊥平面ABCD；∴EF⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD；∴EF⊥AB，即AB⊥EF；AB⊥AD；∴AB⊥CF，EF∩CF=F；∴AB⊥平面EFC，CE⊂平面EFC；∴AB⊥CE，即CE⊥AB；（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD；∴PA⊥CD，即CD⊥PA；又CD⊥AD；∴CD⊥平面PAD，PD⊂平面PAD；∴CD⊥PD，AD⊥CD；∴∠PDA为二面角P﹣CD﹣A的平面角；∴∠PDA=45°；∴PA=AD；∵AB=AD=2CD；∴PA=AB=AD；由（Ⅰ）知，∠CEF为CE与平面PAB所成的角；因为；所以直线CE与平面PAB所成角的正切值为2；（Ⅲ）过点P作PG∥AB；由PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，∴PA⊥PG；CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD；∵CD∥AB∥PG，∴PG⊥PD，即PD⊥PG；∵PG∥AB∥CD；∴PG是平面PCD和平面PAB的交线；∴∠APD为所求锐二面角的平面角；∴．20．（13分）已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．（Ⅰ）设集合A={﹣1，1，2，3，4，5}和B={﹣2，﹣1，1，2，3，4}，分别从集合A，B中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．（Ⅱ）设点（a，b）是区域内的随机点，求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．【解答】解：要使函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a＞0且，即a＞0且2b≤a．（Ⅰ）所有（a，b）的取法总数为6×6=36个，满足条件的（a，b）有（1，﹣2），（1，﹣1），（2，﹣2），（2，﹣1），（2，1），（3，﹣2），（3，﹣1），（3，1），（4，﹣2），（4，﹣1），（4，1），（4，2），（5，﹣2），（5，﹣1），（5，1），（5，2）共16个，所以，所求概率．…（6分）（Ⅱ）如图，求得区域的面积为．由，求得所以区域内满足a＞0且2b≤a的面积为．所以，所求概率．21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M过坐标原点O且圆心在曲线上．（Ⅰ）若圆M分别与x轴、y轴交于点A、B（不同于原点O），求证：△AOB的面积为定值；（Ⅱ）设直线与圆M 交于不同的两点C，D，且|OC|=|OD|，求圆M的方程；（Ⅲ）设直线与（Ⅱ）中所求圆M交于点E、F，P为直线x=5上的动点，直线PE，PF与圆M的另一个交点分别为G，H，求证：直线GH过定点．【解答】解：（Ⅰ）由题意可设圆M的方程为，即．令x=0，得；令y=0，得x=2t．∴（定值）．…（4分）（Ⅱ）由|OC|=|OD|，知OM⊥l．所以，解得t=±1．当t=1时，圆心M到直线的距离小于半径，符合题意；当t=﹣1时，圆心M到直线的距离大于半径，不符合题意．所以，所求圆M的方程为．…（8分）（Ⅲ）设P（5，y0），G（x1，y1），H（x2，y2），又知，，所以，．因为3k PE=k PF，所以．将，代入上式，整理得2x1x2﹣7（x1+x2）+20=0．①设直线GH的方程为y=kx+b，代入，整理得．所以，．代入①式，并整理得，即，解得或．当时，直线GH的方程为，过定点；当时，直线GH的方程为，过定点检验定点和E，F共线，不合题意，舍去．故GH过定点．…（14分）。

湖北省武汉市部分重点中学联考2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．（5分）直线y=2x﹣1在y轴上的截距是（）A．1B．﹣1 C．D．﹣2．（5分）设A（3，2，﹣1），B（1，0，5），C（0，1，0），则AB的中点M到点C的距离|CM|=（）A．4B．2C．4D．3．（5分）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x﹣85.71，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心（，）C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg4．（5分）天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，这三天中至少有两天下雨的概率近似为（）A．0.4 B．0.35 C．0.3 D．0.255．