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同济版高等数学1下册复习提纲

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1 《高等数学1》下册复习提纲

总纲：掌握本册的核心理论，及其在数学，以及在各学科中具有共性的应用

第一部分：向量代数与解析几何

1、 掌握向量基本理论：向量的定义，坐标表示，线性运算，向量的内积、外积及其几何意义与应用。

2、 理解方程与图形的相互关系，理解二次曲面的方程及其图形。

3、 掌握柱面、旋转曲面的图形及其方程。

4、 熟练掌握直线、平面及其方程的特点与求法，掌握它们之间位置关系及其判别方法。

第二部分：多元函数的微分学及其应用

1、 理解平面点集、多元函数的相关概念。

2、 掌握多元函数极限、连续、导数、全微分的相关概念；会求多元函数的极限，会判断函数在任意点的连续性。

3、 熟练掌握各类函数的导函数的求法。

4、 熟练掌握微分学在几何，及优化理论方面的应用；会求函数的极值，最值，条件极值，及实际问题的最优解。

第三部分：多元函数的积分学及其应用

1、 理解并掌握各类积分的基本思想；

2、 熟练掌握重积分，线积分，曲面积分的各类计算方法。

3、 熟练掌握重积分，线积分，曲面积分的几何应用。

4、 理解两类线积分，两类曲面积分之间的相互关系。

5、 掌握平面上的第二类曲线积分与路经无关充要条件，并能熟练应用它将曲线积分转化为二重积分。

6、 理解高斯公司，斯托克斯公司，并能应用它们进行相关积分的计算。

第四部分：级数理论及其应用

1、 理解级数的基本概念，掌握级数基本性质。

2、 掌握正项级数、交错级数、一般项级数的收敛判别法，及判断它们是否收敛的一般思路。

3、 熟练掌握幂级数收敛域，及其和函数的求法（包括熟练应用恒等变形，变量替换，逐项积分，逐项求导的方法）。

4、 熟练掌握函数的幂级数展开方法，包括直接展开与间接展开方法。

5、 熟练掌握函数的傅里叶级数求法，掌握其收敛性。

6、 熟练掌握级数的应用，会利用幂级数进行函数值、积分的近似计算，并估计误差；会利用幂级数求解微分方程（求未知函数，或者它的幂级数展开的前若干项）。

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同济版高等数学教材目录

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一、微积分基础

1. 实数及数列

1.1 实数

1.1.1 不等式与绝对值

1.1.2 数列与极限

1.2 数列极限的计算

1.2.1 无穷序列与无穷数列

1.2.2 数列极限存在的判定

2. 函数与连续性

2.1 函数的概念与性质

2.1.1 函数的定义与表示法

2.1.2 基本初等函数

2.1.3 一次函数与二次函数

2.2 函数的极限与连续性

2.2.1 函数极限的定义与性质

2.2.2 函数的连续性与间断点 2.2.3 闭区间连续函数的性质

3. 导数与微分

3.1 导数的概念与性质

3.1.1 导数的定义与表示法

3.1.2 导函数的求法

3.1.3 连续与可导的关系

3.2 导数的计算与应用

3.2.1 基本初等函数的导数

3.2.2 导数的四则运算

3.2.3 函数的单调性与极值

4. 微分中值定理与导数的应用

4.1 微分中值定理

4.1.1 罗尔定理

4.1.2 拉格朗日中值定理

4.2 函数的单调性与凹凸性

4.2.1 函数单调性的判定与应用

4.2.2 函数凹凸性的判定与应用 4.3 泰勒公式与高阶导数

4.3.1 泰勒公式与拉格朗日余项

4.3.2 函数的高阶导数及其应用

二、数列与级数

1. 数列极限的概念与性质

1.1 数列极限的定义

1.2 数列极限存在的判定

1.2.1 单调有界准则

1.2.2 夹逼准则

高等数学(同济第七版)提纲

高等数学(同济第七版)提纲

函数、极限、连续

一、函数：五大类根本初等函数 幂函数，指数函数，对数函数 反函数，有界性，奇偶性 三角函数：正割函数，余割 反三角函数

二、极限

1、 数列的极限 夹逼准那么

2、 函数的极限 〔1〕两个重要极限

〔2〕无穷小：高阶，低阶， 同阶，等价；性质：有界函数 与无穷小的乘积仍然是无穷小。 等价无穷小代换；

三、连续 间断点：第一类，第二类

左右极限都存在； 可去间断点，跳跃间断点 无穷间断点，振荡间断点 一切初等函数在定义区间 内都连续。 闭区间上连续函数的性质： 零点定理：方程根的存在性

第二章 导数与微分

、 相 关概念

