数学：?综合法和分析法?教案教学目标：(一 )知识与技能：结合已经学过的数学实例 ,了解直接证明的两种根本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点 .(二 )过程与方法: 培养学生的辨析能力和分析问题和解决问题的能力；(三 )情感、态度与价值观：通过学生的参与 ,激发学生学习数学的兴趣 .第|一课时 综合法和分析法 (一 )教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.教学难点：根据问题的特点 ,结合综合法的思考过程、特点 ,选择适当的证明方法. 教学过程：一、复习准备：1. "假设12,a a R +∈ ,且121a a += ,那么12114a a +≥〞 ,试请此结论推广猜测. (答案：假设12,.......n a a a R +∈ ,且12....1n a a a +++= ,那么12111....n a a a +++≥ 2n ) 2. ,,a b c R +∈ ,1a b c ++= ,求证：1119a b c ++≥. 先完成证明 → 讨论：证明过程有什么特点 ? 二、讲授新课：1. 教学例题：① 出例如1：a , b , c 是不全相等的正数 ,求证：a (b 2 + c 2) + b (c 2 + a 2) + c (a 2 + b 2) > 6abc .分析：运用什么知识来解决 ? (根本不等式 ) → 板演证明过程 (注意等号的处理 ) → 讨论：证明形式的特点② 提出综合法：利用条件和某些数学定义、公理、定理等 ,经过一系列的推理论证 ,最|后推导出所要证明的结论成立.框图表示：要点：顺推证法；由因导果.③ 练习：a ,b ,c 是全不相等的正实数 ,求证3b c a a c b a b c a b c+-+-+-++>. ④ 出例如2：在△ABC 中 ,三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且A 、B 、C 成等差数列 ,a 、b 、c 成等比数列. 求证：为△ABC 等边三角形.分析：从哪些 ,可以得到什么结论 ? 如何转化三角形中边角关系 ?→ 板演证明过程 → 讨论：证明过程的特点.→ 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件 (内角和 )2. 练习：① ,A B 为锐角 ,且tan tan 3tan 3A B A B +,求证：60A B +=. (提示：算tan()A B + )② ,a b c >> 求证：114.a b b c a c+≥---3. 小结：综合法是从的P 出发 ,得到一系列的结论12,,Q Q ⋅⋅⋅ ,直到最|后的结论是Q . 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题. 三、稳固练习：1. 求证：对于任意角θ ,44cos sin cos2θθθ-=. (教材P 100 练习 1题 )(两人板演 → 订正 → 小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程 )2. ABC ∆的三个内角,,A B C 成等差数列 ,求证：113a b b c a b c +=++++.3. 作业：教材P 102 A 组 2、3题.第二课时 综合法和分析法 (二 )教学要求：结合已经学过的数学实例 ,了解直接证明的两种根本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点：会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程.教学难点：根据问题的特点 ,选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1. 提问：根本不等式的形式 ?2. 讨论：如何证明根本不等式(0,0)2a b ab a b +≥>>. (讨论 → 板演 → 分析思维特点：从结论出发 ,一步步探求结论成立的充分条件 ) 二、讲授新课：1. 教学例题：① 出例如1：求证3526+>+.讨论：能用综合法证明吗 ? → 如何从结论出发 ,寻找结论成立的充分条件 ? → 板演证明过程 (注意格式 )→ 再讨论：能用综合法证明吗 ? → 比拟：两种证法② 提出分析法：从要证明的结论出发 ,逐步寻找使它成立的充分条件 ,直至|最|后 ,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 (条件、定理、定义、公理等 )为止.框图表示：要点：逆推证法；执果索因. ③ 练习：设x > 0 ,y > 0 ,证明不等式：11223332()()x y x y +>+.先讨论方法 → 分别运用分析法、综合法证明.④ 出例如2：见教材P 97. 讨论：如何寻找证明思路 ? (从结论出发 ,逐步反推 ) ⑤ 出例如3：见教材P 99. 