（5分）已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（）A．﹣1 B．1C．2D．6．（5分）已知直线l：ax+by+1=0，圆M：x2+y2﹣2ax﹣2by=0，则直线l和圆M在同一坐标系中的图形可能是（）A．B．C．D．7．（5分）曲线x2+y2=|x|+|y|所围成的面积为（）A．+1 B．π+2 C．2π+1 D．均不对8．（5分）计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制数的对应关系如下表：十六进制0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F十进制0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415例如，用十六进制表示：E+D=1B，则A×C （“×”表示通常的乘法运算）等于（）A．78 B．77 C．7A D．7B9．（5分）设x，y满足约束条件，若x2+y2≥a恒成立，则实数a的最大值为（）A．B．1C．D．10．（5分）两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有4个不同的公共点，则称两条平行直线和圆“相交”；若两条平行直线和圆没有公共点，则称两条平行直线和圆“相离”；若两条平行直线和圆有1个、2个或3个不同的公共点，则称两条平行直线和圆“相切”．已知直线l1：2x﹣y+a=0，l2：2x﹣y+a2+1=0和圆：x2+y2+2x﹣4=0相切，则a的取值范围是（）A．﹣3≤a≤﹣或≤a≤7 B．a＞或a＜﹣C．a＞7或a＜﹣3 D．a≥7或a≤﹣3二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）．11．（5分）如图是某个函数求值的程序框图，则输入实数x=0，则输出的函数值为．12．（5分）在如图程序中，输入：m=30，n=18，则输出的结果为：．13．（5分）A，B，C，D四名学生按任意次序站成一横排，则A在边上，B不在边上的概率是．14．（5分）圆拱桥的水面跨度为24米，拱高为8米，现有一船，船宽为10米，载货后货物宽度与船的宽度相同，如果这条船想从桥下通过，则该船水面以上最高不能超过米．15．（5分）圆（x﹣4）2+y2=9上至少有三个不同的点到直线l：y=kx的距离等于1，则k的取值范围是k≤﹣或k≥，；直线l倾斜角的取值范围是[，）∪（，]．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．16．（12分）某校2014-2015学年高二年级准备从甲、乙两名数学优秀的学生中选出1人参加全国数学联赛，为了研究甲、乙谁更优秀，统计了他俩在高中考试的13次数学成绩，用茎叶图统计如图，请用所学统计知识研究，应该选哪一个人参加联赛？并说明理由．17．（12分）已知直线l经过直线l1：3x+2y﹣5=0，l2：2x+3y﹣5=0的交点M，（1）若l⊥l1，求直线l的方程；（2）求点（2，1）到直线l的距离的最大值．18．（12分）小明家订了一份报纸，寒假期间他收集了每天报纸送达时间的数据，并绘制成频率分布直方图，如图所示．（Ⅰ）根据图中的数据信息，求出众数x1和中位数x2（精确到整数分钟）；（Ⅱ）小明的父亲上班离家的时间y在上午7：00至7：30之间，而送报人每天在x1时刻前后半小时内把报纸送达（每个时间点送达的可能性相等），求小明的父亲在上班离家前能收到报纸（称为事件A）的概率．19．（12分）已知圆心为C的圆经过点M（1，2）和N（，），且圆心C在直线l：x﹣2y+2=0上．（1）求圆C的标准方程；（2）记事件“直线ax﹣by+2b=0与圆C相交”为A，若将一颗骰子投掷两次得到的点数分别为a、b，求事件A发生的概率．20．（13分）已知|M1M2|=2，点M与两定点M1，M2距离的比值是一个正数m．（1）试建立适当坐标系，求点M的轨迹方程，并说明其轨迹是什么图形；（2）求当m=2时，点M的轨迹与以M1M2为直径的圆的公共点所在的直线方程．21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知以C1为圆心的圆的方程为：（x+1）2+y2=1，以C2为圆心的圆的方程为：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1．（Ⅰ）若过点C1的直线l沿x轴向左平移3个单位，沿y轴向下平移4个单位后，回到原来的位置，求直线l被圆C2截得的弦长；（Ⅱ）圆D是以1为半径，圆心在圆C3：（x+1）2+y2=9上移动的动圆，若圆D上任意一点P 分别作圆C1的两条切线PE，PF，切点为E，F，求•的取值范围．湖北省武汉市部分重点中学联考2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．