1、 导数的两大定义式；

2、 左右导数；

3、 几何意义；

4、可导与连续的关系。

5、16 个根本导数公式， 4 个求导

法那么

二、 六大类函数求导

1、 复合函数求导； 2、 隐函数求导；

3、 参数方程所确定的函数求导；

4、 幂指函数求导；

对数求导法

5、 分段函数求导；

6、 抽象函数求导。

三、 微分

1、 概念；可微

2、 计算

第三章微分中值定理

与导数的应用

一、 中值定理

罗尔定理：驻点 拉格朗日中值定理

二、 洛必达法那么

三、 单调性和凹凸性 单调性：求单调区间；

求极值；

证明不等式；

证明方程根的唯一性。

极值的第一充分条件

有且仅有；

凹凸性：凹凸区间；拐点

四、渐近线

1、 水平渐近线

2、 垂直渐近线

3、 斜渐近线

第四章 不定积分

一、 不定积分的概念； 〔13+2〕 原函数；被积函数；积分变量

二、 计算

1、凑微分法〔第一类换元法〕

2、第二类换元法

3、分部积分法

〔一〕 4 小题

〔二〕 2 小题

〔三〕 1 小题 简单根式的积分

第五章 定积分 一、 相关概念和性质 积分下限，积分上限 几何意义：面积的代数和 [a,b] 积分区间 比拟性质 定积分的中值定理 二、 关于计算方面的内容 1、 定积分的计算；

2、 广义积分〔反常积分〕 ；

高等数学同济下册期末考试题及答案套

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高等数学下册考试试卷一

一、填空题每小题3分,共计24分

1、 z=)0()(log22ayxa的定义域为D= ;

2、二重积分1||||22)ln(yxdxdyyx的符号为 ;

3、由曲线xyln及直线1eyx,1y所围图形的面积用二重积分表示为 ,其值为 ;

4、设曲线L的参数方程表示为),()()(xtytx则弧长元素ds ;

5、设曲面∑为922yx介于0z及3z间的部分的外侧,则dsyx)122（ ;

6、微分方程xyxydxdytan的通解为 ;

7、方程04)4(yy的通解为 ;

8、级数1)1(1nnn的和为 ;

二、选择题每小题2分,共计16分

1、二元函数),(yxfz在),(00yx处可微的充分条件是

A),(yxf在),(00yx处连续；

B),(yxfx,),(yxfy在),(00yx的某邻域内存在；

C yyxfxyxfzyx),(),(0000当0)()(22yx时,是无穷小；

D0)()(),(),(lim22000000yxyyxfxyxfzyxyx;

2、设),()(xyxfyxyfu其中f具有二阶连续导数,则2222yuyxux等于

Ayx； Bx； Cy； D0 ;

3、设：,0,1222zzyx则三重积分zdVI等于 A42020103cossindrrdd；B200102sindrrdd；

C2020103cossindrrdd；D200103cossindrrdd;

同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案5-1

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1 利用定积分定义计算由抛物线y=x21 两直线x=a、x=b(ba)及横轴所围成的图形的面积

解 第一步 在区间[a b]内插入n1个分点inabaxi(i1 2    n1) 把区间[a b]分成n个长度相等的小区间 各个小区间的长度为 nabxi(i1 2    n)

第二步 在第i个小区间[xi1 xi] (i1 2    n)上取右端点inabaxii 作和

nabinabaxfSniiinin]1)[()(211

niinabinabaanab12222]1)()(2[

]6)12)(1()(2)1()(2[)(222nnnnnabnnnabananab

]16)12)(1()()1)(()[(222nnnabnnabaaab

第三步 令max{x1 x2     xn}nab 取极限得所求面积

niiibaxfdxxfS10)(lim)(

]16)12)(1()()1)(()[(lim222nnnabnnabaaabn

ababababaaab)(31]1)(31)()[(3322

2 利用定积分定义计算下列积分

(1)xdxba(a

(2)dxex10

解 (1)取分点为inabaxi(i1 2    n1) 则nabxi(i1 2    n) 在第i 个小区间上取右端点inabaxii (i1 2    n) 于是 ninniiinbanabinabaxxdx11)(limlim