讨论：如何寻找证明思路 ? (从结论与出发 ,逐步探求 )2. 练习：证明：通过水管放水 ,当流速相等时 ,如果水管截面 (指横截面 )的周长相等 ,那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大.提示：设截面周长为l ,那么周长为l 的圆的半径为2l π ,截面积为2()2l ππ ,周长为l 的正方形边长为4l ,截面积为2()4l ,问题只需证：2()2l ππ> 2()4l . 3. 小结：分析法由要证明的结论Q 思考 ,一步步探求得到Q 所需要的12,,P P ⋅⋅⋅ ,直到所有的P 都成立；比拟好的证法是：用分析法去思考 ,寻找证题途径 ,用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法 ,即从 "欲知〞想 "需知〞(分析) ,从 "〞推 "可知〞 (综合 ) ,双管齐下 ,两面夹击 ,逐步缩小条件与结论之间的距离 ,找到沟通条件和结论的途径. (框图示意 )三、稳固练习：1. 设a , b , c 是的△ABC 三边 ,S 是三角形的面积 ,求证：222443c a b ab S --+≥. 略证：正弦、余弦定理代入得：2cos 423sin ab C ab ab C -+≥ ,即证：2cos 23sin C C -≥ ,即：3sin cos 2C C +≤ ,即证：sin()16C π+≤ (成立 ).2. 作业：教材P 100 练习 2、3题.第三课时 反证法教学要求：结合已经学过的数学实例 ,了解间接证明的一种根本方法 - -反证法；了解反证法的思考过程、特点.教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程.教学难点：根据问题的特点 ,选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1. 讨论：三枚正面朝上的硬币 ,每次翻转2枚 ,你能使三枚反面都朝上吗 ? (原因：偶次 )2. 提出问题： 平面几何中 ,我们知道这样一个命题： "过在同一直线上的三点A 、B 、C 不能作圆〞. 讨论如何证明这个命题 ?3. 给出证法：先假设可以作一个⊙O 过A 、B 、C 三点 ,那么O 在AB 的中垂线l 上 ,O 又在B C 的中垂线m 上 ,即O 是l 与m 的交点 .但 ∵A 、B 、C 共线 ,∴l ∥m (矛盾)∴ 过在同一直线上的三点A 、B 、C 不能作圆.二、讲授新课：1. 教学反证法概念及步骤：① 练习：仿照以上方法 ,证明：如果a >b >0 ,那么b a >② 提出反证法：一般地 ,假设原命题不成立 ,经过正确的推理 ,最|后得出矛盾 ,因此说明假设错误 ,从而证明了原命题成立.证明根本步骤：假设原命题的结论不成立 → 从假设出发 ,经推理论证得到矛盾 → 矛盾的原因是假设不成立 ,从而原命题的结论成立应用关键：在正确的推理下得出矛盾 (与条件矛盾 ,或与假设矛盾 ,或与定义、公理、定理、事实矛盾等 ).方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的 ,即由一个命题与其逆否命题同真假 ,通过证明一个命题的逆否命题的正确 ,从而肯定原命题真实.注：结合准备题分析以上知识.2. 教学例题：① 出例如1：求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.分析：如何否认结论 ? → 如何从假设出发进行推理 ? → 得到怎样的矛盾 ? O B C P与教材不同的证法：反设AB 、CD 被P 平分 ,∵P 不是圆心 ,连结O P , 那么由垂径定理：O P ⊥AB ,O P ⊥CD ,那么过P 有两条直线与OP 垂直 (矛盾 ) ,∴不被P 平分.② 出例如2：求证3是无理数. ( 同上分析 → 板演证明 ,提示：有理数可表示为/m n )证：假设3是有理数 ,那么不妨设3/m n = (m ,n 为互质正整数 ) ,从而：2(/)3m n = ,223m n = ,可见m 是3的倍数.设m =3p (p 是正整数 ) ,那么 22239n m p == ,可见n 也是3的倍数.这样 ,m , n 就不是互质的正整数 (矛盾 ). 3/m n =不可能 ,3.③ 练习：如果1a +为无理数 ,求证a 是无理数.提示：假设a 为有理数 ,那么a 可表示为/p q (,p q 为整数 ) ,即/a p q =.由1()/a p q q +=+ ,那么1a +也是有理数 ,这与矛盾. ∴ a 是无理数.3. 小结：反证法是从否认结论入手 ,经过一系列的逻辑推理 ,导出矛盾 ,从而说明原结论正确. 注意证明步骤和适应范围 ( "至|多〞、 "至|少〞、 "均是〞、 "不都〞、 "任何〞、 "唯一〞等特征的问题 )三、稳固练习： 1. 练习：教材P 102 1、2题 2. 作业：教材P 102 A 组4题.。