（5分）直线y=2x﹣1在y轴上的截距是（）A．1B．﹣1 C．D．﹣考点：直线的截距式方程．专题：直线与圆．分析：利用斜截式的意义即可得出．解答：解：直线y=2x﹣1在y轴上的截距是﹣1．故选：B．点评：本题考查了斜截式的意义，属于基础题．2．（5分）设A（3，2，﹣1），B（1，0，5），C（0，1，0），则AB的中点M到点C的距离|CM|=（）A．4B．2C．4D．考点：两点间的距离公式．专题：直线与圆．分析：利用中点坐标公式、两点之间的距离公式即可得出．解答：解：设AB的中点M（x，y，z），则，化为x=2，y=1，z=2．∴M（2，1，2）．∴|CM|==2．故选：B．点评：本题考查了中点坐标公式、两点之间的距离公式，属于基础题．3．（5分）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x﹣85.71，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心（，）C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg考点：回归分析的初步应用．专题：阅读型．分析：根据回归方程为=0.85x﹣85.71，0.85＞0，可知A，B，C均正确，对于D回归方程只能进行预测，但不可断定．解答：解：对于A，0.85＞0，所以y与x具有正的线性相关关系，故正确；对于B，回归直线过样本点的中心（，），故正确；对于C，∵回归方程为=0.85x﹣85.71，∴该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，故正确；对于D，x=170cm时，=0.85×170﹣85.71=58.79，但这是预测值，不可断定其体重为58.79kg，故不正确故选D．点评：本题考查线性回归方程，考查学生对线性回归方程的理解，属于中档题．4．（5分）天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，这三天中至少有两天下雨的概率近似为（）A．0.4 B．0.35 C．0.3 D．0.25考点：相互独立事件的概率乘法公式．专题：计算题；概率与统计．分析：由题意知模拟三天中至少有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中至少有两天下雨的有可以通过列举得到共7组随机数，根据概率公式，得到结果．解答：解：由题意知模拟三天中至少有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中至少有两天下雨的有：191、271、932、812、393，113，134共7组随机数，∴所求概率为0.35．故选B．点评：本题考查模拟方法估计概率，解题主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用．5．（5分）已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（）A．﹣1 B．1C．2D．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：：执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，i的值，注意到a的取值以3为周期，从而由2013=671*3即可确定i=2013时不满足条件i≥2014，第2013次执行循环体，此时a=2，i=2014满足条件i≥2014，输出a的值为2．解答：解：执行程序框图，有a=2，i=1不满足条件i≥2014，第1次执行循环体，有a=，i=2不满足条件i≥2014，第2次执行循环体，有a=﹣1，i=3不满足条件i≥2014，第3次执行循环体，有a=2，i=4不满足条件i≥2014，第4次执行循环体，有a=，i=5…i=2013不满足条件i≥2014，第2013次执行循环体，因为2013=671*3，故有以上规律可知此时a=2，i=2014满足条件i≥2014，输出a的值为2．故选：C．点评：本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题．6．（5分）已知直线l：ax+by+1=0，圆M：x2+y2﹣2ax﹣2by=0，则直线l和圆M在同一坐标系中的图形可能是（）A．B．C．D．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：圆M：x2+y2﹣2ax﹣2by=0的标准方程为：（x﹣a）2+（y﹣b）2=a2+b2，圆心M（a，b），半径r=，圆心M到直线l的距离d=＞r，故直线与圆相离．由此根据四个选项利用直线和圆的性质能求出结果．解答：解：圆M：x2+y2﹣2ax﹣2by=0的标准方程为：（x﹣a）2+（y﹣b）2=a2+b2，圆心M（a，b），半径r=，圆心M到直线l的距离d=＞r，故直线与圆相离．对于A，圆心M（0，b），此时a=0，直线l应该平行于x轴，故A错误；对于B，由圆与直线有交点，知B错误；对于C，由圆的图形得a＞0，b＞0，此时直线应在第二、三、四象限，成立，故C正确；对于D，由圆的图形得a＜0，b=0，此时直线应平行于y轴，故D错误．故选：C．点评：本题考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题，解题时要注意圆的性质的合理运用．7．（5分）曲线x2+y2=|x|+|y|所围成的面积为（）A．+1 B．π+2 C．2π+1 D．均不对考点：定积分．专题：直线与圆．分析：通过对x，y的取值讨论，去掉绝对值符号，说明曲线的图形形状，画出图形，即可解答所求问题．解答：解：当x，y≥0时，曲线x2+y2=|x|+|y|化为（x﹣）2+（y﹣）2=，曲线表示以为（，）圆心，以为半径的圆，在第一象限的部分；当x≥0，y≤0时，曲线x2+y2=|x|+|y|化为（x﹣）2+（y+）2=，曲线表示以为（，﹣）圆心，以为半径的圆，在第四象限的部分；当x≤0，y≥0时，曲线x2+y2=|x|+|y|化为（x+）2+（y﹣）2=，曲线表示以为（﹣，）圆心，以为半径的圆，在第二象限的部分；当x≤0，y≤0时，曲线x2+y2=|x|+|y|化为（x+）2+（y+）2=，曲线表示以为（﹣，﹣）圆心，以为半径的圆，在第三象限的部分；如图综上，四个部分都是半圆，并且它们正好围成了一个封闭的区域．这个区域的面积可以割成四个半圆和一个正方形，其中正方形的边长就是半圆的直径．所求曲线x2+y2=|x|+|y|所围成的图形面积为：=2+π．故选：B．点评：本题考查曲线所围成的图形面积的求法，注意分类讨论思想的应用，数形结合的应用，考查计算能力．属于中档题8．（5分）计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制数的对应关系如下表：十六进制0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F十进制0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415例如，用十六进制表示：E+D=1B，则A×C （“×”表示通常的乘法运算）等于（）A．78 B．77 C．7A D．7B考点：进位制．专题：计算题．分析：首先计算出A×C的值，再根据十六进制的含义表示出结果．解答：解：∵A×C=10×12=120，120÷16=7余8，7÷16=0余7，∴用十六进制表示为78．故选：A．点评：认真读题，理解十六进制的含义，培养学生的阅读理解能力和知识迁移能力．9．（5分）设x，y满足约束条件，若x2+y2≥a恒成立，则实数a的最大值为（）A．B．1C．D．考点：简单线性规划．专题：数形结合；不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，数形结合得到可行域内的点到原点的最小值，则答案可求．解答：解：由约束条件作出可行域如图，则x2+y2的最小值为（0，0）到直线x+y﹣1=0的距离，大于．∴满足x2+y2≥a恒成立的实数a的最大值为．故选：C．点评：本题考查了简单的线性规划问题，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，训练了点到直线距离公式的应用，是中档题．10．（5分）两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有4个不同的公共点，则称两条平行直线和圆“相交”；若两条平行直线和圆没有公共点，则称两条平行直线和圆“相离”；若两条平行直线和圆有1个、2个或3个不同的公共点，则称两条平行直线和圆“相切”．已知直线l1：2x﹣y+a=0，l2：2x﹣y+a2+1=0和圆：x2+y2+2x﹣4=0相切，则a的取值范围是（）A．﹣3≤a≤﹣或≤a≤7 B．a＞或a＜﹣C．a＞7或a＜﹣3 D．a≥7或a≤﹣3考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：首先把圆的一般式转化为标准式，进一步利用圆心到直线的距离与半径的关系求解．解答：解：圆：x2+y2+2x﹣4=0转化为标准方程为：（x+1）2+y2=5，圆心坐标为：（﹣1，0），半径为：则：已知直线l1：2x﹣y+a=0，和圆相切：，解得：﹣3≤a≤7①同理：l2：2x﹣y+a2+1=0和圆：x2+y2+2x﹣4=0相切，则：，解得：②由①②得：或，故选：A．点评：本题考查的知识要点：点到直线的距离与半径的关系，圆的一般式与顶点式的转化，不等式组的解法．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）．11．（5分）如图是某个函数求值的程序框图，则输入实数x=0，则输出的函数值为5．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，因输入实数x=0，故不满足条件x＜0，有f（x）=5．解答：解：执行程序框图，有x=0不满足条件x＜0，有f（x）=5输出f（x）的值为5．故答案为：5．点评：本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题．12．（5分）在如图程序中，输入：m=30，n=18，则输出的结果为：6．考点：伪代码．专题：阅读型；算法和程序框图．分析：根据r=m MOD n表示m除以n的余数赋给r，然后将n的值赋给m，再将r的值赋给n，继续做循环，直到r=0退出循环，输出m的值即可．解答：解：m MOD n表示m除以n的余数则30÷18=1…12，则有r=12，m=18，n=12执行r=m MOD n得r=6，m=12，n=6执行r=m MOD n得r=0，m=6，n=0退出循环，输出m=6故答案为：6．点评：本题主要考查了伪代码，以及输入、输出语句和循环语句，解题的关键是语句“MOD”的理解，属于基础题．13．（5分）A，B，C，D四名学生按任意次序站成一横排，则A在边上，B不在边上的概率是．考点：排列、组合及简单计数问题．专题：应用题；概率与统计；排列组合．分析：由于所有的排列顺序共有=24种，其中A在边上，B不在边上的有=8种，由此可得概率．解答：解：所有的排列顺序共有=24种，其中A在边上，B不在边上的有=8种，故A在边上，B不在边上的概率为=，故答案为．点评：本题主要考查等可能事件的概率，求得A在边上，B不在边上的排法有12种，是解题的关键，属于基础题．14．（5分）圆拱桥的水面跨度为24米，拱高为8米，现有一船，船宽为10米，载货后货物宽度与船的宽度相同，如果这条船想从桥下通过，则该船水面以上最高不能超过米．考点：抛物线的应用．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：建立平面直角坐标系，设拱桥型抛物线方程为x2=﹣2py（p＞0），将B（12，﹣8）代入，求得抛物线方程，求出A的纵坐标，即可求得结论．解答：解：建立平面直角坐标系，设拱桥型抛物线方程为x2=﹣2py（p＞0）将B（12，﹣8）代入得p=9，∴x2=﹣18y，当船两侧与抛物线接触时不能通过，设点A（5，y A），由52=﹣18y A，得y A=﹣，所以h=8﹣=米故答案为：点评：本题考查抛物线的应用，是中档题．解题时要认真审题，恰当地建立坐标系，合理地进行等价转化．15．（5分）圆（x﹣4）2+y2=9上至少有三个不同的点到直线l：y=kx的距离等于1，则k的取值范围是k≤﹣或k≥，；直线l倾斜角的取值范围是[，）∪（，]．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：求出圆心和半径，比较半径和1的大小，根据题意得出圆心到直线的距离小于等于2求圆心到直线的距离公式，从而得直线斜率，即得倾斜角范围．解答：解：圆（x﹣4）2+y2=9的圆心坐标为M（4，0），半径为r=3，所求的圆上至少有三个不同的点到直线l：y=kx的距离等于1，∴圆心M到直线l的距离d应小于等于2，即d=≤2，∴k≤﹣或k≥，∵k=tnaα，∴直线l的倾斜角的取值范围是[，）∪（，]．故答案为：k≤﹣或k≥；[，）∪（，]．点评：本题考查了直线和圆的位置关系以及圆心到直线的距离等知识，是易错题．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．16．（12分）某校2014-2015学年高二年级准备从甲、乙两名数学优秀的学生中选出1人参加全国数学联赛，为了研究甲、乙谁更优秀，统计了他俩在高中考试的13次数学成绩，用茎叶图统计如图，请用所学统计知识研究，应该选哪一个人参加联赛？并说明理由．考点：茎叶图；极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：法一，求出甲、乙的平均分，比较即可得出结论．法二，根据茎叶图中的数据，分析数据的分布特征，也可得出正确的结论．解答：解：【法一】∵甲的平均分为=120+=117；乙的平均分为=120+=123；∴＜，∴乙的水平更高，应选乙．【法二】从茎叶图上看，乙的得分基本上是对称的，叶的分布是“单峰”的，的叶集中在茎11，12，13上，中位数是126，甲的得分也大致对称，叶的分布也是“单峰”的，有的叶集中在10，11，12上，中位数是116，由此可以看出，乙的成绩更好；另外，从也在茎上的分布情况看，乙的分数更集中于峰值附近，这说明乙的发挥更稳定，因此应选乙．点评：本题考查了茎叶图的应用问题，解题时应根据茎叶图中的数据进行分析、解答，是基础题目．17．（12分）已知直线l经过直线l1：3x+2y﹣5=0，l2：2x+3y﹣5=0的交点M，（1）若l⊥l1，求直线l的方程；（2）求点（2，1）到直线l的距离的最大值．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系；点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：（1）解方程组可得两条直线的交点为（1，1），由垂直关系可设与l1：3x+2y﹣5=0垂直的直线方程为2x﹣3y+b=0，代点求b值即可；（2）直线l过定点（1，1），当直线斜率不存在时，点（2，1）到l：x=1距离为d=1，当直线斜率存在时，设其方程为kx﹣y+1﹣k=0，由距离公式和不等式的性质可得．解答：解：（1）联立，解得∴两条直线的交点为（1，1），设与l1：3x+2y﹣5=0垂直的直线方程为2x﹣3y+b=0，又过点（1，1），代入得b=1，∴直线方程为2x﹣3y+1=0；（2）∵直线l过定点（1，1），当直线斜率不存在时，点（2，1）到l：x=1距离为d=1，当直线斜率存在时，设其方程为：y﹣1=k（x﹣1）即kx﹣y+1﹣k=0；点（2，1）到直线l的距离∴当l：x=1时，点（2，1）到直线l的距离的最大值为1．点评：本题考查直线的一般式方程和垂直关系，涉及分类讨论的思想，属基础题．18．（12分）小明家订了一份报纸，寒假期间他收集了每天报纸送达时间的数据，并绘制成频率分布直方图，如图所示．（Ⅰ）根据图中的数据信息，求出众数x1和中位数x2（精确到整数分钟）；（Ⅱ）小明的父亲上班离家的时间y在上午7：00至7：30之间，而送报人每天在x1时刻前后半小时内把报纸送达（每个时间点送达的可能性相等），求小明的父亲在上班离家前能收到报纸（称为事件A）的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）众数为出现频率最高的数，体现在直方图中应为最高矩形所在区间两端点的中点，中位数是从小到大排列中间位置的数，在直方图中其两边的小矩形面积相等，（Ⅱ）考查几何概型，条件中已有父亲上班离家的时间y，再设报纸送达时间为x，关于两个变量的不等式围成平面区域内的点为所有可能，收到报纸即报纸送到时间早于父亲上班时间即想x≤y，围成平面区域为梯形，利用几何概型转化为面积之比求解即可．解答：解：（Ⅰ）众数最高矩形所在区间的中点，则x1=7：00由频率分布直方图可知6：50＜x2＜7：10即410＜x2＜430∴20×0.0033+20×0.0117+（x2﹣410）×0.0233=20×0.0100+20×0.0017+（430﹣x2）×0.0233解得x2=4，（Ⅱ）设报纸送达时间为x，则小明父亲上班前能取到报纸等价于，如图所求概率为P=1﹣=点评：本题（Ⅰ）考查在丢失原始数据的情况下利用直方图求解一些数据，尤其是众数，中位数和平均数，要理解并记忆，（Ⅱ）概率不是古典概型就是几何概型，事件可一一列举多位古典概型，否则为几何概型，设报纸送达时间为x，关于x、y的二元一次不等式组对应平面区域，转化为几何概型，求面积之比．19．（12分）已知圆心为C的圆经过点M（1，2）和N（，），且圆心C在直线l：x﹣2y+2=0上．（1）求圆C的标准方程；（2）记事件“直线ax﹣by+2b=0与圆C相交”为A，若将一颗骰子投掷两次得到的点数分别为a、b，求事件A发生的概率．考点：圆的标准方程；古典概型及其概率计算公式．专题：综合题；直线与圆；概率与统计．分析：（1）确定圆心坐标与半径，即可求圆C的标准方程；（2）依题意：直线ax﹣by+2b=0与圆C相交，则，得到：3a2＜b2，又可知a，b均大于0，故，利用列举法，即可求出事件A发生的概率．解答：解：（1）因为M（1，2），，所以线段MN的中点D，直线MN的斜率为，因此直线MN的垂直平分线的方程为：，即2x+y﹣6=0，所以圆心C的坐标是方程组的解，得，圆C的半径长r=|CM|=1所以圆C的方程是（x﹣2）2+（y﹣2）2=1…（6分）（2）依题意：直线ax﹣by+2b=0与圆C相交，则，得到：3a2＜b2，又可知a，b均大于0，故当a=1时，b=2，3，4，5，6当a=2时，b=4，5，6当a=3时，b=6所以事件A包含的基本事件结果为9，总的基本事件结果有6×6=36种，故事件A发生的概率为=…（12分）点评：本题考查圆的方程，考查概率的求解，确定圆的方程是关键．20．（13分）已知|M1M2|=2，点M与两定点M1，M2距离的比值是一个正数m．（1）试建立适当坐标系，求点M的轨迹方程，并说明其轨迹是什么图形；（2）求当m=2时，点M的轨迹与以M1M2为直径的圆的公共点所在的直线方程．考点：轨迹方程；直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：（1）以线段M1M2的中点为原点，直线M1M2为x轴建立直角坐标系，利用点M与两定点M1，M2距离的比值是一个正数m，建立方程，即可得出结论；（2）求出当m=2时，点M的轨迹与以M1M2为直径的圆的方程，即可求出公共点所在的直线方程．解答：解：（1）以线段M1M2的中点为原点，直线M1M2为x轴建立直角坐标系．设M1（﹣1，0），M2（1，0），M（x，y）由已知得：，（m＞0）化简得：（m2﹣1）x2+（m2﹣1）y2﹣2（m2+1）x+m2﹣1=0…（4分）当m=1时，点M在线段M1M2的垂直平分线上，方程为x=0，即y轴；当m≠1时，配方得：表示圆心在半径为的圆．（2）当m=2时，点M的轨迹方程为3x2+3y2﹣10x+3=0，以M1M2为直径的圆的方程为x2+y2=1，∴点M的轨迹与以M1M2为直径的圆的公共点所在的直线方程为x=．点评：本题考查轨迹方程，考查圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知以C1为圆心的圆的方程为：（x+1）2+y2=1，以C2为圆心的圆的方程为：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1．（Ⅰ）若过点C1的直线l沿x轴向左平移3个单位，沿y轴向下平移4个单位后，回到原来的位置，求直线l被圆C2截得的弦长；（Ⅱ）圆D是以1为半径，圆心在圆C3：（x+1）2+y2=9上移动的动圆，若圆D上任意一点P 分别作圆C1的两条切线PE，PF，切点为E，F，求•的取值范围．考点：直线与圆的位置关系；圆的切线方程．专题：综合题；直线与圆．分析：（Ⅰ）设直线l的方程为y=k（x+1），向左平移3个单位，向下平移4个单位后得：y=k（x+3）+k﹣4=kx+k+3k﹣4，可得l的方程，求出圆心C2（3，4）到l：4x﹣3y+4=0的距离，即可求直线l被圆C2截得的弦长；（Ⅱ）利用数量积公式，求出•，即可求出•的取值范围．解答：解：（Ⅰ）设直线l的方程为y=k（x+1），向左平移3个单位，向下平移4个单位后得：y=k（x+3）+k﹣4=kx+k+3k﹣4依题意得3k﹣4=0即；所以l：4x﹣3y+4=0所以圆心C2（3，4）到l：4x﹣3y+4=0的距离为．所以被截得弦长为…．（6分）（Ⅱ）动圆D是圆心在定圆（x+1）2+y2=9上移动，半径为1的圆设∠EC1F=2α，则在Rt△PC1E中，，有，则由圆的几何性质得，|DC1|﹣r≤|PC1|≤|DC1|+r，即2≤|PC1|≤4，则的最大值为，最小值为．故．…..（14分）点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查向量的数量积公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。

高二数学学情调研一、填空题（每题5分，共14题）1．斜线与平面所成角的取值范围为 ▲ ．2．与同一条直线都垂直的两个平面的位置关系是 ▲ ．3．若直线350ax y +-=经过点2,1（）则实数a = ▲ ．4．点(1,2)P -到直线2100x y +-=的距离为 ▲ ．5．已知Rt ABC ∆中，3,4,5AB BC AC ===，将三角形绕直角边BC 旋转一周所成的几何体的体积为 ▲ ．6．过点(1,2)-且与直线2340x y -+=垂直的直线方程是 ▲ ．7．抛物线24x y =-的准线方程是 ▲ ．8．若变量,x y 满足约束条件211y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2x y -的最大值是 ▲ ．9．与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且过点(-的双曲线的标准方程 为 ▲ ．10．焦点在x轴上的椭圆的离心率为2，且它的长轴长等于圆22:2150C x y x ++-= 的半径，则该椭圆的标准方程是 ▲ ．11．已知m n 、是不重合的直线，αβ、是不重合的平面，有下列命题：（1）若,m m αβ⊥⊥，则//αβ；（2）若,//n m n αβ= ，则//,//m m αβ； （3）若,m n αα⊥⊂，则m n ⊥； （4）若//,m m n α⊥，则n α⊥． 其中所有真命题的序号是 ▲ ．第13题图A E1 12．设1F 、2F 分别是椭圆22143x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M的坐标为，则1PM PF +的最大值为 ▲ ．13．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，,,,E F G H 分别是棱1111,,,CC C D D D CD 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 上及其内部运动，则当11MN AC ⊥时，点M 的轨迹是 ▲ ．14．已知动点(,)P x y 满足220x y x y +--=，O 为坐标原点，则PO 的取值范围是 ▲ ． 二、解答题（共90分）15．（本题14分）如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，DE ⊥平面ABCD ． 求证：（1）AB ∥EF ；（2）平面BCF ⊥平面CDEF ．16．（本题14分）（1）已知椭圆的焦点在x 轴上，焦距为4，且经过点(3,M -，求椭圆的标准方程；（2）已知方程22112x y m m+=--表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数m 的取值范围．CEABDF（第15题）17．（本题15分）已知点(3,1)M ，直线40ax y -+=及圆:C 22(1)(2)4x y -+-=．(1)求过M 点的圆的切线方程；(2)若直线40ax y -+=与圆C 相切，求a 的值；(3)若直线40ax y -+=与圆C 相交于,A B 两点，且弦AB 的长为23，求a 的值．18．(本题15分)如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，4PD DC ==，2AD =，E 为PC 的中点． (1)求证：AD PC ⊥；(2)求三棱锥P ADE -的体积；(3)在线段AC 上是否存在一点M ，使得PA ∥平面EDM ，若存在，求出AM 的长，若不存在，请说明理由．ABD EP（第18题）19．（本题16分）如图，一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m 时，水面宽4m ， （1）若水面下降1m ，求水面宽度；（2）现有一木船宽3m ，高1m ，载货后木船露在水面的部分高为38m ，问水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通行？(19题图)20．（本题16分）在平面直角坐标系xOy 中，设(1,0)A -，(1,0)B ,(,)C m n ，且ABC ∆的周长为2．（1）求证：点C 在一个椭圆上运动，并求该椭圆的标准方程； （2）设直线:l 220mx ny +-=．①判断直线l 与（1）中的椭圆的位置关系，并说明理由；②过点A 作直线l 的垂线，垂足为H ．证明：点H 在定圆上，并求出定圆的方程．。

高二上学期期中考试数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1．把命题“012,0200<+-∈∃x x R x ”的否定写在横线上__________． 2的倾斜角是 ．3．已知一个球的表面积为264cm π，则这个球的体积为4． “两条直线不相交”是“两条直线是异面直线”的 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中的一个）5．若直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0与直线l 2：x ＋(a －1)y ＋(a 2－1)＝0平行，则实数a ＝________. 6．若圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，则当圆的面积最大时，圆心坐标为________． 7．已知圆锥的底面半径是3，高为4，这个圆锥的侧面积是________． 8．经过点(2,1)A 且到原点的距离等于2的直线方程是____________.9．设,αβ为使互不重合的平面，,m n 是互不重合的直线，给出下列四个命题： ①//,,//m n n m αα⊂若则 ②,,//////m n m n ααββαβ⊂⊂若，，则 ③//,,//m n m n αβαβ⊂⊂若，则 ④若,,,,m n n m n αβαβαβ⊥⋂=⊂⊥⊥则； 其中正确命题的序号为 ．10． 圆心在直线02=-y x 上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为32，则圆C 的标准方程为 .11． 在正三棱柱111C B A ABC -中，各棱长均相等，C B BC 11与的交点为D ，则AD 与平面C C BB11所成角的大小是_______．12．若圆C:222430x y x y ++-+=关于直线260ax by ++=对称，则由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小值是13．如图是一个正方体的表面展开图，A 、B 、C 均为棱的中点，D 是顶点，则在正方体中，异面直线AB 和CD 的夹角的余弦值为 。